不等式的基本性質(zhì)

選修4-51.1.1不等式的基本性質(zhì)同解不等式:形式不同但解相同的不等式.絕對(duì)不等式、條件不等式、矛盾不等式.其它重要概念:基本概念Ox1.實(shí)數(shù)在數(shù)軸上的性質(zhì):數(shù)軸上的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)p2基本理論

實(shí)數(shù)研究不等式的出發(fā)點(diǎn)是實(shí)數(shù)的大小關(guān)系。數(shù)軸上的點(diǎn)與實(shí)數(shù)一一對(duì)應(yīng)，因此可以利用數(shù)軸上點(diǎn)的左右位置關(guān)系來規(guī)定實(shí)數(shù)的大小：ＡＢaba<bxＡＢaba>bx用數(shù)學(xué)式子表示為:

設(shè)a、b是兩個(gè)實(shí)數(shù)，它們?cè)跀?shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A、B，

關(guān)于a，b的大小關(guān)系，有以下基本事實(shí):如果a>b，那么a-b是正數(shù)；如果a=b，那么a-b等于零；如果a<b，那么a-b是負(fù)數(shù)；反過來也對(duì).基本理論那么，當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊時(shí)，a<b；當(dāng)點(diǎn)A在點(diǎn)B的右邊時(shí)，a>b.表示“等價(jià)于”上式中的左邊部分反映的是實(shí)數(shù)的大小順序，而右邊部分則是實(shí)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，合起來就成為實(shí)數(shù)的大小順序與運(yùn)算性質(zhì)之間的關(guān)系.這一性質(zhì)不僅可以用來比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小，而且是推導(dǎo)不等式的性質(zhì)、不等式的證明、解不等式的主要依據(jù).基本理論要比較兩個(gè)實(shí)數(shù)a與b的大小，可以轉(zhuǎn)化為比較它們的差a

-

b

與0的大小.在這里，0為實(shí)數(shù)比較大小提供了“標(biāo)桿”.思考：從上述事實(shí)出發(fā)，你認(rèn)為可以用什么方法比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小？基本方法例1比較解：

>0作差變形斷號(hào)作結(jié)：作差比較大小分四步進(jìn)行常見的變形手段是:通分、因式分解或配方等；變形的結(jié)果是常數(shù)、若干個(gè)因式的積或完全平方式等.與＜＜作差斷號(hào)作結(jié)變形課堂訓(xùn)練等式有“等式兩邊加或減同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立”，“等式兩邊乘或除以同一個(gè)數(shù)，等式仍然成立”等性質(zhì)，類比等式的基本性質(zhì)，不等式有哪些基本性質(zhì)呢？等式的基本性質(zhì)是從數(shù)的運(yùn)算的角度提出的。同樣的，由于不等式也研究實(shí)數(shù)之間的關(guān)系，所以聯(lián)系實(shí)數(shù)的運(yùn)算（加，減，乘，除，乘方，開方等）來思考不等式的基本性質(zhì)非常自然的。研究實(shí)數(shù)的關(guān)系時(shí)聯(lián)系實(shí)數(shù)的運(yùn)算，是一種基本的數(shù)學(xué)思想嘗試探索，建立新知由兩個(gè)實(shí)數(shù)大小關(guān)系的基本事實(shí)，得出不等式的基本性質(zhì):對(duì)稱性傳遞性加法法則乘法法則乘方法則開方法則基本性質(zhì)注意：1.注意公式成立的條件，要特別注意“符號(hào)問題”；2.以上不等式的基本性質(zhì)可以得到嚴(yán)格證明；2.要會(huì)用自然語言描述上述基本性質(zhì)；3.上述基本事實(shí)和基本性質(zhì)是我們處理不等式問題的理論基礎(chǔ).(同向不等式相加)例如，利用不等式的基本性質(zhì)可以得到下列結(jié)論：(同向正數(shù)不等式相乘)(移項(xiàng)法則)＞（同號(hào)兩數(shù)，大的倒數(shù)較小，小的倒數(shù)較大。）＞（ⅲ）＜(ⅳ)【即時(shí)小測(cè)】1.若a<b<0,則下列結(jié)論不正確的是(

)A.a2<b2 B.ab<a22.下列不等式:(1)x2+3>2x(x∈R).(2)a5+b5≥a3b2+a2b3(a,b∈R).(3)a2+b2≥2(a-b-1).其中正確的個(gè)數(shù)(

)A.0 B.1 C.2 D.3類型一作差法比較大小【典例】設(shè)m≠n,x=m4-m3n,y=n3m-n4,比較x與y的大小.【解題探究】比較兩個(gè)多項(xiàng)式的大小常用的方法是什么?提示:常用作差比較法.類型二不等式性質(zhì)的簡(jiǎn)單應(yīng)用【典例】判斷下列命題是否正確,并說明理由.(1)a>b>0,則(2)c>a>b>0,則(3)若,則ad>bc.(4)設(shè)a,b為正實(shí)數(shù),若a-<b-,則a<b.【方法技巧】1.利用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的技巧(1)要判斷一個(gè)命題為真命題,必須嚴(yán)格證明.(2)要判斷一個(gè)命題為假命題,或者舉反例,或者由題中條件推出與結(jié)論相反的結(jié)果.其中,舉反例在解選擇題時(shí)用處很大.2.運(yùn)用不等式的性質(zhì)判斷命題真假的三點(diǎn)注意事項(xiàng)(1)倒數(shù)法則要求兩數(shù)同號(hào).(2)兩邊同乘以一個(gè)數(shù),不等號(hào)方向是否改變要視此數(shù)的正負(fù)而定.(3)同向不等式可以相加,異向不等式可以相減.a2+b2≥2ab一、重要不等式：文字語言：兩個(gè)數(shù)的平方和不小于它們積的2倍

（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）一般地，對(duì)于任意實(shí)數(shù)a,b，我們有

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，等號(hào)成立。兩個(gè)正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù)。二、定理2（基本不等式）如果a,b>0,那么如果a,b都是正數(shù)，我們就稱為a,b的算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)這樣，基本不等式可以表述為：注意：1、重要不等式與基本不等式有什么區(qū)別與聯(lián)系？基本不等式可以看作是重要不等式的變形，但它們的前提條件不同。重要不等式中a,b屬于全體實(shí)數(shù)，而基本不等式中a,b均為大于0的實(shí)數(shù)。2、重要不等式與基本不等式的幾個(gè)推廣公式：（當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)，取“=”號(hào)）算術(shù)平均數(shù)幾何平均數(shù)平方平均數(shù)調(diào)和平均數(shù)例2：若，則（）（1）（2）（3）B例1：設(shè)a>0，b>0，給出下列不等式其中成立的是

等號(hào)能成立的是

。（1）（2）（3）(4)題型一：利用基本不等式判斷代數(shù)式的大小關(guān)系題型二：解決最大（小）值問題（1）一正：各項(xiàng)均為正數(shù)（2）二定：兩個(gè)正數(shù)積為定值，和有最小值。兩個(gè)正數(shù)和為定值，積有最大值。（3）三相等：求最值時(shí)一定要考慮不等式是否能取“＝”。結(jié)論：利用求最值時(shí)要注意下面三條：積定，和最小和定，積最大2、已知?jiǎng)txy的最大值是

。1、當(dāng)x>0時(shí)，的最小值為

，此時(shí)x=

。21

3、若實(shí)數(shù)，且，則的最小值是（）

A、10B、C、D、D練習(xí)：例4、求函數(shù)的最小值題型三：構(gòu)造積為定值，利用基本不等式求最值例5、求函數(shù)的最小值例6、已知正數(shù)x、y滿足2x+y=1，求的最小值例7、求函數(shù)的值域題