2022屆復(fù)習(xí)必備-2021屆浙江省高考沖刺數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析5

2022屆復(fù)習(xí)必備-2021屆浙江省高考沖刺數(shù)學(xué)試卷分項(xiàng)解析

專題5.平面向量與復(fù)數(shù)

第一部分平面向量

一、單選題

1.（2021?寧波中學(xué)高三其他模擬）已知A。是直角三角形ABC斜邊BC上的高，點(diǎn)P在D4的延長線上,

且滿足（而+網(wǎng)?而=4應(yīng)，若AD=6,則方.正的值為（）

A.2B.3C.4D.6

【答案】A

【分析】

設(shè)NDPC=a,NDP3=￡,化簡（刖+無）?通=40,可得|叫=2,再利用數(shù)量積的公式展開方.定，

利用三角函數(shù)恒等變換公式化簡即可

【詳解】

解：設(shè)NDPC=a/DPB=/3,

\11（PB+PCyAD=4y/2,AD=42,得.收cos"+p。?夜cosa=4夜，

所以網(wǎng)?言+圖.相=4,所以|叫=2,

因?yàn)锳D是直角三角形A8C斜邊BC上的高，所以|8|怛￡）|=|明2

所以方?斤=|而H正|cos（a+〃），

=|PB^|P（?|（cosacos-sinasin0）

-陶用（22\CD\|fiD|

T叫叫（岡?西-西?阿）

=4-|A￡>|2=4-2=2,

故選：A

2.（2021?浙江杭州高級中學(xué)高三其他模擬）正2021邊形A4…4。21內(nèi)接于單位圓。，任取它的兩個不同的

頂點(diǎn)A,,4,構(gòu)成一個有序點(diǎn)對（A，4）,滿足|西+可口的點(diǎn)對（4,4）的個數(shù)是（）

A.2021x673B.2021x674C.2021x1346D.2021x1348

【答案】c

【分析】

先通過向量模的運(yùn)算公式，可以計算包C0S62-；1,即。422萬,既可以得出答案.

【詳解】

2

|a4l+O4J=2+2cos^>l,cos0>-1,所以④I,網(wǎng)的夾角不超過弓，對于任意給定的次…因?yàn)?/p>

子+施=673.66,滿足|OA+0M±1的向量04的取法共有673x2=1346,再讓麗動起來，可得點(diǎn)對

（4,4）的個數(shù)是2021x1346,

故選:C.

3.（2021.浙江鎮(zhèn)海中學(xué)高三其他模擬）已知平面向量1,5滿足忸+同=卜/=2,則卜-25|的值可能為

（）

A.1B.2C.—D.—

33

【答案】D

【分析】

先由題中條件，得到15=-軀2邛1=4一2同220,同242,再由向量模的計算公式，直接計算卜-25],

得到卜-242n,即可得出結(jié)果.

【詳解】

因?yàn)殁?4=卜叫=2,

所以4同2+4無5+=同一一24d+忖,貝！同2,

）C\a-b^=\af-2a-b+\b[=4,則2同2+^=4,所以好=4-2間?20,則同72,

因此卜-26=刎-4無5+4好=J同2+2同2+16-8,=J16-5,>R,

故ABC都不能取得，只有D選項(xiàng)能取得，

故選：D.

4.（2021.浙江學(xué)軍中學(xué)高三其他模擬）設(shè)￡石為非零向量忖=2忖，則,與各一￡的夾角的最大值為（）

【答案】A

【分析】

利用數(shù)形結(jié)合畫圖求出答案.

【詳解】

作圖，不妨令方=￡,而=B，.?.5一2=而

；.B與B-￡的夾角為NOBA,

故N0R4最大值就是AB與圓相切時，

此時ZOAB=90°08=2OA,所以/OBA=￡.

A

故選：A.

5.(2021.浙江)已知￡出為單位向量，向量"滿足|2工+￡|=|￡?|,則|(?-目的最大值為()

A.正B.2C.5/3D.3

【答案】B

【分析】

由|2才+町=|萬⑸得萬痂，說明的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，；|必5|為半竹的圓，|e-6|

的最大值是圓心與5的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為1石-(~|)1+目口石I,再將其化成G,萬的模和夾角可

解得.

【詳解】

解：由|2?+a|=|麗得曲，說明己的終點(diǎn)的軌跡是以的終點(diǎn)為圓心，加向?yàn)榘霃降膱A，

\c-b|的最大值是圓心與5的終點(diǎn)之間的距離加上半徑，即為出-(-多|+；|萬⑸,

Jl+；+cos<a,6>+g|cos<a,b>|

=2,(當(dāng)且僅當(dāng)cos<5,b>=1時取等號).

故選：B.

6.(2021?浙江省寧海中學(xué)高三其他模擬)已知平面非零向量3n,2滿足

{￡,可={「||￡-2|=32},"?口僅-￡).[-5)=0},則對于任意的/使得(￡-2)〃0-2)()

A.(同)伍/)40恒有解B.(口卜1)0/)40恒有解

C.(同-2)伍.小0恒無解D.(問-3)伍小。恒無解

【答案】B

【分析】

設(shè)O￡)=4=(r,0),OU=〃=(x,y),其中r>0,i￡OA=a,OB=b,OC=c

則有J(iy+J=b,即(1一八)/-2“+，+/=0,然后分r=i,0<r<l,r>l三種情況討論，再根

據(jù)直線A8是過點(diǎn)D的直線與圓錐曲線E的兩個不同的交點(diǎn)和點(diǎn)C在以A8為直徑的圓M上，分析圓例與

相應(yīng)準(zhǔn)線的位置關(guān)系，即可求解.

【詳解】

解：iScOD=d=(r,0),(9t/=u=(x,y),其中r>0,記OA=a,O月=B,OC=c

則有J(x-r)2+3=次，即(1--2rx+r2+/=O.

若r=l，則點(diǎn)U的軌跡是拋物線，方程為氏y2=2x-l,點(diǎn)。恰為拋物線E的焦點(diǎn),

則AB是過點(diǎn)D的直線與拋物線E的兩個不同的交點(diǎn)，點(diǎn)C在以AB為直徑的圓河上,

此時22對.

若0。<1，則點(diǎn)U的軌跡是橢圓，方程為E：(匕二)?——」Y+Uy2=l，

r4Il-r2Jr4'

點(diǎn)。為橢圓E的左焦點(diǎn)，》軸是橢圓的左準(zhǔn)線，A8是過點(diǎn)。的直線與橢圓E的兩個不同的交點(diǎn)，點(diǎn)C在以

A8為直徑的圓M上，此時圓M與準(zhǔn)線相離，故A2>0.

若r>l,則點(diǎn)U的軌跡是雙曲線，方程為氏(七)(x__」丫_±」2=「

點(diǎn)。為雙曲線E的右焦點(diǎn)，》軸是雙曲線的右準(zhǔn)線，AB是過點(diǎn)。的直線與雙曲線E的兩個不同的交點(diǎn)，點(diǎn)

C在以A8為直徑的圓〃上，此時圓M與準(zhǔn)線相交，故37可正，可負(fù)，可零.

所以，當(dāng)0<11時，恒有（同）伍力>0,故A錯誤；

當(dāng)r>l時,（p|-2）-（c-d）<0,與（即3）伍小0均有解,故C,。錯誤；

故選：B.

【點(diǎn)睛】

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：利用坐標(biāo)法，｝^OD=d=（r,0）,OU=u=（x,y）,其中廠>0,記礪=￡,而=反反="則有

"（if+y2=加,即（1—廣廳―2“+/+/=0,然后分「=1,0<r<l,/三種情況討論，將原問題

轉(zhuǎn)化為判斷圓M與準(zhǔn)線的位置關(guān)系，從而解決問題.

二、雙空題

7.（2021?浙江高三其他模擬）已知單位向量a與5,滿足僅+5丫=1,則1與5的夾角為：若向

量？滿足加+（2-to?=K<ye[0,2]）,則同的取值范圍是.

【答案】爭

[1.2],

【分析】

依題意求得弧5,進(jìn)而可得cos（a,?,從而可得2與5的夾角；將碇+（2-。）5=1平方可得

c2=3蘇-6694-4,結(jié)合[0,2]可得同的取值范圍.

【詳解】

依題意知同=問=1，由（4+盯=1得容+2必辦戶=1，解得萬石=-；,則c°s（萬，②=百百=弓，

又他5月0,同，所以僅?=等;

將函+（2-0昉二乙平方,得32=#12+20（2-刃）無5+（2-0252=3療-669+4,因?yàn)榭?0,2],所以

同=,3療-6啰+441,21

故答案為:①爭;②[1，2].

8.（2021?浙江省杭州第二中學(xué)高三其他模擬）在A43c中，48=3,AC=2,A=60,AG=mAB+AC，

則|而|的最小值為,又若而，血，則％=.

【答案】732

6

【分析】

利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義訂?算而2,將其轉(zhuǎn)化為有關(guān)于陽的二次函數(shù)的最小值，可得出|而|的

最小值，由而，而，得出AG-BC=（/nAB+AC>（AC-AB）=O,利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算律和定義可

求出實(shí)數(shù)加的值.

【詳解】

uinn。/uunuufl\2utikumHimuuu、7

AG=（，〃A8+AC）^nrAB+9〃滔網(wǎng)CH4AC3=th2+?m+=（m+）+,

所以當(dāng)3，〃+i=o時，Bq取最小值后；

因?yàn)槎鴂L而，所以

uumuun,uunuun、/uumuun、uunuumuun^utun^i

AGBC=（mAB+ACy（AC-AB）=（m-｝）ABAC-mAB+AC=3（加一1）-9m+4=0,解得機(jī)=4,故答案

1

回6

6-

9.（2021.全國高二單元測試）已知）》是空間單位向量，7石=0,若空間向量"滿足：。/=2,卜卜加,

貝平+B+[=,對于任意x,yeR,向量￡與向量1+y力所成角的最小值為

【答案】3亞7

4

【分析】

由題意得：@+『+和而+B+請,根據(jù)數(shù)量積公式及題意，代入數(shù)據(jù)，即可求得答案；

設(shè)向量工與向量工+y%所成角為。，根據(jù)求夾角公式，令-=f4十算可得cos。=涼+普,令

/?）=J4/-3,（r>0）,利用導(dǎo)數(shù)判斷其單調(diào)性，求得最值，即可求得cos。的最大值，即可得答案.

1+r

【詳解】

由題意得：弧+石+4=加+5+卜=漏『+印+用+2￡石+27工+防2

=71+1+10+0+2x1+2x2=718=30.

因?yàn)?2xya-b=^x2+y2

設(shè)向量"與向量x”+yb所成角為。，

c?(xa+yb)_xa-c-\-ybc_x+2y

所以8S6=

/A/TO.卜4+詞5/10-yjx2+y2'

當(dāng)x>0,y>0時，夾角才可能最小，令上=f(t>0),

x

x+2y1(x+2y)21卜2+4),2+4盯iI4f-3

則cos0=

歷小;+y?Vioyx2+y2-Vioyx2+y2-MN+1+t2

4/-3,‘c、八4(l+r)-2r(4r-3)-2(2r+l)(r-2)

令/⑺(r>0),貝ijf(力=---------------=—-_7-；-----

1+t2(1+廣產(chǎn)(1+r)2

所以當(dāng)止(0,2)時-，/(0>0,/⑺為增函數(shù),

當(dāng)fe(2,y)時，(⑺<0,/⑺為減函數(shù),

所以fQ)g=f(2)=l,

所以8$電?=加"；［=等，即禽”=￡

117T

所以向量C與向量MM所成角的最小值為彳.

故答案為：3亞；—?

三、填空題

10.(2021?浙江高三其他模擬)己知向量&,5滿足,+4=3,ab=Q.若E=〃+(l—4)5,且乙&=m5,

則同的最大值為.

【答案】4

【分析】

令行=麗，5=麗，利用已知作出以為直徑作直角三角形的外接圓O,令麗=麗，連接MN.設(shè)

c=AC，由已知點(diǎn)C在直線MN上，

【詳解】

令力=俞，B=確,則1+5=而+礪=礪，故|而1=3,又無5=0，所以乩以A8為直徑作

直角三角形AW的外接圓。，進(jìn)而得出當(dāng)兩_L四時，/即同取得最大值.

令麗=麗,連接MN.設(shè)e=而，因?yàn)榱?位+（1-義＞5,所以點(diǎn)C在直線腦V上，又鼠&=小5，所以

落僅-5）=0,即配.兩=0,所以/_L柘.結(jié)合圖形可知，當(dāng)麗旗時，，正即同取得最大值，且

同=|羽=|.

3

故答案為：—

11.（2021?浙江效實(shí)中學(xué)高三其他模擬）已知點(diǎn)P為AABC所在平面內(nèi)一點(diǎn)，滿足mPC=-3PA+而，（機(jī)＞0）,

-S,則m=

SA/PWKC=3AA/JKCC八J

【答案】7

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)3（。,0）,A（%,%），P（x,y）,依題意可得、=±會，根據(jù)加%=-3而+麗，即

可得到y(tǒng)與%的關(guān)系，即可求出參數(shù)的取值;

【詳解】

解:如圖建立平面直角坐標(biāo)系,設(shè)5（a,o）,P（x,y）,由％c=gs-所以尸±5，所以

PC=(-x,-y),PA=(%-x,%-y),PB=(o-x,-y)

3x-a

x=Q

-fwc=-3xa+3x+a-x;+機(jī)，又＞=±^

由無=-3⑸+而，所以“r：+3i’所以

3%3

y=2+"?

所以棄「=土=，解得m=7或%=—11,因?yàn)樾瘢?,所以m=7

2+tn3

故答案為：7

若空間向量；滿足，a=xe.+ye2（尤，”R）,「卜2,則j3的最大值是.

【答案】空

3

【分析】

由：=及模長公式，求得』+/+盯=4=>*+），）2-4=盯+“；>）,從而求得

2

(x+y)<y=>|x+y|<^^-,將問題化為。=^xet+ye^-e,=gx+；y求得結(jié)果.

【詳解】

由題知,

=\jx2+y2+xy=2

貝UY+y2+盯=4n(x+y)2-4二盯《"+))

4

「此4百

則(x+y)2<y=>,引-y

—>—>—>—>A-4”弁嗅當(dāng)且僅當(dāng)Ak士孥時,等號成立.

xe{+ye2?%

故答案為：—

3

->TT||TTT

13.（2021?浙江）已知平面向量工工梃滿足，=《+』則3a；a；+2H+IZ的最小

123

值是.

【答案】-14

【分析】

、—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

以m=4+4，〃=4+。2+/，<a},m>=a，<《，〃>=夕，<m,n>=y，

則Z=2,卜卜2,卜卜3,將問題化簡，轉(zhuǎn)化為夾角的關(guān)系，求得最小值.

【詳解】

,..—>—>—>—>—>—>—>—>―>—>—>—>—>

以/%=《+4，〃=4+。2+。3，<%,，〃>=a，<a、,n>=（3，<九〃>=y，

則卜卜2,卜卜2,卜卜3,

.—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>—>

3aI-a2+2aI-a3+?2-?3=3%《m一4）+24?（〃一/%）+（根一%）?（〃一〃7）

->2-2

=24?a】?〃+tn-n-m-3%

=2x1x2cosa+1x3cos/+2x3cosy-7

=4cosa+3cosp+6cos/一7

由題意知，cosa=cosy=-l時，根據(jù)向量相關(guān)性知，此時cos4=1,

34.%+2卬4+。2，。3取得最小值T+3-6-7=-14

故答案為：?14

14.（2021?浙江高三其他模擬）已知平面向量d,B不共線，且同=1,ab=\，記加與20+5的夾角是凡

則e最大時，卜-.=.

【答案】上

【分析】

把cose表示為向的函數(shù)，利用函數(shù)的性質(zhì)求出當(dāng)。最大時向的值，進(jìn)而可求出卜-目的值.

【詳解】

設(shè)W=x(x>0),

則及僅a+/7)=2a-B+B-=2+x2,

4a~+4a-b+b-yjs+x2,

b-(2a-vb\o?r2

所以cose=

網(wǎng)2〃+qXA/8+X

易得cos6>0,

2

1+2：11

COS?。=

--124-="

x11___]_

)12

(-2-J+2X2+2-6i年

當(dāng)V=4時，cos2。取得最小值，。取得最大值,

止匕時\a-b\=yla2-2ab-\-b=Jl-2+4=?

故答案為：上.

15.（2021?全國高一課時練習(xí)）已知平面向量羨了滿足|j=1，2<ab<3'貝1」|12小的最小值是

【答案】3

【分析】

由2（^<3得卜卜[2,+oo）,結(jié)合模長求解過程，得到|〃—>一2—以>2,1一4卜卜4力之，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，結(jié)

合基本不等關(guān)系，求得最小值.

【詳解】

T-?cos<a,b[2,3],貝ij|/?|e[2,+8),

ab=

f—2l-4|z?|cos<6Tf,ZT?>+4f-e2之11一4方+4M,易知”1M=2時,

\a-2b\=一4〃?/?+4b

|a-2b|最小為Vl-4x2+4x22=3，

此時cos<>=1，a,/?同向?

故答案為：3

16.（2021?浙江瑞安中學(xué)高三其他模擬）在四邊形ABCQ中，點(diǎn)E,F分別是AO,BC的中點(diǎn)，設(shè)而?m=x，

ACBD=y,若=EF=l,CD=B則孫的最小值為.

【答案】二

16

【分析】

畫出圖形，結(jié)合圖形，先求出福覺的值，再利用而展=x,AC.BD=y,得到X與y的關(guān)系，再結(jié)合二次

函數(shù)的性質(zhì)即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：如圖所示：設(shè)-.?AB=AE+EF+FB=EF+AD~BC,

DC=DE+EF+FC=EF+~AD+BC,

2

兩式相加得：西=A8;DC①

QAB=壺,EF=\,CD=6,把①平方可得

1宿+第+2福反2+3+2而灰.AB，QC=_L

442

又AD.BC=(OD-OA).(OC-函=OD^C-OD.OB-OA^C+OA.OB

=x,

?*-OD.OC+OA.OB=x^Ob.OB+OA^OC?.

又AC.BD=(OC-OA)^OD-OB)=OD^OC-OB.OC-OA^D+OA^OB

=(OD.OC+OA.OB)-OS^C-OA^OD=yf

二.OD.OC+OA.OS=OB.OC-OA^OD+y@.

根據(jù)②③可得，x+0D.0B+0A.0C=08.0C+0A.0D+yf

x-y=-OD.OB-OA^OC+OB^OC+OA^OD,

^x-y=OB^DC+OA?Cb=DC^OB-OA)=DC?AB=-^,

即y=g+x,

所以盯=犬(?/++"；)所以x=一；,y=；時’(xy),nin=-^

故答案為：-N.

Io

o

17.(2021.浙江高三其他模擬)已知￡為平面內(nèi)一定點(diǎn)且P回=1,平面內(nèi)的動點(diǎn)P滿足：存在實(shí)數(shù)221,

使卜。戶+(1-2)赤卜g,若點(diǎn)尸的軌跡為平面圖形S,貝IJS的面積為.

【答案】三+理

64

【分析】

以。為圓心，以《為半徑作圓，過E作圓。的切線西，￡8分別與圓。切于點(diǎn)A,B,連結(jié)OA,OB,延

KE。與圓。交于點(diǎn)尸，設(shè)點(diǎn)2,滿足麗=2萬+(1-冷而，由；121,則點(diǎn)。在即的延長線上，若要存

在421使得|麗卜g,所以砂的延長線與圓O有交點(diǎn)，從而得出點(diǎn)點(diǎn)P的軌跡圖形，從而可求解.

【詳解】

以。為圓心，以3為半徑作圓，

過E作圓O的切線E4,EB分別與圓O切于點(diǎn)A,B.

連結(jié)OA,OB,延長EO與圓O交丁點(diǎn)F,

存在點(diǎn)尸以及實(shí)數(shù)221,設(shè)點(diǎn)。，滿足麗=4萬+。-冷礪,

OQ-OE=WP-WE,BPEQ=AEP

由義21,可知點(diǎn)。在EP的延長線上，

若要存在A>1使得|而卜;，相當(dāng)于EP的延長線與圓O有交點(diǎn)，

故尸只能在圖中陰影部分，所以點(diǎn)尸的軌跡面積s=S4AOE+SJOE+S扇形OA/r+S鬧形BO”

因?yàn)椤?與圓。相切于點(diǎn)A,所以Q4_LAE,

由勾股定理可知，AE=—,

2

S

所以^AOE=半，同理S^BOE=烏，

OO

An1

因?yàn)槎?=7，所以4°F=120。，

OE2

所以5扇形A8=$用形8W=§*]■=立

綜上所述，s的面積為工+走.

18.（2021?浙江溫州中學(xué)高三其他模擬）已知向量麗而垂直，且網(wǎng)=|而1=12,若;le[0,l],則

\AAB-AO\+^Bd-（l-A）BA的最小值為.

【答案】15

【分析】

uuuUUU

作正方形OACB,取AB上一點(diǎn)￡>,設(shè)AC=/IA8，取OB上一點(diǎn)E,滿足。￡=3,則可得

,福-荷的一（1一2）麗=|OD|+|D￡|=|CD|+|DE|,即求EC長度.

【詳解】

如圖，作正方形。ACB,取A8上一點(diǎn)￡）,設(shè)第=4薪，2e[0,l].

則4通-而=而-正=而，

3________

取05上一點(diǎn)E,滿足0E=3,則彳的一（1-4）麗=曲一（1-；1）明=說,

則,通_呵+

易得（|而|+|詼|）,而=|EC|=>/122+92=15.

故答案為：15.

19.（2021?浙江杭十四中高三其他模擬）已知平面向量江分滿足同=1,4-a-b=2\a-h\,則歸+閘的取值

范圍是.

【答案】[1,3]

【分析】

用坐標(biāo)法表示向量坐標(biāo)，設(shè)￡=（1,0）4=（左丫），J（x+l）2+y2,即求（x,y）與

（-1，0）兩點(diǎn)間距離的范圍，根據(jù)已知等式求出為了關(guān)系式，即可求解.

【詳解】

設(shè)2=（1,0）出=（%丫），由4-76=2歸一目，

得4-x=2j（x-l）2+y2整理得上+8=1,

卜+/J=y/（x+1）2+y2表示橢圓上的動點(diǎn)P（x,y）

到定點(diǎn)F（T，。）（左焦點(diǎn)）的距離，

當(dāng)P點(diǎn)位于橢圓長軸兩端點(diǎn)取得最值，分別為L3,

所以B+q取值范圍是口,引.

故答案為:[1,3].

20.（2021?浙江高三其他模擬）A04B是邊長為6的正三角形，點(diǎn)C滿足配=，"礪+〃詼，且機(jī)>0,〃>0,

機(jī)+〃=2,則|國|的取值范圍是.

【答案】[65/3,12）

【分析】

根據(jù)題意建立坐標(biāo)系，寫出AB,Q點(diǎn)坐標(biāo)，表示出區(qū)=卜〃-3肛-36加-36〃），再求向量

|QC|=36m2+36/?2+36mn,再根據(jù)己知nz>0,〃>0,，”+"=2得〃=2-加，me（0,2）,代入得

|花『=36(m-1)?+108,再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可.

【詳解】

如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，

二A（—3,0）,8（3,0）,Q（0,3G）,二04=卜3,-3右），QB=（3,-36）

/.QC=mQA+nQB=13"z,-36勾+（3〃,一364=（3〃-3"?,-3G機(jī)一3石〃）

/.|（2c|=9（n-/n）2+27（/n+n）2=36〃/+36/+36如？,

*/m>Q,〃>0,m+n=2

/.幾=2-m,加￡（0,2）,

二|蜀2=36[加2+（2-m）2+〃?（2—加）]=36（機(jī)-1）2+108,

/.由二次函數(shù)的性質(zhì)知|蜀2e[108,144）,|gc|￡[673,12）

故答案為：[66,12）.

21.(2021?浙江高三三模)如圖，在AABC中，gf)—[)E=EC,AF=2FB2AM=MD'直線加交AE

于點(diǎn)G,直線MC交4E于點(diǎn)N,若△MNG是邊長為1的等邊三角形，則而.慶'=.

2

【答案】y

【分析】

->2T->1—>—>A—>

假設(shè)公=；1/，首先根據(jù)向量共線求得AG=§AE，同理得⑷V=]AE，AG=-GN,最后由于

TT4TTT2

MC=4MN'MA=MG+-NG,從而計算MA-MC=二即可.

【詳解】

fT2f1f

解：設(shè)AG=/LAE=—zlAC+—44B,

33

T1->1-2ff2T

IfdAM=-AD=-AC+-AB,AF=-AB.

->—>—>1—>A—>

所以尸M=AM—Ab=§AC—§AB,

TfT2f(12、T

FG=AG-AF=-AAC+\-2一一\AB,

3U3)

因?yàn)檠狪I亦，所以=,

2

得『，

f2T

所以AG=§AE.

f[T->4f

同理AN=—AE,所以AG=—GN.

25

->T->[T1->(\^2-12TIT

MN=AN—AM=-AC+-AB-\-AC+-AB\=-AC——AB,

36(99J918

—>—>—>Q—>O—>—>

MC=AC—AM=?AC——AB=4MN,

99

->->->->4-

MA=MG+GA=MG+《NG,

所以MAMC=(MG+《NG?4MN=4"N.MG+《MN.NG=2—g=w.

22.(2021.全國高三專題練習(xí))已知平面向量1上,1滿足：同=2,|*=1帆=同,,=0,則京

的最大值是.

【答案】G+1

【分析】

先得到<反?=2,然后假設(shè)坐標(biāo)，得到各的終點(diǎn)坐標(biāo)滿足的方程，同時得到"的終點(diǎn)的軌跡方程，最后使用

參數(shù)方程進(jìn)行求解，計算即可.

【詳解】

由("_g")"=0n八"一3^=0，又|可=同，所以可知cos(B,?=；

又〈￡21[0,句，所以(硝=?

設(shè)a=(2,0),B的終點(diǎn)為B(x,y),"的終點(diǎn)為c(m,〃)，其中〃2O,y2O

山卜=1n(x-2)~+)2=1①，設(shè)/BOr=e,

則cos?=

/2'>/2,

W+y4廠+?

8n+m

x=-------

2

所以②

n-yl3m

=次+/""訃臺張y=-------

2

將②代入①并化簡可得(m-爐+(n-73)2=l

"7=1+COS(p

令設(shè)

〃=G+sing

所以1Y=Jcos2e+3+sin2e+2Gsin°="+26sin°

="+2g=J(G+i)=G+1

當(dāng)sine=l時，一0

max

故答案為：G+i

23.(2021?浙江高三其他模擬)已知平面內(nèi)不同的三點(diǎn)O,A,8滿足|西|=|荏|=5,若2e[0,l]時,

______2____

\AOB-dAl+(l-A)BO--BA的最小值為屈，則|而|=.

【答案】2逐

【分析】

由題設(shè)，將平面向量轉(zhuǎn)化為平面幾何圖形，8在以A為圓心5為半徑的圓上，利用向量加減、數(shù)乘的幾何

意義分別確定。、E使(1-團(tuán)麗=麗、-BA=BE,進(jìn)而可知|彳麗-麗1+(1-㈤麗-石麗表示AD+￡D,

若A，是A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，可知4',。,E共線時">+￡￡>最小，△48《中應(yīng)用余弦定理求8$454',即可

求|而

【詳解】

__2________2一一?

由題設(shè)，如下圖示，若如=/1。瓦BE=-BA9則(1-4)80=3。，WB-OA=AD^《BA=BE,即

—?2—?—?

(l-A)B0--BA=ED,

_________9_________

：.\WB-OA\+(\-^BO--BA=\AD\+\ED\,即初+即,

若4是A關(guān)于OB的對稱點(diǎn)，

/.AD=AD，即4)+E￡)=A'O+ED，如下圖示,

A

A'

當(dāng)且僅當(dāng)A,共線時，即47)+￡。=4%="1最小，

：|兩=|函=5,即48=5,BE=2,

25+4-413

J此時，△A'BE中，cosZEBA=,而34&4'=2852450-1且4480為銳角,

2x5cx25

AcosZ4B(9=—,而|麗|=2A&COSZA3O=2K.

5

故答案為：2卮

第二部分復(fù)數(shù)

一、單選題

1.（2021?浙江高三其他模擬）已知i是虛數(shù)單位，則（12。=（）

A.3+iB.3—zC.—1+iD.—\—i

【答案】B

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算，即可得到本題答案.

【詳解】

由題意得：

（l+z）（l-2?）=l-2?+z-2z2=3-z.

故選：B.

2.（2021.浙江高三其他模擬）已知meR,若如把是純虛數(shù)，則，〃的值為（）

1

A.0B.-1C.1D.2

【答案】A

【分析】

先利用復(fù)數(shù)的乘除運(yùn)算對空小化簡，再根據(jù)實(shí)部為0,虛部不為0即可求解.

1

【詳解】

因?yàn)?蟲=W一i是純虛數(shù)，

11x（-1）

所以〃7=0.

故選：A.

5-；

3.（2021?浙江臺州?路橋中學(xué)高三其他模擬）已知復(fù)數(shù)z=~（i為虛數(shù)單位），貝ij|z|=（）

i

A.4B.726C.5五D.2屈

【答案】B

【分析】

先由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)z,再求模長.

【詳解】

5-z（5-i）i/、

z=—=1.J=-（+5，）=_l-5i

所以|z|==商

故選：B

2—i

4-（2。2】?浙江高三其他模擬）復(fù)數(shù)而（i為虛數(shù)單位）的虛部為（）

A.1B.-1C.D.

22

【答案】D

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡可得.

【詳解】

5…2—i（2-i）（3-i）5-5z11.

解：因?yàn)閣r勒號=干=5—I

2

所以復(fù)數(shù)舒d為虛數(shù)單位）的虛部為一;.

故選：D.

5.（2021.浙江效實(shí)中學(xué)高三其他模擬）已知力=2+i（i是虛數(shù)單位），則4=（）

A.-1-2/B.一l+2iC.l-2zD.1+2/

【答案】D

【分析】

先由條件可得z=44，由復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡求出復(fù)數(shù)Z,根據(jù)共軌復(fù)數(shù)的概念可得答案.

I

【詳解】

由zi=2+i,可得z=2+i=（2+?=一（2i—l）=]—2i

多以三=l+2i

故選：D

6.（2021?浙江紹興?高三二模）已知i是虛數(shù)單位，若z=-3+L,,則z2=（）

22

Ai,6Ri百.「i73.i上.

A.---1---1D.--------1C.---1---1LnJ.------1

22222222

【答案】D

【分析】

直接按照平方式公式計算即可.

【詳解】

由題可知：z=-迫+L

22

U廠1、12(61?=3一烏+115

所以Z=---+—Z------1

2242422

故選：D

7.（2021.全國高二專題練習(xí)（文））已知。＞0,若z=:土（i為虛數(shù)單位），|z|=l,則。=（）

1-1

A.1B.拒C.6D.2

【答案】B

【分析】

由已知復(fù)數(shù)等式有Z=^D,根據(jù)復(fù)數(shù)的模，列方程求參數(shù)。即可.

【詳解】

,aa(l+i)a(]+i)

由2=^；~~~-=---,又|Z|=1,

1-z(1—z)(l+z)2

2

—=1,而。＞0,可得a=y/2.

2

故選：B

8.（2021?浙江）記復(fù)數(shù)z,N在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1,乙，其中|OZ1=1,若鬲繞順時針。點(diǎn)旋

轉(zhuǎn)60。后能與國重合，則彳=（）

R61c.L烏D，烏

Ai

22222222

【答案】B

【分析】

i3l.z=a+bi,z=a-bh可得點(diǎn)4，Z?關(guān)于x軸對稱，根據(jù)題意即可計算。也

【詳解】

設(shè)z=a+/〃'，z=a—bi，所以點(diǎn)Z1,Z?關(guān)于x軸對稱,

???西繞順時針O點(diǎn)旋轉(zhuǎn)60。后能與OZ[重合，

6r=cos30c=—?b=sin30=,^z=—+-i,

2222

,-731.

..z=------1.

22

故選：B.

i為虛數(shù)單位，則」一+—匚=

9.（2021.浙江杭州高級中學(xué)高三其他模擬）已知復(fù)數(shù)z=l+2i,)

z-lz+l

A.3」43.

B.D.—+—1

5555c—T45

【答案】A

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法計算可得;

【詳解】

解：因?yàn)閦=l+2i,所以」+一：=11

+-------=----+

z—lZ+21+2Z-J1+2/+Z1+z1+3/

1-/1-3;

=-------------------1----------------------

(l+i)(lT)(1+30(1-30

1-zl-3z34.

=-------1---------=---------1

21055

故選：A

10.（2021?南昌市八一中學(xué)高二期末（文））復(fù)數(shù)Z=*（i是虛數(shù)單位），則z的共輾復(fù)數(shù)彳=（

)

1+2/

A.-1B.-iC.D.i

【答案】B

【分析】

首先化簡復(fù)數(shù)Z,再求Z的共加復(fù)數(shù).

【詳解】

-2+i(-2+/)(1-2,)=5」

z=

1+2/(l+2z)(l-2z)5;

所以彳=T.

故選：B

（理））若復(fù)數(shù)2=爐

11.（2021?江西南昌十中（i是虛數(shù)單位）為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)。的值為（)

A.-2B.2C.D

2-I

【答案】D

【分析】

首先根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)部為零，即可得到方程,解得即

可;

【詳解】

a+i++2"l+（〃+2）i2a-\a+2a+i

解：z=『=―L=^+k，，因?yàn)閺?fù)數(shù)z=fN（i是虛數(shù)單位）為純虛數(shù),

2-iA（2-】）（"2+.，）=------5552-i

所以qi=o,解得

故選：D

12.（2021.全國高三專題練習(xí)（理））若復(fù)數(shù)z滿足z（2+i）=7+z?的共麗復(fù)數(shù)三在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

【答案】A

【分析】

由z（2+i）=7+i求得z=今，利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則：分子、分母同乘以分母的共物復(fù)數(shù)，化簡復(fù)數(shù)z,

由共視復(fù)數(shù)的定義可得結(jié)果