2023-2024學(xué)年北京昌平區(qū)一中高一（上）期中數(shù)學(xué)試題及答案

2023北京昌平一中高一（上）期中數(shù)學(xué)一、選擇題（每題4分）=?1,0,2,3A==?B{x2kk}，那么A1.已知集合，（）??0,3?3D.1,01,2A.B.，則下列不等關(guān)系正確的是（C.a1b02.若）A.2aB.2aC.abaab2D.aabab23.下列在定義域內(nèi)既是奇函數(shù)又是減函數(shù)的是（）1()=A.fx()=?()=?fxx2()=?D.fxfx2xxB.C.x4.下列各不等式，其中正確的是（）1+2(xR,x0)A.C.a2+12a(aR)B.xxa+b12(ab0)+xR)D.x2abx+12()=?+(+)+在區(qū)間()上單調(diào)遞增，則的取值范圍是（x2）fx2a2x2,4a5.函數(shù)A.a3B.a3C.C.a1D.D.a1x()=6.函數(shù)fx表示的圖象可能是下圖中的（）x2A.B.7.一元二次方程A.充分非必要條件C.充要條件2++c=0有解是一元二次不等式ax+bx+c0有解的（2）B.必要非充分條件D.既非充分又非必要條件的值為f[f(x=4x?則f8.已知f(x)為一次函數(shù)，且A.0B.1C.2D.39.函數(shù)f(x)=x5+ax3+bx+8f，且(?2)=，則()的值是（10f2）?66D.8A.2B.C.10.若一系列函數(shù)的解析式相同，值域相同，但定義域不同，則稱這些函數(shù)為“孿生函數(shù)”，那么函數(shù)解的“孿生函數(shù)”共有y=2x?1，值域?yàn)?,72析式為A.10個(gè)B.9個(gè)C.8個(gè)D.4個(gè)二、填空題（每題5分）1?x2函數(shù)f(x)=的定義域?yàn)開________．x1x?1：x+),x+a為真命題，則pa可以表示為__________________的取值p12.命題范圍是______.()fx()是上的偶函數(shù)，且在(?)上是減函數(shù)，若()=，則不等式fx0f200的解集是13.設(shè)函數(shù)Rx________14.正實(shí)數(shù)、b滿足a+b+3=ab，則的最小值是______，a+b的最小值是_______2?2x,x，xf(x)=15.已知函數(shù)給出下列四個(gè)結(jié)論：?x2?2x,x.a①存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)f(x)f(x)為奇函數(shù)；a②對(duì)任意實(shí)數(shù)，函數(shù)既無最大值也無最小值；a③對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)ky=f(x)+k總存在零點(diǎn)；ma(?m)上單調(diào)遞減.其中所有正確結(jié)論的④對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)，使函數(shù)f(x)在區(qū)間序號(hào)是______________.三、解答題（16-18每題14分，19-20每題分，21題13分）A=|x?2=+?B，|a1x2a116.集合（1）當(dāng)a=4時(shí)，求AB；（2）若Aa，求實(shí)數(shù)的取值范圍ax+42，且()=f15()=17.函數(shù)fxxa（1）求的值；（2）證明：()為奇函數(shù)；fx（3）判斷函數(shù)()在()=?(?)+，定義域?yàn)?2上的單調(diào)性，并加以證明fxfxx22a1x4318.函數(shù)（1）當(dāng)a2時(shí)，求=()的值域；fxx0,3,fx0a恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍()（2）若+4+2k?2=0(kR)2x3x219.關(guān)于的方程（1）當(dāng)k1時(shí)，求方程的根；=（2）若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x,x，12①求實(shí)數(shù)k的取值范圍；②用關(guān)于k的式子表示x21+2220.某農(nóng)場(chǎng)要安裝一個(gè)可使用10年的太陽能供電設(shè)備。使用這種供電設(shè)備后，該農(nóng)場(chǎng)每年消耗的電費(fèi)Cm?4x(),0x105()=（單位：萬元）與太陽能電池板面積（單位：平方米）之間的函數(shù)關(guān)系為Cxxm(),x10xm（5平方米時(shí)，每年消耗的電費(fèi)為12萬元，安裝這種供電設(shè)備的工本費(fèi)為0.5x()為該農(nóng)場(chǎng)安裝這種太陽能供電設(shè)備的工本費(fèi)與該農(nóng)場(chǎng)10年消耗的電Fx費(fèi)之和。（1）求出()()的解析式；()取得最小值？最小值是多少萬元？CxFxxFx（2）當(dāng)為多少平方米時(shí)，()的定義域是fx，對(duì)于定義域內(nèi)任意的都有()=()+()，且當(dāng)1,2fxxf1fx212{xx21.已知x1時(shí)，f(x)f(2)1=（1）求證：()是偶函數(shù)fx（2）求證：()在上是增函數(shù)fx（3）若f(a+1f(a)+1，求實(shí)數(shù)的取值范圍)a參考答案一、選擇題（每題4分）1.【答案】D【分析】根據(jù)交集的定義可求AB.【詳解】因?yàn)锽={x=2k?k}，故B中的元素為大于或等于1的奇數(shù)，=?3，AB故故選：D.2.【答案】A【分析】利用作差法計(jì)算即可得出結(jié)論.a1b0ab0,0b1，2【詳解】因?yàn)椋詀b?ab2=ab1?b0()2因?yàn)橐驗(yàn)?，所以?)ab2?a=ab2?10，所以ab2a，所以abab2a，故正確，ABCD錯(cuò)誤；故選：A.3.【答案】B【分析】根據(jù)函數(shù)特征逐一判斷即可.1()=fx()()()(+),0單調(diào)遞減，不是定義域的減函數(shù)，故,0和【詳解】對(duì)于A，在xA錯(cuò)誤；對(duì)于B，f(x)=2xf(?x)==?()，所以()=?在定義域內(nèi)是奇函2xfxfx2x定義域R，又因?yàn)閿?shù)，結(jié)合一次函數(shù)特征可知，f(x)=2x為減函數(shù)，故B正確；對(duì)于C，f(x)=?x2f(?x)=?=()，所以()=?定義域R，又因?yàn)閤2fxfxx2在定義域內(nèi)是偶函數(shù)，故C錯(cuò)誤；()=?fx)，為非奇非偶函數(shù)，故錯(cuò)誤xD.對(duì)于D，故選：B定義域4.【答案】B【分析】取特殊值可判斷ACD；利用基本不等式可判斷B.【詳解】對(duì)A，當(dāng)a=1時(shí)，a2+1=2a，故錯(cuò)誤；A1111x+=x+2x=2x=對(duì)B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即x=1時(shí)等號(hào)成立，故B正確；xxxxa+b=?2對(duì)C，當(dāng)a=b=?1時(shí)，，故C錯(cuò)誤；ab1對(duì)D，當(dāng)x=0時(shí)，x2+=1，故錯(cuò)誤.D2x+1故選：B.5.【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)特征直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=?x2+2a+2x+2()上單調(diào)遞增，(),4在區(qū)間2a+2所以()對(duì)稱軸x=?=a+14，所以.a3fx2()故選：A6.【答案】Cx【分析】根據(jù)的正負(fù)去絕對(duì)值，再利用反比例函數(shù)的圖象判斷即可.1()=fx【詳解】由題意可知當(dāng)x0時(shí)，，排除BD，x1當(dāng)x0時(shí)，()=?fx，排除A，x故選：C7.【答案】D【分析】根據(jù)充要條件、必要條件的定義判斷即可；=2?4ac=0b【詳解】解：對(duì)于方程2++c=0，當(dāng)，方程有解，此時(shí)ax+bx+c0的解集2a0為空集，故充分性不成立；=2?4ac0b若對(duì)于2++c0當(dāng)時(shí)不等式的解集為R，此時(shí)方程++c=0無解，故必2a0要性也不成立，故一元二次方程故選：D2++c=0有解是一元二次不等式ax+bx+c0有解的既非充分又非必要條件2【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，屬于基礎(chǔ)題.8.【答案】Bf(x)=+bf(x)=+bf[f(x=4x?得到，計(jì)算得到答案.f(x)=2x?1或f(x)=?2x+3【分析】設(shè)【詳解】設(shè)，代入f[f(x=f(+b)=k(+b)+b=k=+b=?32x++b=4x?3則k2k=b=?f(x)=2x?f=1k=?b=f(x)=?2x+f=1或f=1綜上：故答案選B【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的計(jì)算，待定系數(shù)法是常規(guī)方法，需要靈活掌握和應(yīng)用.9.【答案】Cg(x)=f(x)?8，得函數(shù)f(?)+()=，令fx16x=2得答案x【分析】令g(x)為奇函數(shù)，可得.()()，且定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)為奇函數(shù)，g(x)5+3++8，令g(x)=x5+ax+bx=fx?8，3【詳解】f(x)=xg(?x)=?x5?ax?bx=?gx3其中g(shù)(?x)+gx=f?x?8+fx?8=0()()()即，f?x+fx=16可得()()f(?)+()=+()=f210f216，2，令x=2，得解得f(2)=6，故選：C10.【答案】Bx3【分析】由值域可求得所有可能的取值；則定義域中元素分別為2個(gè)，個(gè)和4個(gè)，列舉出所有可能的結(jié)果即可求得個(gè)數(shù).【詳解】由2x2?1=1得：x=1；由2x2?1=7得：x=2，?，?，??，?2，??，所求“孿生函數(shù)”的定義域分別為：2221,22?，?2?，??22共有9個(gè)“孿生函數(shù)”故選B【點(diǎn)睛】本題考查新定義的問題，涉及到函數(shù)定義域的求解；易錯(cuò)點(diǎn)是將值域誤認(rèn)為是無限集，造成求解錯(cuò)誤.二、填空題（每題5分）【答案】[?0)【分析】由二次根式的被開方數(shù)非負(fù)和分式的分母不為零，列不等式組可求得結(jié)果.?1x201x1且x0，【詳解】由題意得，解得x0所以函數(shù)的定義域?yàn)閇?0)，[?0).故答案為：1x(+)x+,a(,3.12.【答案】①.000?1【分析】利用含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律“改量詞，否結(jié)論”分析即可得解；利用均值不等式和恒成a立問題即可求出實(shí)數(shù)的取值范圍.1x?1p：x+),x+a，【詳解】解：由題意，命題1p(+)+a.x,0則由含有一個(gè)量詞的命題的否定規(guī)律可得：：0?101x?1p：x+),x+a為真命題因?yàn)槊}1x?11x?1+)ax+所以ax+當(dāng)x時(shí)恒成立，則，x()，所以x?10，因?yàn)?x?11x?11x?1=(?)+x112x1+(?)+1=3，所以x+1x?1x?1=x=2時(shí)等號(hào)成立，當(dāng)且僅當(dāng)即1x?1x+=3(,3.a所以，則a3，即實(shí)數(shù)的取值范圍是1x(+)x+,a(,3.故答案為：；000?1(??),213.【答案】f2=0【分析】根據(jù)奇偶性、單調(diào)性和()判斷函數(shù)正負(fù)情況再解不等式即可.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)()在(?)上是減函數(shù)，函數(shù)()是上的偶函數(shù)，0fxRfx所以函數(shù)()在()上是增函數(shù)，fx因?yàn)閒(2)=0，所以當(dāng)＜2時(shí)，()，fx0()fx0當(dāng)2時(shí)，，又因?yàn)楹瘮?shù)()是R上的偶函數(shù)，fx所以當(dāng)0時(shí)，()fx0，()fx0當(dāng)＜?2時(shí)，，x00()fx0，即或則，()()fx0fx0x則＜?2或＜2，()fx即不等式(??),20的解集是.x故答案為：(?,?2)14.【答案】①.9.6【分析】根據(jù)基本不等式結(jié)合一元二次不等式求法即可得到答案.【詳解】①正實(shí)數(shù)、b滿足a+b+3=ab，則a+b+3=ab2ab3，+(＞)，則tt?30，令t=abt02?解得t1（舍去）或t3，a=b=3時(shí)等號(hào)成立，故的最小值是9.即ab32=9，當(dāng)且僅當(dāng)+ab2++=②正實(shí)數(shù)、b滿足a+b+3=ab，則ab3ab，2m=a+b0()，則m24m120，??令則m2（舍去）或m6，即a+b6，當(dāng)且僅當(dāng)a=b=3時(shí)等號(hào)成立，故a+b的最小值是6.故答案為：9；615.【答案】①②④【分析】分別作出a=0，a0和0的函數(shù)f(x)的圖象，由圖象即可判斷①②③④的正確性，即可得正確答案.【詳解】如上圖分別為a=0，a0和0時(shí)函數(shù)f(x)的圖象，2?x2x,x0對(duì)于①：當(dāng)a=0時(shí)，f(x)=，?x2?2x,x0f(x)圖象如圖1關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以存在a0=使得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，故①正確；y→?x→時(shí)，y→+x→對(duì)于②：由三個(gè)圖知當(dāng)最小值；故②正確；時(shí)，，當(dāng)，所以函數(shù)f(x)既無最大值也無y=?k對(duì)于③：如圖2和圖3中存在實(shí)數(shù)k使得函數(shù)y=f(x)圖象與沒有交點(diǎn)，此時(shí)函數(shù)y=f(x)k+沒a有零點(diǎn)，所以對(duì)任意實(shí)數(shù)和，函數(shù)ky=f(x)+k總存在零點(diǎn)不成立；故③不正確m=+(?m)1即可使函數(shù)f(x)在區(qū)間上單調(diào)遞減，故對(duì)于④：如圖2，對(duì)于任意給定的正實(shí)數(shù)，取am④正確；故答案為：①②④【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題的關(guān)鍵點(diǎn)是分段函數(shù)圖象，涉及二次函數(shù)的圖象，要討論a=0，a0和0即明確分段區(qū)間，作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合可研究分段函數(shù)的性質(zhì).三、解答題（16-18每題14分，19-20每題分，21題13分）16.1）{x|?1x；（2）a3.）解絕對(duì)值不等式求集合A，再由并集運(yùn)算求AB；B=、BBA（2）由題設(shè)有，討論求參數(shù)范圍即可.【小問1由題設(shè)A={x|?1x，B={x|5x，A1x.所以【小問2AB=BBA由，當(dāng)B=時(shí)，a+12a?1a2；a2當(dāng)B時(shí)，綜上，a3.a+1?12a3；2a?1517.1）1（2）證明見解析3()在f1=5(2上單調(diào)遞減，證明見解析fx）根據(jù)()直接帶入求解；（2）根據(jù)奇函數(shù)定義證明即可；（3）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義判斷和證明即可.【小問1ax2+4f1，且()=，5()=因?yàn)楹瘮?shù)fxx所以f)=a+4=5a=1.，所以【小問2x+42()=由（1）知，fx，定義域()(+)關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，,0xx2+4x+42()=?(?)，0，即=fx()+(?)=?fx又因?yàn)閒xfxxx所以()為()(+)上的奇函數(shù).,0fx【小問3函數(shù)()在(2上單調(diào)遞減，證明如下：fx任取(0,2，且，x1,2x＜x12x2+44()=因?yàn)閒x=x+，xx(?)4xx124444()?()=fx1f2+??xx=(?)+?=(?)?xxx1x2則1212x12x12x12xx?4=(?)xx12，12x12因?yàn)樗?0,2，且x＜x，12x1,2x?xxxxx?0，121212fx?fx0，即所以()()()fxfx1()，122所以函數(shù)()在(2上單調(diào)遞減fx3,718.1）（2）(,3）根據(jù)二次函數(shù)特征直接求解即可；x0,3進(jìn)行分類討論，通過參變分離的方法轉(zhuǎn)化為最值問題求解即可.（2）根據(jù)【小問122fxx22x4()=?+，開口向上，對(duì)稱軸為=x=1，當(dāng)a2時(shí)，函數(shù)=又因?yàn)楹瘮?shù)定義域?yàn)?，所?)()()，即()f1fxf33fx7，0,3所以()的值域?yàn)閒x3,7【小問2()x0,3,fx0恒成立，因?yàn)樗援?dāng)x=0時(shí)，40成立，aR，當(dāng)0x3＜時(shí)，f(x)=x2?2(a?)x+40，4即2ax因?yàn)閤x2++2ax++22x4，即，x444++22x+=26，當(dāng)且僅當(dāng)x=，即x=2時(shí)等號(hào)成立，xxx42ax++2=6a3(，所以a，即實(shí)數(shù)的取值范圍為,3所以x4=或x=?19.1）x0.34(k2+（2）①3k?3；②.9）由題設(shè)有3x+4x=x(3x+=0，即可求根；2（2）①由0求實(shí)數(shù)k的取值范圍；②應(yīng)用根與系數(shù)關(guān)系及x21+22=(x+x)2?21x2求表達(dá)式.12【小問142+4x=x(3x+=0，可得x=0或x=?由題設(shè)3x.3【小問2①由方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根x,x，則=16k2?12(2k?2)0，212所以k23?3k3，4kx+x=?123②由根與系數(shù)關(guān)系知：，2(k?2xx=1231694(k2?4(k2+所以x21+22=(x+x)2?2xx=k2?=.12123980?4x()?()1607.5x,0x10,0x105()=Cx()=800Fx20.1），+()0.5x,x1080(),x10xxx平方米時(shí)，（2）當(dāng)為()取得最小值，最小值是萬元Fx）根據(jù)題意可知x=5時(shí)C(x)=12()解析式；根據(jù)題意可知Cx，代入即可求得的值可得m()=()+，由此化簡(jiǎn)可得()的解析式；FxFxCx0.5x（2）分段討論()的最小值，從而得到()的最小值及x的值FxFx.【小問1根據(jù)x=5時(shí)，C(x)=12，m?4x而當(dāng)0x10，m?45Cx()=，5=12=所以，解得m80，580?4x(),0x105()=Cx所以，80(),x10x()=()+FxCx0.5x，?()1607.5x,0x10Fx=所以()800；+()0.5x,x10x【小問2當(dāng)0x10，F(xiàn)(x)=?7.5x+160，此時(shí)()在0,10上單調(diào)遞減，F(xiàn)xx所以()=F10)=?7.510+160=85，F(xiàn)x800()=Fx0.5x+2400=40，當(dāng)x10，x8000.5x=即x=()Fx=40，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故x綜上所述，(Fx=40，此時(shí)x=，平方米時(shí)，()取得最小值，最小值是萬元.Fxx故當(dāng)為1a{a?a00a或21.123）．3【分析】f=0，f(=0，然后令x=x=x，可得（1）對(duì)自變量x,x賦值，分別求出1212f(?x)=f(?1x)=f(?+f(x)=f(x)，從而可證得結(jié)論；（2）利用單調(diào)性的定義證明，設(shè)xx0，21212121f(x)?f(x)=f(x)?f(x)=f(x)+