第10講 可化為一元一次方程的分式方程及整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）（解析版）

第10講可化為一元一次方程的分式方程及整數(shù)指數(shù)冪及其運(yùn)算（6大考點(diǎn)）考點(diǎn)考向考點(diǎn)考向一、分式方程、根與增根1.分式方程分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程.要點(diǎn)詮釋：（1）分式方程的重要特征：①是等式；②方程里含有分母；③分母中含有未知數(shù).（2）分式方程和整式方程的區(qū)別就在于分母中是否有未知數(shù)（不是一般的字母系數(shù)）.分母中含有未知數(shù)的方程是分式方程，分母中不含有未知數(shù)的方程是整式方程.（3）分式方程和整式方程的聯(lián)系：分式方程可以轉(zhuǎn)化為整式方程.2.分式方程的根、增根及檢驗(yàn)分式方程的解也叫作分式方程的根．在檢驗(yàn)時(shí)只要把所求出的未知數(shù)的值代入最簡(jiǎn)公分母中，如果它使最簡(jiǎn)公分母的值不等于O，那么它是原分式方程的一個(gè)根；如果它使最簡(jiǎn)公分母的值為O，那么它不是原分式方程的根，稱它是原方程的增根．要點(diǎn)詮釋：（1）增根的產(chǎn)生的原因：對(duì)于分式方程，當(dāng)分式中，分母的值為零時(shí)，無意義，所以分式方程，不允許未知數(shù)取哪些使分母的值為零的值，即分式方程本身就隱含著分母不為零的條件．當(dāng)把分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程以后，這種限制取消了，換言之，方程中未知數(shù)的值范圍擴(kuò)大了，如果轉(zhuǎn)化后的整式方程的根恰好是原方程未知數(shù)的允許值之外的值，那么就會(huì)出現(xiàn)增根．（2）檢驗(yàn)增根的方法：把由分式方程化成的整式方程的解代入最簡(jiǎn)公分母，看最簡(jiǎn)公分母是否為0，如果為0，則是增根；如果不是0，則是原分式方程的根．二、分式方程的解法1.解分式方程的基本思想：將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程.轉(zhuǎn)化方法是方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母.在去分母這一步變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生使最簡(jiǎn)公分母為零的根，這種根叫做原方程的增根.因?yàn)榻夥质椒匠虝r(shí)可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程時(shí)必須驗(yàn)根.2.分式方程的一般步驟：（1）方程兩邊都乘以最簡(jiǎn)公分母，去掉分母，化成整式方程（注意：當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式，再找出最簡(jiǎn)公分母）；（2）解這個(gè)整式方程，求出整式方程的解；（3）檢驗(yàn)：將求得的解代入最簡(jiǎn)公分母，若最簡(jiǎn)公分母不等于0，則這個(gè)解是原分式方程的解，若最簡(jiǎn)公分母等于0，則這個(gè)解不是原分式方程的解，原分式方程無解.三、分式方程的應(yīng)用分式方程的應(yīng)用主要就是列方程解應(yīng)用題.列分式方程解應(yīng)用題按下列步驟進(jìn)行：（1）審題了解已知數(shù)與所求各量所表示的意義，弄清它們之間的數(shù)量關(guān)系；（2）設(shè)未知數(shù)；（3）找出能夠表示題中全部含義的相等關(guān)系，列出分式方程；（4）解這個(gè)分式方程；（5）驗(yàn)根，檢驗(yàn)是否是增根；（6）寫出答案.要點(diǎn)詮釋：1、列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：設(shè)、列、解、驗(yàn)、答．必須嚴(yán)格按照這五5步進(jìn)行做題，規(guī)范解題步驟，另外還要注意完整性：如設(shè)和答敘述要完整，要寫出單位等．2、要掌握常見問題中的基本關(guān)系，如行程問題：速度=路程時(shí)間；工作量問題：工作效率=工作量工作時(shí)間等等．列分式方程解應(yīng)用題一定要審清題意，找相等關(guān)系是著眼點(diǎn)，要學(xué)會(huì)分析題意，提高理解能力．四．零指數(shù)冪零指數(shù)冪：a0＝1（a≠0）由am÷am＝1，am÷am＝am﹣m＝a0可推出a0＝1（a≠0）注意：00≠1．五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝1ap（a≠0，p為正整數(shù)）注意：①a≠0；②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算，避免出現(xiàn)（﹣3）﹣2＝（﹣3）×（﹣2）的錯(cuò)誤．③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．④在混合運(yùn)算中，始終要注意運(yùn)算的順序．考點(diǎn)精講考點(diǎn)精講一．分式方程的定義（共1小題）1．（2020秋?徐匯區(qū)校級(jí)月考）下列各式中屬于分式方程的是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．【解答】解：（A）是一元一次方程，不是分式方程，故本選項(xiàng)不合題意；（B）是一元二次方程，不是分式方程，故本選項(xiàng)不合題意；（C）是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意；（D）不是方程，故本選項(xiàng)不合題意；故選：C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．二．分式方程的解（共3小題）2．（2021秋?寶山區(qū)期末）如果關(guān)于x的方程無解，那么k＝2．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解確定出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出k的值．【解答】解：去分母得：x+2x﹣4＝k，由分式方程無解，得到x﹣2＝0，即x＝2，把x＝2代入整式方程得：k＝2，故答案為：2．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的解，始終注意分母不為0這個(gè)條件．3．（2020秋?靜安區(qū)期末）若關(guān)于x的方程無解，則a的值為﹣1或﹣2或﹣．【分析】先根據(jù)等式的基本性質(zhì)把分式方程化成整式方程，整理后分類：①x的系數(shù)為0；②x的系數(shù)不等于0，此時(shí)整式方程的解是原分式方程的增根，再進(jìn)行討論．【解答】解：去分母得，x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2，整理得，（a+1）x＝3a+4，①a+1＝0，且3a+4≠0，解得a＝﹣1；②a+1≠0，此時(shí)x＝，原分式方程無解，則﹣1＝0或﹣2＝0，解得a＝﹣或a＝﹣2．∴a的值為﹣1或﹣2或﹣．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的求解問題，解答此題的關(guān)鍵是要明確分式方程無解的兩種情況．4．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）已知關(guān)于x的方程+＝無解，求a的值．【分析】直接利用分式方程的解的意義分別分析得出答案．【解答】解：方程兩邊同乘以（x﹣2）（x﹣1），得：x﹣2+a（x﹣1）＝2a+2，化簡(jiǎn)得：（1+a）x＝3a+4，當(dāng)a＝﹣1時(shí)，原方程無解，x可能的增根是x＝1或x＝2，當(dāng)x＝1時(shí)，a＝﹣1.5，當(dāng)x＝2時(shí)，a＝﹣2，∴當(dāng)a＝﹣1.5或﹣2時(shí)，原方程唯一的實(shí)根是增根，原方程無解，∴a＝﹣1.5或﹣2或﹣1時(shí)原方程無解．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了分式方程的解，正確分類討論是解題關(guān)鍵．三．解分式方程（共5小題）5．（2020秋?奉賢區(qū)期末）已知a和b兩個(gè)有理數(shù)，規(guī)定一種新運(yùn)算“*”為：a*b＝（其中a+b≠0），若m*＝﹣，則m＝．【分析】已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)，計(jì)算即可求出m的值．【解答】解：已知等式利用題中的新定義化簡(jiǎn)得：＝﹣，即＝﹣整理得：3（2m+3）＝﹣5（2m﹣3），去括號(hào)得：6m+9＝﹣10m+15，移項(xiàng)合并得：16m＝6，解得：m＝，經(jīng)檢驗(yàn)m＝是分式方程的解，則m＝．故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．6．（2021秋?普陀區(qū)期末）解方程：1+＝．【分析】按照解分式方程的步驟進(jìn)行計(jì)算即可解答．【解答】解：1+＝，1﹣x2+1＝x（1﹣x），解得：x＝2，檢驗(yàn)：當(dāng)x＝2時(shí)，1﹣x2≠0，∴x＝2是原方程的根．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．7．（2021秋?寶山區(qū)期末）解方程：＝﹣1．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：分式方程變形得：＝﹣﹣1，去分母得：3＝﹣4﹣（x﹣2），去括號(hào)得：3＝﹣4﹣x+2，解得：x＝﹣5，檢驗(yàn)：把x＝﹣5代入得：x﹣2≠0，∴分式方程的解為x＝﹣5．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．8．（2021秋?浦東新區(qū)期末）解方程：．【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解得到x的值，經(jīng)檢驗(yàn)即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：x2﹣1﹣x2﹣x＝2x﹣2，解得：x＝，經(jīng)檢驗(yàn)x＝是分式方程的解．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．9．（2020秋?浦東新區(qū)期末）解分式方程：﹣＝1﹣．【分析】根據(jù)解分式方程的過程進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：去分母得：x﹣1+x+1＝x2﹣1﹣x2，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)得2x＝﹣1，系數(shù)化為1得x＝﹣，檢驗(yàn)：把x＝﹣代入x2﹣1≠0，所以原方程的解為x＝﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了解分式方程，解決本題的關(guān)鍵是掌握解分式方程的方法，注意解分式方程要驗(yàn)根．四．分式方程的增根（共2小題）10．（2021秋?浦東新區(qū)校級(jí)期中）當(dāng)m＝6或﹣4時(shí)，關(guān)于x的方程會(huì)產(chǎn)生增根．【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根．把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【解答】解：方程兩邊都乘（x+2）（x﹣2），得2（x+2）+mx＝3（x﹣2），∵最簡(jiǎn)公分母為（x+2）（x﹣2），∴原方程增根為x＝﹣2或2，∴把x＝﹣2代入整式方程，得﹣2m＝﹣12，解得m＝6；把x＝2代入整式方程，得8+2m＝0，解得m＝﹣4．故答案為：6或﹣4．【點(diǎn)評(píng)】考查了分式方程的增根，增根確定后可按如下步驟進(jìn)行：①化分式方程為整式方程；②把增根代入整式方程即可求得相關(guān)字母的值．11．（2021秋?徐匯區(qū)月考）在去分母解關(guān)于x的分式方程的過程中產(chǎn)生增根，則a＝4．【分析】分式方程去分母后轉(zhuǎn)化為整式方程，由解關(guān)于x的分式方程的過程中產(chǎn)生增根得到x＝4，代入整式方程即可求出a的值．【解答】解：方程兩邊同乘x?4得：x＝2（x﹣4）+a，∵關(guān)于x的分式方程有增根，∴x﹣4＝0，解得x＝4，將x＝4代入方程x＝2（x﹣4）+a，得：4＝2（4﹣4）+a，解得：a＝4．故答案為：4．【點(diǎn)評(píng)】此題考查了分式方程的增根，分式方程的增根即為最簡(jiǎn)公分母為0時(shí)x的值．五．負(fù)整數(shù)指數(shù)冪（共7小題）12．（2021秋?寶山區(qū)期末）將寫成不含分母的形式，其結(jié)果為3a?（2a﹣b）﹣2．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)將原式變形進(jìn)而得出答案．【解答】解：＝3a?（2a﹣b）﹣2．故答案為：3a?（2a﹣b）﹣2．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)，正確掌握相關(guān)定義是解題關(guān)鍵．13．（2021秋?浦東新區(qū)期末）將代數(shù)式化為只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式．【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：＝÷＝?＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了零指數(shù)冪，有理數(shù)的乘方，熟練掌握它們的運(yùn)算法則是解題的關(guān)鍵．14．（2020秋?寶山區(qū)期末）將2a2（a﹣b）﹣1寫成只含有正整數(shù)指數(shù)冪的形式，其結(jié)果為．【分析】利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪冪的性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可．【解答】解：2a2（a﹣b）﹣1＝2a2×＝，故答案為：．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，關(guān)鍵是掌握負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）．15．（2021秋?寶山區(qū)期末）計(jì)算：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）【分析】首先應(yīng)用平方差公式，可得（x﹣2﹣y﹣2）＝（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1），據(jù)此推得（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）＝；然后根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算方法，求出算式的值是多少即可．【解答】解：（x﹣1+y﹣1）÷（x﹣2﹣y﹣2）＝（x﹣1+y﹣1）÷[（x﹣1+y﹣1）（x﹣1﹣y﹣1）]＝＝＝【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①a﹣p＝（a≠0，p為正整數(shù)）；②計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪時(shí)，一定要根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的意義計(jì)算；③當(dāng)?shù)讛?shù)是分?jǐn)?shù)時(shí)，只要把分子、分母顛倒，負(fù)指數(shù)就可變?yōu)檎笖?shù)．16．（2020秋?虹口區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】先計(jì)算負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、零指數(shù)冪、化除法為乘法；然后計(jì)算乘法；最后計(jì)算加法．【解答】解：＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，零指數(shù)冪以及有理數(shù)的加減混合運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)計(jì)算題．17．（2020秋?奉賢區(qū)期末）計(jì)算：．【分析】直接利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪的性質(zhì)、分式的性質(zhì)分別化簡(jiǎn)得出答案．【解答】解：原式＝＝＝．【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了負(fù)整數(shù)指數(shù)冪、分式的加減，正確掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵．18．（2020秋?浦東新區(qū)期末）ab（a﹣2+b﹣2）．（結(jié)果只含有正整數(shù)指數(shù)冪）【分析】根據(jù)負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，可以根據(jù)題目的中的要求進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而可以解答本題．【解答】解：ab（a﹣2+b﹣2）＝ab（）＝＝．【點(diǎn)評(píng)】本題考查負(fù)整數(shù)指數(shù)冪，解答本題的關(guān)鍵是利用負(fù)整數(shù)指數(shù)冪解答問題．六、分式方程的應(yīng)用1.（浦東四署2020期末26）書店老板去圖書批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種圖書.第一次用1200元購(gòu)書若干本，并按該書定價(jià)7元出售，很快售完.由于該書暢銷，第二次購(gòu)書時(shí)，每本書的批發(fā)價(jià)已比第一次提高了20%，他用1500元所購(gòu)該書數(shù)量比第一次多10本.當(dāng)按定價(jià)售出200本時(shí)，出現(xiàn)滯銷，便以定價(jià)的4折售完剩余的書.試問該老板這兩次售書總體上是賠錢了，還是賺錢了（不考慮其它因素）？若賠錢，賠多少？若賺錢，賺多少？【答案】賺了；共賺了520元;【解析】解：設(shè)第一次購(gòu)書的單價(jià)為x元，第二次購(gòu)書的單價(jià)為1.2x元.根據(jù)題意得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解.所以第一次購(gòu)書為：（本），第二次購(gòu)書為240+10=250（本），第一次賺錢為元，第二次賺錢：=40元，故兩次一共賺錢：480+40=520元.答：該老板兩次售書總體上是賺錢了，共賺了520元.2、甲、乙兩班參加綠化校園植樹活動(dòng)，已知乙班每小時(shí)比甲班多種2棵樹，甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等．求甲、乙兩班每小時(shí)各種多少棵樹?【思路點(diǎn)撥】本題的等量關(guān)系為：甲班種60棵樹所用的時(shí)間與乙班種66棵樹所用的時(shí)間相等．【答案與解析】解：設(shè)甲班每小時(shí)種棵樹，則乙班每小時(shí)種棵樹．由題意可，得，解這個(gè)方程，得．經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的根且符合題意．所以(棵)．答：甲班每小時(shí)種20棵樹，乙班每小時(shí)種22棵樹．【總結(jié)升華】解此題的關(guān)鍵是設(shè)出未知數(shù)后，用含的分式表示甲、乙兩班種樹所用的時(shí)間．3.在我市開展“五城聯(lián)創(chuàng)”活動(dòng)中，某工程隊(duì)承擔(dān)了某小區(qū)900米長(zhǎng)的污水管道改造任務(wù)．工程隊(duì)在改造完360米管道后，引進(jìn)了新設(shè)備，每天的工作效率比原來提高了20%，結(jié)果共用27天完成了任務(wù)，問引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道多少米？【答案】解：設(shè)原來每天改造管道x米，由題意得：+=27，解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)：x=30是原分式方程的解，（1+20%）x=1.2×30=36．答：引進(jìn)新設(shè)備前工程隊(duì)每天改造管道36米．4、某市在道路改造過程中，需要鋪設(shè)一條長(zhǎng)為1000米的管道，決定由甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)來完成這一工程．已知甲工程隊(duì)比乙工程隊(duì)每天能多鋪設(shè)20米，且甲工程隊(duì)鋪設(shè)350米所用的天數(shù)與乙工程隊(duì)鋪設(shè)250米所用的天數(shù)相同．(1)甲、乙工程隊(duì)每天各能鋪設(shè)多少米?(2)如果要求完成該項(xiàng)工程的工期不超過10天，那么為兩工程隊(duì)分配工程量(以百米為單位)的方案有幾種?請(qǐng)你幫助設(shè)計(jì)出來．【答案與解析】解：(1)設(shè)甲工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米，則乙工程隊(duì)每天能鋪設(shè)米．根據(jù)題意，得．解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解且符合題意．故甲、乙兩工程隊(duì)每天分別能鋪設(shè)70米和50米．(2)設(shè)分配給甲工程隊(duì)米，則分配給乙工程隊(duì)米．由題意，得解得500≤≤700．方案一：分配給甲工程隊(duì)500米，分配給乙工程隊(duì)500米．方案二：分配給甲工程隊(duì)600米，分配給乙工程隊(duì)400米．方案三：分配給甲工程隊(duì)700米，分配給乙工程隊(duì)300米．所以分配方案有3種．【總結(jié)升華】本題主要考查列分式方程解應(yīng)用題，考查學(xué)生分析和解決問題的能力.5.一慢車和一快車沿相同路線從A地到B地，慢車比快車早出發(fā)2小時(shí)，在離A地276公里處快車追上了慢車，慢車的速度是快車的，求慢車、快車的速度．【答案】解：設(shè)快車速度為，則慢車速度為依題意，得，去分母，得276×2＝276×3－4，所以，經(jīng)檢驗(yàn)知是原方程的解，所以，答：慢車、快車的速度分別為46、69．鞏固提升鞏固提升一、單選題1．（2020·上海市澧溪中學(xué)七年級(jí)月考）下列等式是四位同學(xué)解方程過程中去分母的一步，其中正確的是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】去分母根據(jù)的是等式的性質(zhì)2，方程的兩邊乘以最簡(jiǎn)公分母，即可將分式方程轉(zhuǎn)化為整式方程．【詳解】方程的兩邊同乘，得：，即，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了等式的性質(zhì)和解分式方程，注意：去分母時(shí)，不要漏乘不含分母的項(xiàng)．2．（2019·上海市復(fù)旦實(shí)驗(yàn)中學(xué)七年級(jí)月考）若方程有一個(gè)根是x=1，則m的值是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】將x=1代入方程得到關(guān)于m的方程，即可求出m的值.【詳解】將x=1代入方程得:,解得.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，由分式的解得到關(guān)于m的分式方程是解題的關(guān)鍵.3．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）去分母解關(guān)于x的方程產(chǎn)生增根，則m的值為（）A．2 B． C．1 D．【答案】D【分析】先把分式方程化為整式方程，由于原分式方程有增根，則有x?2＝0，得到x＝2，即增根只能為2，然后把x＝2代入整式方程即可得到m的值．【詳解】解：方程兩邊乘（x?2）得，x?3＝m，∵分式方程有增根，∴x?2＝0，即x＝2，∴2?3＝m，∴m＝?1．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了根據(jù)分式方程有增根，求方程中的參數(shù)，掌握增根的定義是解題關(guān)鍵．4.（2019浦東四署12月考5）如果關(guān)于x的方程無解，則m的值是（）A.-1；B.1；C.0；D.2.【答案】B；【解析】解：去分母得，得，依題可知為方程的增根，故即.5.（盧灣中學(xué)2020期末4）是下列哪個(gè)分式方程的解（）A. B. C. D.【答案】D；【解析】解:當(dāng)時(shí)，A.中，的分母等于0，分式無意義，A錯(cuò)誤；B.中，，分母等于0，分式無意義，B錯(cuò)誤；C.中，的分母等于0，分式無意義，C錯(cuò)誤；D.中，，D正確.故答案是：D.二、填空題6．（2021·上海浦東新·七年級(jí)期末）A、B兩地相距121千米，甲車和乙車的平均速度之比為4：5，兩車同時(shí)從A地出發(fā)到B地，乙車比甲車早到20分鐘，求甲車的平均速度．若設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則所列方程是__________．【答案】【分析】設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則乙車平均速度為5x千米/小時(shí)，根據(jù)甲車比乙車多用了20分鐘的等量關(guān)系列出方程即可．【詳解】解：設(shè)甲車平均速度為4x千米/小時(shí)，則乙車平均速度為5x千米/小時(shí)，根據(jù)題意得：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由實(shí)際問題抽象出分式方程，關(guān)鍵是設(shè)出速度，以時(shí)間差作為等量關(guān)系列方程．7.（嘉定區(qū)2020期末15）將分式表示成不含有分母的形式：_________________.【答案】;【解析】解：,故答案為：.8.（延安初中2020期末1）PM2.5是指大氣中直徑小于或等于2.5μm0.0000025m）的顆粒物，含有大量有毒、有害物質(zhì)，也稱可入肺顆粒物．將0.0000025用科學(xué)記數(shù)法表示為_______________．【答案】;【解析】解：由題意得：；故答案為：.9.（西南模2019期中12）若關(guān)于x的方程有增根，則m＝．【答案】；【解析】解：＝，∴m＝2x2﹣25，∵方程有增根，∴x＝3或x＝4，∴m＝﹣7或m＝7，故答案為±7．10.（浦東四署2020期末14）將寫成不含分母的形式：.【答案】；【解析】解：.三、解答題11．（2020·上海市中國(guó)中學(xué)七年級(jí)月考）解方程：【答案】x=-5.【分析】根據(jù)解分式方程的一般步驟求出x的值即可.【詳解】解：去分母得，10+5x=2x-5移項(xiàng)，得：5x-2x=-5-10合并同類項(xiàng)得：3x=-15系數(shù)化為1，得：x=-5.經(jīng)檢驗(yàn)x=-5是原分式方程的解.∴原分式方程的解為x=-5.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，解分式方程時(shí)注意要檢驗(yàn).12．（2019·上海奉賢·七年級(jí)期末）解方程：．【答案】【分析】按照解分式方程的步驟，先去分母，再解整式方程，最后檢驗(yàn)即可.【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘得，，解得，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，所以，原分式方程的解為.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，要注意分式方程需要檢驗(yàn).13．（2019·上海市控江初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）當(dāng)m為何值時(shí)，關(guān)于x的方程，無解。【答案】或【分析】先將分式方程化為整式方程，然后分未知數(shù)的系數(shù)為0和不為0兩種情況討論【詳解】解:去分母，整理得，當(dāng)即時(shí)，此方程無解；當(dāng)時(shí)，，由題意知方程有增根，且增根為，解得，綜上所述，當(dāng)或時(shí)，原方程無解.【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的問題，解題時(shí)要注意原方程無解既可能是有增根，也可能是整式方程無解.14.（浦東四署2020期末21）計(jì)算：.【答案】;【解析】解：原式=.15.（盧灣中學(xué)2020期末21）計(jì)算：．（結(jié)果用正整數(shù)指數(shù)冪形式表示）【答案】;【解析】解：原式．16．（2019·上海市控江初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）解分式方程：【答案】.【分析】將方程兩邊變形，先消去分子中的未知數(shù)然后進(jìn)一步求解.【詳解】解：由于解得經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解.【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，對(duì)于較復(fù)雜的分式方程，要想辦法進(jìn)行化簡(jiǎn)，一般不要直接去分母把方程化成高次數(shù)方程求解.17.（浦東南片2020期末25）已知，求的值.【答案】；【解析】解：∵，左邊=，右邊=，所以，解得：.把，代入，．18．（2020·上海市中國(guó)中學(xué)七年級(jí)月考）為了防止霧霾，某口罩生產(chǎn)企業(yè)需要在若干天內(nèi)加工2400個(gè)口罩，在實(shí)際生產(chǎn)中，由于提高了生產(chǎn)技術(shù)水平，每天加工的個(gè)數(shù)為原來的1.5倍，從而提前2天完成任務(wù)，問該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩？【答案】400.【分析】根據(jù)題意找出等量關(guān)系為：原計(jì)劃所用天數(shù)-實(shí)際所用天數(shù)=2，把相關(guān)數(shù)值代入整理即可.【詳解】解：設(shè)該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)x個(gè)口罩，依題意得：解之得：x=400.答：該企業(yè)原計(jì)劃每天生產(chǎn)400個(gè)口罩.【點(diǎn)睛】考查列分式方程；得到原計(jì)劃所用天數(shù)與實(shí)際所用天數(shù)的等量關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．19．（2020·上海同濟(jì)大學(xué)實(shí)驗(yàn)學(xué)校七年級(jí)期中）學(xué)生小李為使跳繩200次所用的時(shí)間減少10秒，必須把每秒鐘的跳繩次數(shù)增加10%，問小李原來跳繩200次所用的時(shí)間是多少秒？【答案】小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為110秒．【分析】由題意設(shè)小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為x秒，根據(jù)單位跳繩次數(shù)×?xí)r間＝總次數(shù)列出方程求解即可．【詳解】解：設(shè)小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為x秒．根據(jù)題意得．解得：x＝110．經(jīng)檢驗(yàn)：x＝110是原方程的根．答：小李原來跳繩200次所用的時(shí)間為110秒．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)審題并從中找到等量關(guān)系．20．（2020·上海寶山·七年級(jí)期末）小麗乘出租車去體育場(chǎng)，有兩條路線可供選擇：路線一的全程是25千米，但交通比較擁堵；路線二的全程是30千米，平均車速比走路線一的平均車速能提高50%，因此能比路線一節(jié)省10分鐘到達(dá)．那么選走路線二去體育場(chǎng)需要多少時(shí)間?【答案】小麗選走路線二去體育場(chǎng)需要小時(shí)【分析】設(shè)小麗走路線一的平均速度是x千米/小時(shí)，則小麗走路線二的平均速度是x（1+50%）千米/小時(shí)，根據(jù)走路線二比走路線一少用10分鐘建立方程求出x，即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)小麗走路線一的平均速度是x千米/小時(shí)，則走路線二的平均速度是x（1+50%）千米/小時(shí)，由題意，得，解得：x=30，經(jīng)檢驗(yàn)，x=30是原方程的解且符合題意．故選走路線二去體育場(chǎng)需要=(小時(shí))．答：小麗選走路線二去體育場(chǎng)需要小時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，弄清題意，根據(jù)條件找到等量關(guān)系建立方程是關(guān)鍵，解分式方程要驗(yàn)根是必不可少的步驟．21．（2019·上海市控江初級(jí)中學(xué)七年級(jí)月考）A、B兩地相距20千米，甲騎自行車自A地出發(fā)向B地方向行進(jìn)30分鐘后，乙騎自行車自B地出發(fā)向A地駛?cè)?，甲乙二人在B地12千米的C地相遇，若乙的速度是甲的速度的3倍，求甲乙兩人各自的速度。（要求列分式方程求解）【答案】甲的速度為8千米/時(shí)，乙的速度為24千米/時(shí).【分析】設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，則乙的速度為3x千米/時(shí)，根據(jù)題中等量關(guān)系列出分式方程即可求解.【詳解】解：設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，乙的速度為3x千米/時(shí)，則有解得：x=8經(jīng)檢驗(yàn)x=8是原方程的解，則3x=24．答：甲的速度為8千米/時(shí)，乙的速度為24千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查用分式方程解決行程問題；關(guān)鍵是根據(jù)時(shí)間得到相應(yīng)的等量關(guān)系．22．（2019·上海奉賢·七年級(jí)期末）甲安裝隊(duì)為A小區(qū)安裝66臺(tái)空調(diào)，乙安裝隊(duì)為B小區(qū)安裝60臺(tái)空調(diào)，兩隊(duì)同時(shí)開工且恰好同時(shí)完工，甲隊(duì)比乙隊(duì)每天多安裝2臺(tái)，兩隊(duì)分別每天安裝幾臺(tái)空調(diào)？【答案】甲隊(duì)每天安裝22臺(tái)空調(diào)，乙隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào)．【分析】設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)空調(diào)，則甲隊(duì)每天安裝（x+2）臺(tái)空調(diào)，然后根據(jù)等量關(guān)系“兩隊(duì)同時(shí)開工且恰好同時(shí)完工”列出分式方程并解答即可．【詳解】解：設(shè)乙隊(duì)每天安裝x臺(tái)空調(diào)，則甲隊(duì)每天安裝（x+2）臺(tái)空調(diào)，根據(jù)題意得：，解得x=20，經(jīng)檢驗(yàn)，x=20是原方程的根∴甲隊(duì)每天安裝x+2=20+2=22（臺(tái)），乙隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào)．答：甲隊(duì)每天安裝22臺(tái)空調(diào)，乙隊(duì)每天安裝20臺(tái)空調(diào)．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出分式方程并正確求解成為解答本題的關(guān)鍵．23.（川中南2020期末28）多多果品店在批發(fā)市場(chǎng)購(gòu)買某種水果銷售，第一次用1200元購(gòu)進(jìn)若干千克，由于水果暢銷，很快售完，第二次用1430元購(gòu)買了一批水果，每千克的進(jìn)價(jià)比第一次提高了，所購(gòu)買的水果的數(shù)量比第一次多20千克，求第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克多少元？【答案】5元;【解析】解：設(shè)第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克x元，依題意得：，解之得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解并符合題意，所以，原方程的解是．答：第一次購(gòu)買水果的進(jìn)價(jià)是每千克5元．24.（延安初中2020期末29）甲、乙兩車同時(shí)從相距千米的地到地，甲比乙晚出發(fā)分鐘，結(jié)果乙比甲晚到分鐘，已知甲車平均速度是乙車平均速度的倍，求甲車的平均速度.【答案】45千米/時(shí);【解析】解:設(shè)乙車的平均速度為x千米/時(shí),則甲車的平均速度為1.5x千米/時(shí),依題意得:解得,x=30.經(jīng)檢驗(yàn)x=30是原方程的解,∴甲車的平均速度是1.5x=1.530=45(千米/時(shí))，答:甲車的平均速度是45千米/時(shí).25．（2019·上海市閔行區(qū)莘松中學(xué)七年級(jí)期中）一水果店主分兩批購(gòu)進(jìn)某一種水果，第一批所用資金為2400元，因天氣原因，水果漲價(jià)，第二批所用資金是2700元，但由于第二批單價(jià)比第一批單價(jià)每箱多10元，以致購(gòu)買的數(shù)量比第一批少25%．（1）該水果店主購(gòu)進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是多少元？（2）該水果店主計(jì)兩批水果的售價(jià)均定為每箱40元，實(shí)際銷售時(shí)按計(jì)劃無損耗售完第一批后，發(fā)現(xiàn)第二批水果品質(zhì)不如第一批，于是該店主將售價(jià)下降a%銷售，結(jié)果還是出現(xiàn)了20%的損耗，但這兩批水果銷售完后仍賺了不低于1716元，求a的最大值．【答案】（1）水果店主購(gòu)進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元；（2）a的最大值是30．【分析】（1）根據(jù)題意可以列出相應(yīng)的分式方程，從而可以解答本題，注意分式方程要檢驗(yàn)；（2）根據(jù)題意可以得到關(guān)于a的不等式，從而可以求得a的最大值．【詳解】（1）設(shè)第一批水果的單價(jià)是x元，，解得，x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原分式方程的解，答：水果店主購(gòu)進(jìn)第一批這種水果的單價(jià)是20元；（2）由題意可得，，解得，a≤30，答：a的最大值是30．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用、一元一次不等式的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，列出相應(yīng)的方程和不等式，利用分式方程和不等式的性質(zhì)解答．26．（2018·上