有限元分析基礎(chǔ)

.PAGE.第一講第一章有限元的基本根念BasicConceptsoftheFiniteElementMethod1.1引言(introduction)有限元(FEM或FEA)是一種獲取近似邊值問題的計(jì)算方法。邊值問題(boundaryvalueproblems,場(chǎng)問題fieldproblem)是一種數(shù)學(xué)問題(mathematicalproblems)(在所研究的區(qū)域，一些相關(guān)變量滿足微分方程如物理方程、位移協(xié)調(diào)方程等且滿足特定的區(qū)域邊界)。邊值問題也稱為場(chǎng)問題，場(chǎng)是指我們研究的區(qū)域，并代表一種物理模型。場(chǎng)變量是滿足微分方程的相關(guān)變量，邊界條件代表場(chǎng)變量在場(chǎng)邊界上特定的值(物理邊界轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)邊界)。根據(jù)所分析物理問題的不同，場(chǎng)變量包括位移、溫度、熱量等。1.2有限元法的基本思路(howdoesthefiniteelementmethodswork)有限元法的基本思路可以歸結(jié)為：將連續(xù)系統(tǒng)分割成有限個(gè)分區(qū)或單元，對(duì)每個(gè)單元提出一個(gè)近似解，再將所有單元按標(biāo)準(zhǔn)方法組合成一個(gè)與原有系統(tǒng)近似的系統(tǒng)。下面用在自重作用下的等截面直桿來說明有限元法的思路。等截面直桿在自重作用下的材料力學(xué)解答 圖1.1受自重作用的等截面直桿 圖1.2離散后的直桿受自重作用的等截面直桿如圖所示，桿的長(zhǎng)度為L(zhǎng)，截面積為A，彈性模量為E，單位長(zhǎng)度的重量為q，桿的內(nèi)力為N。試求：桿的位移分布，桿的應(yīng)變和應(yīng)力。 (1)等截面直桿在自重作用下的有限元法解答離散化如圖1.2所示，將直桿劃分成n個(gè)有限段，有限段之間通過一個(gè)鉸接點(diǎn)連接。稱兩段之間的連接點(diǎn)為結(jié)點(diǎn)，稱每個(gè)有限段為單元。第i個(gè)單元的長(zhǎng)度為L(zhǎng)i，包含第i，i+1個(gè)結(jié)點(diǎn)。用單元節(jié)點(diǎn)位移表示單元內(nèi)部位移第i個(gè)單元中的位移用所包含的結(jié)點(diǎn)位移來表示， (2)其中為第i結(jié)點(diǎn)的位移，為第i結(jié)點(diǎn)的坐標(biāo)。第i個(gè)單元的應(yīng)變?yōu)?，?yīng)力為，內(nèi)力為： (3) (4) (5)把外載荷集中到節(jié)點(diǎn)上把第i單元和第i+1單元重量的一半，集中到第i+1結(jié)點(diǎn)上。圖1.3集中單元重量建立結(jié)點(diǎn)的力平衡方程對(duì)于第i+1結(jié)點(diǎn)，由力的平衡方程可得： (6)令，并將(5)代入得： (7) 根據(jù)約束條件，。 對(duì)于第n+1個(gè)結(jié)點(diǎn)， (1-11)建立所有結(jié)點(diǎn)的力平衡方程，可以得到由n+1個(gè)方程構(gòu)成的方程組，可解出n+1個(gè)未知的接點(diǎn)位移。1.2.1有限元解與解析解的比較(圖1.4用有限單元代表實(shí)際的物理區(qū)域過程稱為網(wǎng)格化分過程，所劃分的網(wǎng)格稱為有限元網(wǎng)格。在通常情況下，單元的幾何形狀是直邊的，因此假如所模擬的物理模型包含曲邊，用有限元網(wǎng)格包括整個(gè)物理模型是不可能，具體如圖1.4所示，圖1.4(a)劃分的網(wǎng)絡(luò)比較粗，圖1.4(b)劃分的網(wǎng)絡(luò)相對(duì)比較精細(xì)，其包含更多物理模型區(qū)域假如插入函數(shù)滿足特定的數(shù)學(xué)條件(邊值問題)，隨著單元數(shù)目的增加，有限單元解將收斂于解析解。為了說明這個(gè)問題，我們舉一個(gè)例子來說明：圖1.5圖1.5(a)描述錐形、實(shí)圓柱體，一端固定，另一端承受一拉力，假定在施加力的端部的位移是我們求解的問題。(1)圖1.5(b)所示，假定圓柱體是均一，截面面積為圓柱體的平均面積，因此模型簡(jiǎn)化為一維的桿單元模型，其解可以通過材料力學(xué)求出。(2)圖1.5(c)所示，為兩個(gè)單元的模型，單元長(zhǎng)度為整個(gè)圓柱體長(zhǎng)度的一半，單元面積為相應(yīng)1/2圓柱體面積的平均值。(3)圖1.5(c)所示，為四個(gè)單元的模型。圖1.6有限元模型與解析解的比較圖1.6(a)為各種有限元模型與解析解的比較，從圖中我們可以知道，隨著劃分單元數(shù)目的增加，有限元解逐漸向解析解收斂。圖1.6(b)為四單元模型與解析解的位移沿圓柱體長(zhǎng)度變化情況，從圖中我們知道,在限元模型中單元內(nèi)部位移變化是線性的(這是由于插入函數(shù)是線性的)，且位移向解析解近似逼近。然而在大多數(shù)結(jié)構(gòu)問題，我們關(guān)注的是由加載引起應(yīng)力的變化，而應(yīng)力是通過應(yīng)力-應(yīng)變相關(guān)關(guān)系計(jì)算出來的，應(yīng)變分量由位移分量推導(dǎo)出來的。因此，應(yīng)力和應(yīng)變均是派生變量圖1.7有限元模型與真實(shí)軸向應(yīng)力解的比較如圖1.7為有限元為2、4單元模型與真實(shí)軸向應(yīng)力解，從圖中可知，在每個(gè)單元內(nèi)應(yīng)力是常數(shù)，在單元之間應(yīng)力非連續(xù)的(discontinuity)，并且隨著單元數(shù)的增加，單元之間的應(yīng)力變化逐漸減少。這一現(xiàn)象是有限元法特有現(xiàn)象，即場(chǎng)變量是連續(xù)的，而派生的場(chǎng)變量卻未必是連續(xù)的。這個(gè)例子表明隨著單元數(shù)目的增加，有限元解如何收斂于真實(shí)解，但問題是對(duì)復(fù)雜問題真實(shí)解是未知，因此如何評(píng)價(jià)有限元解是否收斂于準(zhǔn)確解？(1)數(shù)值收斂；(2)數(shù)值解的合理性；(3)是否滿足物理法則如結(jié)構(gòu)是否處地平衡狀態(tài)；(4)在單元邊界上的派生變量的值的非連續(xù)性是否合理。1.2.2有限差分法是另一種求解由微分方程控制的問題的數(shù)值方法。詳細(xì)的介紹將在第八章進(jìn)行介紹。在這里，為了與有限單元法比較，僅僅介紹一些基本概念。有限差分法基于函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的定義：(1.1)是獨(dú)立變量。使用較小，有限步長(zhǎng)得：(1.2)假如有一微分方程：(1.3)使用差分法式(1.3)表示為：(1.4)式(1.4)改寫為：(1.5)由差分原理知，一階差分方程的解包含一積分常數(shù)，積分常數(shù)由邊界值或初始值確定。在這個(gè)例子中，認(rèn)為。假如選擇一積分步長(zhǎng)，為一常數(shù)(不要求必須為常數(shù))，因此，(1.6)為整個(gè)域上的步數(shù)。式(1.6)可改寫成：(1.7)式1.7為遞歸關(guān)系(recurrencerelation)，提供函數(shù)求解域上一些離散點(diǎn)的近似值。圖1.8有限差分解與解析解的比較(式1.4，)圖1.8，描述了解析解和步長(zhǎng)為有限差分解的關(guān)系。有限差分解僅僅以函數(shù)估值的離散點(diǎn)形式表示。在限差分方法中在計(jì)算點(diǎn)之間變化方式是不知道的。當(dāng)然，可以在積分點(diǎn)線性插入一些近似值，以達(dá)到對(duì)真實(shí)曲線的逼近，但投入插值函數(shù)是事先不知道的。比較有限差分法與有限元法知：①有限元法在整個(gè)物理模型區(qū)域求解，基于插值函數(shù)，場(chǎng)變量在求解域的變化是作為求解過程一部分，而在有限差分法中，場(chǎng)變量?jī)H僅在離散點(diǎn)處求解②在有限單元法中，派生變量可以求解，而在在有限差分法中僅僅場(chǎng)變量本身可以求解，例如在結(jié)構(gòu)分析中，兩種方法均提供位移解，但在有限單元法采用數(shù)學(xué)方法可以直接對(duì)應(yīng)變分量(straincomponents)求解，而差分法中把應(yīng)變作為場(chǎng)變量重新求解③有限差分中的積分點(diǎn)與有限元法的節(jié)點(diǎn)相類似,所關(guān)注變量在該點(diǎn)處進(jìn)行計(jì)算④在有限差分中，隨著積分步長(zhǎng)的減小如有限分單元中隨著網(wǎng)格的加密一樣，數(shù)值解向準(zhǔn)解解收斂，精細(xì)化過程代表數(shù)學(xué)模型從有限向無窮小縮減，求解過程均將微分方程轉(zhuǎn)化為代數(shù)方程求解。1.3有限元法的一般計(jì)算步驟(Ageneralprocedureforfiniteelementanalysis)無論在結(jié)構(gòu)分析、熱分析、還是在流體分析過程中，其一般的計(jì)算步驟基本相同，這些步驟體現(xiàn)在計(jì)算軟件包中包括：1.3.1前處理(preprocesssing)(1)定義求解問題的幾何形狀；(2)定義單元類型；(3)定義單元的材料屬性；(4)定義單元幾何屬性，如長(zhǎng)度、面積、慣性矩等；(5)劃分網(wǎng)格(6)定義物理約束(邊界條件)；(7)定義荷載。1.3.2求解(solutions在求解階段，有限元程序以矩陣的形式組裝控制代數(shù)方程，計(jì)算場(chǎng)變量的值，然后再計(jì)算派生變量如應(yīng)變、應(yīng)力、節(jié)點(diǎn)反力、熱流通量等。1.3.3后處理(postprocessing)分析計(jì)算結(jié)果稱為后處理，一般的有限元計(jì)算程序包括如下過程：(1)按大小排列單元應(yīng)力；(2)檢查平衡；(3)計(jì)算安全系數(shù)；(4)繪制結(jié)構(gòu)的變形形狀；(5)以動(dòng)畫的形式描述研究模型的變化(6)繪制應(yīng)力、變形、應(yīng)變?cè)茍D。1.4有限元法的進(jìn)展與應(yīng)用有限元法不僅能應(yīng)用于結(jié)構(gòu)分析，還能解決歸結(jié)為場(chǎng)問題的工程問題，從二十世紀(jì)六十年代中期以來，有限元法得到了巨大的發(fā)展，為工程設(shè)計(jì)和優(yōu)化提供了有力的工具。1.4.1算法與有限元軟件從二十世紀(jì)60年代中期以來，進(jìn)行了大量的理論研究，不但拓展了有限元法的應(yīng)用領(lǐng)域，還開發(fā)了許多通用或?qū)Ｓ玫挠邢拊治鲕浖＠碚撗芯康囊粋€(gè)重要領(lǐng)域是計(jì)算方法的研究，主要有：大型線性方程組的解法、非線性問題的解法、動(dòng)力問題計(jì)算方法。目前應(yīng)用較多的通用有限元軟件如下表所列：軟件名稱簡(jiǎn)介MSC/Nastran著名結(jié)構(gòu)分析程序，最初由NASA研制MSC/Dytran動(dòng)力學(xué)分析程序MSC/Marc非線性分析軟件ANSYS通用結(jié)構(gòu)分析軟件ADINA非線性分析軟件ABAQUS非線性分析軟件另外還有許多針對(duì)某類問題的專用有限元軟件，例如金屬成形分析軟件Deform、Autoform，焊接與熱處理分析軟件SysWeld等。1.4.2應(yīng)用實(shí)例有限元法已經(jīng)成功地應(yīng)用在以下一些領(lǐng)域：固體力學(xué)，包括強(qiáng)度、穩(wěn)定性、震動(dòng)和瞬態(tài)問題的分析；傳熱學(xué)；電磁場(chǎng)；流體力學(xué)。(1)轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析(劉道勇，東風(fēng)汽車工程研究院動(dòng)，用MSC/Nastran完成)圖1.7轉(zhuǎn)向機(jī)構(gòu)支架的強(qiáng)度分析(2)金屬成形過程的分析(用Deform軟件完成)分析金屬成形過程中的各種缺陷。圖1.8型材擠壓成形的分析(型材在擠壓成形的初期，容易產(chǎn)生形狀扭曲)。圖1.9螺旋齒輪成形過程的分析圖1.10T形鍛件的成形分析(3)焊接殘余應(yīng)力分析(用Sysweld完成)圖1.1結(jié)構(gòu)與焊縫布置圖1.12焊接過程的溫度分布與軸向殘余應(yīng)力第二、三講第二章剛度矩陣，彈簧和桿單元StiffnessMatrices,SpringandBarElements2.1引言(introduction)有限元主要特性體現(xiàn)在單元的剛度矩陣。如對(duì)于結(jié)構(gòu)有限元分析中，剛度矩陣包含幾何和材料信息，這些信息表明結(jié)構(gòu)抵抗外部荷載的變形能力如軸向、剪切、扭轉(zhuǎn)變形。在非結(jié)構(gòu)分析中，如流體和熱傳導(dǎo)，當(dāng)受外部作用時(shí)，剛度矩陣代表單元抵抗變化的能力。在本章中，主要介紹兩個(gè)相對(duì)簡(jiǎn)單、一維結(jié)構(gòu)單元(線彈性彈簧單元和彈性壓縮-張拉桿單元)的特性。它們作為基本單元進(jìn)行介紹，是由于它們是靜力學(xué)和材料力學(xué)經(jīng)常研究的對(duì)象，而不會(huì)使學(xué)生對(duì)有限單元法感到陌生，而是通過工程定理介紹有限元。同時(shí)利用這兩種單元介紹一下插入函數(shù)的概念。根據(jù)分析對(duì)象的不同，有限單元法根植于不同數(shù)學(xué)物理法則。，首先針對(duì)簡(jiǎn)單的彈簧和桿系統(tǒng)，利用靜力平衡建立有限元模型，然后針對(duì)比較復(fù)雜結(jié)構(gòu)，我們采用卡式定理和最小勢(shì)能定理建立有限元模型。2.2線彈簧單元(linearspringasafiniteelement)線性彈簧是一種只能承受軸向加載，在量程范圍內(nèi)，軸向伸長(zhǎng)和收縮正比于所受的軸向荷載。荷載與變形的比例常數(shù)為彈簧的剛度(單位：forceperunitlength)圖2.1線彈簧單元如圖2.1所示，為描述的方便把沿彈簧長(zhǎng)度的方向作為單元坐標(biāo)系(局部坐標(biāo)系，與這相對(duì)應(yīng)的整體坐標(biāo)系，在一維空間，整體坐標(biāo)系與局部坐標(biāo)系重合)的軸，、、、為作用在單元節(jié)點(diǎn)1和2的位移和力，因此單元發(fā)生的變形為：(2.1)因此彈簧單元承受力為：(2.2)考慮到平衡條件，(2.2)式改寫為(2.3)寫成矩陣形式(matrixform)(2.4)(2.5)其中：(2.6)式2.6表明①線彈簧單元的剛度矩陣是2×2，單元有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)位移(自由度)且這兩個(gè)位移不是相互獨(dú)立的(物體是連續(xù)的且是彈性的)；②矩陣是對(duì)稱的，這一特性表明物體是線彈性且節(jié)點(diǎn)位移相互關(guān)系是對(duì)等，如節(jié)點(diǎn)1固定，節(jié)2上施加一軸向力F，產(chǎn)生的相對(duì)位多與節(jié)點(diǎn)2固定，節(jié)1上施加一軸向力F產(chǎn)生的位移是相等；③當(dāng)一個(gè)單元有N個(gè)自由度時(shí)，其對(duì)應(yīng)的剛度是N×N。一般情況，節(jié)點(diǎn)是已知，需要求解的是節(jié)點(diǎn)位移，式(2.4)可改寫成：(2.7)但是剛度矩陣是對(duì)稱，是奇異矩陣，其物理是：當(dāng)一個(gè)單元沒有受到任何位移約束量，產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)(從圖(2.1a)知，在節(jié)點(diǎn)處沒有任何位移約束(彈簧沒有與任何物體相連)，因此要求解節(jié)點(diǎn)的位移是不可能，僅僅兩個(gè)節(jié)點(diǎn)相對(duì)位移(代表彈簧的伸長(zhǎng)或縮短)求解出。在第六章插入函數(shù)和第八章動(dòng)力學(xué)中我們知道，單元的場(chǎng)變量必須是一常數(shù)。根據(jù)牛頓第二定理，當(dāng)一個(gè)單元沒有受到約束時(shí)，不僅產(chǎn)生變形而且要產(chǎn)生加速運(yùn)動(dòng))2.2.1總剛度矩陣的組裝(systemassemblyinGlobalcoordinates)單元?jiǎng)偠染仃嚨耐茖?dǎo)是基于力學(xué)平衡建立，因此在單元?jiǎng)偠染仃囆纬煽倓偠染仃囈部梢曰诹W(xué)平衡建立。然而我們并不通過畫受力圖，來建立系統(tǒng)的平衡方程，可以首先假定僅有單獨(dú)的單元存在，然后再根據(jù)單元節(jié)點(diǎn)力的分擔(dān)情況，將單元節(jié)點(diǎn)力加到整個(gè)系統(tǒng)的節(jié)點(diǎn)方程中。我們把這一過程稱這為組裝(單剛合成總剛的過程)，為了說明這一過程，我們用一簡(jiǎn)單的例子來說明。圖2.2由兩個(gè)彈簧組成的系統(tǒng)圖2.3各單元和節(jié)點(diǎn)的受力圖如圖2.2，彈簧1和2剛度值為和，節(jié)點(diǎn)號(hào)為1、2、3，彈簧1和2共用一個(gè)節(jié)點(diǎn)2，在整體坐標(biāo)系下單元節(jié)點(diǎn)1、2、3的位移為、、，節(jié)點(diǎn)力為、、。假定兩個(gè)單元處于平衡狀態(tài)，根據(jù)受力圖(2.3a)和(2.3b)，利用式2.4可建立單元的平衡方程：(2.8)根據(jù)位移相容條件(2.9)將式(2.9)代入式(2.8)，可得(2.10)將式(2.10)擴(kuò)展成3×3矩陣形式(2.11)(2.12)將式(2.11)和式(2.12)相加(2.13)由受力圖2.3(c)、2.3(d)、2.3(e)，可得(2.14)將(2.14)代入(2.13)，可得(2.15)(2.16)例1如圖2.2，節(jié)點(diǎn)1固定，其位移，,,，求和將具體的數(shù)值代入(2.15)式，得例2由三個(gè)彈簧組成的系統(tǒng)，每個(gè)彈簧下面掛一個(gè)重為W的物體，將彈簧作為有限單元，求各個(gè)重物的位移。圖2.4將整個(gè)系統(tǒng)作為一個(gè)有限單元問題，按圖2.4(a)，對(duì)各單元和節(jié)點(diǎn)標(biāo)上編號(hào)，由頂端固定，因此，由2.4式知每個(gè)單元的剛度矩陣：考慮單元位移和整體位移的關(guān)系：寫出各個(gè)單元的平衡方程得：將以上公式相加得，因此整個(gè)有限單元系統(tǒng)求解過程，可歸納如下：形成單元?jiǎng)偠染仃?；寫出單元?jié)點(diǎn)位移與整體位移關(guān)系；以矩陣的形式組裝整體平衡方程；根據(jù)約束條件，縮減矩陣方程；求解未知的位移；反代入整體平衡方程求解出反力。例3如圖2.5所示，由三個(gè)彈簧組成的平衡系統(tǒng)，單元號(hào)和節(jié)點(diǎn)號(hào)已由圖標(biāo)出，其中節(jié)點(diǎn)1固定，節(jié)點(diǎn)3給定一初始位移，，，求各個(gè)節(jié)點(diǎn)處的位移和在節(jié)點(diǎn)3的反力。圖2.5三彈簧組成的平衡系統(tǒng)由邊界條件知：2.3桿單元(elasticbar,spar/link/trusselement)線彈簧單元在有限單元法中使用是十分有限，前面我介紹線彈簧單元僅僅是為了引作剛度矩陣的概念。當(dāng)然，彈簧在大多數(shù)情況在機(jī)械工程中使用，同時(shí)在復(fù)雜系統(tǒng)中，使作用線彈簧單元僅僅代表支撐結(jié)構(gòu)彈性本性。使用最多是桿單元，其只能承受軸向力。線性桿單元的建立基于如下假定：桿在幾何形態(tài)上是直的；材料遵循胡克定律；力只能在桿的端部施加；桿只能承受軸向力。最后的假定是非常嚴(yán)格的，但不符合實(shí)際，當(dāng)桿通過鉸或球座與其它結(jié)構(gòu)相連，這種情況才能滿足。1和4的假定，意味著單元是一維的，沿著桿上的任何點(diǎn)的位移可能通過單一變量來表述。圖2.6桿單元如圖2.6所示，一彈性桿，長(zhǎng)為，一單軸坐標(biāo)系(單元坐標(biāo)系)沿著桿長(zhǎng)方向，其原點(diǎn)在左端。為了表示沿桿長(zhǎng)上的任何節(jié)點(diǎn)處的軸向位移，我們定義在節(jié)點(diǎn)1和2上的位移：和。引入插入函數(shù)，沿桿長(zhǎng)上的任何節(jié)點(diǎn)處的軸向位移可以表述為：(2.17)必須要強(qiáng)調(diào)，雖然式(2.17)是等號(hào)，但兩者這間只是近似相等?？紤]到邊界條件：(2.18)因此可以得到如下關(guān)系(2.19)(2.20)插入函數(shù)只要能滿足邊界條件，任何表達(dá)式都允許的，其中最為簡(jiǎn)單形式是：(2.21)(2.22)由(2.19)和(2.20)得(2.23)(2.24)因此，位移函數(shù)方程可表示為(2.25)(2.25式)表示成矩陣的形式(2.26)根據(jù)材料力學(xué)原理，對(duì)于均一截面桿，當(dāng)一端部受到一軸向力時(shí)，其產(chǎn)生的位移為(2.27)因此，彈性桿的等效剛度常數(shù)可表示為(2.28)考慮到應(yīng)變與位移的關(guān)系(2.29)將(2.25)代入上式可得(2.30)這表明桿單元是常應(yīng)變單元，同時(shí)根據(jù)材料力學(xué)的原理：當(dāng)一單元，其截面為常數(shù)，當(dāng)在端點(diǎn)受到一軸向力是，其應(yīng)變?yōu)槌?shù)。根據(jù)胡克定律，其軸向應(yīng)力為：(2.31)因此，軸向力(2.32)因此，可以看出(2.32)將單元的節(jié)點(diǎn)力和節(jié)點(diǎn)位移聯(lián)系起來了，且假定式(2.32)為一正值，節(jié)點(diǎn)力為正值，則為負(fù)值，可得到如下關(guān)系：(2.33)(2.34)式(2.33)和(2.34)寫成矩陣形式(2.35)因此桿單元的剛度矩陣為(2.36)例1.4如圖2.7所示，一錐形桿，上端固定，下端受到一拉力，面積，，請(qǐng)計(jì)算桿端的位移，(a)用一個(gè)單元，單元的面積等于桿1/2部位的面積；(b)用兩個(gè)單元，面積分別等于1/2、3/4部位的面積；(c)采用積分法計(jì)算精確解。圖2.7單一單元橫截面，單元的剛度常數(shù)，因此單元的平衡方程兩個(gè)單元對(duì)單元1：對(duì)單元2：由于在節(jié)點(diǎn)2上沒有外力施加，且由邊界條件，其平衡方程為：精解解由圖2.7d(任意處與之間的受力圖)，由平衡條件知因此軸向應(yīng)變因此，在處的位移為：2.4應(yīng)變能，卡式第一定理(stainenergy,castiglianno’sfirsttheorem)當(dāng)外力施加到物體上時(shí)，機(jī)械能將會(huì)轉(zhuǎn)變?yōu)閯?dòng)能與勢(shì)能。當(dāng)一彈性體受到約束不能運(yùn)動(dòng)時(shí)，則所做的功以應(yīng)變能的形式存蓄，這里所指和功。從基本的靜力學(xué)原理知道，力沿著路徑從位置1到位置2做的功為(2.37)其中(2.38)是沿著運(yùn)動(dòng)路徑方向的微分向量。在笛卡爾坐標(biāo)系下，所做功可表示為：圖2.8力與偏移的關(guān)系（對(duì)于線彈簧）(2.39)圖2.8力與偏移的關(guān)系（對(duì)于線彈簧）其中、、為在在笛卡爾坐標(biāo)系下的力的分量對(duì)于線彈性變形，撓度正比與所施加的力，具體如圖2.8所示。力與撓度的斜率為彈性常數(shù)。則彈簧任意伸長(zhǎng)，所做的功為：(2.40)從中我們可以看出，力和彈性應(yīng)變能是位移的平方。利用(2.28)式，對(duì)于軸向加載的彈性應(yīng)變能，其式為：(2.41)寫成一般的形式，其式可表示為：(2.42)其中：為變形體的體積，為單元體積應(yīng)變能(應(yīng)變能密度)。式(2.42)為最后的應(yīng)力和應(yīng)變值。表示從開始施加至最后，應(yīng)力與應(yīng)變?yōu)榫€性關(guān)系。應(yīng)變能密度寫成一般的形式為：(2.43)下面我們卡式定理利用功和應(yīng)變能的關(guān)系獲取桿單元的控制方程?？ㄊ蕉ɡ恚簩?duì)于一彈性平衡體系，應(yīng)變能對(duì)某一點(diǎn)撓度的部分微分等于在該點(diǎn)撓度方程所施加的力。(2.44)其中，為由于力施加在該點(diǎn)力作用線方程所產(chǎn)生的撓度。假如除了點(diǎn)，力的作用點(diǎn)均已固定，在點(diǎn)由于一微小力的增量產(chǎn)生的一微小撓度增量，而導(dǎo)致應(yīng)變能的改變量(2.45)在微小量變化過程中，原來的力認(rèn)為常數(shù)。式(2.45)涉及到一微小量的乘積，因此可能忽略。(2.46)當(dāng)時(shí)，上式可寫成(2.47)卡式第一定理對(duì)于有限元公式推導(dǎo)是一強(qiáng)有力的工具?，F(xiàn)以桿單元來說明，聯(lián)合(2.30)、(2.31、(2.43)(2.48)(2.49)(2.50)例2.5，一實(shí)體圓軸，半徑為，直徑為，一端固定，另一端受到一扭矩，如圖2.9所示，根據(jù)在扭轉(zhuǎn)角，推導(dǎo)出應(yīng)變能表達(dá)式，并且利用卡式第一定量給出施加扭矩的表達(dá)式。根據(jù)材料力學(xué)的原理，橫截面上剪切應(yīng)力為為離單元徑向軸的距離，截面的極慣性距。對(duì)彈性階段為剪切模量，應(yīng)變能可表示為，極慣性距的定義根據(jù)材料力學(xué)原理，在單元端點(diǎn)處的扭轉(zhuǎn)角可表示為因此應(yīng)變能可寫成：利用卡式定理例2.6如圖2.10(a)利用卡式定理計(jì)算系統(tǒng)的剛度矩陣，在節(jié)點(diǎn)2和3豎向單元是剛性的(b)求節(jié)點(diǎn)1處位移和反力，參數(shù)如下圖2.10四單元彈簧系統(tǒng)利用節(jié)點(diǎn)的位移和單元的剛度，系統(tǒng)的應(yīng)變能可表示為利用卡式定理寫成矩陣的形式將具體的值代入可得2.4最小勢(shì)能(minimumpotentialenergy)卡式第一定理僅僅是最小勢(shì)能的普遍原理一種直觀表達(dá)形式?，F(xiàn)在我們僅指出這個(gè)原理，而不加以證明僅僅是希望讀者將結(jié)果與卡式第一定理的結(jié)果進(jìn)行比較最小勢(shì)能原理的普遍原理:當(dāng)受到的外力，在所有幾何可能的位移中，滿足平衡狀態(tài)的位移使總勢(shì)能最小?？倓?shì)能包括存蓄在物體中的應(yīng)變能和由于外力產(chǎn)生的勢(shì)能，作為使用的習(xí)慣，我們用總勢(shì)能，它包括兩部分，應(yīng)變能和與外力相關(guān)的，具體表示如下(2.51)在本課程中，我們平衡系統(tǒng)僅僅針對(duì)守恒力。守恒力指其所做的功與運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)，并且可恢復(fù)的。通常我們所說的非守恒力指的是摩擦力，其方程與運(yùn)動(dòng)的方程相反，所做的功是負(fù)，導(dǎo)致能量的損失，損失的能量在物理上稱這為熱。另一方面，由守恒力所做的機(jī)械能是可逆的，因此假如力釋放這后，其變形可恢復(fù)，由守恒力所做的機(jī)械能認(rèn)為是勢(shì)能的損失，即：(2.52)總勢(shì)能可表示為(2.53)總勢(shì)能最小是一變分問題。在這里我們不采用變分法進(jìn)行求解，而是采用微積分學(xué)中多個(gè)變量函數(shù)最小原理進(jìn)行求解。假如總勢(shì)能是個(gè)位移的函數(shù)形式，具體形式如下：(2.54)要使勢(shì)能最小，其必須滿足下式：(2.55)例2.7使用最小勢(shì)能原理計(jì)算例2.6我們重新檢查一下式(2.7)，可以推導(dǎo)一種更一般形式，假定位移和剛度如下：(2.56)施行如下矩陣的三重積運(yùn)算，可得：(2.57)假如我們將式(2.57)展開，將會(huì)發(fā)現(xiàn)與例2.7完全一致。式(2.57)為線任何彈性系統(tǒng)的應(yīng)變能的一般表達(dá)式。第四、五講第三章桁架結(jié)構(gòu)：直接剛度法Trussstructures:thedirectstiffnessmethod3.1引言(introduction)在第二章我們計(jì)論了線單元，對(duì)節(jié)點(diǎn)、節(jié)點(diǎn)位移、單元?jiǎng)偠染仃嚨雀拍钣辛艘欢ǖ牧私?。這一章我們將計(jì)論桁架結(jié)構(gòu)，該結(jié)構(gòu)要求單元在幾何形狀是直的，并且只能承受軸向力。滿足這些的要求的單元，我們稱這為桿單元，其通過鉸與其它相邊，因此單元可以繞鉸任意轉(zhuǎn)動(dòng)。雖然桿單元是一維的，但在分析二維和三維問題桁架結(jié)構(gòu)非常有效。圖3.1二維桁架單元考慮到整個(gè)結(jié)構(gòu)體系，為了方便表述結(jié)構(gòu)的位移，本章以整體坐標(biāo)系作為參考坐標(biāo)系。如圖3.1(a)所示懸臂桁架,我們選擇整體坐標(biāo)的軸平行于桁架結(jié)構(gòu)的幾何主軸，假如我們檢查圓鉸位置，會(huì)發(fā)現(xiàn)5個(gè)單元節(jié)點(diǎn)實(shí)際上與其它整體坐標(biāo)的節(jié)點(diǎn)相聯(lián)，有些單元的軸并不與整體坐標(biāo)系的平行。考慮到實(shí)際連接形態(tài)和單元幾何方程的變化，我們作如下規(guī)定：①單元節(jié)點(diǎn)位移必須與在整體坐標(biāo)系下相連節(jié)點(diǎn)位移一致；②為了在整體連續(xù)的參照系下表述結(jié)構(gòu)特性，每個(gè)單元的物理特性如剛度矩陣和單元力必須轉(zhuǎn)換到代表整體坐標(biāo)系下；③為了求解單元的軸力，在整體坐標(biāo)系(位移)的解必須變換到單元坐標(biāo)系下。一般來說，設(shè)計(jì)者更多地是關(guān)注的是每個(gè)桿單元應(yīng)力，并將它與材料特性相比，如屈服強(qiáng)度，以便對(duì)設(shè)計(jì)結(jié)構(gòu)作出改變。同時(shí)預(yù)測(cè)結(jié)構(gòu)的加載大小比結(jié)構(gòu)的位移顯得更容易由于聯(lián)結(jié)的幾何形態(tài)決定了單元位移與人與整體位移的關(guān)系以及單元?jiǎng)偠葘?duì)整體剛度的貢獻(xiàn)。在直接剛度法中，將單元?jiǎng)偠染仃噺膯卧鴺?biāo)系下變換到整體坐標(biāo)系下，同時(shí)根據(jù)單元的連接狀況(滿足在鉸和節(jié)點(diǎn)處位移的相容性)，將單元?jiǎng)偠染仃嚨母黜?xiàng)加入到整體剛度的對(duì)應(yīng)位置。3.2節(jié)點(diǎn)平衡方程(NODALEQUILIBRIUMS)為了描述單元屬性到整體坐標(biāo)下的轉(zhuǎn)換，我們考慮把桿單元作為桁架的結(jié)構(gòu)單元，通過一個(gè)簡(jiǎn)單的例子來加以說明。具體如圖3.2(代表節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下方向的位移，代表節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系下方向的位移，節(jié)點(diǎn)號(hào)，單元力的編號(hào)也與此相同)。圖3.2兩單元桁架結(jié)構(gòu)圖3.3單元和節(jié)點(diǎn)的受力圖為了建立平衡平衡方程，單元和節(jié)點(diǎn)的受力圖如圖3.3所示，對(duì)于節(jié)點(diǎn)1：(3.1)對(duì)于節(jié)點(diǎn)2：(3.2)對(duì)于節(jié)點(diǎn)3：(3.3)式(3.1)~(3.1)代表靜力平衡方程?？紤]到和為已知，因此6個(gè)方程包含8個(gè)未知數(shù)。同時(shí)，該結(jié)構(gòu)是靜定的，因此可以引入單元平衡方程(圖3.3d~3.3e)，求解出所有的變量。因此，通過公式變換，大多數(shù)問題都可以求解，但是節(jié)點(diǎn)位移是未知。同時(shí)如果變換成功，未知參數(shù)與節(jié)點(diǎn)平衡方程的個(gè)數(shù)是一致的，另外靜不定問題會(huì)自動(dòng)相容。根據(jù)材料力學(xué)的觀點(diǎn)，靜不定問題的解要求滿足一些位移關(guān)系，因此有限元公式應(yīng)該包含這類情形。圖3.4節(jié)點(diǎn)位移圖示同時(shí)為描述位移變換，假定任意位置的一桿單元(如圖3.4(a))，其結(jié)點(diǎn)為，當(dāng)受到外力作用時(shí)，節(jié)點(diǎn)發(fā)生2D位移(如圖3.4(a))，同時(shí)與其相連單元節(jié)點(diǎn)也發(fā)生相同的2D位移變化，這意味著單元不僅發(fā)生軸向位移，而且也發(fā)生轉(zhuǎn)動(dòng)。為了說明這一問題，我們用和表示，其方程與單元軸方程垂直。由于基于光滑鉸支座連接的假定，因此垂直位移與單元?jiǎng)偠葻o關(guān)。然而垂直位移必需存在，以致單元保持與鉸相連，從而單元位移與鉸位移相容。雖然單元經(jīng)歷轉(zhuǎn)動(dòng)，但為了計(jì)算的要求，我們認(rèn)為方向角與未變形時(shí)保持一致。這是基小變形的假定。為了建立在單元坐標(biāo)系下的節(jié)點(diǎn)位移與整體坐標(biāo)系的節(jié)點(diǎn)位移的關(guān)系，規(guī)定：代表節(jié)點(diǎn)1在整體坐標(biāo)系下向的位移；代表節(jié)點(diǎn)2在整體坐標(biāo)系下向的位移；代表節(jié)點(diǎn)3在整體坐標(biāo)系下向的位移；代表節(jié)點(diǎn)4在整體坐標(biāo)系下向的位移；考慮到節(jié)點(diǎn)位移在兩個(gè)坐標(biāo)系中的一致性，因此可得到如下關(guān)系(3.4)因此，軸向位移為(3.5)作用在單元上的軸向應(yīng)力(3.6)利用(3.6)，同時(shí)考慮，可得圖3.3中，單元1和2的軸向力為，(3.7)(3.8)將式(3.7)和(3.8)代入(3.1)~(3.3)，可得(3.9)(3.10)(3.11)(3.12)(3.13)(3.14)寫成矩陣的形式(3.15)簡(jiǎn)寫成(3.16)其中，為剛度矩陣，節(jié)點(diǎn)位移向量，節(jié)點(diǎn)力的向量。3.3單元變換(elementtransformation)在前一節(jié)直接利用平衡方程，建立在整體坐標(biāo)系下的有限單元平衡方程是非常麻煩的。通過建立在整體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)平衡方程，同時(shí)引入位移公式進(jìn)行求解，這一過程其隱含著將單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下。本節(jié)主要介紹如何將單元坐標(biāo)系下單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下。我們知道，桿單元在單元坐標(biāo)系平衡方程可表示為：(3.17)現(xiàn)在我們的目標(biāo)是將這些平衡方程轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下，其形式如下(3.18)式中：代表著在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃?；代表整體坐標(biāo)系下單元節(jié)點(diǎn)力；、代表平行整體坐標(biāo)軸方向的位移，、代表平行整體坐標(biāo)軸方向的位移。由公式(3.14)，可(3.19)(3.20)改寫成矩陣形式：(3.21)其中：(3.22)將(3.21)代入(3.17)，可得：(3.23)或(3.24)我們通過將位移作為未知變量，從單元位移模式變式到整體位移模式，然而方程仍以單元坐標(biāo)形式存在。(3.23)第一項(xiàng)代表節(jié)點(diǎn)1在單元坐標(biāo)系下的平衡方程。假如我們乘以，我們將獲得節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系方向的位移。同理，乘以，我們將獲得節(jié)點(diǎn)在整體坐標(biāo)系方向的位移。對(duì)節(jié)點(diǎn)2進(jìn)行同樣的操作。如果在(3.24)兩邊同乘以，我們將得到下式：(3.25)很明顯式(3.25)右邊的項(xiàng)代表著單元力在整體坐標(biāo)系下的分量(3.26)式(3.26)代表在整體坐標(biāo)系下節(jié)1和節(jié)2的平衡方程。比較3.26與3.18可知，在整體坐標(biāo)系下的剛度矩陣可表示為(3.27)引入標(biāo)記，同時(shí)進(jìn)行矩陣的乘法運(yùn)算，可得：(3.28)通過觀察表明，經(jīng)過轉(zhuǎn)換以后，單元?jiǎng)傊骶仃嚨膶?duì)稱性和奇異性沒有改變。3.3.1方向余弦(directioncosine)實(shí)際上，有限元模型首先在給定坐標(biāo)位置定義節(jié)點(diǎn)，然后以定義節(jié)點(diǎn)為基礎(chǔ)定義單元建立起來的。假定和在整體坐標(biāo)和處，因此單元的長(zhǎng)度可表示為(3.29)從節(jié)點(diǎn)到節(jié)點(diǎn)單位向量可表示為(3.30)其中，和代表著在整體坐標(biāo)下和單位失量。因此建立單元變換所需的三角函數(shù)值可定義為：(3.31)(3.32)3.4整體剛度矩陣的直接組裝(DIRECTASSEMBLYOFGLOBALSTIFFNESSMATRIX)前面我們介紹了如何將單元坐標(biāo)系下剛度矩陣變換到整體坐標(biāo)系下?，F(xiàn)在我們介紹一種直接將單剛組合成總剛，建立系統(tǒng)平衡方程的方法，并以圖(3.2)所示的簡(jiǎn)單的兩個(gè)單元系能文系統(tǒng)來說明。假如單元的幾何和材料屬性是已知，因此在整體坐標(biāo)系下的單元?jiǎng)偠染仃囉?3.28)可獲得，對(duì)于節(jié)點(diǎn)1：(3.33)對(duì)于節(jié)點(diǎn)2(3.34)剛度矩陣式(3.33)和(3.34)包含32項(xiàng)，它們組合在一起形成6×6矩陣，其共36項(xiàng)。為了將單個(gè)剛度矩陣組合成總剛矩陣，必須首先了解單個(gè)單元的位移與總體位移之間對(duì)應(yīng)關(guān)系，然后分配相聯(lián)系剛度矩陣項(xiàng)到整體剛度中相應(yīng)的位移。對(duì)于圖(3.2)中的單元1，單元位移對(duì)應(yīng)于整體的位移為：(3.35)相應(yīng)于單元2為：(3.36)對(duì)于單元1可對(duì)建立平衡方程：對(duì)于單元2，同理可得：將(3)和(5)相加，將考慮到節(jié)點(diǎn)的平衡方程(3.35)和(3.36)表明桁架的連接關(guān)系。例如式(3.35)表明單元1與整體位移和沒有聯(lián)系，因此沒有連接到節(jié)點(diǎn)2上，對(duì)影響其位移的剛度項(xiàng)沒有任何作用。這意味著單元1對(duì)總剛矩陣中的第三、第四行與列沒有影響。同理單元2對(duì)第一、第二行與列沒有影響。為了方便，我們以簡(jiǎn)單列表形式，建立單元位移與整體位移間的關(guān)系，具體如表(3.1)Table3.1節(jié)點(diǎn)位移對(duì)應(yīng)表整體位移單元1位移單元2位移110220301402533644按數(shù)字編號(hào)的順序，第一列列出了整個(gè)單元在整體坐標(biāo)下的位移，其余各列代表單元及包含與各行的整體位移相對(duì)應(yīng)的單元位移編號(hào)，“0”代表沒有聯(lián)系，對(duì)總剛沒有貢獻(xiàn)。因此通過表(3.1)，將單元?jiǎng)偠染仃嚨母黜?xiàng)分配到總剛相應(yīng)的位置，具體如下例3.1對(duì)于單元1，代入方程3.33，得對(duì)于單元2，組裝總剛矩陣：寫矩陣形式：前一節(jié)介紹的直接剛度法是直接但非常麻煩，效率也非常低。主要問題在于總剛矩陣的每一項(xiàng)按順序進(jìn)行計(jì)算，每一步每個(gè)單元都要考慮?，F(xiàn)在有一種方法非常有效率，且非常適合計(jì)算機(jī)程序進(jìn)行計(jì)算。在直接剛度法中，單元?jiǎng)偠染仃嚢错樞蚨家紤]到，并根據(jù)節(jié)點(diǎn)連接表，將單元?jiǎng)偠染仃嚨母黜?xiàng)加到整體坐標(biāo)中去。然而，單個(gè)單元?jiǎng)偠染仃嚰拥娇倓傄院?，就不需要考慮了。下面我們重寫式(3.33)和(3.34)，如下式：(3.37)(3.38)在每行的右邊和每列的上邊的數(shù)字代表著與單元?jiǎng)偠染仃囆信c列相相對(duì)應(yīng)的整體位移。因此我們可以將節(jié)點(diǎn)位移與單元?jiǎng)偠染仃嚶?lián)系起來。對(duì)于單元?jiǎng)偠染仃嚕恳豁?xiàng)標(biāo)上與總剛矩陣相聯(lián)系的行與列具體位置，因此可以直接加到對(duì)應(yīng)位置。例如式(3.38)的可以直接加到總剛上去。因此我們依次考慮每個(gè)單元，將單元?jiǎng)偠染仃嚨母黜?xiàng)加到總剛對(duì)應(yīng)的位置。我們寫式(3.37)和(3.38)形式，只是為了描述的方便。在單元?jiǎng)偠染仃嚿蠘?biāo)上與之相聯(lián)系的位移編號(hào)是很不實(shí)用的。一種改進(jìn)的計(jì)算機(jī)處理技術(shù)，我們將在下面介紹。對(duì)于采用桿單元模擬的2D桁架，下面將采用如下約定：①與單元相連的節(jié)點(diǎn)標(biāo)和②單元坐標(biāo)系的原點(diǎn)放在且單元的軸正指向從到的方程。③在單元節(jié)點(diǎn)上的整體位移按、、、形式進(jìn)行標(biāo)記。通過使用這約定，關(guān)于定義單元的連接性和總剛矩陣的信息就可以歸納到單元節(jié)點(diǎn)連接表中，該表按順序列出了單元號(hào)以及與單元相連的節(jié)點(diǎn)號(hào)。使用表(3.2)中的節(jié)點(diǎn)數(shù)據(jù)，我們定義一個(gè)1×4的單元位移定位向量，如(3.39)每一個(gè)值代表與單元?jiǎng)偠染仃囆信c列1、2、3、4相對(duì)應(yīng)的整體位移。對(duì)于圖3.2所示的單元，其單元位移定位向量為(3.40)(3.41)表3.2單元節(jié)點(diǎn)連通表單元節(jié)點(diǎn)ij1122233.5邊界條件，約束力(BOUNDARYCONDITIONSCONSTRAINTFORCES)通過平衡方程或直接剛度法建立了總剛以后，對(duì)于圖3.2所示桁架結(jié)構(gòu)的系統(tǒng)的位移方程可以表述成如下形式。(3.42)由于總剛是奇異的，因此單一解不能直接獲得。然而在建立這些平衡方程時(shí)我們并沒有考慮到位移約束條件。在這個(gè)例子中，位移邊界條件為(3.43)只有和是未知的，代入位移邊界條件，展開矩陣，可得(3.44)、、、為在約束節(jié)點(diǎn)1和2的反作用力分量，和為作用在節(jié)點(diǎn)3上的應(yīng)力分量，假如和為已知分量，因此利用式(3.44)最后兩式，可求得和，將其反代入式(3.44)前四式，即可求得在約束點(diǎn)1和2上的反力。假如下標(biāo)c代表約束的位移，下標(biāo)a代表未約束的位移，因此系統(tǒng)平衡方程可分解成如下形式(3.45)其中，約束的位移是已知的，同時(shí)為施加的外加，也是已知，未知的位移通過下層分解，即可獲得(3.46)再求出位移，反力可以通過使用式(3.45)的上層分解獲得(3.47)3.6單元應(yīng)變和應(yīng)力(ELEMENTSTAINANDSTRESS)在有限單元法求解桁架結(jié)構(gòu)的最后一步是利用求出的在整體位移，計(jì)算單元的應(yīng)變和應(yīng)力。對(duì)一單元，其與節(jié)點(diǎn)和相連。利用(3.19)和(3.20)式,可得節(jié)點(diǎn)在單元坐標(biāo)系下的位移：(3.48)其軸向應(yīng)變?yōu)?3.49)為單元的長(zhǎng)度，根據(jù)胡克定律，單元的軸向應(yīng)力為(3.50)然而，在整體坐標(biāo)系下的解并不能給出單元的軸向位移。利用(3.21)和(3.22)，將單元位移從整體坐標(biāo)下變換到單元坐標(biāo)下，可得(3.51)對(duì)桿單元的單元的應(yīng)力可表示為在整體位移下的形式(3.52)例3.2如圖3.5所示由兩單元組成的桁架系統(tǒng)，節(jié)點(diǎn)與單元編號(hào)和圖3.2相同，計(jì)算在節(jié)點(diǎn)3處的位移和在節(jié)點(diǎn)1、2處反力，以及單元的應(yīng)變和應(yīng)力。單元的彈性模量，橫截面圖3.5兩單元桁架系統(tǒng)由圖知，，因此特征單元?jiǎng)偠染仃囍禐橛捎趩卧姆较蚪呛蛦卧c節(jié)點(diǎn)編號(hào)相同，因此可以直接利用例(3.1)中的計(jì)算結(jié)果，寫出的總剛矩陣考慮到位移約束條件，，在整體坐標(biāo)系下平衡方程為利用(3.45)式的分解方法，可根據(jù)所得的位移，利用(3.47)式，約束點(diǎn)的反力為對(duì)于單元1，其應(yīng)變和應(yīng)力為：同理對(duì)于單元2：3.7綜合例題(comprehensiveexample)如圖3.6所示2D桁架，計(jì)算出各節(jié)點(diǎn)的位移和反力、各單元的應(yīng)變和應(yīng)力。圖3.6桁架結(jié)構(gòu)示意圖Step1.定義整體坐標(biāo)系，分配單元編號(hào)與節(jié)點(diǎn)編號(hào)Step2.計(jì)算單元?jiǎng)偠戎礢tep3.變換單元?jiǎng)偠染仃嚨秸w坐標(biāo)系下，利用(3.28)式且因此Step4a.建立單元到整體坐標(biāo)位移對(duì)應(yīng)力表表3.3連通性與位移關(guān)系整體單元1單元2單元3單元4單元5單元6單元7單元811122231425311642273333184444293111042211331244Step4b建立單元-節(jié)點(diǎn)的連接表和相應(yīng)單元在整體位移位置向量表3.4單元節(jié)點(diǎn)連接表單元節(jié)點(diǎn)ij113214324434535654746856Step5.建立整體剛度矩陣Step6.利用邊界條件考慮到開始的四個(gè)平衡方程為約束方程且位移為零，因此可以從矩陣中去除，可得Step7.計(jì)算反力。將計(jì)算的結(jié)果代入前四個(gè)約束方程可得，Step8.單元應(yīng)力與應(yīng)變對(duì)于單元2應(yīng)變和應(yīng)力同理，可計(jì)算其它單元表3.5單元應(yīng)力與應(yīng)變結(jié)果單元應(yīng)變應(yīng)力/psi15.33×10-4533323.77×10-437713-4.0×10-4-400041.33×10-4133355.33×10-453336-5.67×10-4-565772.67×10-4266784.00×10-440003.8三維桁架(THREE-DIMENSIONALTRUSSES)假如單元連接部位只有軸向力施加，三維桁架也可以使用桿單元來模擬。嚴(yán)格來說連接部位應(yīng)該是球座或鉸連接。如圖3.7所示，在整體參考坐標(biāo)系下描述了一個(gè)一維的節(jié)點(diǎn)和相連的桿單元，因此在整體坐標(biāo)系下，沿著軸向的單元向量為：圖3.7三維桿單元(3.53)或(3.54)因此，單元位移分量在整體坐標(biāo)系下表示為：(3.55)(3.56)其中，下標(biāo)1和4代表在整體向的位移；下標(biāo)2和5代表在整體向的位移；下標(biāo)3和6代表在整體向的位移；式(3.55)和(3.56)可寫矩陣的形式：(3.57)在單元坐標(biāo)系下的單元位移轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下(3.58)將矩陣代入，并記(3.59)例3.3，節(jié)點(diǎn)1、2、3固定，在節(jié)點(diǎn)4上施加一負(fù)向力5000lb，具體如圖3.8(a)所示，三個(gè)單元的特征軸向剛度,計(jì)算節(jié)點(diǎn)4向的位移。圖3.8三單元三維桁架系統(tǒng)由于節(jié)點(diǎn)1、2、3在三個(gè)方向上已固定，在系統(tǒng)中去除約束方程，因此平衡方程可改寫成：計(jì)算總剛矩陣中各項(xiàng)的值，首先將單元?jiǎng)偠染仃囖D(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)系下。對(duì)于單元1因此，，由式(3.59)，得對(duì)于單元2因此，，由式(3.59)，得對(duì)于單元3因此，，由式(3.59)，得由表3.6，可寫出總剛矩陣中要求的項(xiàng)節(jié)點(diǎn)4的求解方程為：表3.6單元位移與整體位移對(duì)應(yīng)表整體單元1單元2單元3112233415263718293104441155512666第四、五講第四章彎曲單元FLEXUREELEMENTS4.1引言(introduction)在第二、三章介紹了一維，軸向加載的單元，這些單元在分析簡(jiǎn)單結(jié)構(gòu)的加載的反應(yīng)是非常有用的。但是，這些單元不能夠考慮彎曲效應(yīng)，在我們經(jīng)常遇到的焊或鉚接頭的結(jié)構(gòu)中，排除了使用這種結(jié)構(gòu)的可能。本章，我們基于基本梁理論，建立一種彎曲單元，它能正確展現(xiàn)彎曲效應(yīng)。我們首先考慮該單元為一線單元，只能在一個(gè)平面承受彎曲，在建立單元的離散方程時(shí)，對(duì)場(chǎng)變量引入一假定的多項(xiàng)式的插入函數(shù)。之后將其擴(kuò)展到二個(gè)平面彎曲問題，同時(shí)考慮軸向加載和扭轉(zhuǎn)效應(yīng)。4.2基本梁理論(ELEMENTARYBEAMTHEORY)圖4.1(a)描述了一簡(jiǎn)單支承梁，受到一般分布的橫向荷載，以軸代表其軸向方向，代表其橫向坐標(biāo)。假定：荷載僅能在向施加；相比梁的基準(zhǔn)尺寸，梁的撓度很?。涣旱牟牧蠈傩詾榫€彈性的，各向同性，均質(zhì)的；梁在幾何形式是菱柱形，其橫截面在彎曲平面是對(duì)稱。圖4.1簡(jiǎn)單支承梁結(jié)構(gòu)圖4.2梁橫截面圖4.2，對(duì)假定4進(jìn)行了描述，其中第一、二截面滿足假定4。四邊形和三角形截面關(guān)于平面對(duì)稱?！癓”形截面不對(duì)稱，彎曲將超出平面。假定2要求，梁的最大撓度比尺寸小得多，一般應(yīng)小于.考慮一微分段(如圖4.1b)，由于受到向下的分布荷載，因此，上表面發(fā)生縮短，下表面發(fā)生伸長(zhǎng)，在中間存在一中性面，尺寸沒有變化，假定中性面距離曲線的中心為，選擇該層為所對(duì)應(yīng)的層，因此在任何處，彎曲后的長(zhǎng)度為：(4.1)彎曲應(yīng)變?yōu)?4.2)彎曲曲線半徑(4.3)在符合小撓度理論時(shí)，斜坡也小，式(4.3)可寫成：(4.4)縱向方程的正應(yīng)變?yōu)椋?4.5)相應(yīng)的正應(yīng)力為(4.6)式(4.6)表明，對(duì)一橫截面，正應(yīng)力隨離中性層的距離線性變化?？紤]到?jīng)]有凈軸向力施加在梁的橫截面上，因此由式(4.6)給出的應(yīng)力分布的合力必為零。在任何位置處，我們有(4.7)考慮到在任何截面，曲率為一常數(shù)，因此(4.8)假如平面()通過面積的質(zhì)心，式4.8成立。因此我們獲得了著名的結(jié)論：中性層垂直于彎曲平面且通過截面的質(zhì)心。內(nèi)部彎矩等效于正應(yīng)力的合成彎矩，因此(4.9)式(4.9)的內(nèi)部項(xiàng)代表著截面的關(guān)于軸的慣性矩，因此有(4.10)結(jié)合(4.6)與(4.9)得：(4.11)4.3彎曲單元(FLEXUREELEMEMT)現(xiàn)在我們利用基本梁的理論，同時(shí)借助于卡式定理，我們建立彎曲單元公式。彎曲單元除了滿足基本梁理論的假定外，還需滿足以下條件：長(zhǎng)度為L(zhǎng)的單元，僅有兩個(gè)節(jié)點(diǎn)；單元之間通過節(jié)點(diǎn)相連；單元加載僅在節(jié)點(diǎn)上。我們知道，建立有限元公式的基本前提是通過單元節(jié)點(diǎn)的值表達(dá)連續(xù)變化的場(chǎng)變量，對(duì)于彎曲單元，我們關(guān)心的場(chǎng)變量為中性層偏移其未變形時(shí)的橫向位移。如圖4.3知，沿梁長(zhǎng)，其橫向撓度變化不能僅通過端點(diǎn)的位移來表述，雖然在端點(diǎn)的撓度是相同的，但是撓度的形狀是不同的。因此，除了節(jié)點(diǎn)位移之外，彎曲單元公式建立必須考慮在端點(diǎn)處梁的斜率(轉(zhuǎn)角)，同時(shí)為了避免對(duì)位移產(chǎn)生可能模糊，單元節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角也包括進(jìn)行，以確保單元之間的節(jié)點(diǎn)連接處的轉(zhuǎn)角的相容性。圖4.3梁彎曲圖4.4節(jié)點(diǎn)位移正向表示根據(jù)上面描述，與彎曲單元相聯(lián)系的節(jié)點(diǎn)變量如圖(4.4)所示。節(jié)點(diǎn)1、2位移單元的端點(diǎn)，節(jié)點(diǎn)變量包括橫向位移、和轉(zhuǎn)角、，在圖中的節(jié)點(diǎn)均表示為正向，轉(zhuǎn)角的單元為“rad”位移函數(shù)表示為如下形式：(4.12)邊界條件為：(4.13)(4.14)(4.15)(4.16)為簡(jiǎn)化表述，我們認(rèn)為單元坐標(biāo)系考慮到四個(gè)邊界，且考慮問題為一維性，因此可認(rèn)為(4.17)插入函數(shù)選三次方的形式不是任間的，關(guān)于插入函數(shù)的一般要求將在第六章計(jì)論。有明顯，給定四個(gè)邊界條件，因此位移函數(shù)僅能有四個(gè)常數(shù)；第二，由式(4.10)和(4.17)，位移函數(shù)的二次微分是線，因此彎距沿單元的長(zhǎng)度變化是線性變化的。由于荷載僅能在節(jié)點(diǎn)處施加，彎距隨單元長(zhǎng)度可表示為圖(4.5)。假如分布荷載施加在單元上，則彎距沿單元長(zhǎng)度二次方變化。圖4.5彎曲單元彎矩圖(符號(hào)規(guī)定與材料力學(xué)相同)由邊界條件，可知(4.18)(4.19)(4.20)(4.21)根據(jù)式(4.18)~(4.21)，可求解相應(yīng)的系數(shù)(4.22)(4.23)(4.24)(4.25)將(4.22)~(4.25)代入式(4.17)，整理成節(jié)點(diǎn)變量結(jié)果的系數(shù)形式：(4.26)簡(jiǎn)寫成(4.27)其中~為插入函數(shù).引入無量綱坐標(biāo)(4.28)(4.29)聯(lián)合(4.11)和(4.27)，在處橫截面上的正應(yīng)力為(4.30)由于正應(yīng)力在截面上線性變化，最大和最小的正應(yīng)力在單元的外表面。因?yàn)榱?xí)慣，我們把最大的張拉應(yīng)力認(rèn)為最大應(yīng)力，而把最大的壓應(yīng)力作為最小的應(yīng)力。式(4.30)改寫(4.31)這是很容易理解的，式(4.31)代表在軸向坐標(biāo)處在截面上的最大和最小的正應(yīng)力，代表中性層與外表層最大的距離。代入插入函數(shù)，并進(jìn)行微分，可得(4.32)從(4.32)可知，正應(yīng)力沿單元長(zhǎng)度線性變化。因?yàn)楣?jié)點(diǎn)值為已知的常數(shù)，一旦位移解獲得，我們需要計(jì)算的僅有在節(jié)點(diǎn)的截面上的應(yīng)力值。在處，其應(yīng)力值為。(4.33)(4.34)4.4彎曲單元?jiǎng)偠染仃?FLEXUREELEMEMTSTIFFNESSMATRIX)現(xiàn)在我們利用彎曲單元的位移的近似，檢查受到荷載單元的應(yīng)力，應(yīng)變，應(yīng)變能。整個(gè)應(yīng)變能可表述為(4.35)將式(4.5)和(4.6)代入上式，可得(4.36)可改寫成(4.37)面積積項(xiàng)為關(guān)于垂直于彎曲面積的重心軸的慣性距，因此有(4.38)式(4.38)代表著任何遵循基本梁理論假定的常截面梁的應(yīng)變能。將(4.27)式代入式(4.38)，有：(4.39)利用卡式定理，可得節(jié)點(diǎn)1、2上作用的力和力矩：(4.40)(4.41)(4.42)(4.43)式(4.40)~(4.43)在代數(shù)形式上將節(jié)點(diǎn)力(廣義)和節(jié)點(diǎn)位移(廣義)聯(lián)系起來。改寫成矩陣形式：(4.44)其中(4.45)為計(jì)算的方便，將積分變?yōu)樵跓o綱量變量的積分(4.46)(4.47)因此，式(4.45)變?yōu)?4.48)各剛度系數(shù)如下因此，整個(gè)彎曲單元的剛度矩陣為(4.49)4.5單元荷載向量(ELEMEMTLOADVECTPR)在式(4.40)~（4.43），由卡式定理得到單元力和彎矩與相聯(lián)系的位移方向是一致的。這些方向認(rèn)為是節(jié)點(diǎn)位移正方向中。然而，由圖4.6(a)和4.6(a)知，在梁上的剪應(yīng)力和彎矩通常習(xí)慣寫成如下形式(4.50)式4.50中，在左邊的列向量代表在有限單元中節(jié)點(diǎn)力和彎矩的正向，而右邊對(duì)應(yīng)著符合基本梁理論的符號(hào)習(xí)慣的相應(yīng)的帶符號(hào)的剪力和彎矩值。圖4.6剪切和彎矩圖假如兩個(gè)單元在一節(jié)點(diǎn)相連，當(dāng)沒有外施加在該節(jié)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部的剪應(yīng)力數(shù)值相等但符號(hào)相反，當(dāng)有外力施加在該節(jié)點(diǎn)時(shí)，內(nèi)部剪應(yīng)力相加的和與施加的外力相等，因此當(dāng)我們用彎曲單元組裝有限元模型時(shí)，在節(jié)點(diǎn)上的等于所施加的外部力。對(duì)于彎矩也是如此的。具體如圖4.6(c)，一簡(jiǎn)單支承梁，在梁的中部受到一集中力和集中彎矩作用，由剪力圖受力分析表明，在施加力的作用點(diǎn)上存在一跳躍的不連續(xù)，不連續(xù)的大小在數(shù)值上等于所施加的力；對(duì)于彎矩也是如此。因此假如把梁分成兩個(gè)單元和一個(gè)在梁中部的連接點(diǎn)，則在節(jié)點(diǎn)上的合力等于所施加的外力，在節(jié)點(diǎn)的彎矩的合矩等于所施加的外部彎矩例4.1圖4.1描述一靜不定梁，在梁的中部受到一橫向荷載，例用兩單元，求解出梁中部的撓度值。圖4.7例4.1由于荷載只能作用在節(jié)點(diǎn)上，因能單元的長(zhǎng)度為，則單元的剛度矩陣為：由系統(tǒng)的單元和節(jié)點(diǎn)編號(hào)，可寫出單元位移與整體位移的對(duì)應(yīng)表，具體如表4.1表4.1單元位移與整體位移對(duì)應(yīng)表整體單元1單元211223314425364根據(jù)表4.1，組裝總剛矩陣各項(xiàng)為：寫成一般的形式：因此，系統(tǒng)的一般方程為考慮到邊界條件，方程可縮為：因此，可求解出將節(jié)點(diǎn)位移值，代入約束方程，可得各反力：檢查整個(gè)系統(tǒng)的平衡，可得整個(gè)系統(tǒng)處于平衡狀態(tài)。4.6分布荷載功等效(WORKEQUIVALENCEFORDISTRIBUTEDLOADS)根據(jù)假定對(duì)彎曲單元，荷載只能施加在節(jié)點(diǎn)，對(duì)于分布荷載，我們通常采用的方法用節(jié)點(diǎn)和節(jié)點(diǎn)彎矩代替分布荷載，使得廣義節(jié)點(diǎn)力所做的功與分布荷載所做的相等：(4.51)(4.52)其中，、在節(jié)點(diǎn)1、2的等效節(jié)點(diǎn)力；、在節(jié)點(diǎn)1、2的等效節(jié)點(diǎn)彎矩。將式(4.27)位移函數(shù)代入，可得(4.53)比較(4.52)與(4.53)，可得：(4.54)(4.55)(4.56)(4.57)圖4.8均布荷載的功等效節(jié)點(diǎn)力和彎矩如圖(4.8)所示，假如分布荷載為均布荷載，，對(duì)各廣義節(jié)點(diǎn)力求積分，可得：(4.58)例4.2如圖4.9一簡(jiǎn)單支承梁，受到橫向均布分布荷載，使用兩長(zhǎng)度相的單元和功等效荷載，求梁各節(jié)點(diǎn)的撓度和轉(zhuǎn)角。圖4.9例4.2按圖4.9b，對(duì)單元和單元節(jié)點(diǎn)進(jìn)行編號(hào)，考慮到邊界條件，并且由對(duì)稱性可知。由于單元長(zhǎng)度為，由式(4.49)，可得單元的剛度矩陣為：根據(jù)單元連通表(4.2)，可寫出系統(tǒng)的總剛矩陣為：表4.2單元位移與整體位移對(duì)應(yīng)表整體單元1單元211223314425364考慮單元的長(zhǎng)度為，利用式(4.58)，可計(jì)算圖4.9(c)各單元的等效廣義力，具體如圖4.9(c)。同時(shí)考慮到在節(jié)點(diǎn)1、3除了分布荷載的等效力之外，還有反力作用在節(jié)點(diǎn)上，因此，系統(tǒng)的平衡方程為：去除約束方程，因此系統(tǒng)平衡方程可縮減為：例4.3圖4.10(a)，梁OC在O與光滑的銷栓相連，在B受到一彈性桿BD支承，D點(diǎn)與銷栓相連。在C點(diǎn)作用一集中荷載，試求在C的撓度和單元BD的軸向應(yīng)力。圖4.10例4.3在本例子中，梁用彎曲單元來模擬，彈性桿用桿單元來模擬(梁受一橫向荷載的作用，彈性桿受軸向力的作用)。按4.10(b)對(duì)各節(jié)點(diǎn)和單元進(jìn)行編號(hào)，其各單元的廣義位移4.10(c)如表(4.3)所示，考慮到小變形，因此和可以忽略表4.3位移方案整體圖4.10b單元1單元2單元3100200340500600700800900對(duì)于梁?jiǎn)卧?，關(guān)于Z軸的慣性距為對(duì)于單元1和2，其單元?jiǎng)偠染仃嚍閷?duì)于單元3，其單元?jiǎng)偠染仃嚍楸?.4單元位移與整體關(guān)系對(duì)應(yīng)表整體單元1單元2單元3110022003312442050306040700480019003根據(jù)表(4.4)，可求得整個(gè)系統(tǒng)的總剛矩陣表4.4總剛表123456789119627.22.944E6-19627.22.944E60000022.944E65.888E8-2.944E62.944E8000003-19627.2-2.944E666350.40-19627.22.944E6-270960042.944E62.944E8011.78E8-2.944E62.944E8000500-19627.2-2.944E619627.2-2.944E60006002.944E62.944E8-2.944E65.889E8000700-27096000270960080000000009000000000從計(jì)算結(jié)果可知，和對(duì)總剛沒有影響，因此在平衡方程可以不考慮，由約束條件知，因此施加的力失量為：對(duì)方程組求解，可得利用式,因此桿單元的應(yīng)力為將計(jì)算的位移結(jié)果代入約束方程，可得利用式(4.33)和(4.34)，可得單元1的彎曲應(yīng)力同理，可得單元2的彎曲應(yīng)力：4.7有軸向荷載的彎曲單元(FLEXUREELEMENTWITHAXIALLOADING)對(duì)于彎曲單元最大缺點(diǎn)是只能承受橫向的荷載，這意味著在線性梁結(jié)構(gòu)中，單元必須首尾相連接，假如單元能夠承受軸向荷載，則應(yīng)用會(huì)大大地?cái)U(kuò)展。如圖(4.11)所示，單元除了有橫向的撓度和轉(zhuǎn)角外，還有軸向的位移。必須指出的是，看似簡(jiǎn)單的單元會(huì)衍生出好幾種問題：假如軸向荷載是壓縮的，則單元會(huì)發(fā)生彎曲；假如單元伸長(zhǎng)，則會(huì)產(chǎn)生應(yīng)力加強(qiáng)。如圖4.12所示，一梁受到橫向軸向力的作用，軸向力作用的效果與撓度有關(guān)，因?yàn)樵谀滁c(diǎn)的撓度將會(huì)變?yōu)檩S向荷載的彎矩臂，但對(duì)于小撓度結(jié)構(gòu)可以忽略，在本章不考慮此種效應(yīng)。圖4.11有軸向剛度的梁?jiǎn)卧墓?jié)點(diǎn)位移圖4.12承受彎矩和軸向荷載的梁假如將桿單元的單元?jiǎng)偠染仃嚰拥綇澢鷨卧膭偠染仃囍?，可能得到一個(gè)6×6的考慮軸向荷載的單元?jiǎng)偠染仃嚕?4.59)簡(jiǎn)寫成：(4.60)從中可能看出，軸向和彎曲剛度矩陣是不耦合的疊加。假如單元能承受軸向荷載的能力，則可以消除單元必須直線地平放在平面結(jié)構(gòu)中，節(jié)點(diǎn)不能承受彎矩的規(guī)定，因此在應(yīng)用中，單元的方向也必須考考慮進(jìn)去，具體如桁架中桿單元類似。如圖4.13(a)所示，單元與整體坐標(biāo)的軸的任意角度以及單元的節(jié)點(diǎn)位移，在這里例用是為了避免與節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角相混淆。如圖4.13所示，描繪單元的整體位移。根據(jù)(4.59)式，假如單元位移為(4.61)其對(duì)應(yīng)的單元?jiǎng)偠染仃嚍?4.62)圖4.13(a)在單元坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移；(b)在整體坐標(biāo)下的節(jié)點(diǎn)位移利用圖(4.13)，單元位移可通用整體位移表示為(4.63)寫成矩陣的形式：(4.64)根據(jù)3.3節(jié)可以寫出單元在整體坐標(biāo)下的剛度矩陣：(4.65)例4.4圖4.14(a)所示，一結(jié)構(gòu)系統(tǒng)，梁的截面為“1×1”的方形，彈性模量為，在O和C點(diǎn)完全固定，水平梁受到一均布荷載，請(qǐng)例用兩個(gè)單元計(jì)算在B點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角圖例4.14由給定的數(shù)據(jù)，則截面的面積為：關(guān)于Z軸的慣性矩為：特征軸向剛度為：特征彎曲剛度為：根據(jù)圖4.14(b)，可建立如表4.6所示的位移對(duì)應(yīng)表表4.6位移對(duì)應(yīng)表整體單元1單元2110220330441552663704805906假如OB為單元1，OC為單元2，因此單元1和單元2單元?jiǎng)偠染仃嚍椋喝鐖D所示，單元2的單元坐標(biāo)系與軸平行，因此不需要變換；而單元1與軸的夾角為90°，利用式(4.64)和(4.65)，因此單元1在整體坐標(biāo)下的單元?jiǎng)偠染仃嚍楦鶕?jù)表4.6，將各單元?jiǎng)偠染仃嚱M裝成總剛矩陣為系統(tǒng)的平衡方程為由，因此去除約束方程，可得因此，可求解出上述方程為：利用式(4.63)，可得單元在單元坐標(biāo)下的位移為利用(4.33)和(4.34)可求得在節(jié)點(diǎn)1和2上的彎曲應(yīng)力因此，軸向應(yīng)力為：因此最大的應(yīng)力發(fā)生在節(jié)點(diǎn)2上(壓縮的軸向應(yīng)力和彎曲應(yīng)力的壓縮部分)，為4.8三維梁?jiǎn)卧?AGENERALTHREE-DIMENSIONALBEAMELEMENT)一般三維梁?jiǎn)卧苣軌蛱幚戆ㄝS向拉伸和扭轉(zhuǎn)以及兩個(gè)平面的彎曲所產(chǎn)生的撓度。為了檢查該單元的剛度特性和獲取單元的剛度矩陣，我們首先將前一章節(jié)所計(jì)的軸向彎曲單元擴(kuò)展到二維，然后再增加抵抗扭轉(zhuǎn)的能力。如圖4.15(a)描述一梁?jiǎn)卧⒏缴先S單元坐標(biāo)系，軸對(duì)應(yīng)于梁的縱向軸并且通過梁截面的質(zhì)心，、軸被認(rèn)為對(duì)應(yīng)著截面的面積慣性矩的主軸。假如不這樣建立坐標(biāo)系，對(duì)兩個(gè)平面連續(xù)彎曲的處理和接一來單元擴(kuò)展的結(jié)果的疊加將不會(huì)產(chǎn)生正確的結(jié)論。對(duì)于軸的彎曲，式(4.48)已經(jīng)給出單元的剛度矩陣，而對(duì)軸的彎曲，彎曲的平面為平面，具體如圖(4.15)b，圖中描述了一個(gè)由節(jié)點(diǎn)1和2定義的梁?jiǎn)卧?，受到一分布荷載，作用方程為向，在方向節(jié)點(diǎn)的位移為和，節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角為和，在此問題我們?yōu)榱藴?zhǔn)確地定位轉(zhuǎn)角測(cè)量的軸，在這里對(duì)節(jié)點(diǎn)的轉(zhuǎn)角增加一軸向下標(biāo)是很有必要的，相應(yīng)地平面內(nèi)彎曲產(chǎn)生的轉(zhuǎn)角記為和，同時(shí)需要重點(diǎn)指出的是，在圖(4.15)b中，軸垂直于頁(yè)面，并且正指向頁(yè)面，因此根據(jù)右手定則，轉(zhuǎn)角為正。指出轉(zhuǎn)角的正指向與線位移的差別，目的是建立與4.3和4.4章節(jié)相類似的對(duì)平面彎曲的剛度矩陣，如(4.66)所示。圖4.15(a)三維梁?jiǎn)卧?b)在單元xz平面的節(jié)點(diǎn)位移(4.66)在和平面彎曲的剛度矩陣的差別在于非對(duì)角線上的項(xiàng)的符號(hào)的改變和特征剛度依靠面積慣性矩。聯(lián)合桿單元的剛度矩陣和與平面彎曲的剛度矩陣，因此，能夠承受軸向力的彎曲單元的平衡方程以矩陣的形式可以寫成下式：(4.67)其剛度矩陣為：(4.68)相應(yīng)于分布荷載的節(jié)點(diǎn)等效荷載可根據(jù)功的等的等效原理計(jì)算，具體參見(4.6)節(jié)。對(duì)于一均布荷載，其節(jié)點(diǎn)等效荷載向量為：(4.69)圖4.16(a)一圓柱受到扭轉(zhuǎn)；(b)扭轉(zhuǎn)單元示意圖圖(4.16)a所示，一圓柱體受到兩端的扭矩的作用而發(fā)生扭轉(zhuǎn)。根據(jù)圖(4.16)b所示的扭轉(zhuǎn)單元，節(jié)點(diǎn)為1和2，圓柱體的軸為軸，根據(jù)右手定則扭轉(zhuǎn)的彎矩為正的。假如一線彈性均勻的圓性體受到扭矩T的作用，根據(jù)材料力學(xué)的原理，單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角為(4.70)由于單位長(zhǎng)度的扭轉(zhuǎn)角為一常數(shù)，單元的扭轉(zhuǎn)角根據(jù)節(jié)點(diǎn)轉(zhuǎn)角和扭矩可表示為(4.71)或(4.72)將式(4.72)和表示線彈簧單元的(2.2)比較可知，同時(shí)考慮系統(tǒng)的平衡狀態(tài)，因此單元的平衡方程(4.73)單元的扭轉(zhuǎn)剛度矩陣為：(4.74)然而嚴(yán)格來講，(4.74)公式的建立是僅針對(duì)圓截面，對(duì)于其它結(jié)構(gòu)截面，將扭轉(zhuǎn)的剛度進(jìn)行等效處理，其等效原理可參考相關(guān)文獻(xiàn)。將扭轉(zhuǎn)特征加入到一般梁?jiǎn)卧校虼藛卧钠胶夥匠叹涂山?。通過觀察可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于三維梁?jiǎn)卧獎(jiǎng)偠染仃嚍榫S的對(duì)稱矩陣，它包含代表軸向加載、兩個(gè)平面的彎曲和扭轉(zhuǎn)的項(xiàng)。同時(shí)與前面介紹的一維和二維單元一樣必須將單元坐標(biāo)系下剛度矩陣轉(zhuǎn)換到整體坐標(biāo)下，除了由單元矩陣維的增加而造成代數(shù)復(fù)雜性和方向角的定位之外，其它過程完全相似。(4.75)第六、七講第五章加權(quán)殘余法METHODOFWEIGHTEDRESIDUALS5.1引言(introduction)在第二、三、四章通過線單元介紹了有限元的基本概念，線彈簧單元、桿單元和彎曲單元是線單元，是因?yàn)榻Y(jié)構(gòu)屬性可以用一定位沿單元軸向的位置的間單一空間狀態(tài)變量來描述。因?yàn)槲灰?力的關(guān)系可以通過材料力學(xué)的有關(guān)的基本概念來進(jìn)行表述，因此，單元位移-力的關(guān)系是很直接的。為了將有限單元法擴(kuò)展