河南省部分名校2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中考試數(shù)學(xué)

2023年秋季河南省高二期中考試聯(lián)考數(shù)學(xué)注意事項(xiàng)：1．答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號、考場號、座位號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑。如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上。寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。4．本試卷主要考試內(nèi)容：人教A版選擇性必修第一冊第一章至第三章。一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．1．若直線與直線垂直，則（）A． B． C．7 D．72．若拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，則（）A．10 B．20 C．10 D．203．直線的傾斜角為（）A．108° B．72° C．118° D．18°4．設(shè)，向量在向量上的投影向量為，則的最小值為（）A． B． C． D．5．圓C：與圓D：的位置關(guān)系不可能是（）A．內(nèi)含 B．相交 C．外切 D．內(nèi)切6．某廣場的一個(gè)橢球水景雕塑如圖所示，其橫截面為圓，過橫截面圓心的縱截面為橢圓，該橢圓的離心率為．若該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，則該橢球的高為（）A．3.2米 C．4米 7．在四面體OABC中，D為AB的中點(diǎn)，G為的重心，則（）A． B．C． D．8．的最小值為（）A． B．3 C． D．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求．全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分．9．在棱長為4的正方體中，以空間中某個(gè)點(diǎn)作為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，則B，的坐標(biāo)可能為（）A．， B．，C．， D．，10．下列結(jié)論正確的是（）A．直線的傾斜角大于45°B．直線過定點(diǎn)C．直線與直線之間的距離是D．與點(diǎn)距離為1，且與點(diǎn)距離為4的直線共有4條11．已知曲線C：，，，P為C上異于A，B的一點(diǎn)，直線AP與直線交于點(diǎn)M，直線BP與直線交于點(diǎn)N，則（）A．P到點(diǎn)的距離的取值范圍是B．存在兩個(gè)定點(diǎn)，使得P到這兩個(gè)定點(diǎn)的距離之和為定值C．直線AP與直線BP的斜率之積為D．當(dāng)直線AP的斜率等于時(shí)，等于12．已知曲線C：，圓M：，則（）A．當(dāng)或時(shí)，曲線C與圓M沒有公共點(diǎn)B．當(dāng)時(shí)，曲線C與圓M有1個(gè)公共點(diǎn)C．當(dāng)時(shí)，曲線C與圓M有2個(gè)公共點(diǎn)D．當(dāng)時(shí)，曲線C與圓M有4個(gè)公共點(diǎn)三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13．若P為橢圓E：上一點(diǎn)，，分別為左、右焦點(diǎn)，若，則______．14．一束光線自點(diǎn)發(fā)出，被Oxy平面反射后到達(dá)點(diǎn)被吸收，則該光線所走的路程是______．15．若直線與兩個(gè)圓，都相離，則a的取值范圍是______．16．3D打印是一種以數(shù)字模型文件為基礎(chǔ)，運(yùn)用粉末狀金屬或塑料等可粘合材料，通過逐層打印的方式來構(gòu)造物體的技術(shù)．如圖所示的塔筒為3D打印的雙曲線塔筒，該塔筒是由離心率為的雙曲線的一部分圍繞其旋轉(zhuǎn)軸逐層旋轉(zhuǎn)打印得到的，已知該塔筒（數(shù)據(jù)均以外壁即塔筒外側(cè)表面計(jì)算）上底直徑為6cm，下底直徑為10cm，高為20cm，則喉部（最細(xì)處）的直徑為______cm．四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．（10分）已知拋物線C的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，準(zhǔn)線方程為．（1）求C的方程；（2）若直線l：與C交于A，B兩點(diǎn)，求弦AB的長．18．（12分）如圖，在所有棱長均為1的平行六面體中，，側(cè)棱與AD，AB均成60°角，M為側(cè)面的中心．（1）若N為AM的中點(diǎn)，證明：，B，D，N四點(diǎn)共面．（2）求異面直線AM與所成角的余弦值．19．（12分）已知圓M經(jīng)過，，三點(diǎn)．（1）求圓M的一般方程；（2）過點(diǎn)的直線l與圓M交于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，，求直線l的方程．20．（12分）已知雙曲線M：與拋物線有相同的焦點(diǎn)，且M的虛軸長為4．（1）求M的方程．（2）是否存在直線l，使得直線l與M交于A，B兩點(diǎn)，且弦AB的中點(diǎn)為？若存在，求l的斜率；若不存在，請說明理由．21．（12分）如圖，在正三棱柱中，D是的中點(diǎn)，．（1）證明：．（2）求二面角的余弦值．22．（12分）已知橢圓C：的右焦點(diǎn)為，短軸長為2．（1）求C的方程．（2）若A，B為C上的兩個(gè)動點(diǎn)，A，B兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)的乘積大于0，，，且．證明：直線AB過定點(diǎn)．2023年秋季河南省高二期中考試聯(lián)考數(shù)學(xué)參考答案1．A因?yàn)橹本€的斜率為，所以，解得．2．D因?yàn)閽佄锞€的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，所以，解得．3．A因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線的傾斜角為108°．4．B向量在向量上的投影向量為，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號成立，所以λ的最小值為．5．C圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為，因?yàn)?，所以圓C的圓心在圓D的內(nèi)部，所以兩圓的位置關(guān)系不可能是外切．6．D由題意可知，，則，由該橢球橫截面的最大直徑為1.8米，可知米，所以米，米，該橢球的高為米．7．D因?yàn)镈為AB的中點(diǎn)，所以，因?yàn)镚為的重心，所以，所以．8．C表示直線上一點(diǎn)P到，兩點(diǎn)的距離之和．B關(guān)于直線的對稱點(diǎn)為，故．9．BD在棱長為4的正方體中，，排除A與C，故選BD．10．AB因?yàn)橹本€的斜率為，所以該直線的傾斜角大于45°，故A正確；將直線整理成，由解得，，所以該直線過定點(diǎn)，故B正確；將直線化為，所以兩直線間的距離，故C錯誤；記以為圓心，1為半徑的圓為，以為圓心，4為半徑的圓為，因?yàn)閮蓤A的圓心距，且兩圓的半徑之和，所以，所以兩圓外切，所以兩圓有三條公切線，這三條公切線滿足與點(diǎn)的距離為1，且與點(diǎn)的距離為4，故D錯誤．11．ABD由，得，則C表示橢圓的上半部分，根據(jù)橢圓的定義，可得B正確．點(diǎn)是橢圓的右焦點(diǎn)，則，A正確．設(shè)，則，C錯誤．設(shè)，則，，直線AP的方程為，則M的坐標(biāo)為．直線BP的方程為，則N的坐標(biāo)為，所以，當(dāng)時(shí)，，D正確．12．ACD由，得或，設(shè)：，：，易得過定點(diǎn)，過定點(diǎn)，當(dāng)與圓M相切時(shí)，由，得或，當(dāng)與圓M相切時(shí)，由，得或．當(dāng)或時(shí)，與圓M相離，與圓M相離，則曲線C與圓M沒有公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圓M相交，與圓M相離，則曲線C與圓M有2個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圓M相交，與圓M相切，則曲線C與圓M有3個(gè)公共點(diǎn)．當(dāng)時(shí)，與圓M相交，與圓M相交，則曲線C與圓M有4個(gè)公共點(diǎn)．13．5因?yàn)?，，所以?4．因?yàn)槿肷涔饩€被Oxy平面反射后到達(dá)點(diǎn)且被吸收，根據(jù)光的反射定律可知，入射光線必過點(diǎn)，故該光線從發(fā)射到吸收所走過的路程為．15．點(diǎn)到直線的距離，解得．點(diǎn)到直線的距離，解得．故a的取值范圍是．16．雙曲塔筒的軸截面如圖所示，以C為喉部對應(yīng)點(diǎn)，設(shè)A與B分別為上、下底面對應(yīng)點(diǎn)．由題意可知cm，cm，cm．設(shè)，則．設(shè)雙曲線的方程為，因?yàn)殡p曲線的離心率為，所以，方程可化簡為（*），將A和B的坐標(biāo)代入（*）式可得解得所以．故該塔筒的喉部直徑為cm．17．解：（1）依題意可設(shè)C的方程為，…1分則，解得．…3分所以C的方程為．…4分（2）將代入，得，…6分則，，，…8分所以．……10分【注】第（2）問的弦長還可以這樣求解：因?yàn)橹本€l：經(jīng)過C的焦點(diǎn)，所以．18．（1）證明：，…3分所以，因?yàn)椋?，B，D，N四點(diǎn)共面．…6分（2）解：，即．…8分…10分，即異面直線AM與所成角的余弦值為．…12分19．解：（1）設(shè)圓M的一般方程為，…1分把A，B，C三點(diǎn)坐標(biāo)代入可得…3分解得，，，…4分所以圓M的一般方程為．…5分（2）由（1）得圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，即圓心為，半徑為．…6分當(dāng)直線l與x軸垂直，即時(shí)，此時(shí)，符合題意；…8分當(dāng)直線l與x軸不垂直時(shí)，設(shè)該直線的方程為，即，…9分則圓心M到直線l的距離，解得，所以直線l的方程為．…11分綜上，直線l的方程為或．…12分20．解：（1）拋物線的焦點(diǎn)為，…1分依題意可得…3分解得，，故M的方程為．…5分（2）設(shè)，，則…6分兩式相減得．…7分依題意可得…8分所以．…9分M的漸近線方程為．…10分因?yàn)椋?1分所以直線l與M相交，故存在直線l，且直線l的斜率為．…12分21．（1）證明：取BC的中點(diǎn)E，連接AE，DE，則在正三棱柱中，平面．…1分因?yàn)槠矫?，所以．?分又D是的中點(diǎn)，，所以．…3分因?yàn)?，所以平面ADE．…4分因?yàn)槠矫鍭DE，所以．…5分（2）解：以E為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線EB，EA分別為x軸，z軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，…6分，，．…7分設(shè)平面ABD的法向量為，則由得……8分令，得．…9分設(shè)平面ABC?的法向量為，則由得令，得．…10分．…11分由圖可知，二面