高考數學 熱點專題復習熱點六 解析幾何 理科試題

熱點六解析幾何【考點精要】考點一.直線的傾斜角、斜率與方程.會用直接法、待定系數法、軌跡法等求直線方程.如：已知直線過（1，2）點，且在兩坐標軸的截距相等，則此直線的方程為.考點二.點、直線、直線與直線的位置關系.重點考查點與直線的距離，直線與直線的距離公式、位置關系，直線與直線的夾角.如：若直線通過點，則()A． B． C． D．考點三.直線與圓，圓與圓的位置關系.重點考查直線與圓的相關性質、圓與圓的相關性質.過直線上的一點作圓的兩條切線，當直線關于對稱時，它們之間的夾角為()A． B． C． D．考點四.橢圓及其標準方程.橢圓的簡單的幾何性質，雙曲線及其標準方程，拋物線的簡單的幾何性質及其標準方程，拋物線的簡單的幾何性質.如：設斜率為2的直線過拋物線的焦點F,且和軸交于點A,若△OAF(O為坐標原點)的面積為4,則拋物線方程為().A． B． C． D．考點五.直線與圓、橢圓、雙曲線、拋物線的交點（向量的數量積）、截取的線段.如：已知橢圓的右焦點為F,右準線，點，線段AF交C于點B.若,則=()A． B．2 C． D．3考點六.圓錐曲線的離心率.一般考查兩個方面：一是求離心率的值，另一個是根據題目條件求離心率的范圍問題.求解時或根據題意巧設參數，或利用直線與圓錐曲線的交點得到不等量關系進而求出離心率的范圍.如：已知雙曲線的左、右焦點分別為，若雙曲線上存在一點使，則該雙曲線的離心率的取值范圍是．考點七.圓錐曲線的軌跡方程.借助代數、幾何、平面向量等求圓錐曲線的軌跡方程問題，一般運用代入法、交規(guī)法，參數法、設而不求法等.如：已知拋物線C的頂點坐標為原點，焦點在x軸上，直線y=x與拋物線C交于A，B兩點，若為的中點，則拋物線C的方程為.考點八.圓錐曲線的最值.以圓錐曲線知識為依托，注重考查對稱問題、參數問題、最值問題、存在性問題等，這類問題入手點難，運算量大，題目往往涉及的知識多，層次復雜，多以大題出現.巧點妙撥1．直線方程的五種形式(點斜式、斜截式、兩點式、截距式及一般式)中，僅有一般式可以表示坐標平面內的任意直線，其他四種形式都有局限性，故在使用是盡量使用一般式．2．處理直線與圓的位置關系問題的常規(guī)思路有兩個：其一，通過方程，利用判別式；其二，根據幾何性質，借助圓心到直線的距離進行求解．3．在求解直線與圓錐曲線的位置關系時，經常用到一些特殊技巧．比如：設而不求、整體運算等．這些運算都有一個公共的前提：△≥0．求解后切莫忘記驗證．【典題對應】例1.(2014·山東理10)已知,橢圓的方程為，雙曲線的方程為，與的離心率之積為，則的漸近線方程為（）（A）（B）（C）（D）命題意圖：本題主要考查圓錐曲線的離心率、漸近線方程.解析：答案：A名師坐堂：注意漸近線方程僅對雙曲線而言，無其他限制條件漸近線方程應成對出現.例2.(2014·山東理21)已知拋物線的焦點為，為上異于原點的任意一點，過點的直線交于另一點，交軸的正半軸于點，且有|，當點的橫坐標為3時，為正三角形.（=1\*ROMANI）求的方程；（=2\*ROMANII）若直線，且和有且只有一個公共點，（=1\*romani）證明直線過定點，并求出定點坐標；（=2\*romanii）的面積是否存在最小值？若存在，請求出最小值；若不存在，請說明理由.命題意圖：本題主要考查拋物線的定義，直線的方程，最值等，考查學生綜合分析問題的能力.解析：（1）由拋物線第二定義得：解得：或（舍去）當時，經檢驗直線與只有一個交點，不合題意.的方程為：.（2）由（1）知直線過焦點，所以.設直線的方程為，因為點在直線上，故.設直線的方程為，由于，可得，代入拋物線方程得，所以，可求得，所以點到直線的距離為：，則的面積，當且僅當，即時等號成立.所以的面積的最小值為16.例3.(2013·山東理)橢圓的左、右焦點分別是，離心率為，過且垂直于軸的直線被橢圓截得的線段長為1.（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）點是橢圓上除長軸端點外的任一點，連接，設的角平分線交的長軸于點，求的取值范圍；（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，過點作斜率為的直線，使得與橢圓有且只有一個公共點，設直線的斜率分別為，若，試證明為定值，并求出這個定值.命題意圖：考查橢圓的方程、性質、直線與橢圓的位置關系、角平分線定理、直線的斜率公式，考查學生解決復雜問題的計算能力以及解決定值問題的能力.解析：（Ⅰ）由于，將代入橢圓方程得由題意知，即又所以，所以橢圓方程為.（Ⅱ）由題意可知：,.設其中，將向量坐標代入并化簡得：，因為，所以，而，所以.（Ⅲ）由題意可知：為橢圓在點處的切線，由導數法可求得，切線方程為：.所以，而，，代入中得，為定值.名師坐堂：當直線與橢圓只有一個交點時應考慮切線方程為，同時應考慮直線的斜率是否存在.若題設與向量有關應考慮用向量的相關性質進行運算.例4.(2012·山東理21)在平面直角坐標系xOy中，F是拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點，M是拋物線C上位于第一象限內的任意一點，過M，F，O三點的圓的圓心為Q，點Q到拋物線C的準線的距離為.（Ⅰ）求拋物線C的方程；（Ⅱ）是否存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M？若存在，求出點M的坐標；若不存在，說明理由；（Ⅲ）若點M的橫坐標為，直線l：y=kx+與拋物線C有兩個不同的交點A，B，l與圓Q有兩個不同的交點D，E，求當≤k≤2時，的最小值.命題意圖：主要考查了拋物線的標準方程的確定,直線與拋物線的位置關系，圓錐曲線中的最值問題.解析：（Ⅰ）F為拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點F，設M，，由題意可知，則點Q到拋物線C的準線的距離為，解得，于是拋物線C的方程為.（Ⅱ）假設存在點M，使得直線MQ與拋物線C相切于點M，而，，，，，由可得，，則，即，解得，點M的坐標為.（Ⅲ）若點M的橫坐標為，則點M，.由可得，設，圓，，于是，令，設，，當時，，即當時.故當時，.名師坐堂：解決雙曲線問題時應結合圖形進行思考，若直線與雙曲線有一個交點時△=0就未必可以.求最值時較為有效的辦法是利用導數進行求解.【命題趨向】解析幾何是高中數學的重要內容，其特點是用代數的方法研究解決幾何問題，重點是用“數形結合”的思想把幾何問題轉化為代數問題，這類試題涉及面廣、綜合性強、題目新穎、靈活多樣，解題對能力要求較高．其核心內容是直線和圓以及圓錐曲線．在考基礎、考能力、考素質、考潛能的考試目標指導下，每年的高考對解析幾何的考查都占有較大的比例，且常考常新．高考考試題目特點：(1)題型穩(wěn)定：近幾年來高考解析幾何試題一直穩(wěn)定在三(或二)個選擇題，一個填空題，一個解答題上，分值約為30分左右，占總分值的20%左右.(2)整體平衡，重點突出：對直線、圓、圓錐曲線知識的考查幾乎沒有遺漏，通過對知識的重新組合，考查時既注意全面，更注意突出重點，對支撐數學科知識體系的主干知識，考查時保證較高的比例并保持必要深度.（3）直線與圓的方程，圓錐曲線的定義、標準方程、幾何性質等是支撐解析幾何的基石，也是高考命題的基本元素．高考十分注重對這些基礎知識的考查，有的是求圓錐曲線的標準方程；有的是直接考查圓錐曲線的離心率，在考查相應基礎知識的同時，著重考查基本數學思想和方法，如分類討論思想、數形結合思想．除此之外，要重視對考生思維能力和思維品質的考查.(4)能力立意，滲透數學思想：一些雖是常見的基本題型，但如果借助于數形結合的思想，就能快速準確的得到答案.(5)題型新穎，位置不定：近幾年解析幾何試題的難度有所下降，選擇題、填空題均屬易中等題，且解答題未必處于壓軸題的位置，計算量減少，思考量增大.加大與相關知識的聯系(如向量、函數、方程、不等式等)，凸現教材中研究性學習的能力要求.加大探索性題型的分量.【直擊高考】1.已知橢圓方程,雙曲線的焦點是橢圓的頂點,頂點是橢圓的焦點,則雙曲線的離心率為()A． B． C．2 D．32．已知拋物線的焦點為,準線為,點為拋物線上一點,且在第一象限,,垂足為,,則直線的傾斜角等于()A． B． C． D．3．方程的曲線即為函數的圖像,對于函數,有如下結論:①在R上單調遞減;②函數不存在零點;③函數的值域是R;④若函數和的圖像關于原點對稱,則函數的圖像就是方程確定的曲線.其中所有正確的命題序號是()A．①② B．②③ C．①③④ D．①②③4．已知直線（是非零常數）與圓有公共點，且公共點的橫坐標和縱坐標均為整數，那么這樣的直線共有()A．60條 B．66條 C．72條 D．78條5.已知中心在原點的橢圓與雙曲線有公共焦點，左、右焦點分別為F1、F2，且兩條曲線在第一象限的交點為P，△PF1F2是以PF1為底邊的等腰三角形，若|PF1|=10，橢圓與雙曲線的離心率分別為，，則+1的取值范圍是()A.（1，） B.（，） C.（，） D.（，+）6．以拋物線的焦點為圓心，且與雙曲線兩條漸近線都相切的圓的方程為()A. B.C. D.7．如圖，在直角梯形ABCD中，AD⊥AB，AB∥DC，AD＝DC＝1，AB＝2，動點P在以點C為圓心，且與直線BD相切的圓上或圓內移動，設(λ，μ∈R)，則λ＋μ的取值范圍是()A．(1,2) B．(0,3) C．[1,2] D．[1,2)8．設雙曲線的離心率為2,且一個焦點與拋物線的焦點相同,則此雙曲線的方程為______.9．已知拋物線y2＝2px(p＞0)，過其焦點且斜率為1的直線交拋物線于A、B兩點，若線段AB的中點的縱坐標為2，則該拋物線的準線方程為________．10．已知雙曲線eq\f(x2,a2)－eq\f(y2,b2)＝1(a＞0，b＞0)的離心率為e＝2，過雙曲線上一點M作直線MA，MB交雙曲線于A，B兩點，且斜率分別為k1，k2，若直線AB過原點O，則k1·k2的值為________．11．已知A,B,C是長軸長為4的橢圓上的三點，點A是長軸的一個頂點，BC過橢圓的中心O，且，，（1）求橢圓的方程；（2）如果橢圓上的兩點P,Q使的平分線垂直于OA，是否總存在實數，使得？請說明理由；12．已知橢圓：（）的焦距為，且過點（，），右焦點為．設，是上的兩個動點，線段的中點的橫坐標為，線段的中垂線交橢圓于，兩點．（Ⅰ）求橢圓的方程；（Ⅱ）求的取值范圍．13.如圖，已知直線與拋物線相切于點P(2，1)，且與x軸交于點A，O為坐標原點，定點B的坐標為（2，0）.（I）若動點M滿足，求點M的軌跡C；（II）若過點B的直線′（斜率不等于零）與（I）中的軌跡C交于不同的兩點E、F（E在B、F之間），試求△OBE與△OBF面積之比的取值范圍.

熱點六解析幾何【直擊高考】1.解析：橢圓的焦點為,頂點為,即雙曲線中,所以雙曲線的離心率為,選C．2.解析：B拋物線的焦點坐標為,準線方程為.由題意,則,即,所以,即,不妨取,則設直線的傾斜角等于,則,所以,選B．3.解析：,方程為,此時方程不成立.當,方程為,此時.當,方程為,即.當,方程為,即.做出函數的圖象如圖由圖象可知,函數在R上單調遞減.所以①成立.②由得.因為雙曲線和的漸近線為,所以沒有零點,所以②正確.由圖象可函數的值域為R,所以③正確.若函數和的圖像關于原點對稱,則函數的圖像就是方程,即,所以④錯誤,所以選D．4.解析：可知直線的橫、縱截距都不為零，即與坐標軸不垂直，不過坐標原點，而圓上的整數點共有12個，分別為，，前8個點中，過任意一點的圓的切線滿足，有8條；12個點中過任意兩點，構成條直線，其中有4條直線垂直軸，有4條直線垂直軸，還有6條過原點（圓上點的對稱性），故滿足題設的直線有52條。綜上可知滿足題設的直線共有條，選A。5.解析：解析：利用橢圓定義、雙曲線定義，列出+1的關于函數表達式，再求值域即可。答案：B6.解析：解析：寫出拋物線焦點坐標、雙曲線的漸近線方程，利用點到直線的距離公式求出半徑，寫出標準方程，再化為一般方程.答案：C．7.解析：解析以A為原點，AB所在直線為x軸，AD所在直線為y軸建立平面直角坐標系，則B(2,0)，D(0,1)，C(1,1)，設P(x，y)，則(x，y)＝λ(0,1)＋μ(2,0)＝(2μ，λ)，即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝2μ，,y＝λ.))令z＝λ＋μ＝eq\f(x,2)＋y.由圓C與直線BDeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＝－\f(1,2)x＋1))相切可得圓C的半徑為eq\f(\r(5),5).由于直線y＝－eq\f(x,2)＋z與圓C有公共點，所以eq\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)＋1－z)),\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))2＋1))≤eq\f(\r(5),5)，解得1≤z≤2.答案C.8.解析：拋物線的焦點坐標為,所以雙曲線的焦點在軸上且,所以雙曲線的方程為,即,所以,又,解得,所以,即,所以雙曲線的方程為.9.解析：設A(x1，y1)，B(x2，y2)，∵A、B兩點在拋物線上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y\o\al(2,1)＝2px1，①,y\o\al(2,2)＝2px2，②))①－②得，(y1－y2)(y1＋y2)＝2p(x1－x2)，又線段AB的中點的縱坐標為2，∴y1＋y2＝4，又直線的斜率為1，∴eq\f(y1－y2,x1－x2)＝1，∴2p＝4，p＝2，∴拋物線的準線方程為x＝－eq\f(p,2)＝－1.10.解析：設點M(x0，y0)，A(x1，y1)，則B(－x1，－y1)，k1＝eq\f(y0－y1,x0－x1).k2＝eq\f(y0＋y1,x0＋x1)，即k1·k2＝eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1))，又eq\f(x\o\al(2,0),a2)－eq\f(y\o\al(2,0),b2)＝1，eq\f(x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,1),b2)＝1.所以eq\f(x\o\al(2,0)－x\o\al(2,1),a2)－eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),b2)＝0，即eq\f(y\o\al(2,0)－y\o\al(2,1),x\o\a