分形盒維數(shù)抗噪能力分析

分形盒維數(shù)抗噪能力分析

1分形維數(shù)的識別網(wǎng)格的初衷是不規(guī)則、分?jǐn)?shù)和破碎的物體?？梢岳斫?，局部和一般元素的相似性是局部和一般元素的相似性。格式的兩個重要特征是無標(biāo)度性和自相性。在分形理論中,分形維數(shù)是一個非常重要的參數(shù),它可以定量地刻畫混沌吸引子的“奇異”程度,在非線性行為的定量描述中得到了較為廣泛的應(yīng)用。分形維數(shù)主要包括:Hausdorff維數(shù)、盒維數(shù)、自相似維數(shù)、信息維數(shù)、關(guān)聯(lián)維數(shù)等。其中,盒維數(shù)和關(guān)聯(lián)維數(shù)的應(yīng)用較為廣泛。在機械故障診斷方面,不同的故障狀態(tài)下,非線性因素對機械振動信號的影響是不同的,如果能在一定程度上辨識非線性因素,對于提取機械系統(tǒng)的故障特征和識別系統(tǒng)的故障類型是很有幫助的。分形維數(shù)有效的反映了系統(tǒng)的非線性特性和吸引子的復(fù)雜程度。眾所周知,噪聲會影響分形維數(shù)的大小,使其無法準(zhǔn)確的反映系統(tǒng)的分形特征。為了得到系統(tǒng)真實的分形維數(shù),就必須對原始信號進行濾波處理。為了消除噪聲,人們設(shè)計出越來越多的濾波器,使用了越來越復(fù)雜的濾波方法。這些濾波手段雖然消除了噪聲,提高了分形維數(shù)的準(zhǔn)確性,但是卻增加了信號處理的難度、降低了實時性。針對噪聲對分形維數(shù)的影響,本文重點對分形盒維數(shù)的抗噪能力進行了研究,發(fā)現(xiàn)分形盒維數(shù)具有一定的抗噪性。在使用較為簡單的濾波方法時,計算得到的分形維數(shù)雖然不是真實的維數(shù),但是仍然包含了信號的非線性特征,能在一定程度上反映系統(tǒng)吸引子的“奇異”程度。因此,在某些情況下,這樣的分形盒維數(shù)仍然可以使用,起到反映系統(tǒng)分形特點的作用。2波形塊的維數(shù)及其計算2.1分形盒子的維數(shù)設(shè)X是Rn的非空有界子集,記N(X,ε)表示最大直徑為ε且能覆蓋X集合的最少個數(shù),則X的盒維數(shù)定義為:2.2網(wǎng)格計數(shù)的算例設(shè)離散信號y(i)?Y,Y是n維歐氏空間Rn上的閉集。用盡可能細的ε網(wǎng)格劃分Rn,Nε是集合Y的網(wǎng)格計數(shù)。由于式(1)中的極限無法按定義求出,所以在計算時需要采用近似的方法。以ε網(wǎng)格作為基準(zhǔn),逐步放大到kε網(wǎng)絡(luò),其中k∈Z+。這樣,令Nkε為離散空間上的集合Y的網(wǎng)格計數(shù),則由式(2)和式(3)可以計算得到。式中:j=1,2,…,N/k;N為采樣點數(shù)。k=1,2,…,M,M<N。網(wǎng)絡(luò)計數(shù)Nkε為:式中:Nkε>1。在lgkε-lgNkε圖中確定線性較好的一段為無標(biāo)度區(qū),設(shè)無標(biāo)度區(qū)的起點和終點分別為k1、k2,則:最后,用最小二乘法確定該直線的斜率:盒維數(shù)dB為:3分散盒子維數(shù)的抗噪聲研究3.1噪聲對分形盒維數(shù)的影響一維布朗運動隨時間變化的軌跡具有分形特性,取采樣點數(shù)為N=2000,得到布朗運動信號如圖1所示。在原始的布朗運動軌跡信號上疊加均值為零的高斯白噪聲,改變信噪比SNR,求其在不同噪聲強度影響下的分形盒維數(shù),如圖2所示。由圖2可知,當(dāng)信噪比較小時,分形盒維數(shù)較大,由于大噪聲的影響,分形盒維數(shù)無法反映出信號的真實分形特征;而在信噪比大于30dB后,分形盒維數(shù)基本趨于穩(wěn)定,此時的盒維數(shù)才是信號真正的分形盒維數(shù)。不妨將得到真實分形盒維數(shù)所對應(yīng)的最小SNR點稱為H點。對于一維布朗運動軌跡信號,H=30。疊加噪聲后,如果信噪比高于H,分形盒維數(shù)幾乎不會受到影響;當(dāng)疊加噪聲后的信噪比在1到H之間時,分形盒維數(shù)隨著信噪比的減小而增大。對[1,H]區(qū)間內(nèi)的波形進行一次曲線擬合,可得到如圖3所示結(jié)果。曲線擬合的斜率為K=-0.0104,平均誤差為0.455%。由此可見,在[1,H]區(qū)域,分形盒維數(shù)與信噪比之間有明顯的線性關(guān)系。3.2不同信號的分形盒維數(shù)的比較非周期信號leleccum是電網(wǎng)監(jiān)視的電壓變化曲線信號,取采樣點數(shù)N=2000,改變信噪比,求其在不同噪聲影響下的分形盒維數(shù),如圖4所示。比較圖4和圖2可以發(fā)現(xiàn),兩條曲線的形態(tài)有明顯的相似性。由此可知,隨著噪聲強度的變化,不同信號的分形盒維數(shù)的變化趨勢是相似的。有所不同的是,對于leleccum信號,H=40。當(dāng)信號疊加噪聲后,如果信噪比高于H,分形盒維數(shù)的數(shù)值幾乎不會受到影響,此時的分形盒維數(shù)反映了leleccum信號的真實分形維數(shù);當(dāng)信噪比在1到H之間時,分形盒維數(shù)隨著信噪比的減小而增大。對[1,H]區(qū)間內(nèi)的波形進行一次曲線擬合,得到的結(jié)果如圖5所示。曲線擬合的斜率為K=-0.0109,平均誤差為0.783%。由此可見,在[1,H]區(qū)域,分形盒維數(shù)與信噪比之間確實存在明顯的線性關(guān)系。3.3振動信號的隨噪聲強度的變化采集軸承振動信號,取采樣點數(shù)N=2000,為了得到原始的振動信號,對采集的信號進行去噪濾波,采用“sym5”小波基函數(shù),以極大極小閾值原則對信號進行自適應(yīng)濾波處理。以濾波后的振動信號為基礎(chǔ),添加噪聲,改變信噪比,求其在不同噪聲影響下的分形盒維數(shù),如圖6所示。將圖6與圖2、圖4比較,3條曲線的形態(tài)有明顯的相似性。由此可知,隨著噪聲強度的變化,軸承振動信號的變化趨勢與其他分形信號相似。有所不同的是,對于該軸承振動信號,H=30。對振動信號疊加噪聲,如果信噪比高于H,分形盒維數(shù)的數(shù)值幾乎不會受到影響,此時的分形盒維數(shù)反映了振動信號的真實分形維數(shù);當(dāng)信噪比在1到H之間時,分形盒維數(shù)隨著信噪比的減小而增大。對[1,H]區(qū)間內(nèi)的波形進行一次曲線擬合,得到的結(jié)果如圖7所示。曲線擬合的斜率為K=-0.0119,平均誤差為0.625%。由此可見,在[1,H]區(qū)域,軸承振動信號的分形盒維數(shù)與信噪比之間確實存在明顯的線性關(guān)系。3.4關(guān)于分形盒維數(shù)對大量信號的分形盒維數(shù)進行計算和抗噪性研究,發(fā)現(xiàn)在改變信噪比SNR時,分形盒維數(shù)具有一定的抗噪性。這種抗噪性表現(xiàn)為:當(dāng)SNR較大時,信號的分形盒維數(shù)基本不受影響,仍然可以正確地反映出信號的分形特征;當(dāng)SNR屬于區(qū)間[1,H]時,信號的分形盒維數(shù)都隨著SNR呈線性變化。由式(1)可知,分形盒維數(shù)的定義中有兩個很重要的變量,一個是盒直徑ε;另一個是在盒直徑為ε時所對應(yīng)的覆蓋X集合的最小盒子數(shù)N(X,ε)。在盒子大小確定的情況下,影響分形盒維數(shù)的就是覆蓋X集合的最小盒子數(shù)。從幾何學(xué)和空間理論的角度考慮,分形盒維數(shù)度量了信號填充空間的能力,反映了信號的復(fù)雜程度,刻畫了信號的自相似特性。因此,當(dāng)原有信號疊加噪聲時,如果信噪比較大,覆蓋信號的盒子數(shù)沒有明顯的增加,噪聲不足已影響信號的復(fù)雜程度,也不會明顯增強信號的空間填充能力,所以信號的分形特征仍是主導(dǎo)因素,計算得到的分形盒維數(shù)依然可以正確的反映信號的分形特點。然而,當(dāng)信噪比減小到一定程度時,信號的空間填充能力和復(fù)雜程度受到了噪聲的影響,分形盒維數(shù)逐漸變大,但是由于白噪聲的隨機均勻性對信號的影響是線性的,覆蓋信號的盒子數(shù)呈現(xiàn)線性的增長趨勢,所以分形盒維數(shù)也呈線性變化,此時的分形盒維數(shù)仍然可以在一定程度上反映信號的分形特征。4故障模式下分形維數(shù)檢測對6205-2RS軸承進行實驗,在實驗中,軸承有3種狀態(tài):正常狀態(tài)、內(nèi)圈故障狀態(tài)和外圈故障狀態(tài)(如圖8所示)。軸承在1797r/min的額定轉(zhuǎn)速下工作,利用振動加速度傳感器測取軸承的振動信號,在采樣頻率為12kHz、采樣點數(shù)為2000點的條件下,得到軸承采樣信號。選取正常狀態(tài)和兩種故障狀態(tài)數(shù)據(jù)各20組,采用“sym5”小波基函數(shù),以極大極小閾值原則對信號進行自適應(yīng)濾波處理,結(jié)果如圖9所示。然后對小波濾波后的數(shù)據(jù)逐一計算分形盒維數(shù),將全部數(shù)據(jù)的計算結(jié)果進行整理,求不同狀態(tài)下的數(shù)學(xué)期望及其誤差,可以得到不同故障模式下的分形盒維數(shù)及其誤差范圍,如表1所示。由表1可知,濾波后的分形盒維數(shù)可以作為故障的特征向量,對軸承故障進行診斷。如果采用高斯低通濾波方法,截止頻率為2kHz,對采樣信號進行簡單的低通濾波處理,然后求其分形盒維數(shù),可以得到如表2和圖10所示結(jié)果。由表2可知,只對信號進行簡單的低通濾波,計算得到各狀態(tài)分形維數(shù)范圍,同樣可以達到區(qū)別軸承狀態(tài)、判斷故障類型的目的。任意抽取一個軸承,對其進行測試,為排除誤差,確保正確性,采集3組數(shù)據(jù),其中1組振動信號的波形及濾波結(jié)果如圖11所示。經(jīng)過小波濾波后,計算這3組采樣信號的分形盒維數(shù)分別為:1.3499、1.3422、1.3504。對照表1里的數(shù)據(jù),由于3組數(shù)據(jù)的分形盒維數(shù)都屬于軸承外圈故障(1.3482±0.0115)范圍,所以可以判斷該軸承故障狀態(tài)為外圈故障。經(jīng)過簡單的低通濾波后,計算3組采樣信號的分形盒維數(shù)分別為:1.5355、1.5298、1.5314。對照表2里的數(shù)據(jù),由于3組數(shù)據(jù)的分形盒維數(shù)都屬于軸承外圈故障(1.5347±0.0102)范圍,所以同樣可以判斷該軸承故障狀態(tài)為外圈故障。比較表1和表2可以發(fā)現(xiàn),由于噪聲的影響,各狀態(tài)下分形盒維數(shù)的值都增大了,而誤差范圍變化不大。由于分形盒維數(shù)具有一定的抗噪性,對信號的濾波要求不高。因此,雖然只是經(jīng)過了簡單的濾波處理,該分形盒維數(shù)不能準(zhǔn)確的反映軸承信號真實的分形特征,卻依然可以作為故障診斷的依據(jù),達到