2022屆優(yōu)質(zhì)校一模試卷匯編12概率統(tǒng)計教師版

專題12概率統(tǒng)計

方法點(diǎn)撥

一、統(tǒng)計

1.統(tǒng)計中的四個數(shù)字特征

(1)眾數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，出現(xiàn)次數(shù)最多的那個數(shù)據(jù).

(2)中位數(shù)：在樣本數(shù)據(jù)中，將數(shù)據(jù)按大小排列，位于最中間的數(shù)據(jù).如果數(shù)據(jù)的個數(shù)為偶數(shù),

就取中間兩個數(shù)據(jù)的平均數(shù)作為中位數(shù).

(3)平均數(shù)：樣本數(shù)據(jù)的算術(shù)平均數(shù)，即5=:(x+X2+L+x“).

(4)方差與標(biāo)準(zhǔn)差

方差：S2

標(biāo)準(zhǔn)差：

2.頻率分布直方圖的三個結(jié)論

(1)小長方形的面積=組距X頻率.

(2)各小長方形的面積之和等于1.

(3)小長方形的高頻=病率，所有小長方形高的和為融]

3.線性回歸方程

線性回歸方程亍=涼+/一定過樣本點(diǎn)的中心(x,y).

4.獨(dú)立性檢驗(yàn)

n(ad-be)一

利用隨機(jī)變量K2=來判斷“兩個分類變量有關(guān)系”的方法稱為獨(dú)立性

(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)

檢驗(yàn).如果K?的觀測值K越大，說明“兩個分類變量有關(guān)系”的這種判斷犯錯誤的可能性越小.

二、概率

1.若事件A、A2.&LA,,彼此互斥，它們至少有一個發(fā)生的概率

P(A+&+L+4)=P(A)+P(4)+L+P(A).

2.若事件4、A—A3LA〃相互獨(dú)立，它們至少有一個發(fā)生的概率

P(A+4+L+4)=1-P(/4LA)-

3.獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)與二項(xiàng)分布

如果事件A在一次試驗(yàn)中發(fā)生的概率是P,那么它在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中恰好發(fā)生k次的概率為

K(Q=C,：P*(1-P)"YM=0,1,2,L,〃，用X表示事件A在〃次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中發(fā)生的次數(shù)，則X

服從二項(xiàng)分布，即X:B(〃,P)且P(X=攵)=C：尸(l—p)j.

4.離散型隨機(jī)變量的分布列

(1)設(shè)離散型隨機(jī)變量J可能取的值為X”X?,L,X,,L*取每一個值X,的概率為PR=Xj=%

則稱下表

4X1x?X3???Xi???

P66???p.???

為離散型隨機(jī)變量J的分布列.

(2)離散型隨機(jī)變量4的分布列具有兩個性質(zhì)：①￡20；②片+g+L+《+L=1(/=1,2,3,L).

(3)￡(J)=X￡+X26+L+XiPi+L+X,局為隨機(jī)變量J的數(shù)學(xué)期望或均值.

。⑷式區(qū)-石⑷北+舊-七⑶)2g+L+(x,_Eq))2q+L+(x“-E⑷了匕叫做隨機(jī)變量

自的方差.

(4)性質(zhì)

①￡(ag+b)=aE(4)+b,￡>(^+Z?)=a2￡>(<^)；

②X:B(n,P),則E(X)=D(X)=nP(l-P)；

③X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=P,D(X)=P(1-P).

5.正態(tài)分布

如果隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布，則記為X:NJ。?).滿足正態(tài)分布的三個基本概率的值是：

①P(〃-cr<XW〃+cr)=0.6826；②尸("-2b<XWM+2(T)=0.9544；③

尸(〃—3b<XW//+3b)=0.9974.

試題匯編

一、選擇題.

1.(安徽省池州市2021屆高三一模)為了研究“同時處理多任務(wù)時男女的表現(xiàn)差異”課題，研究

組隨機(jī)抽取男女志愿者各150名，求他們同時完成“解題、讀地圖、接電話”等任務(wù)，志愿者完成任

務(wù)所需時間的分布如圖所示，表述正確的選項(xiàng)是（）

①總體上女性處理多任務(wù)平均用時短；

②所有女性處理多任務(wù)的能力都要優(yōu)于男性；

③男性的用時眾數(shù)比女性用時眾數(shù)大；

④女性處理多任務(wù)的用時為正數(shù)，男性處理多任務(wù)的用時為負(fù)數(shù).

A.①④B.②③C.①③D.①③④

【答案】C

【解析】①中，女性處理多任務(wù)平均用時集中在2?3分鐘，男性平均用時在3~4分鐘，

所以總體上女性處理多任務(wù)平均用時短，所以①正確；

②中，從圖中可以看到男性與女性處理多任務(wù)所需要的時間有交叉，所以并不是“所有女性都優(yōu)

于男性"，所以②不正確；

③中，根據(jù)分布的特點(diǎn)，可知男性的用時眾數(shù)比女性用時眾數(shù)大，所以③正確；

④中，女性和男性處理多任務(wù)的用時均為正數(shù)，所以④不正確，

故選C.

2.（安徽省宣城市2020-2021學(xué)年高三一模）人口普查是世界各國所廣泛采取的一種調(diào)查方法,

根據(jù)人口普查的基本情況，可以科學(xué)的研究制定社會、經(jīng)濟(jì)、科教等各項(xiàng)發(fā)展政策，是國家科學(xué)

決策的重要基礎(chǔ)工作.截止2021年6月，我國共進(jìn)行了七次人口普查，下圖是這七次人口普查

的城鄉(xiāng)人數(shù)和增幅情況，下列說法箱考的是（）

A.城鎮(zhèn)人口數(shù)逐次增加B.歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多

C.城鎮(zhèn)人口比重逐次增加D.鄉(xiāng)村人口數(shù)逐次增加

【答案】D

【解析】根據(jù)給定的條形圖，可得城鎮(zhèn)人口在逐年增加，所以A正確；

從給定的條形圖象，可得再歷次人口普查中第七次普查城鎮(zhèn)人口最多的，所以B正確;

從圖表中的數(shù)據(jù)可得，七次人口普查中城鎮(zhèn)人口比重依次為13.26,18.30,20.91,26.44,

36.22,49.68,63.89,可知城鎮(zhèn)人口比值逐次增加，所以C正確;

由圖表，可得鄉(xiāng)村人口先增加后減少，所以D不正確，

故選D.

3.(四川省內(nèi)江市高中2022屆第一次模擬)小李于2016年底貸款購置了一套房子，將通過10年

期每月向銀行還數(shù)額相同的房貸，且截止2020年底，他沒有再購買第二套房子.下圖是2017年

和202()年小李的家庭收入用于各項(xiàng)支出的比例分配圖，根據(jù)以上信息，判斷下列結(jié)論中正確的

是()

A.小李一家2020年用于飲食的支出費(fèi)用與2017年相同

B.小李一家2020年用于其他方面的支出費(fèi)用是2017年的3倍

C.小李一家2020年的家庭收入比2017年增加了1倍

D.小李一家2020年用于房貸的支出費(fèi)用比2017年減少了

【答案】B

【解析】由于小李每月向銀行還數(shù)額相同的房貸，故可知2020年用于房貸方面的支出費(fèi)用跟

2017年相同，故D選項(xiàng)錯誤；

設(shè)一年房貸支出費(fèi)用為凡，則可知2017小李的家庭收入為‘一=2，202()年小李的家庭收入為

60%3

—,—xl50%=—,所以小李一家2020年的家庭收入比2017年增加了5()%,故C選項(xiàng)

40%232

錯誤；

2017年，202()年用于飲食的支出費(fèi)用分別為2X25%=2,—x25%=—,故A選項(xiàng)錯誤；

31228

2017年，2020年用于其他方面的支出費(fèi)用分別為2X6%=K,—xl2%=—,故B選項(xiàng)正確,

310210

故選B.

4.（廣西柳州市2021屆高三第一次模擬）下圖為四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，則對應(yīng)樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

最大的是（）

【答案】D

【解析】對于A,由于各個數(shù)據(jù)相同，所以標(biāo)準(zhǔn)差為0,

對于B,x=0.05x6+0.2x7+0.5x8+0.2x9+0.05x10=8,

則S=^1[(6-8)2+(7-8)2+(8—8)2+(9—8)2+(10—8)2]=0；

對于C,%=0.1x6+0.2x7+0.4x8+0.2x9+0.1x10=8,

則s=J1[(6-8)2+(7-8尸+(8—8)2+(9—8>+(10—8尸]=/；

對于D,x=0.35x6+0.15x7+0.1x8+0.15x9+0.35x10=8.8,

則S=^|[(6-8.8)2+(7-8.8)2+(8-8.8)2+(9-8.8)2+(10-8.8)2]=^64,

所以樣本D的標(biāo)準(zhǔn)差最大，故選D.

5.(南昌2020高三一模)總體由編號01,02,19,20的20個個體組成.利用下面的隨機(jī)

數(shù)表選取5個個體,選取方法是隨機(jī)數(shù)表第1行的第5列和第6列數(shù)字開始由左到右依次選取兩

個數(shù)字，則選出來的第5個個體的編號為()

78166572080263140702436997280198

32049234493582003623486969387481

A.08B.07C.02D.01

【答案】D

【解析】從第一行的第5列和第6列起由左向右讀數(shù)劃去大于20的數(shù)分別為08,02,14,07,

01,

所以第5個個體是01,選D.

6.（四川省內(nèi)江市高中2022屆第一次模擬考試）“事件A與事件B是對立事件”是“事件A與事

件B是互斥事件”的（）

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】因?yàn)楫?dāng)事件A與事件B是對立事件時，可得事件A與事件8一定是互斥事件，

而當(dāng)事件A與事件B是互斥事件時，事件A與事件B不一定是對立事件，

所以“事件A與事件B是對立事件”是“事件A與事件B是互斥事件”的充分而不必要條件，

故選A.

7.（四川省涼山州2021-2022學(xué)年高三一模）盒中有3個大小相同的球，其中白球2個，黑球1

個，從中任意摸出2個，則摸出黑球的概率為（）

1112

A.-B.-C.-D.-

6323

【答案】D

【解析】設(shè)白球編號為1,2,黑球編號為3,從中任意摸出2個，基本事件有12,13,23共3種，

其中摸出黑球的事件為13,23共2種，

所以摸出黑球的概率為白，故選D.

3

8.（江西省九江市2021屆高考一模）如圖八面體中，有公共邊的兩個面稱為相鄰的面，若從八

個面中隨機(jī)選取兩個面，則這兩個面不相鄰的概率為（）

【答案】c

【解析】從八個面中隨機(jī)選取兩個面有C；=28種，其中兩個面相鄰的有12種，

則這兩個面不相鄰的概率為尸="二以=±,故選C.

287

9.（陜西省漢中市2022屆高三一模）在一個壇子中裝有16個除顏色之外完全相同的玻璃球，其

中有2個紅的，3個藍(lán)的，5個綠的，6個黃的，從中任取一球，放回后，再取一球，則第一次

取出紅球且第二次取出黃球的概率為（）

3213

A.—B.-C.—D.-

645208

【答案】A

【解析】Q在一個壇子中裝有16個除顏色外完全相同的玻璃球，

其中有2個紅的，3個藍(lán)的，5個綠的，6個黃的，

從中任取一球，放回后，再取一球，

第一次取出紅球且第二次取出黃球的概率.［乂2弓，故選A.

10.（多選）（福建省龍巖市2021屆高三一模）一個不透明的袋子中裝有6個小球，其中有4個

紅球，2個白球，這些球除顏色外完全相同，則下列結(jié)論中正確的有（）

A.若一次摸出3個球，則摸出的球均為紅球的概率是：

B.若一次摸出3個球，則摸出的球?yàn)?個紅球，1個白球的概率是？

5

C.若第一次摸出一個球，記下顏色后將它放回袋中，再次摸出一個球，則兩次摸出的球?yàn)椴煌?/p>

顏色的球的概率是上

9

D.若第一次摸出一個球，不放回袋中，再次摸出一個球，則兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那虻母?/p>

率是（

【答案】BC

【解析】對于A,總事件數(shù)是C：=20,摸出的球均為紅球的事件數(shù)為=4,所以摸出的球均

為紅球的概率是1，故選項(xiàng)A錯誤；

5

對于B,總事件數(shù)是C；=20,摸出的球?yàn)?個紅球，1個白球的事件數(shù)為C：C；=12,所以摸出

的球?yàn)?個紅球，1個白球的概率是3,故選項(xiàng)B正確；

5

對于C,①若第一次摸出紅球，第二次摸出白球，則概率為2x2=芻；

6636

②若第一次摸出白球，第二次摸出紅球，則概率為2、9=芻，

6636

故兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那虻母怕适巧?2=3,故選項(xiàng)c正確；

36369

對于D,①若第一次摸出紅球，第二次摸出白球，則概率為些*2=*；

6530

②若第一次摸出白球，第二次摸出紅球，則概率為2、a=芻，

6530

故兩次摸出的球?yàn)椴煌伾那虻母怕适抢?色=§,故選項(xiàng)D錯誤，

303015

故選BC.

11.（吉林省長春市東北師范大學(xué)附屬中學(xué)2019-2020學(xué)年高三一模）任意向（0,1）區(qū)間上投擲一

個點(diǎn)，用x表示該點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)事件A={x[o<x<；,，事件B=<x；<x<l",則P（B|A）=（）

A.0.25B.0.125C.0.5D.0.625

【答案】C

【解析】由題意可得：AB={x|0.25<x<0.5},所以尸（AB）=竺?”=0.25,

又因?yàn)镻（A）=0.5,所以「（8|A）=^^=；=0.5,故選C.

12.（四川省瀘州市2019-2020學(xué)年高三一模）古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯在深入研究比例理論時，

提出了分線段的“中末比''問題：將一線段MN分為兩線段MG,GN,使得其中較長的一段MG是

全長MN與另一段GNGN的比例中項(xiàng)，即滿足絲2=旭=也二1,后人把這個數(shù)稱為“黃金分

MNMG2

害數(shù)，把點(diǎn)G稱為線段MN的“黃金分割”點(diǎn).在矩形ABCD中，E,尸是線段A8的兩個“黃金

分割''點(diǎn).在矩形ABC。內(nèi)任取一點(diǎn)〃，則該點(diǎn)落在VDE尸內(nèi)的概率為（）

C-一2

■2

【答案】C

【解析】設(shè)正方形ABC。的邊長為1,則=二EE=2Ab—l=?-2,

2

S；xEFxADr_2

所求的概率為尸=ZDEF=2——_=二/，故選c.

S正方形ABOAD-2

13.（重慶市第一中學(xué)2021屆高三一模）第六屆世界互聯(lián)網(wǎng)大會發(fā)布了15項(xiàng)世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科

技成果，其中有5項(xiàng)成果均屬于芯片領(lǐng)域，分別為華為的鰥鵬920、特斯拉全自動駕駛芯片、寒

武紀(jì)云端4芯片、思元270、賽靈思的Versa自適應(yīng)計算加速平臺.現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)世界

互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間的選擇互不影響，則至少有1名學(xué)生

選擇芯片領(lǐng)域的概率為（）

A.雙B.2c.2D,12

919112527

【答案】D

【解析】現(xiàn)有3名學(xué)生從這15項(xiàng)世界互聯(lián)網(wǎng)領(lǐng)先科技成果中分別任選1項(xiàng)進(jìn)行了解，且學(xué)生之間

的選擇互不影響，則基本事件總數(shù)〃=15x15x15=3375,

至少有1名學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域的對立事件是沒有學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域，

則至少有1名學(xué)生選擇芯片領(lǐng)域的概率尸==U,故選D.

337527

14.（福建省廈門市2021屆高三一模）已知某地居民在2020年“雙十一”期間的網(wǎng)上購物消費(fèi)額

。（單位：千元）服從正態(tài)分布N（2,l）,則該地某居民在2020年“雙十一”期間的網(wǎng)上購物消費(fèi)額

在（0,3］內(nèi)的概率為（）

附：隨機(jī)變量服從正態(tài)分布-cr<&<〃+cr）M0.6827,

—2b<"〃+2cr）。0.9545,—3b<。V〃+3b）?0.9973.

A.0.9759B.0.8186C.0.73D.0.4772

【答案】B

【解析】因?yàn)閱挝唬呵г┓恼龖B(tài)分布N（2,l）,所以〃=2,（y=l,

則P（0<=（〃一++（〃-2b<jW〃+2b）=g（0.6827+0.9545）=0.8186,

故選B.

15.（福建省泉州市2021屆高三一模）“立定跳遠(yuǎn)”是《國家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》測試項(xiàng)目中的一

項(xiàng)，已知某地區(qū)高中男生的立定跳遠(yuǎn)測試數(shù)據(jù)4（單位：cm）服從正態(tài)分布N（200Q2）,且

P（（^>220）=0.1,現(xiàn)從該地區(qū)高中男生中隨機(jī)抽取3人，并記<不在（180,220）的人數(shù)為X,

則（）

A.P（180<^<220）=0.9B.E（X）=2.4

C.D（X）=0.16D.P（X>1）=0.488

【答案】D

【解析】由aN（200,CT2）,則2（42220）=2（44180）=0.1,

則P（180<g<220）=l-P（^>220）-P（J<180）=0.8,故A錯誤；

由題知，J不在（180,220）的概率為1-0.8=0.2,則X:B（3,0.2）,

則￡（X）=3x0.2=0.6,故B錯誤；

D（X）=3x0.2x（1-0.2）=0.48,故C錯誤;

P（X>1）=1-P（X=0）=1-0.83=0.488,故D正確，

故選D.

16.（四川省成都市2021-2022學(xué)年高三一模）已知某籃球運(yùn)動員每次罰球命中的概率為0.4,

該運(yùn)動員進(jìn)行罰球練習(xí)（每次罰球互不影響），則在罰球命中兩次時，罰球次數(shù)恰為4次的概率

是（）

A.至B.2C.&D.旻

625125625125

【答案】C

【解析】由已知命中的概率為0.4,不命中的概率為1-0.4=0.6,

罰球4次，命中兩次，說明第4次命中，前3次命中1次，

故概率尸=&0.4x（OS,x0.4=0.1728=壑，故選c.

625

17.（山東省濰坊市2021屆高三一模）接種疫苗是預(yù)防和控制傳染病最經(jīng)濟(jì)、有效的公共衛(wèi)生干

預(yù)措施.根據(jù)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，人在接種某種病毒疫苗后，有8（）%不會感染這種病毒，若有4人接種了

這種疫苗，則最多1人被感染的概率為（）

A.堊B.空C.生D.X

625625625625

【答案】A

【解析】由題得最多1人被感染的概率為《（A,+cdxS、變上型=生，故選A.

555625625

18（宜春市2021高三一模）饕餐紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良

渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期.將青銅器中的饕餐紋的一部分畫到方格紙上，如

圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位

長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點(diǎn)P經(jīng)過3次跳動后恰好是沿著饕餐紋的路線到達(dá)點(diǎn)8

的概率為（）

【答案】B

【解析】點(diǎn)P從點(diǎn)4出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，跳3次，

則樣本空間。=｛（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下）,

（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下）｝,

記“3次跳動后，恰好是沿著饕餐紋的路線到達(dá)點(diǎn)中為事件C,則C=｛（下，下，右）｝,

由古典概型的概率公式可知P（C）=:,故選B.

二、解答題.

19.（四川省涼山州2021-2022學(xué)年高三一模）某數(shù)學(xué)課題組針對高三學(xué)生掌握基本知識點(diǎn)的單

位值x和“一診”基礎(chǔ)題目得分值y進(jìn)行統(tǒng)計分析，所得統(tǒng)計數(shù)據(jù)如表所示：

X35557595

y20303555

（1）請根據(jù)如表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于x的線性回歸方程$=%+心

（2）若|y-q215,則稱y為異常值，現(xiàn)有8名學(xué)生的成績，其中有3個異常值，現(xiàn)從8個成績

中逐一抽取，每次抽取后不放回，求至多抽取4次就能將3個異常值全部找出來的概率.

￡4%-nxy

（參考公式：B=----------=--------,a=y-bx.）

-元＞^xj-rix2

/=1/=1

【答案】（1）y=-x--;（2）—.

■20414

35+55+75+9520+30+35+55

【解析】（1）由題意可得了=65,=35,

4

4

Z(%-元)(％-》)=(35-65)(20-35)+(55-65)(30-35)+(75-65)(35-35)+

/=1

(95-65)(55-35)=1100,

￡(七一可2=(35—65)2+(55—65)2+(75—65y+(95—65)2=2000,

i=\

4

小一元）”歹）110011

?b=-.............=----=——,

_、2200020

i=l

則右=9一位=35—UX65=-3,

-204

所以y關(guān)于x的線性回歸方程為￡=養(yǎng)》-?.

（2）①恰好3此就能將3個異常值找出的概率為6=4=-L,

A56

②恰好4此就能將3個異常值找出的概率為B="咨=—,

A56

所以，至多抽取4次就能將3個異常值找出的概率為4+6=5+0='.

20.（四川省成都市2021-2022學(xué)年高三一模）某項(xiàng)目的建設(shè)過程中，發(fā)現(xiàn)其補(bǔ)貼額x（單位：百

萬元）與該項(xiàng)目的經(jīng)濟(jì)回報y（單位：千萬元）之間存在著線性相關(guān)關(guān)系，統(tǒng)計數(shù)據(jù)如下表：

補(bǔ)貼額x（單位：百萬元）23456

經(jīng)濟(jì)回報y（單位：千萬

2.5344.56

元）

（1）請根據(jù)上表所給的數(shù)據(jù)，求出y關(guān)于x的線性回歸直線方程亍=晟+心

（2）為高質(zhì)量完成該項(xiàng)目，決定對負(fù)責(zé)該項(xiàng)目的7名工程師進(jìn)行考核.考核結(jié)果為4人優(yōu)秀，3

人合格.現(xiàn)從這7名工程師中隨機(jī)抽取3人，用X表示抽取的3人中考核優(yōu)秀的人數(shù)，求隨機(jī)

變量X的分布列與期望.

參考公式：b=----------,a^y-bx.

f（七一葉

i=\

【答案】（1）9=0.85x+0.6；（2）分布列見解析，數(shù)學(xué)期望為2.

-7

2+3+4+5+62.5+3+4+45+6

【解析】（1）Qx==4,5==4.

55

5

^(X,.-X)(X-7)=(-2)X(-1.5)+(-1)X(-1)+OXO+1XO.5+2X2=8.5,

Z=1

之(七一工)2=4+1+0+1+4=10,

/=!

5

*(玉-可(y「引

》=上y----------=0.85指=4-0.85X4=0.6,

EU-^)2

/=1

/.y=0.85x+0.6.

（2）由題意可知，X的可能取值為0,1,2,3,

OPfY-Ol-S-XRx-八.當(dāng)-上-2）VC』

<^5-0）-二行/”一1）一可一支「”一2）一百一七

p（x=3）=q=3,

《35

.?.X的分布列為

X0123

112184

P

35353535

???E(X)=0」+l』+2x竺+3」上

',353535357

21.（四川省內(nèi)江市高中2022屆第一次模擬）某興趣小組為了研究晝夜溫差大小與患感冒人數(shù)多

少之間的關(guān)系，請一所中學(xué)校醫(yī)務(wù)室人員統(tǒng)計近期晝夜溫差情況和到該校醫(yī)務(wù)室就診的患感冒學(xué)

生人數(shù)，如下是2021年10月、11月中的5組數(shù)據(jù)：

日期10月8日10月18日10月28日11月8日11月18日

晝夜溫差X（℃）8116155

就診人數(shù)y131712199

（1）通過分析，發(fā)現(xiàn)可用線性回歸模型擬合就診人數(shù)y與晝夜溫差x之間的關(guān)系，請用以上5

組數(shù)據(jù)求就診人數(shù)關(guān)于晝夜溫差的線性回歸方程亍=%+4（結(jié)果精確到0.01）；

（2）一位住校學(xué)生小明所患感冒為季節(jié)性流感，傳染給同寢室每個同學(xué)的概率為0.6.若該寢

室的另3位同學(xué)均未患感冒，在與小明近距離接觸后有X位同學(xué)被傳染季節(jié)性流感，求X的分

布列和期望.

參考數(shù)據(jù)：EU-x)(y,.-y)=63,月(%-寸=66.

/=1/=1

￡(蒼-亍)(％-9)

參考公式：8二旦=----------，a^y-bx.

f(工廠寸

1=1

【答案】(1)y=0.95x+5.41；(2)分布列見解析，期望為1.8.

【解析】(1)(1)由表格中數(shù)據(jù)可得，元=9,9=14,

：.b=i^__=—?0.95,.,.?=y-ftx=14-—x9?5.41,

Z(x,--x)26666

i=l

...就診人數(shù)y關(guān)于晝夜溫差尤的線性回歸方程為9=0.95x+5.41.

(2)X的可能取值為0,1,2,3,

VX~5(3,0.6),P(X=0)=C^x0.6°x0.43=0.064,P(X=1)=x0.6x0.42=0.288,

p(X=2)=《x0.62x0.4=0.432,P(X=3)=C^x0.63x0.4°=0.216,

X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

期望E（X）=3x0.6=1.8.

22.(安徽省池州市2021屆高三一模)科學(xué)技術(shù)是第一生產(chǎn)力，創(chuàng)新是引領(lǐng)發(fā)展的第一動力.某

企業(yè)積極響應(yīng)國家“科技創(chuàng)新”的號召，大力研發(fā)新產(chǎn)品.為對新研發(fā)的一批產(chǎn)品進(jìn)行合理定價,

將該產(chǎn)品按事先擬定的價格進(jìn)行試銷，得到一組銷售數(shù)據(jù)(4％)?=1,2,3,4,5,6)如表格所

不：

試銷單價x(百元)123456

產(chǎn)品銷量y件918682787370

(1)統(tǒng)計學(xué)認(rèn)為，兩個變量兌y的相關(guān)系數(shù);?的大小可表明兩變量間的相關(guān)性強(qiáng)弱.一般地,

如果上歸[0.75』],那么相關(guān)性很強(qiáng)；如果,歸[0.30,0.75),那么相關(guān)性一般；如果”[0,0.25],

那么相關(guān)性較弱.試判斷變量的相關(guān)性強(qiáng)弱；

(2)若變量無、y線性相關(guān)時，由線性回歸方程求得的與光對應(yīng)的產(chǎn)品銷售量估計值白與實(shí)際值-

差的絕對值小于1時，則將銷售數(shù)據(jù)稱為“有效數(shù)據(jù)”，現(xiàn)從這6組銷售數(shù)據(jù)中任取2組，求抽取

的2組銷售數(shù)據(jù)都是“有效數(shù)據(jù)”的概率.(求線性回歸方程時，之方精確到個位)

1666______

參考公式及數(shù)據(jù)：9=—Zy=80,ZX/=1606,ZX；=91,V5495?74,

6i=ii=ii=i

,Zx^i-rix-ySa--亍）（y,-歹）

3=上―----------=R--------------------------，a=y-bx,i=l

￡(毛_可2￡工；_加2￡（七-可2.汽（y廠才

r=li=l/,=1/=1

7

【答案】(1)變量x、y間的相關(guān)性很強(qiáng)；(2)

【解析】(1)￡(%-才力(％-y)2=5495,

f=li=l

7

1606-6x-x80

-------/2---?-1|r|?1e[0.75,1],故變量x、y間的相關(guān)性很強(qiáng).

V5495

Zx/-6/歹

1606—6x3.5x80

?-46=9一尻=80+4x3.5=94,

（2）b=-----------91—6x3.52

￡音-6x

（=1

故y=-4x+94,

當(dāng)再=1時，x=90；當(dāng)尤2=2時，乂=86;當(dāng)七=3時，%=82;當(dāng)％=4時，％=78;當(dāng)x§=5

時，％=74;當(dāng)天=6時，％=70.

與銷售數(shù)據(jù)對比可知滿足民2,…,6)的共有4個“有效數(shù)據(jù)”：(2,86)、(3,82).(4,78)

、(6,70).

給6組銷售數(shù)據(jù)編號，則從6組銷售數(shù)中任取2組有：(1,2)、(1,3)、(1,4)、(1,5).(1,6)、(2,

3).(2,4).(2,5),(2,6).(3,4).(3,5).(3,6),(4,5).(4,6).(5,6)共15種情況，

其中兩組都是有效數(shù)據(jù)的情況有6種，

抽取的2組銷售數(shù)據(jù)都是“有效數(shù)據(jù)”的概率為〃=9=2.

155

23.(2019屆云師大學(xué)附中高三一模)某果園種植“糖心蘋果”已有十余年，為了提高利潤，該果

園每年投入一定的資金，對種植、采摘、包裝、宣傳等環(huán)節(jié)進(jìn)行改進(jìn).如圖是2009年至2018年,

該果園每年的投資金額x（單位：萬元）與年利潤增量y（單位：萬元）的散點(diǎn)圖：

該果園為了預(yù)測2019年投資金額為20萬元時的年利潤增量，建立了y關(guān)于x的兩個回歸模型.

模型①：由最小二乘公式可求得y與x的線性回歸方程：y=2.50x-2.50；

模型②：由圖中樣本點(diǎn)的分布，可以認(rèn)為樣本點(diǎn)集中在曲線：y=）lnx+a的附近，對投資金額x

10101010

做交換，令，=Inx,則y=〃?f+a,且有2號=22.00,工y=230,=569.00,習(xí)；=50.92.

/=1/=1/=1/=!

年利潤增量y（萬元）

45

40

35

30

25

20

15

10

5

01234567891011121314151617181920

投資金額式萬元)

（1）根據(jù)所給的統(tǒng)計量，求模型②中y關(guān)于x的回歸方程;

（2）分別利用這兩個回歸模型，預(yù)測投資金額為20萬元時的年利潤增量（結(jié)果保留兩位小數(shù)）;

（3）根據(jù)下列表格中的數(shù)據(jù)，比較兩種模型的相關(guān)指數(shù)A2,并說明誰的預(yù)測值精度更高、更可

罪.

回歸模型模型①模型②

回歸方程y=2.50%-2.50y=h\nx+a

10.

102.2836.19

/=1

EU-?）（X-7）

附：樣本&,y）（i=l,2,…，小的最小乘估計公式為。=『----------，a=y-bT-,

—）2

f=l

2(必一力2

相關(guān)指數(shù)K=l—個一----.參考數(shù)據(jù)：In2?0.6931,In5PL6094.

E(x-y)2

Z=J

【答案】（1）y=251nx-32；（2）42.89（萬元）；（3）答案見解析.

1010

【解析】（1）由題意，知￡%=22.00,工》=230,可得亍=2.20,歹=23,

/=1/=1

￡（-）（》,-9）fr/TOT；

569.00-10x2.20x23

又由........../=1______________

ZU-F）2辦-心50.92-10x2.20x2.20

1=11=1

則4=了-標(biāo)=23-25x2.20=-32,

所以，模型②中y關(guān)于x的回歸方程3=251nx-32.

(2)當(dāng)x=20時，模型①的年利潤增量的預(yù)測值為￡=2.50x20—2.50=47.50(萬元),

當(dāng)x=20時，模型②的年利潤增量的預(yù)測值為

y=25xln20-32=25x(21n2+ln5)-32?25x(2x0.6931+1.6094)-32=42.89(75%).

102283649

(3)由表格中的數(shù)據(jù)，可得102.28>36.19,B[J,0>10,

Z(x-y)2E(X-7)2

/=1i=\

所以模型①的R2小于模型②，說明回歸模型②刻畫的擬合效果更好，

所以當(dāng)x=20時，模型②的預(yù)測值$=42.89比模型①的預(yù)測值$=47.50,精度更高、更可靠.

24.（廣西柳州市2021屆高三第一次模擬）某試驗(yàn)小組得到6組某植物每日的光照時間x（單位：

//）和每日平均增長高度y（單位：mm）的數(shù)據(jù)，現(xiàn)分別用模型①§=汨+由和模型②苧:泮仔對

以上數(shù)據(jù)進(jìn)行擬合，得到回歸模型，并計算出模型的殘差如下表：（模型①和模型②的殘差分別

為年和號，殘差號=》_外）

X5678910

y0.43.55.27.08.610.7

片-0.60.540.280.12-0.24-0.1

-0.631.712.101.63-0.7-5.42

（1）根據(jù)上表的殘差數(shù)據(jù)，應(yīng)選擇哪個模型來刻畫該植物每日的光照時間與每日平均增長高度

的關(guān)系較為合適，簡要說明理由；

（2）為了優(yōu)化模型，將（1）中選擇的模型殘差絕對值最大所對應(yīng)的一組數(shù)據(jù)（x,y）剔除，根據(jù)

剩余的5組數(shù)據(jù)，求該模型的回歸方程，并預(yù)測光照時間為Uh時，該植物的平均增長高度.

2

(剔除數(shù)據(jù)前的參考數(shù)據(jù)：x=7.5,3=5.9,￡x(.y.=299.8,￡x,=355,z=lny,z?1.41,

;=1f=l

6d-〃ry_

Z平產(chǎn)73.10,In10.7?2.37,e*。34a56.49.）參考公式：^=-^；------,%=y—為x.

/=1

【答案】（1）應(yīng)選擇模型①，理由見解析；（2）12.34mm.

【解析】（1）應(yīng)選擇模型①，

因?yàn)槟Ｐ廷倜拷M數(shù)據(jù)對應(yīng)的殘差絕對值都比模型②的小，殘差波動小，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水

平的帶狀區(qū)域內(nèi)，說明擬合精度高.（言之有理即可）

（2）由（1）知，需剔除第一組數(shù)據(jù)，得到下表

X678910

y3.55.27.08.610.7

則上表的數(shù)據(jù)中，元=7.5X6-5=8,5.9x6-0.4=7,5元y=280,5/=320,

55

55

=299.8-5x0.4=297.8,=355-25=330,

i=li=\

5

所以「2-^-----=2975-280=皿=i78,

6=阮=7-1.78x8=—7.24,

330-32010

i=l

得模型①的回歸方程為§=1.78%-7.24,

貝ijx=11時，$'=1.78x11-7.24=12.34mm,

當(dāng)光照時間為1lh時，該植物的平均增長高度為12.34mm.

25.（四川省樂山市高中2022屆第一次模擬）某校為紀(jì)念“12.9”運(yùn)動，組織了全校學(xué)生參加歷史

知識競賽，某教師從高一、高二年級各隨機(jī)抽取50名學(xué)生的競賽成績（滿分為10（）分），繪制成如

下所示的頻率分布直方圖：

(1)分別估計高一、高二競賽成績的平均值X與石(同一組中的數(shù)據(jù)以該組數(shù)據(jù)所在區(qū)間的中

點(diǎn)值為代表)；

(2)學(xué)校規(guī)定競賽成績不低于80分的為優(yōu)秀，根據(jù)所給數(shù)據(jù)，完成下面的2x2列聯(lián)表，并判斷

是否有90%的把握認(rèn)為競賽成績的優(yōu)秀與年級有關(guān)？

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計

高一年級

高二年級

合計100

附：K2=------巴絲士------其中"=a+6+c+d.

(a+b)(c+d)(〃+c)(b+d)

P(K2“。)0.150.100.050.01

k2.0722.7063.8416.635

【答案】(1)77.8,81.0；(2)列聯(lián)表見解析，沒有90%的把握認(rèn)為競賽成績優(yōu)秀跟年級有關(guān).

【解析】(1)高一年級隨機(jī)抽出50名學(xué)生競賽成績的平均值估計為：

,=(4x55+10x65+14x75+12x85+10x95)+50=77.8；

高二年級隨機(jī)抽出5()名學(xué)生競賽成績的平均值估計為：

兀=(2x55+8x65+10x75+18x85+12x95)+50=81.0.

(2)完成的2x2列聯(lián)表為：

非優(yōu)秀優(yōu)秀合計

高一年級282250

高二年級203050

合計4852100

2_100(28x30—22x20)2=100

50x50x48x52-~37

故沒有90%的把握認(rèn)為競賽成績優(yōu)秀跟年級有關(guān).

26.(山西省懷仁市第一中學(xué)校2021屆高三一模)5G網(wǎng)絡(luò)(5GNetwork)是第五代移動通信網(wǎng)絡(luò),

與之前的四代移動網(wǎng)絡(luò)相比較而言，5G網(wǎng)絡(luò)在實(shí)際應(yīng)用過程中表現(xiàn)出更加強(qiáng)大的功能.隨著5G

技術(shù)的誕生，用智能終端分享3。電影、游戲以及超高畫質(zhì)（U/7Q）節(jié)目的時代正向我們走來.某

機(jī)構(gòu)調(diào)查了某營業(yè)廳30位用戶的性別與升級5G套餐情況，得到的數(shù)據(jù)如下表所示：

不升級5G升級5G總計

男性用戶713

女性用戶14

總計30

（1）請將上述2x2列聯(lián)表補(bǔ)充完整，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為用戶升級5G套餐與性別有

關(guān)；

（2）若從這30名用戶的男性用戶中隨機(jī)抽取2人參加優(yōu)惠活動，記其中升級5G套餐用戶的人

數(shù)為X,求X的分布列和均值.

附：心=.7.一7眄、了匚~~,,n=a+b+c+d.

p(W0.150.100.050.0250.0100.0050.001

2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，有95%的把握認(rèn)為用戶升級5G套餐與性別有關(guān)；（2）分布列見解

析，中）=*

【解析】（1）依題意，完善表格如下：

不升級5G升級5G總計

男性用戶6713

女性用戶14317

總計201030

30x(14x7-6x3『

K2?4.344>3.841,

20x10x13x17

故有95%的把握認(rèn)為用戶升級5G套餐與性別有關(guān).

（2）依題意知X的可能取值為0,1,2,

C2c05c'c17c°c27

p(x=o)=Ea=2,尸(X=I)=上孕='P(X=2)=^p=

CZ26CZ13c”26

所以X的分布列為

X012

577

p

261326

577id

所以￡(X)=Ox—+lx—+2x一=一

26132613

27.（陜西省榆林市2021屆高三一模）國際學(xué)生評估項(xiàng)目（P/SA）,是經(jīng)濟(jì)合作與發(fā)展組織（OECD）

舉辦的，該項(xiàng)目的內(nèi)容是對15歲學(xué)生的閱讀、數(shù)學(xué)、科學(xué)能力進(jìn)行評價研究.在2018年的79

個參測國家（地區(qū)）的抽樣測試中，中國四省市（北京、上海、江蘇、浙江作為一個整體在所有

參測國家（地區(qū)）取得全部3項(xiàng)科目中第一的好成績，某機(jī)構(gòu)為了分析測試結(jié)果優(yōu)劣的原因，從

參加測試的中國學(xué)生中隨機(jī)抽取了200名參賽選手進(jìn)行調(diào)研，得到如下統(tǒng)計數(shù)據(jù):

成績一

成績優(yōu)秀總計

般

家長高度重視學(xué)生教育90Xy

家長重視學(xué)生教育度一

30ZCD

般

總計12080200

若從上表“家長高度重視學(xué)生教育”的參測選手中隨機(jī)抽取一人，則選到的是“成績一般”的選手的

概率為二.

13

（1）判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為“學(xué)生取得的成績情況”與“家長對學(xué)生的教育重視程度”有關(guān);

（2）現(xiàn)從成績優(yōu)秀的選手中按照分層抽樣的方法抽取20