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第10講可化為一元一次方程的分式方程及整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算(6大考點(diǎn))考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、分式方程、根與增根1.分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋:(1)分式方程的重要特征:①是等式;②方程里含有分母;③分母中含有未知數(shù).(2)分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)(不是一般的字母系數(shù)).分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程,分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.(3)分式方程和整式方程的聯(lián)系:分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn)分式方程的解也叫作分式方程的根.在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中,如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O,那么它是原分式方程的一個(gè)根;如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為O,那么它不是原分式方程的根,稱它是原方程的增根.要點(diǎn)詮釋:(1)增根的產(chǎn)生的原因:對(duì)于分式方程,當(dāng)分式中,分母的值為零時(shí),無意義,所以分式方程,不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值,即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件.當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后,這種限制取消了,換言之,方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了,如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值,那么就會(huì)出現(xiàn)增根.(2)檢驗(yàn)增根的方法:把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母,看最簡(jiǎn)公分母是否為0,如果為0,則是增根;如果不是0,則是原分式方程的根.二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想:將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母,去掉分母.在去分母這一步變形時(shí),有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根,這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根,所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2.分式方程的一般步驟:(1)方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母,去掉分母,化成整式方程(注意:當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí),先分解因式,再找出最簡(jiǎn)公分母);(2)解這個(gè)整式方程,求出整式方程的解;(3)檢驗(yàn):將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母,若最簡(jiǎn)公分母不等于0,則這個(gè)解是原分式方程的解,若最簡(jiǎn)公分母等于0,則這個(gè)解不是原分式方程的解,原分式方程無解.三、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行:(1)審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義,弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系;(2)設(shè)未知數(shù);(3)找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系,列出分式方程;(4)解這個(gè)分式方程;(5)驗(yàn)根,檢驗(yàn)是否是增根;(6)寫出答案.要點(diǎn)詮釋:1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟:設(shè)、列、解、驗(yàn)、答.必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題,規(guī)范解題步驟,另外還要注意完整性:如設(shè)和答敘述要完整,要寫出單位等.2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系,如行程問題:速度=路程時(shí)間;工作量問題:工作效率=工作量工作時(shí)間等等.列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意,找相等關(guān)系是著眼點(diǎn),要學(xué)會(huì)分析題意,提高理解能力.四.零指數(shù)冪零指數(shù)冪:a0=1(a≠0)由am÷am=1,am÷am=am﹣m=a0可推出a0=1(a≠0)注意:00≠1.五.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:a﹣p=1ap(a≠0,p為正整數(shù))注意:①a≠0;②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí),一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算,避免出現(xiàn)(﹣3)﹣2=(﹣3)×(﹣2)的錯(cuò)誤.③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí),只要把分子、分母顛倒,負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).④在混合運(yùn)算中,始終要注意運(yùn)算的順序.考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一.分式方程的定義(共1小題)1.(2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考)下列各式中屬于分式方程的是()A. B. C. D.【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案.分式方程的定義:分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程.【解答】解:(A)是一元一次方程,不是分式方程,故本選項(xiàng)不合題意;(B)是一元二次方程,不是分式方程,故本選項(xiàng)不合題意;(C)是分式方程,故本選項(xiàng)符合題意;(D)不是方程,故本選項(xiàng)不合題意;故選:C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程,解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的定義,本題屬于基礎(chǔ)題型.二.分式方程的解(共3小題)2.(2021秋?寶山區(qū)期末)如果關(guān)于x的方程無解,那么k=2.【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,由分式方程無解確定出x的值,代入整式方程計(jì)算即可求出k的值.【解答】解:去分母得:x+2x﹣4=k,由分式方程無解,得到x﹣2=0,即x=2,把x=2代入整式方程得:k=2,故答案為:2.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解,始終注意分母不為0這個(gè)條件.3.(2020秋?靜安區(qū)期末)若關(guān)于x的方程無解,則a的值為﹣1或﹣2或﹣.【分析】先根據(jù)等式的基本性質(zhì)把分式方程化成整式方程,整理后分類:①x的系數(shù)為0;②x的系數(shù)不等于0,此時(shí)整式方程的解是原分式方程的增根,再進(jìn)行討論.【解答】解:去分母得,x﹣2+a(x﹣1)=2a+2,整理得,(a+1)x=3a+4,①a+1=0,且3a+4≠0,解得a=﹣1;②a+1≠0,此時(shí)x=,原分式方程無解,則﹣1=0或﹣2=0,解得a=﹣或a=﹣2.∴a的值為﹣1或﹣2或﹣.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的求解問題,解答此題的關(guān)鍵是要明確分式方程無解的兩種情況.4.(2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中)已知關(guān)于x的方程+=無解,求a的值.【分析】直接利用分式方程的解的意義分別分析得出答案.【解答】解:方程兩邊同乘以(x﹣2)(x﹣1),得:x﹣2+a(x﹣1)=2a+2,化簡(jiǎn)得:(1+a)x=3a+4,當(dāng)a=﹣1時(shí),原方程無解,x可能的增根是x=1或x=2,當(dāng)x=1時(shí),a=﹣1.5,當(dāng)x=2時(shí),a=﹣2,∴當(dāng)a=﹣1.5或﹣2時(shí),原方程唯一的實(shí)根是增根,原方程無解,∴a=﹣1.5或﹣2或﹣1時(shí)原方程無解.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的解,正確分類討論是解題關(guān)鍵.三.解分式方程(共5小題)5.(2020秋?奉賢區(qū)期末)已知a和b兩個(gè)有理數(shù),規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為:a*b=(其中a+b≠0),若m*=﹣,則m=.【分析】已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn),計(jì)算即可求出m的值.【解答】解:已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)得:=﹣,即=﹣整理得:3(2m+3)=﹣5(2m﹣3),去括號(hào)得:6m+9=﹣10m+15,移項(xiàng)合并得:16m=6,解得:m=,經(jīng)檢驗(yàn)m=是分式方程的解,則m=.故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程,弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵.6.(2021秋?普陀區(qū)期末)解方程:1+=.【分析】按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答.【解答】解:1+=,1﹣x2+1=x(1﹣x),解得:x=2,檢驗(yàn):當(dāng)x=2時(shí),1﹣x2≠0,∴x=2是原方程的根.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程,一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn).7.(2021秋?寶山區(qū)期末)解方程:=﹣1.【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.【解答】解:分式方程變形得:=﹣﹣1,去分母得:3=﹣4﹣(x﹣2),去括號(hào)得:3=﹣4﹣x+2,解得:x=﹣5,檢驗(yàn):把x=﹣5代入得:x﹣2≠0,∴分式方程的解為x=﹣5.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想,解分式方程注意要檢驗(yàn).8.(2021秋?浦東新區(qū)期末)解方程:.【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程,求出整式方程的解得到x的值,經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解.【解答】解:去分母得:x2﹣1﹣x2﹣x=2x﹣2,解得:x=,經(jīng)檢驗(yàn)x=是分式方程的解.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程,利用了轉(zhuǎn)化的思想,解分式方程注意要檢驗(yàn).9.(2020秋?浦東新區(qū)期末)解分式方程:﹣=1﹣.【分析】根據(jù)解分式方程的過程進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:去分母得:x﹣1+x+1=x2﹣1﹣x2,移項(xiàng),合并同類項(xiàng)得2x=﹣1,系數(shù)化為1得x=﹣,檢驗(yàn):把x=﹣代入x2﹣1≠0,所以原方程的解為x=﹣.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程,解決本題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法,注意解分式方程要驗(yàn)根.四.分式方程的增根(共2小題)10.(2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中)當(dāng)m=6或﹣4時(shí),關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根.【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根.把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值.【解答】解:方程兩邊都乘(x+2)(x﹣2),得2(x+2)+mx=3(x﹣2),∵最簡(jiǎn)公分母為(x+2)(x﹣2),∴原方程增根為x=﹣2或2,∴把x=﹣2代入整式方程,得﹣2m=﹣12,解得m=6;把x=2代入整式方程,得8+2m=0,解得m=﹣4.故答案為:6或﹣4.【點(diǎn)評(píng)】考查了分式方程的增根,增根確定后可按如下步驟進(jìn)行:①化分式方程為整式方程;②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值.11.(2021秋?徐匯區(qū)月考)在去分母解關(guān)于x的分式方程的過程中產(chǎn)生增根,則a=4.【分析】分式方程去分母后轉(zhuǎn)化為整式方程,由解關(guān)于x的分式方程的過程中產(chǎn)生增根得到x=4,代入整式方程即可求出a的值.【解答】解:方程兩邊同乘x?4得:x=2(x﹣4)+a,∵關(guān)于x的分式方程有增根,∴x﹣4=0,解得x=4,將x=4代入方程x=2(x﹣4)+a,得:4=2(4﹣4)+a,解得:a=4.故答案為:4.【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根,分式方程的增根即為最簡(jiǎn)公分母為0時(shí)x的值.五.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪(共7小題)12.(2021秋?寶山區(qū)期末)將寫成不含分母的形式,其結(jié)果為3a?(2a﹣b)﹣2.【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)將原式變形進(jìn)而得出答案.【解答】解:=3a?(2a﹣b)﹣2.故答案為:3a?(2a﹣b)﹣2.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì),正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵.13.(2021秋?浦東新區(qū)期末)將代數(shù)式化為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式.【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:=÷=?=,故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪,有理數(shù)的乘方,熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵.14.(2020秋?寶山區(qū)期末)將2a2(a﹣b)﹣1寫成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式,其結(jié)果為.【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可.【解答】解:2a2(a﹣b)﹣1=2a2×=,故答案為:.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,關(guān)鍵是掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪:a﹣p=(a≠0,p為正整數(shù)).15.(2021秋?寶山區(qū)期末)計(jì)算:(x﹣1+y﹣1)÷(x﹣2﹣y﹣2)【分析】首先應(yīng)用平方差公式,可得(x﹣2﹣y﹣2)=(x﹣1+y﹣1)(x﹣1﹣y﹣1),據(jù)此推得(x﹣1+y﹣1)÷(x﹣2﹣y﹣2)=;然后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算方法,求出算式的值是多少即可.【解答】解:(x﹣1+y﹣1)÷(x﹣2﹣y﹣2)=(x﹣1+y﹣1)÷[(x﹣1+y﹣1)(x﹣1﹣y﹣1)]===【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算,要熟練掌握,解答此題的關(guān)鍵是要明確:①a﹣p=(a≠0,p為正整數(shù));②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí),一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算;③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí),只要把分子、分母顛倒,負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù).16.(2020秋?虹口區(qū)期末)計(jì)算:.【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、化除法為乘法;然后計(jì)算乘法;最后計(jì)算加法.【解答】解:===.【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,零指數(shù)冪以及有理數(shù)的加減混合運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)計(jì)算題.17.(2020秋?奉賢區(qū)期末)計(jì)算:.【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、分式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案.【解答】解:原式===.【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分式的加減,正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.18.(2020秋?浦東新區(qū)期末)ab(a﹣2+b﹣2).(結(jié)果只含有正整數(shù)指數(shù)冪)【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,可以根據(jù)題目的中的要求進(jìn)行轉(zhuǎn)化,從而可以解答本題.【解答】解:ab(a﹣2+b﹣2)=ab()==.【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪,解答本題的關(guān)鍵是利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪解答問題.六、分式方程的應(yīng)用1.(浦東四署2020期末26)書店老板去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種圖書.第一次用1200元購(gòu)書若干本,并按該書定價(jià)7元出售,很快售完.由于該書暢銷,第二次購(gòu)書時(shí),每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%,他用1500元所購(gòu)該書數(shù)量比第一次多10本.當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí),出現(xiàn)滯銷,便以定價(jià)的4折售完剩余的書.試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了,還是賺錢了(不考慮其它因素)?若賠錢,賠多少?若賺錢,賺多少?【答案】賺了;共賺了520元;【解析】解:設(shè)第一次購(gòu)書的單價(jià)為x元,第二次購(gòu)書的單價(jià)為1.2x元.根據(jù)題意得:,解得:,經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的解.所以第一次購(gòu)書為:(本),第二次購(gòu)書為240+10=250(本),第一次賺錢為元,第二次賺錢:=40元,故兩次一共賺錢:480+40=520元.答:該老板兩次售書總體上是賺錢了,共賺了520元.2、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動(dòng),已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹,甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等.求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹?【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系為:甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等.【答案與解析】解:設(shè)甲班每小時(shí)種棵樹,則乙班每小時(shí)種棵樹.由題意可,得,解這個(gè)方程,得.經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意.所以(棵).答:甲班每小時(shí)種20棵樹,乙班每小時(shí)種22棵樹.【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后,用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時(shí)間.3.在我市開展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動(dòng)中,某工程隊(duì)承擔(dān)了某小區(qū)900米長(zhǎng)的污水管道改造任務(wù).工程隊(duì)在改造完360米管道后,引進(jìn)了新設(shè)備,每天的工作效率比原來提高了20%,結(jié)果共用27天完成了任務(wù),問引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道多少米?【答案】解:設(shè)原來每天改造管道x米,由題意得:+=27,解得:x=30,經(jīng)檢驗(yàn):x=30是原分式方程的解,(1+20%)x=1.2×30=36.答:引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道36米.4、某市在道路改造過程中,需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為1000米的管道,決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成這一工程.已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米,且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同.(1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米?(2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天,那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來.【答案與解析】解:(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米,則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米.根據(jù)題意,得.解得.經(jīng)檢驗(yàn),是原分式方程的解且符合題意.故甲、乙兩工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)70米和50米.(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)米,則分配給乙工程隊(duì)米.由題意,得解得500≤≤700.方案一:分配給甲工程隊(duì)500米,分配給乙工程隊(duì)500米.方案二:分配給甲工程隊(duì)600米,分配給乙工程隊(duì)400米.方案三:分配給甲工程隊(duì)700米,分配給乙工程隊(duì)300米.所以分配方案有3種.【總結(jié)升華】本題主要考查列分式方程解應(yīng)用題,考查學(xué)生分析和解決問題的能力.5.一慢車和一快車沿相同路線從A地到B地,慢車比快車早出發(fā)2小時(shí),在離A地276公里處快車追上了慢車,慢車的速度是快車的,求慢車、快車的速度.【答案】解:設(shè)快車速度為,則慢車速度為依題意,得,去分母,得276×2=276×3-4,所以,經(jīng)檢驗(yàn)知是原方程的解,所以,答:慢車、快車的速度分別為46、69.鞏固提升鞏固提升一、單選題1.(2020·上海市澧溪中學(xué)七年級(jí)月考)下列等式是四位同學(xué)解方程過程中去分母的一步,其中正確的是()A. B. C. D.【答案】D【分析】去分母根據(jù)的是等式的性質(zhì)2,方程的兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母,即可將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.【詳解】方程的兩邊同乘,得:,即,故選:D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)和解分式方程,注意:去分母時(shí),不要漏乘不含分母的項(xiàng).2.(2019·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考)若方程有一個(gè)根是x=1,則m的值是()A. B. C. D.【答案】D【分析】將x=1代入方程得到關(guān)于m的方程,即可求出m的值.【詳解】將x=1代入方程得:,解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程,由分式的解得到關(guān)于m的分式方程是解題的關(guān)鍵.3.(2020·上海寶山·七年級(jí)期末)去分母解關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根,則m的值為()A.2 B. C.1 D.【答案】D【分析】先把分式方程化為整式方程,由于原分式方程有增根,則有x?2=0,得到x=2,即增根只能為2,然后把x=2代入整式方程即可得到m的值.【詳解】解:方程兩邊乘(x?2)得,x?3=m,∵分式方程有增根,∴x?2=0,即x=2,∴2?3=m,∴m=?1.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程有增根,求方程中的參數(shù),掌握增根的定義是解題關(guān)鍵.4.(2019浦東四署12月考5)如果關(guān)于x的方程無解,則m的值是()A.-1;B.1;C.0;D.2.【答案】B;【解析】解:去分母得,得,依題可知為方程的增根,故即.5.(盧灣中學(xué)2020期末4)是下列哪個(gè)分式方程的解()A. B. C. D.【答案】D;【解析】解:當(dāng)時(shí),A.中,的分母等于0,分式無意義,A錯(cuò)誤;B.中,,分母等于0,分式無意義,B錯(cuò)誤;C.中,的分母等于0,分式無意義,C錯(cuò)誤;D.中,,D正確.故答案是:D.二、填空題6.(2021·上海浦東新·七年級(jí)期末)A、B兩地相距121千米,甲車和乙車的平均速度之比為4:5,兩車同時(shí)從A地出發(fā)到B地,乙車比甲車早到20分鐘,求甲車的平均速度.若設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí),則所列方程是__________.【答案】【分析】設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí),則乙車平均速度為5x千米/小時(shí),根據(jù)甲車比乙車多用了20分鐘的等量關(guān)系列出方程即可.【詳解】解:設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí),則乙車平均速度為5x千米/小時(shí),根據(jù)題意得:故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程,關(guān)鍵是設(shè)出速度,以時(shí)間差作為等量關(guān)系列方程.7.(嘉定區(qū)2020期末15)將分式表示成不含有分母的形式:_________________.【答案】;【解析】解:,故答案為:.8.(延安初中2020期末1)PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm0.0000025m)的顆粒物,含有大量有毒、有害物質(zhì),也稱可入肺顆粒物.將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為_______________.【答案】;【解析】解:由題意得:;故答案為:.9.(西南模2019期中12)若關(guān)于x的方程有增根,則m=.【答案】;【解析】解:=,∴m=2x2﹣25,∵方程有增根,∴x=3或x=4,∴m=﹣7或m=7,故答案為±7.10.(浦東四署2020期末14)將寫成不含分母的形式:.【答案】;【解析】解:.三、解答題11.(2020·上海市中國(guó)中學(xué)七年級(jí)月考)解方程:【答案】x=-5.【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟求出x的值即可.【詳解】解:去分母得,10+5x=2x-5移項(xiàng),得:5x-2x=-5-10合并同類項(xiàng)得:3x=-15系數(shù)化為1,得:x=-5.經(jīng)檢驗(yàn)x=-5是原分式方程的解.∴原分式方程的解為x=-5.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法,解分式方程時(shí)注意要檢驗(yàn).12.(2019·上海奉賢·七年級(jí)期末)解方程:.【答案】【分析】按照解分式方程的步驟,先去分母,再解整式方程,最后檢驗(yàn)即可.【詳解】解:,方程兩邊同時(shí)乘得,,解得,,檢驗(yàn):當(dāng)時(shí),,所以,原分式方程的解為.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法,要注意分式方程需要檢驗(yàn).13.(2019·上海市控江初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考)當(dāng)m為何值時(shí),關(guān)于x的方程,無解。【答案】或【分析】先將分式方程化為整式方程,然后分未知數(shù)的系數(shù)為0和不為0兩種情況討論【詳解】解:去分母,整理得,當(dāng)即時(shí),此方程無解;當(dāng)時(shí),,由題意知方程有增根,且增根為,解得,綜上所述,當(dāng)或時(shí),原方程無解.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題,解題時(shí)要注意原方程無解既可能是有增根,也可能是整式方程無解.14.(浦東四署2020期末21)計(jì)算:.【答案】;【解析】解:原式=.15.(盧灣中學(xué)2020期末21)計(jì)算:.(結(jié)果用正整數(shù)指數(shù)冪形式表示)【答案】;【解析】解:原式.16.(2019·上海市控江初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考)解分式方程:【答案】.【分析】將方程兩邊變形,先消去分子中的未知數(shù)然后進(jìn)一步求解.【詳解】解:由于解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程,對(duì)于較復(fù)雜的分式方程,要想辦法進(jìn)行化簡(jiǎn),一般不要直接去分母把方程化成高次數(shù)方程求解.17.(浦東南片2020期末25)已知,求的值.【答案】;【解析】解:∵,左邊=,右邊=,所以,解得:.把,代入,.18.(2020·上海市中國(guó)中學(xué)七年級(jí)月考)為了防止霧霾,某口罩生產(chǎn)企業(yè)需要在若干天內(nèi)加工2400個(gè)口罩,在實(shí)際生產(chǎn)中,由于提高了生產(chǎn)技術(shù)水平,每天加工的個(gè)數(shù)為原來的1.5倍,從而提前2天完成任務(wù),問該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩?【答案】400.【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系為:原計(jì)劃所用天數(shù)-實(shí)際所用天數(shù)=2,把相關(guān)數(shù)值代入整理即可.【詳解】解:設(shè)該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x個(gè)口罩,依題意得:解之得:x=400.答:該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)400個(gè)口罩.【點(diǎn)睛】考查列分式方程;得到原計(jì)劃所用天數(shù)與實(shí)際所用天數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵.19.(2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中)學(xué)生小李為使跳繩200次所用的時(shí)間減少10秒,必須把每秒鐘的跳繩次數(shù)增加10%,問小李原來跳繩200次所用的時(shí)間是多少秒?【答案】小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為110秒.【分析】由題意設(shè)小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為x秒,根據(jù)單位跳繩次數(shù)×?xí)r間=總次數(shù)列出方程求解即可.【詳解】解:設(shè)小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為x秒.根據(jù)題意得.解得:x=110.經(jīng)檢驗(yàn):x=110是原方程的根.答:小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為110秒.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用,解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題并從中找到等量關(guān)系.20.(2020·上海寶山·七年級(jí)期末)小麗乘出租車去體育場(chǎng),有兩條路線可供選擇:路線一的全程是25千米,但交通比較擁堵;路線二的全程是30千米,平均車速比走路線一的平均車速能提高50%,因此能比路線一節(jié)省10分鐘到達(dá).那么選走路線二去體育場(chǎng)需要多少時(shí)間?【答案】小麗選走路線二去體育場(chǎng)需要小時(shí)【分析】設(shè)小麗走路線一的平均速度是x千米/小時(shí),則小麗走路線二的平均速度是x(1+50%)千米/小時(shí),根據(jù)走路線二比走路線一少用10分鐘建立方程求出x,即可求出結(jié)論.【詳解】解:設(shè)小麗走路線一的平均速度是x千米/小時(shí),則走路線二的平均速度是x(1+50%)千米/小時(shí),由題意,得,解得:x=30,經(jīng)檢驗(yàn),x=30是原方程的解且符合題意.故選走路線二去體育場(chǎng)需要=(小時(shí)).答:小麗選走路線二去體育場(chǎng)需要小時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用,弄清題意,根據(jù)條件找到等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵,解分式方程要驗(yàn)根是必不可少的步驟.21.(2019·上海市控江初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考)A、B兩地相距20千米,甲騎自行車自A地出發(fā)向B地方向行進(jìn)30分鐘后,乙騎自行車自B地出發(fā)向A地駛?cè)?,甲乙二人在B地12千米的C地相遇,若乙的速度是甲的速度的3倍,求甲乙兩人各自的速度。(要求列分式方程求解)【答案】甲的速度為8千米/時(shí),乙的速度為24千米/時(shí).【分析】設(shè)甲的速度為x千米/時(shí),則乙的速度為3x千米/時(shí),根據(jù)題中等量關(guān)系列出分式方程即可求解.【詳解】解:設(shè)甲的速度為x千米/時(shí),乙的速度為3x千米/時(shí),則有解得:x=8經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解,則3x=24.答:甲的速度為8千米/時(shí),乙的速度為24千米/時(shí).【點(diǎn)睛】本題考查用分式方程解決行程問題;關(guān)鍵是根據(jù)時(shí)間得到相應(yīng)的等量關(guān)系.22.(2019·上海奉賢·七年級(jí)期末)甲安裝隊(duì)為A小區(qū)安裝66臺(tái)空調(diào),乙安裝隊(duì)為B小區(qū)安裝60臺(tái)空調(diào),兩隊(duì)同時(shí)開工且恰好同時(shí)完工,甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多安裝2臺(tái),兩隊(duì)分別每天安裝幾臺(tái)空調(diào)?【答案】甲隊(duì)每天安裝22臺(tái)空調(diào),乙隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào).【分析】設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)空調(diào),則甲隊(duì)每天安裝(x+2)臺(tái)空調(diào),然后根據(jù)等量關(guān)系“兩隊(duì)同時(shí)開工且恰好同時(shí)完工”列出分式方程并解答即可.【詳解】解:設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)空調(diào),則甲隊(duì)每天安裝(x+2)臺(tái)空調(diào),根據(jù)題意得:,解得x=20,經(jīng)檢驗(yàn),x=20是原方程的根∴甲隊(duì)每天安裝x+2=20+2=22(臺(tái)),乙隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào).答:甲隊(duì)每天安裝22臺(tái)空調(diào),乙隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào).【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用,根據(jù)題意列出分式方程并正確求解成為解答本題的關(guān)鍵.23.(川中南2020期末28)多多果品店在批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種水果銷售,第一次用1200元購(gòu)進(jìn)若干千克,由于水果暢銷,很快售完,第二次用1430元購(gòu)買了一批水果,每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了,所購(gòu)買的水果的數(shù)量比第一次多20千克,求第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元?【答案】5元;【解析】解:設(shè)第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克x元,依題意得:,解之得:,經(jīng)檢驗(yàn),是原方程的解并符合題意,所以,原方程的解是.答:第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克5元.24.(延安初中2020期末29)甲、乙兩車同時(shí)從相距千米的地到地,甲比乙晚出發(fā)分鐘,結(jié)果乙比甲晚到分鐘,已知甲車平均速度是乙車平均速度的倍,求甲車的平均速度.【答案】45千米/時(shí);【解析】解:設(shè)乙車的平均速度為x千米/時(shí),則甲車的平均速度為1.5x千米/時(shí),依題意得:解得,x=30.經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解,∴甲車的平均速度是1.5x=1.530=45(千米/時(shí)),答:甲車的平均速度是45千米/時(shí).25.(2019·上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)七年級(jí)期中)一水果店主分兩批購(gòu)進(jìn)某一種水果,第一批所用資金為2400元,因天氣原因,水果漲價(jià),第二批所用資金是2700元,但由于第二批單價(jià)比第一批單價(jià)每箱多10元,以致購(gòu)買的數(shù)量比第一批少25%.(1)該水果店主購(gòu)進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是多少元?(2)該水果店主計(jì)兩批水果的售價(jià)均定為每箱40元,實(shí)際銷售時(shí)按計(jì)劃無損耗售完第一批后,發(fā)現(xiàn)第二批水果品質(zhì)不如第一批,于是該店主將售價(jià)下降a%銷售,結(jié)果還是出現(xiàn)了20%的損耗,但這兩批水果銷售完后仍賺了不低于1716元,求a的最大值.【答案】(1)水果店主購(gòu)進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元;(2)a的最大值是30.【分析】(1)根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程,從而可以解答本題,注意分式方程要檢驗(yàn);(2)根據(jù)題意可以得到關(guān)于a的不等式,從而可以求得a的最大值.【詳解】(1)設(shè)第一批水果的單價(jià)是x元,,解得,x=20,經(jīng)檢驗(yàn),x=20是原分式方程的解,答:水果店主購(gòu)進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元;(2)由題意可得,,解得,a≤30,答:a的最大值是30.【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用,解答本題的關(guān)鍵是明確題意,列出相應(yīng)的方程和不等式,利用分式方程和不等式的性質(zhì)解答.26.(2018·上
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