高三數(shù)學(xué) 復(fù)習(xí)試題24 正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例理（含解析）

24正弦定理和余弦定理應(yīng)用舉例導(dǎo)學(xué)目標(biāo)：能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．自主梳理1．仰角和俯角與目標(biāo)視線同在一鉛垂平面內(nèi)的水平視線和目標(biāo)視線的夾角，目標(biāo)視線在水平視線上方時叫仰角，目標(biāo)視線在水平視線下方時叫俯角．(如圖所示)2．方位角一般指北方向線順時針到目標(biāo)方向線的水平角，如方位角45°，是指北偏東45°，即東北方向．3．方向角：相對于某一正方向的水平角．(如圖所示)①北偏東α°即由指北方向順時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標(biāo)方向．②北偏西α°即由指北方向逆時針旋轉(zhuǎn)α°到達目標(biāo)方向．③南偏西等其他方向角類似．4．坡角坡面與水平面的夾角．(如圖所示)5．坡比坡面的鉛直高度與水平寬度之比，即i＝eq\f(h,l)＝tanα(i為坡比，α為坡角)．6．解題的基本思路運用正、余弦定理處理實際測量中的距離、高度、角度等問題，實質(zhì)是數(shù)學(xué)知識在生活中的應(yīng)用，要解決好，就要把握如何把實際問題數(shù)學(xué)化，也就是如何把握一個抽象、概括的問題，即建立數(shù)學(xué)模型．自我檢測1．從A處望B處的仰角為α，從B處望A處的俯角為β，則α，β之間的關(guān)系是()A．α>β B．α＝βC．α＋β＝90° D．α＋β＝180°2．(2011·承德模擬)如圖所示，已知兩座燈塔A和B與海洋觀察站C的距離相等，燈塔A在觀察站C的北偏東40°，燈塔B在觀察站C的南偏東60°，則燈塔A在燈塔B的()A．北偏東10° B．北偏西10°C．南偏東10° D．南偏西10°3．如圖所示，為了測量某障礙物兩側(cè)A、B間的距離，給定下列四組數(shù)據(jù)，不能確定A、B間距離的是()A．α，a，b B．α，β，aC．a(chǎn)，b，γ D．α，β，b4．在200m高的山頂上，測得山下一塔的塔頂與塔底的俯角分別是30°、60°，則塔高為________m.5．(2010·全國Ⅱ)△ABC中，D為邊BC上的一點，BD＝33，sinB＝eq\f(5,13)，cos∠ADC＝eq\f(3,5)，求AD.探究點一與距離有關(guān)的問題例1(2010·陜西)如圖，A，B是海面上位于東西方向相距5(3＋eq\r(3))海里的兩個觀測點，現(xiàn)位于A點北偏東45°，B點北偏西60°的D點有一艘輪船發(fā)出求救信號，位于B點南偏西60°且與B點相距20eq\r(3)海里的C點的救援船立即前往營救，其航行速度為30海里/時，該救援船到達D點需要多長時間？變式遷移1某觀測站C在目標(biāo)A的南偏西25°方向，從A出發(fā)有一條南偏東35°走向的公路，在C處測得與C相距31千米的公路上B處有一人正沿此公路向A走去，走20千米到達D，此時測得CD為21千米，求此人在D處距A還有多少千米？探究點二測量高度問題例2如圖所示，測量河對岸的塔高AB時，可以選與塔底B在同一水平面內(nèi)的兩個測點C與D，現(xiàn)測得∠BCD＝α，∠BDC＝β，CD＝s，并在點C測得塔頂A的仰角為θ，求塔高AB.變式遷移2某人在塔的正東沿著南偏西60°的方向前進40米后，望見塔在東北方向，若沿途測得塔的最大仰角為30°，求塔高．探究點三三角形中最值問題例3(2010·江蘇)某興趣小組要測量電視塔AE的高度H(單位：m)，示意圖如圖所示，垂直放置的標(biāo)桿BC的高度h＝4m，仰角∠ABE＝α，∠ADE＝β.(1)該小組已測得一組α、β的值，算出了tanα＝1.24，tanβ＝1.20，請據(jù)此算出H的值；(2)該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認(rèn)為適當(dāng)調(diào)整標(biāo)桿到電視塔的距離d(單位：m)，使α與β之差較大，可以提高測量精度．若電視塔實際高度為125m，試問d為多少時，α－β最大？變式遷移3(2011·宜昌模擬)如圖所示，已知半圓的直徑AB＝2，點C在AB的延長線上，BC＝1，點P為半圓上的一個動點，以DC為邊作等邊△PCD，且點D與圓心O分別在PC的兩側(cè)，求四邊形OPDC面積的最大值．1．解三角形的一般步驟(1)分析題意，準(zhǔn)確理解題意．分清已知與所求，尤其要理解應(yīng)用題中的有關(guān)名詞、術(shù)語，如坡度、仰角、俯角、方位角等．(2)根據(jù)題意畫出示意圖．(3)將需求解的問題歸結(jié)到一個或幾個三角形中，通過合理運用正弦定理、余弦定理等有關(guān)知識正確求解．演算過程中，要算法簡練，計算正確，并作答．(4)檢驗解出的答案是否具有實際意義，對解進行取舍．2．應(yīng)用舉例中常見幾種題型測量距離問題、測量高度問題、測量角度問題、計算面積問題、航海問題、物理問題等．(滿分：75分)一、選擇題(每小題5分，共25分)1．如果等腰三角形的周長是底邊長的5倍，那么它的頂角的余弦值為()A.eq\f(5,18) B.eq\f(3,4)C.eq\f(\r(3),2) D.eq\f(7,8)2．(2011·揭陽模擬)如圖，設(shè)A、B兩點在河的兩岸，一測量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點C，測出AC的距離為50m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以計算出A、B兩點的距離為()A．50eq\r(2)m B．50eq\r(3)mC．25eq\r(2)m D.eq\f(25\r(2),2)m3．△ABC的兩邊長分別為2,3，其夾角的余弦值為eq\f(1,3)，則其外接圓的半徑為()A.eq\f(9\r(2),2) B.eq\f(9\r(2),4)C.eq\f(9\r(2),8) D．9eq\r(2)4．(2011·滄州模擬)某人向正東方向走xkm后，向右轉(zhuǎn)150°，然后朝新方向走3km，結(jié)果他離出發(fā)點恰好是eq\r(3)km，那么x的值為()A.eq\r(3) B．2eq\r(3)C.eq\r(3)或2eq\r(3) D．35．一船向正北航行，看見正西方向有相距10海里的兩個燈塔恰好與它在一條直線上，繼續(xù)航行半小時后，看見一燈塔在船的南偏西60°方向，另一燈塔在船的南偏西75°方向，則這只船的速度是每小時()A．5海里 B．5eq\r(3)海里C．10海里 D．10eq\r(3)海里題號12345答案二、填空題(每小題4分，共12分)6．一船以每小時15km的速度向東航行，船在A處看到一個燈塔M在北偏東60°方向，行駛4h后，船到B處，看到這個燈塔在北偏東15°方向，這時船與燈塔的距離為________．7．(2011·臺州模擬)某校運動會開幕式上舉行升旗儀式，旗桿正好處在坡度為15°的看臺的某一列的正前方，從這一列的第一排和最后一排測得旗桿頂部的仰角分別為60°和30°，第一排和最后一排的距離為10eq\r(6)米(如圖所示)，旗桿底部與第一排在一個水平面上．若國歌長度約為50秒，升旗手應(yīng)以________米/秒的速度勻速升旗．8．(2011·宜昌模擬)線段AB外有一點C，∠ABC＝60°，AB＝200km，汽車以80km/h的速度由A向B行駛，同時摩托車以50km/h的速度由B向C行駛，則運動開始________h后，兩車的距離最?。?、解答題(共38分)9．(12分)(2009·遼寧)如圖，A、B、C、D都在同一個與水平面垂直的平面內(nèi)，B、D為兩島上的兩座燈塔的塔頂．測量船于水面A處測得B點和D點的仰角分別為75°、30°，于水面C處測得B點和D點的仰角均為60°，AC＝0.1km.試探究圖中B、D間距離與另外哪兩點間距離相等，然后求B、D的距離(計算結(jié)果精確到0.01km，eq\r(2)≈1.414，eq\r(6)≈2.449)．10．(12分)如圖所示，甲船以每小時30eq\r(2)海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向勻速直線航行．當(dāng)甲船位于A1處時，乙船位于甲船的南偏西75°方向的B1處，此時兩船相距20海里．當(dāng)甲船航行20分鐘到達A2處時，乙船航行到甲船的南偏西60°方向的B2處，此時兩船相距10eq\r(2)海里．問乙船每小時航行多少海里？11．(14分)(2009·福建)如圖，某市擬在長為8km的道路OP的一側(cè)修建一條運動賽道，賽道的前一部分為曲線段OSM，該曲線段為函數(shù)y＝Asinωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的圖象，且圖象的最高點為S(3,2eq\r(3))；賽道的后一部分為折線段MNP，為保證參賽運動員的安全，限定∠MNP＝120°.(1)求A，ω的值和M，P兩點間的距離；(2)應(yīng)如何設(shè)計，才能使折線段賽道MNP最長？答案自我檢測1．B2.B3.A4.eq\f(400,3)5．解由cos∠ADC＝eq\f(3,5)＞0知B＜eq\f(π,2)，由已知得cosB＝eq\f(12,13)，sin∠ADC＝eq\f(4,5)，從而sin∠BAD＝sin(∠ADC－B)＝sin∠ADCcosB－cos∠ADCsinB＝eq\f(4,5)×eq\f(12,13)－eq\f(3,5)×eq\f(5,13)＝eq\f(33,65).由正弦定理得，eq\f(AD,sinB)＝eq\f(BD,sin∠BAD)，所以AD＝eq\f(BD·sinB,sin∠BAD)＝eq\f(33×\f(5,13),\f(33,65))＝25.課堂活動區(qū)例1解題導(dǎo)引這類實際應(yīng)用題，實質(zhì)就是解三角形問題，一般都離不開正弦定理和余弦定理，在解題中，首先要正確地畫出符合題意的示意圖，然后將問題轉(zhuǎn)化為三角形問題去求解．注意：①基線的選取要恰當(dāng)準(zhǔn)確；②選取的三角形及正、余弦定理要恰當(dāng)．解由題意知AB＝5(3＋eq\r(3))海里，∠DBA＝90°－60°＝30°，∠DAB＝90°－45°＝45°，∴∠ADB＝180°－(45°＋30°)＝105°.在△DAB中，由正弦定理，得eq\f(DB,sin∠DAB)＝eq\f(AB,sin∠ADB)，∴DB＝eq\f(AB·sin∠DAB,sin∠ADB)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin105°)＝eq\f(53＋\r(3)·sin45°,sin45°cos60°＋cos45°sin60°)＝10eq\r(3)(海里)．又∠DBC＝∠DBA＋∠ABC＝30°＋(90°－60°)＝60°，BC＝20eq\r(3)(海里)，在△DBC中，由余弦定理，得CD2＝BD2＋BC2－2BD·BC·cos∠DBC＝300＋1200－2×10eq\r(3)×20eq\r(3)×eq\f(1,2)＝900，∴CD＝30(海里)，∴需要的時間t＝eq\f(30,30)＝1(小時)．故救援船到達D點需要1小時．變式遷移1解如圖所示，易知∠CAD＝25°＋35°＝60°，在△BCD中，cosB＝eq\f(312＋202－212,2×31×20)＝eq\f(23,31)，所以sinB＝eq\f(12\r(3),31).在△ABC中，AC＝eq\f(BC·sinB,sinA)＝24，由BC2＝AC2＋AB2－2AC·ABcosA得AB2－24AB－385＝0，解得AB＝35，AB＝－11(舍)，所以AD＝AB－BD＝15.故此人在D處距A還有15千米．例2解題導(dǎo)引在測量高度時，要正確理解仰角、俯角的概念，畫出準(zhǔn)確的示意圖，恰當(dāng)?shù)剡x取相關(guān)的三角形和正、余弦定理逐步進行求解．注意綜合應(yīng)用方程和平面幾何、立體幾何等知識．解在△BCD中，∠CBD＝π－α－β.由正弦定理得eq\f(BC,sin∠BDC)＝eq\f(CD,sin∠CBD)，所以BC＝eq\f(CD·sin∠BDC,sin∠CBD)＝eq\f(s·sinβ,sinα＋β)，在Rt△ABC中，AB＝BCtan∠ACB＝eq\f(s·tanθsinβ,sinα＋β).變式遷移2解由題意可知，在△BCD中，CD＝40，∠BCD＝30°，∠DBC＝135°，由正弦定理得，eq\f(CD,sin∠DBC)＝eq\f(BD,sin∠BCD)，∴BD＝eq\f(40sin30°,sin135°)＝20eq\r(2).過B作BE⊥CD于E，顯然當(dāng)人在E處時，測得塔的仰角最大，有∠BEA＝30°.在Rt△BED中，又∵∠BDE＝180°－135°－30°＝15°.∴BE＝DB·sin15°＝20eq\r(2)×eq\f(\r(6)－\r(2),4)＝10(eq\r(3)－1)．在Rt△ABE中，AB＝BE·tan30°＝eq\f(10,3)(3－eq\r(3))(米)．故所求的塔高為eq\f(10,3)(3－eq\r(3))米．例3解題導(dǎo)引平面幾何圖形中研究或求有關(guān)長度、角度、面積的最值、優(yōu)化設(shè)計等問題．而這些幾何問題通常是轉(zhuǎn)化到三角形中，利用正、余弦定理通過運算的方法加以解決．在解決某些具體問題時，常先引入變量，如邊長、角度等，然后把要解三角形的邊或角用所設(shè)變量表示出來，再利用正、余弦定理列出方程，解之．若研究最值，常使用函數(shù)思想．解(1)由AB＝eq\f(H,tanα)，BD＝eq\f(h,tanβ)，AD＝eq\f(H,tanβ)及AB＋BD＝AD，得eq\f(H,tanα)＋eq\f(h,tanβ)＝eq\f(H,tanβ)，解得H＝eq\f(htanα,tanα－tanβ)＝eq\f(4×1.24,1.24－1.20)＝124(m)．因此，算出的電視塔的高度H是124m.(2)由題設(shè)知d＝AB，得tanα＝eq\f(H,d).由AB＝AD－BD＝eq\f(H,tanβ)－eq\f(h,tanβ)，得tanβ＝eq\f(H－h(huán),d).所以tan(α－β)＝eq\f(tanα－tanβ,1＋tanαtanβ)＝eq\f(h,d＋\f(HH－h(huán),d))≤eq\f(h,2\r(HH－h(huán)))，當(dāng)且僅當(dāng)d＝eq\f(HH－h(huán),d)，即d＝eq\r(HH－h(huán))＝eq\r(125×125－4)＝55eq\r(5)時，上式取等號，所以當(dāng)d＝55eq\r(5)時，tan(α－β)最大．因為0<β<α<eq\f(π,2)，則0<α－β<eq\f(π,2)，所以當(dāng)d＝55eq\r(5)時，α－β最大．變式遷移3解設(shè)∠POB＝θ，四邊形面積為y，則在△POC中，由余弦定理得PC2＝OP2＋OC2－2OP·OCcosθ＝5－4cosθ.∴y＝S△OPC＋S△PCD＝eq\f(1,2)×1×2sinθ＋eq\f(\r(3),4)(5－4cosθ)＝2sin(θ－eq\f(π,3))＋eq\f(5\r(3),4).∴當(dāng)θ－eq\f(π,3)＝eq\f(π,2)，即θ＝eq\f(5π,6)時，ymax＝2＋eq\f(5\r(3),4).所以四邊形OPDC面積的最大值為2＋eq\f(5\r(3),4).課后練習(xí)區(qū)1．D2.A3.C4.C5.C6．30eq\r(2)km7.0.68.eq\f(70,43)解析如圖所示：設(shè)th后，汽車由A行駛到D，摩托車由B行駛到E，則AD＝80t，BE＝50t.因為AB＝200，所以BD＝200－80t，問題就是求DE最小時t的值．由余弦定理得，DE2＝BD2＋BE2－2BD·BEcos60°＝(200－80t)2＋2500t2－(200－80t)·50t＝12900t2－42000t＋40000.∴當(dāng)t＝eq\f(70,43)時，DE最?。?．解在△ACD中，∠DAC＝30°，∠ADC＝60°－∠DAC＝30°，所以CD＝AC＝0.1.………………………(2分)又∠BCD＝180°－60°－60°＝60°，所以△ABC≌△CBD，所以BA＝BD.……………(6分)在△ABC中，eq\f(AB,sin∠BCA)＝eq\f(AC,sin∠ABC)，即AB＝eq\f(AC·sin60°,sin15°)＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)，…………(10分)所以BD＝eq\f(3\r(2)＋\r(6),20)≈0.33(km)．故B、D的距離約為0.33km.……………(12分)10．解如圖，連接A1B2，由題意知，A1B1＝20，A2B2＝10eq\r(2)，A1A2＝eq\f(20,60)×30eq\r(2)＝10eq\r(2)(海里)．…………(2分)又∵∠B2A2∴△A1A2B2是等邊三角形∠B1A1B2＝105°－60°＝45°.……………(6分在△A1B2B1中，由余弦定理得B1Beq\o\al(2,2)＝A1Beq\o\al(2,1)＋A1Beq\o\al(2,2)－2A1B1·A1B2cos45°＝202＋(10eq\r(2))2－2×20×10eq\r(2)×eq\f(\r(2),2)＝200，∴B1B2＝10eq\r(2)(海里)．…………………(10分)因此乙船的速度大小為eq\f(10\r(2),20)×60＝30eq\r(2)(海里/小時)．…………(12分)11．解方法一(1)依題意，有A＝2eq\r(3)，eq\f(T,4)＝3，又T＝eq\f(2π,ω)，∴ω＝eq\f(π,6).∴y＝2eq\r(3)sineq\f(π,6)x.(3分)當(dāng)x＝4時，y＝2eq\r(3)sine