第36講復(fù)數(shù)（原卷版）

第36講復(fù)數(shù)基礎(chǔ)知識1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念(1)復(fù)數(shù)的概念當a與b都是實數(shù)時,稱為復(fù)數(shù),復(fù)數(shù)一般用小寫字母z表示,即,其中,a稱為z的,b稱為z的.分別記作.

若,則a+bi為實數(shù);若,則a+bi為虛數(shù);若,則a+bi為純虛數(shù).

(2)復(fù)數(shù)相等:a+bi=c+di?(a,b,c,d∈R).

(3)共軛復(fù)數(shù):a+bi與c+di共軛?(a,b,c,d∈R).

(4)復(fù)數(shù)的模:向量OZ=(a,b)的長度稱為復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)的模(或絕對值),記作或,即|z|=|a+bi|=.一般地,兩個共軛復(fù)數(shù)的模相等,即|z|=|z|.

2.復(fù)數(shù)的幾何意義(1)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)復(fù)平面內(nèi)的點Z(a,b).(2)復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R)平面向量(O為坐標原點).

3.復(fù)數(shù)的運算(1)復(fù)數(shù)的加、減、乘、除運算法則設(shè)z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),則①加法:z1+z2=(a+bi)+(c+di)=;

②減法:z1z2=(a+bi)(c+di)=;

③乘法:z1·z2=(a+bi)·(c+di)=;

④除法:z1z2=a+b(2)復(fù)數(shù)加法的運算律復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律,即對任何z1,z2,z3∈C,有z1+z2=,(z1+z2)+z3=.

常用結(jié)論1.(1±i)2=±2i;1+i1-i=i;1-i1+i=i;(12±2.i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=1,i4n+3=i,i4n+i4n+1+i4n+2+i4n+3=0(n∈N).3.|z|2=|z|2=z·z.4.||z1||z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|.5.|z1·z2|=|z1|·|z2|,|z1z2|=|z1|6.復(fù)平面內(nèi)的中點坐標公式:在復(fù)平面內(nèi),若點C為線段AB的中點,A,B,C對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為zA,zB,zC,則zC=zA+zB2.特別地,在復(fù)平面內(nèi)△ABC的重心G對應(yīng)的復(fù)數(shù)分類探究探究點一復(fù)數(shù)的有關(guān)概念1.已知i為虛數(shù)單位,則下列說法中正確的是 ()A.若z∈C,則z2≥0B.2i1的虛部是2iC.若a,b∈R且a>b,則a+i>b+iD.實數(shù)集在復(fù)數(shù)集中的補集是虛數(shù)集2.若復(fù)數(shù)z=m+2i2-i是純虛數(shù)(i為虛數(shù)單位),則實數(shù)m的值是A.4 B.1 C.1 D.43.若復(fù)數(shù)(1+ai)(1+2i)的實部和虛部之和為0,則實數(shù)a的值是 ()A.1 B.1 C.3 D.34.若(x+2i)i=y+i,其中x,y∈R,i為虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)z=x+yi的共軛復(fù)數(shù)z=.

[總結(jié)反思]復(fù)數(shù)的基本概念有實部、虛部、虛數(shù)、純虛數(shù)、共軛復(fù)數(shù)等,在解題時要注意辨析概念的不同,靈活使用條件得出符合要求的答案.探究點二復(fù)數(shù)的幾何意義1.若i為虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)z=cos2π3isin2π3的共軛復(fù)數(shù)是z,則復(fù)數(shù)z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于 A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限2.已知復(fù)數(shù)z=a+2ii(ai)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點在第四象限,則實數(shù)a的最小正整數(shù)值為 ()A.1 B.2 C.3 D.43.在復(fù)平面內(nèi),若O(0,0),A(2,1),B(0,3),則在?OACB中,點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ()A.2+2i B.22iC.1+i D.1i4.設(shè)復(fù)數(shù)z1,z2滿足|z1|=|z2|=2,z1+z2=3+i,則|z1z2|=.

[總結(jié)反思](1)復(fù)數(shù)z、z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點Z和向量OZ相互聯(lián)系,即z=a+bi(a,b∈R),Z(a,b),OZ=(a,b)相互一一對應(yīng).(2)復(fù)數(shù)的幾何意義:復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標就是向量OZ的坐標,對于復(fù)數(shù)z=a+bi(a,b∈R),其在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標是(a,b),復(fù)數(shù)的模即為其對應(yīng)向量的模.探究點三復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算1.已知i是虛數(shù)單位,則(1-i1+i)2020= A.1 B.1 C.i D.i2.已知復(fù)數(shù)z=51+2i+i1-i,則|z|=A.1 B.13 C.322 D3.已知i為虛數(shù)單位,若2+ai2i=1bi,則a+b= A.2 B.1 C.2 D.34.已知復(fù)數(shù)z滿足z+2z=6+i,則z的實部為.

[總結(jié)反思](1)復(fù)數(shù)的乘法:復(fù)數(shù)的乘法類似于多項式的乘法運算,可將含有虛數(shù)單位i的看作一類同類項,不含i的看作另一類同類項,分別合并即可;復(fù)數(shù)的除法:復(fù)數(shù)的除法運算的關(guān)鍵是分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù),解題時要注意把i的冪寫成最簡形式.同步作業(yè)1.(1+2i)(2+i)= ()A.4+5i D.2+3i2.已知復(fù)數(shù)z在復(fù)平面上對應(yīng)的點為(1,m),若iz為純虛數(shù),則實數(shù)m的值為 ()3.復(fù)數(shù)z滿足(12+32i)z=1,則z的共軛復(fù)數(shù)為 ()A.12+32i B.112+32i 14.已知復(fù)數(shù)z滿足(2i)z=1+i,那么|z|= ()A.25 B.1C.25 D.5.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)2i,3對應(yīng)的點分別為A,,且AC=CB,則點C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是 ()A.1+32i B.3C.1+23i D.26.(多選題)對于兩個復(fù)數(shù)α=1i,β=1+i,下列結(jié)論中正確的是 ()A.αβ=1 B.αβ=C.|αβ|=1 2+β27.復(fù)數(shù)z=2-i1-2i(i為虛數(shù)單位),則|z|=,8.已知復(fù)數(shù)z=1+ai(a∈R)(i是虛數(shù)單位),zz=35+45i,則a= C.±2 19.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z1|=|zi|(i為虛數(shù)單位),z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為(x,y),則 ()A.y=xB.y=xC.(x1)2+(y1)2=1D.(x+1)2+(y+1)2=110.若復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i,則z= ()A.34+i34C.43iD.3411.(多選題)若復(fù)數(shù)z=3-5i1-i,A.|z|=17 C.z=4+i12.(多選題)已知復(fù)數(shù)z滿足z2+2|z|=0,則z可能為 ()13.若復(fù)數(shù)z滿足|zi|≤2(i為虛數(shù)單位),則z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的圖形的面積為.

14.歐拉公式eix=cosx+isinx(i為虛數(shù)單位)是由瑞士著名數(shù)學家歐拉發(fā)明的,它將指數(shù)函數(shù)的定義域擴大到復(fù)數(shù),建立了三角函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的關(guān)系,被譽為“數(shù)學中的天橋”.根據(jù)歐拉公式可