正態(tài)分布習題與詳解(非常有用-必考點)

1.若x～N(0,1),求(l)P(-2.32<x<1.2)；(2)P(x>2).解：(1)P(-2.32<x<1.2)=F(1.2)-F(-2.32)=F(1.2)-[1-F(2.32)]=0.8849-(1-0.9898)=0.8747.(2)P(x>2)=1-P(x<2)=1-F(2)=l-0.9772=0.0228.2利用標準正態(tài)分布表，求標準正態(tài)總體(1)在N(1,4)下，求（2）在N（μ，σ2）下，求Ｆ（μ－σ，μ＋σ）；解：（１）＝＝Φ（1）＝0.8413（２）Ｆ（μ＋σ）＝＝Φ（1）＝0.8413Ｆ（μ－σ）＝＝Φ（－1）＝１－Φ（1）＝１－0.8413＝0.1587Ｆ（μ－σ，μ＋σ）＝Ｆ（μ＋σ）－Ｆ（μ－σ）＝0.8413－0.1587＝0.68263某正態(tài)總體函數的概率密度函數是偶函數，而且該函數的最大值為，求總體落入區(qū)間（－1.2，0.2）之間的概率[Φ（0.2）=0.5793,Φ（1.2）=0.8848]解：正態(tài)分布的概率密度函數是，它是偶函數，說明μ＝0，的最大值為＝，所以σ＝1，這個正態(tài)分布就是標準正態(tài)分布4.某縣農民年平均收入服從=500元，=200元的正態(tài)分布（1）求此縣農民年平均收入在500520元間人數的百分比；（2）如果要使此縣農民年平均收入在（）內的概率不少于0.95，則至少有多大？[Φ（0.1）=0.5398,Φ（1.96）=0.975]解：設表示此縣農民年平均收入，則（2）∵，查表知：1設隨機變量(3,1),若,,則P(2<X<4)=(A)(B)l—p C．l-2p D．【答案】C因為,所以P(2<X<4)=,選 C．2．(2010·新課標全國理)某種種子每粒發(fā)芽的概率都為0.9，現播種了1000粒，對于沒有發(fā)芽的種子，每粒需再補種2粒，補種的種子數記為X，則X的數學期望為()A．100B．200C．300D．400[答案][解析]記“不發(fā)芽的種子數為ξ”，則ξ～B(1000，0.1)，所以E(ξ)＝1000×0.1＝100，而X＝2ξ，故E(X)＝E(2ξ)＝2E(ξ)＝200，故選B.3．設隨機變量ξ的分布列如下：ξ－101Pabc其中a，b，c成等差數列，若E(ξ)＝eq\f(1,3)，則D(ξ)＝()A.eq\f(4,9)B．－eq\f(1,9)C.eq\f(2,3)D.eq\f(5,9)[答案]D[解析]由條件a，b，c成等差數列知，2b＝a＋c，由分布列的性質知a＋b＋c＝1，又E(ξ)＝－a＋c＝eq\f(1,3)，解得a＝eq\f(1,6)，b＝eq\f(1,3)，c＝eq\f(1,2)，∴D(ξ)＝eq\f(1,6)×eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1－\f(1,3)))2＋eq\f(1,3)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0－\f(1,3)))2＋eq\f(1,2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,3)))2＝eq\f(5,9).4．(2010·上海松江區(qū)?？?設口袋中有黑球、白球共7個，從中任取2個球，已知取到白球個數的數學期望值為eq\f(6,7)，則口袋中白球的個數為()A．3B．4C．5D．2[答案]A[解析]設白球x個，則黑球7－x個，取出的2個球中所含白球個數為ξ，則ξ取值0,1,2，P(ξ＝0)＝eq\f(C7－x2,C72)＝eq\f(7－x6－x,42)，P(ξ＝1)＝eq\f(x·7－x,C72)＝eq\f(x7－x,21)，P(ξ＝2)＝eq\f(Cx2,C72)＝eq\f(xx－1,42)，∴0×eq\f(7－x6－x,42)＋1×eq\f(x7－x,21)＋2×eq\f(xx－1,42)＝eq\f(6,7)，∴x＝3.④已知隨機變量服從正態(tài)分布,則;其中真命題的序號是________(請把所有真命題的序號都填上).【答案】①③④①命題“”的否定是:“”;所以①正確.②若,則,即.所以,即,解得,則的最小值為4;所以②錯誤.③定義在R上的奇函數滿足,則,且,即函數的周期是4.所以;所以③正確.④已知隨機變量服從正態(tài)分布,則,所以;所以④正確,所以真命題的序號是①③④.7、在區(qū)間上任取兩數m和n,則關于x的方程有兩不相等實根的概率為___________.【答案】由題意知要使方程有兩不相等實根,則,即.作出對應的可行域,如圖直線,,當時,,所以,所以方程有兩不相等實根的概率為.8、下列命題:` (1);(2)不等式恒成立,則;(3)隨機變量X服從正態(tài)分布N(1,2),則(4)已知則.其中正確命題的序號為____________.【答案】(2)(3)(1),所以(1)錯誤.(2)不等式的最小值為4,所以要使不等式成立,則,所以(2)正確.(3)正確.(4),所以(4)錯誤,所以正確的為(2)(3).2已知某籃球運動員2012年度參加了40場比賽,現從中抽取5場,用莖葉圖統計該運動員5場中的得分如圖所示,則該樣本的方差為 （）A．26 B．25 C．23 D．【答案】D樣本的平均數為23,所以樣本方差為,選 D．3有一個容量為的樣本,其頻率分布直方圖如圖所示,據圖估計,樣本數據在內的頻數為 （）A． B． C． D．【答案】C樣本數據在之外的頻率為,所以樣本數據在內的頻率為,所以樣本數據在的頻數為,選 C．4．（2013年臨沂市高三教學質量檢測考試理科數學）如圖所示,在邊長為l的正方形OABC中任取一點P,則點P恰好取自陰影部分的概率為 （）A． B． C． D．【答案】【答案】B根據積分的應用可知所求陰影部分的面