2021-2022學(xué)年人教A版（2019）高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達(dá)標(biāo)測(cè)試卷（基礎(chǔ)A卷）

2021-

2022學(xué)年人教A版（2019）高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中達(dá)標(biāo)測(cè)試卷（基礎(chǔ)A

卷）

一、選擇題

1.若非零向量a,1滿(mǎn)足|a|=|b|,（勿-。）》=0,則a與》的夾角為（）

A.30°B.60°C.120°D.1500

2.在三棱柱ABC中，。是四邊形B8C。的中心，且A4；=a,AB=b,AC=c,則

AQ=（）

3.如圖所示，在長(zhǎng)方體ABCD-A4GR中，AB=BC=2,AAl=y/2,E,尸分別是面人隹^口，

面8CCg的中心，則E,F兩點(diǎn)間的距離為（）

4.己知直線(xiàn)4:ar+y-l=0與直線(xiàn)4：x-y+5=0互相垂直，則點(diǎn)（1,2）到直線(xiàn)人的距離為（）

A.lB.2C.V2D.2&

5.若直線(xiàn)3x+4y+m=0與圓/+y2-2x+4y+l=0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù),*的取值范圍是（）

A.—5<m<15B.m<—5或加>15C./n<4或相>13D.4<〃z<13

22萬(wàn)

6.已知焦點(diǎn)在x軸上的橢咋+?=1的離心率為守則實(shí)數(shù)…

A.2B.8C.4+2V2D.4-20

7.已知雙曲線(xiàn)J-g=l（a>0,b>0）的一條漸近線(xiàn)平行于直線(xiàn)/:y=2x+10,雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在

直線(xiàn)/上，則雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為（）

222

A.二上=13x3y2

B-c.--------------1*-Ml

52020525100

8.如圖所示，過(guò)拋物線(xiàn)/=2Px（p>0）的焦點(diǎn)F的直線(xiàn)I交拋物線(xiàn)于A,B兩點(diǎn),交其準(zhǔn)線(xiàn)于點(diǎn)C,若

|BC|=0|B尸且|A尸|=4+2/,則P的值為()

2

二、多項(xiàng)選擇題

9.已知方程f+J+36+緲++〃一1=0,若方程表示圓，則。的值可能為（）

A.-2B.OC.lD.3

22

10.已知方程—一+工=1表示曲線(xiàn)C則下列為真命題的是（）

4Tr-1

A.當(dāng)lvrv4時(shí)，曲線(xiàn)C不一定是橢圓B.當(dāng)"4或，<1時(shí)，曲線(xiàn)C一定是雙曲線(xiàn)C.

若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則若曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線(xiàn)，則/>4

11.如圖，在四棱錐P-zlBCD中，底面ABCQ為矩形，AD=4,AB=2,平面平面

ABCD,△抬Z）為等腰直角三角形，且NB4￡）=3,0為底面ABC。的中心，8為PO的中點(diǎn)，F(xiàn)

2

在棱以上，若二=2,2e[0,l],則下列說(shuō)法正確的有（）

PA

A.異面直線(xiàn)PO與AD所成角的余弦值為叵

7

B.異面直線(xiàn)P0與AD所成角的余弦值為巫

21

C.若平面OEF與平面。EF夾角的正弦值為好，則2

52

D.若平面0E尸與平面DE尸夾角的正弦值為亞，則人亞

52

12.某建筑公司在挖掘地基時(shí)，出土了一件文物，該文物外面是紅色透明藍(lán)田玉，里面是一個(gè)球形

2222

綠色水晶寶珠，其軸截面如圖，軸截面邊界由橢圓c,:方+方=1的右半部分與橢圓G:5+營(yíng)=1

的左半部分組成，其中a2=/+c2,q>b>c>0.設(shè)點(diǎn)片，片，心是相應(yīng)橢圓的焦點(diǎn)，A，4和4,

名分別是軸截面邊界與x,y軸的交點(diǎn)，陰影部分是寶珠的軸截面，若寶珠的體積是卑，”，

瑪在寶珠表面上，是等邊三角形，則下列為真命題的是（）

B.C2的離心率大于橢圓G的離心率

c.G的焦點(diǎn)在y軸上

D.C?的長(zhǎng)、短軸的比值大于橢圓q的長(zhǎng)、短軸的比值

三、填空題

13.若a=(l,2,2),8=(2,-1,2),c=(1,4,4),且a,b,c共面，則4=.

14.設(shè)橢圓4+亡=1(0>6)的右焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為A,已知_L+」_=也，其中

a23\OF\\OA\|M|

O為坐標(biāo)原點(diǎn)，e為橢圓的離心率，則橢圓的方程為.

15.己知圓G：f+y2=],圓G：(x-4)2+y2=25,則兩圓公切線(xiàn)的方程為.

22

16.已知點(diǎn)M(6,3)是直線(xiàn)/被雙曲線(xiàn)上-匯=1而截得的線(xiàn)段A8的中點(diǎn)，則直線(xiàn)/的方程是

2550

四、解答題

17.已知過(guò)點(diǎn)P(0,-2)的圓用的圓心為(“,0)(“<0),且圓M與直線(xiàn)x+y+2應(yīng)=0相切.

(1)求圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程；

□萬(wàn)

(2)若過(guò)點(diǎn)Q(0,l)且斜率為％的直線(xiàn)/交圓M于A,8兩點(diǎn)，且的面積為"，求直線(xiàn)/

的方程.

18.如圖，在四棱錐P-4BC￡)中，Q4_L平面A8C￡>,底面A8CD是菱形，AB=2,ZBAD=60°.

B

(1)求證：3Z)J_平面PAC；

(2)若24=他，求PB與AC所成角的余弦值.

22

19.如圖，己知橢圓++方=1(。>%>0)的左右焦點(diǎn)分別為百，心，焦距為2,設(shè)點(diǎn)Ra力)滿(mǎn)足

Va；鳥(niǎo)為等腰三角形，且歸用=忻圖.

(1)求該橢圓的方程.

(2)過(guò)x軸上的一點(diǎn)M(m,O)作一條斜率為左的直線(xiàn)/,與桶圓交于4,8兩點(diǎn)，問(wèn)是否存在常數(shù)

k,使得|AM『+|MB『的值與〃?無(wú)關(guān)？若存在，求出k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

20.已知P是以耳，心為焦點(diǎn)的雙曲線(xiàn)C：，-￡=l(a>0力>0)上的一點(diǎn)，且?尸耳=0,

|/=2|網(wǎng).

(1)求雙曲線(xiàn)的離心率e；

(2)過(guò)點(diǎn)P作直線(xiàn)分別與雙曲線(xiàn)兩漸近線(xiàn)相交于邛，2兩點(diǎn)，若麗.西=-4(。為坐標(biāo)原

點(diǎn))，2PR+PP；=。,求雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程.

21.如圖所示的幾何體中，BE工BC,EA±AC,BC=2,AC=2夜，ZACB=45°,AD/IBC,

BC=2AD.

(1)求證：AE_L平面ABC。；

(2)若NABE=60。，點(diǎn)F在EC上，且滿(mǎn)足所=2FC,求平面FAQ與平面AOC的夾角的余弦

值.

22.已知拋物線(xiàn)y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為F,準(zhǔn)線(xiàn)為/.

(1)求拋物線(xiàn)上任意一點(diǎn)。到定點(diǎn)N(2p,0)的距離的最小值；

(2)過(guò)點(diǎn)廠作一直線(xiàn)與拋物線(xiàn)相交于A,B兩點(diǎn)，并在準(zhǔn)線(xiàn)/上任取一點(diǎn)M,當(dāng)M不在x軸上時(shí)，

證明：kL是一個(gè)定值,并求出這個(gè)值(其中心.次分別表示直線(xiàn)的斜

kMF

率).

參考答案

1.答案：B

解析：設(shè)。與辦的夾角為0.由(2?-))?方=0得2a?b=BP21a||i|cos0=\b^=\a\'\b\9

cos0=—，...9=60°.

2

2.答案：D

解析：祁=；(辜+福)=萬(wàn)(平+福+稻)=-ga+gz>+gc,故選D.

3.答案：C

解析：以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB所在直線(xiàn)為x軸，A。所在直線(xiàn)為y軸，9所在直線(xiàn)為z軸建立空間直

luunI7~H—77迎

角坐標(biāo)系，則點(diǎn)E(l,l,4，F(xiàn)2,1%,所以IE尸1=(2-iy+(l-l)2+q一五=三，故選

C.

4答案:C

解析：由已知得，=-a,號(hào)2=1，又/］上q，

—6rx1=—1,解得a=l.

此時(shí)直線(xiàn)4的方程為x+y-l=O,

??.點(diǎn)(1,2)到直線(xiàn)/,的距離d="yr=0,故選C

Vl2+12

5.答案：B

解析：圓x2+y2—2x+4y+l=0的圓心為(1,一2),半徑為2,

由題意得，圓心到直線(xiàn)3x+4y+%=0的距離員告叫>2,5或相>15.故選B.

-V9+16

6.答案：B

解析：由題意，得“=而，6=2,則c=5/^W,所以橢圓的離心率e=￡=近M=解得

ayjm2

m=8.故選B.

7.答案：A

解析：?.?雙曲線(xiàn)的一個(gè)焦點(diǎn)在直線(xiàn)/上，當(dāng)y=0時(shí)，x=-5,即雙曲線(xiàn)的左焦點(diǎn)坐標(biāo)為(-5,0),

.-.c=5.V雙曲線(xiàn)二-與=1(a>0,b>0)的一條漸近線(xiàn)平行于直線(xiàn)/:y=2x+10,.心=2.又

ab~a

°2=/+62,../=5,^=20,.?.雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為三一匯=1.

520

8.答案：B

解析：過(guò)2作準(zhǔn)線(xiàn)的垂線(xiàn)初?’，垂足為",則忸叫=|5尸|,由|8。=也|8尸|,得直線(xiàn)/的傾斜角

為45°.設(shè)4(%,%),由|AF|=4+2夜，得％1AF|=2+2血，.?.%=2+2夜+3.又

\AF\=x0+^,.?.2+2&+p=4+20,:.p=2.

9.答案：AB

解析：由(3.)2+/-4(#+&-1)>0,得所以滿(mǎn)足條件的只有-2與0.故選AB.

10.答案：ABCD

解析：對(duì)于A,當(dāng)f=9時(shí)，曲線(xiàn)C是圓，所以A為真命題；對(duì)于B,當(dāng)r>4時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在

2

y軸上的雙曲線(xiàn)，當(dāng)時(shí)，曲線(xiàn)C是焦點(diǎn)在x軸上的雙曲線(xiàn)，所以B為真命題；對(duì)于C,若曲線(xiàn)

'4-?>0

C是焦點(diǎn)在x軸上的橢圓，則-1>0,解得所以C為真命題；對(duì)于D,若曲線(xiàn)C是

2

4-r>r-l

焦點(diǎn)在)，軸上的雙曲線(xiàn)，則

4-/<0

八，解得f>4,所以D為真命題.故選ABCD.

r-l>0

11.答案：BC

解析：=

:.PA±AD,

Q平面PAD_L平面ABCD,

平面皿)c平面A8C￡)=A￡),%u平面PA。，

平面ABC。，

Q底面ABC。為矩形，r./W,AD,AP兩兩垂直.

以A為原點(diǎn)，AB,AD,AP所在直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示,

則A(0,0,0),5(2,0,0),0(1,2,0),D(0,4,0),P(0,0,4),

Liimiuuu

??.PO=(l,2,-4),AD=(0,4,0),

ULUUUUIU

uuuuun\po-AD\

.1cos〈P。,AD)|=-wc-titfflL

\PO\^\AD\

__________8__________2后

=肝+22+(_4)己“2=丁'

???異面直線(xiàn)P。與AO所成角的余弦值為也，故A錯(cuò)，B對(duì).

21

由題易得E(0,2,2),平面PAD,

取平面PAO的一個(gè)法向量m=(1,0,0).

PA

Q—=2,AG[0,1],PA=4,

PA

.■.E4=4/l,/.F(0,0,42),

設(shè)平面OE尸的法向量為〃=(x,y,z),

LILIUUUU

易知0E=(-1,0,2),FO=(1,2,-4X),

ruura

OEn=0,—x+2z=0,

則ULUI

/?！?0,x+2y—42z=0,

令x=2,得，z=(2,24—1,1),

Q平面OE/與平面。石尸夾角的正弦值為日，

.[cos〈/n,〃〉|=

而|cos(m,〃〉|=———=/

I?I-I?I,4+(2/1-1)2+1

2平，解得馬,

也+(2/-1)2+]

故C對(duì)，D錯(cuò).

故選BC.

12.答案：AC

22

解析：由a>6>c>0,可得橢圓￡:=+4=1的焦點(diǎn)在x軸上，即與為右焦點(diǎn)，則橢圓

ab

C2：0+，=l的焦點(diǎn)在），軸上，且|d|=6.設(shè)寶珠的半徑為R,則3兀/?3=等，得R=2,得

FtF2=4,即d2-d=4,又由是等邊三角形，得。鳥(niǎo)=^x4=2百，即c=26,即

a2-b2=U,加—12=4,得6=4,a=2幣,所以G的離心率是需=浮，故選項(xiàng)A為真命

題；G的離心率為=；<亨?故選項(xiàng)B為假命題；易知G的焦點(diǎn)在y軸上，故選項(xiàng)C

為真命題；c,的長(zhǎng)、短軸的比值為之，c的長(zhǎng)、短軸的比值為也，之<也,故選項(xiàng)D為假命題.

石2V32

13.答案：1

解析：b,c共面，

二.存在實(shí)數(shù)機(jī)，n,使得c=〃?o+肪，

1=m+2%

.二<4=Am-n,解得2=1.

4=2m+2?,

14.答案：3+口

113e3c

解析:由---1---=---化簡(jiǎn)得/=4C2.又C/-C2=〃=3,所以

\OF\\OA\\FA\a(a-c)

c2=l,所以/=4,所以橢圓的方程為三+f=l.

43

15.答案：x+l=O

解析：圓G：d+y2=1,圓心為（0,0）,半徑為1;

圓G：（x-4）2+y2=25,圓心為（4,0）,半徑為5.

易知兩圓內(nèi)切，切點(diǎn)為（-1,0）,又兩圓圓心都在x軸上,

所以?xún)蓤A公切線(xiàn)的方程為x=-l,即x+l=0.

16.答案：4x—y—21=0

K

-=

解析：設(shè)&西,乂）,8（々,必），則2?520

%

毛一-

,2550

2222

--------=2?一I?，’2（區(qū)一”2）（“1+工2）=（乂—、2）（乂+%）,由”（6,3）是線(xiàn)段AB的中點(diǎn)，得

%1+x2=12,%+必=6，代入上式，得4（玉一"2）=X-%，又易知工產(chǎn)馬,.,?勺~衛(wèi)=4.于是

直線(xiàn)/的方程為＞-3=4。-6）,即4%-y-21=0.又結(jié)合圖形（圖略）易檢驗(yàn)知此方程適合題意.

故所求直線(xiàn)I的方程是4x-y-21=0.

17.答案：（1）設(shè)圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為（工-。）2+9=/（4工0/＞0）,

則圓心（〃,0）到直線(xiàn)x+y+2&=0的距離為必+乎1，

V2

a2+4=r2,

由題意得＜|〃+2夜|解得4=0或。=40（舍去），所以，=4,

~^2~=r，

所以圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為f+）,2=4.

（2）設(shè)直線(xiàn)/的方程為y=fcv+l,則圓心M到直線(xiàn)/的距離為得二,

14k2+3

.?MB|=2\k2+l

又點(diǎn)P（0,-2）到直線(xiàn)I的距離d=—=

°1?.r>?J1->14k~+333y/l,a,

：?S.PAB=}lAB]d=}X2小不~-x.=——,解得K=l,.-.^=±l,

，zY化+17lc+12

則直線(xiàn)/的方程為y=±x+l.

解析：

18.答案：(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜛BCD是菱形，

所以AC_LBZ).

因?yàn)镋4_L平面ABC。，3Z)u平面ABC。，

所以必_L必.

又因?yàn)锳CcB4=A,所以B￡)J_平面PAC.

(2)設(shè)ACcBD=O.

因?yàn)?4￡>=60。，AB=2,

所以80=1,AO=CO=5

如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線(xiàn)。8,0C分別為x軸，y軸，過(guò)點(diǎn)。平行于抬的直線(xiàn)為z軸，建立

空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

UliUUUl

所以PB=(l,6,-2),4c=(0,26,0).

設(shè)PB與AC所成角為Q,

Ulluuu—

NlliQiriaci6V6

貝ijcos3=-utfatm-=-T=-------產(chǎn)=——，

|PBIIAC|2V2X2V34

即PB與4c所成角的余弦值為遠(yuǎn).

4

解析：

19.答案：⑴根據(jù)題意，有2c=2,c=l,故收一”+“=4,

[a2-b2=\

解得廠，故所求橢圓的方程為二+乙=1.

b=V343

(2)設(shè)4(3,%),8(%,%)，易得直線(xiàn)/的方程為y=&(x—機(jī))，

y=k(x-m)

由W(3+4k2)x2-Sk2/nx+4k2nr-12=0.

----1-----=1

43

8k2m4k2m2-12

所以玉+x,=

春記中23+4公

故+|AW

=(1+/)[(%一⑹,+(w-〃)]

2

=(1+公)[(玉+x2)-2X1X2-2"?(X[+x2)+2〃?[

=-l+k-rF(-24k2+18)〃/+96k2+721.

(3+的力)」

令一24r+18=0,得*=3,即女=士且.

42

此時(shí)|M4『+|M8『=7,與"無(wú)關(guān)，符合題意.

解析：

20.答案：(1)不妨設(shè)點(diǎn)尸在第一象限.

?.?|所42|明，|所卜|叫=2%

.?.|P^|=4a,|PF2|=2a.

222

vPFtPF^=0,(4a)+(2a)=(2c),

;.e=￡S

a

22

（2）由（1）,知雙曲線(xiàn)的方程為二-二=1,則漸近線(xiàn)的方程為y=±2x.

ar4tr

不妨設(shè)6（X，2xJ,6（工2,-2入2），尸（乂了），

—-—?279

\*OP}-OP2=-3A;x2=_■—,XyX2=—.

2x+x

x=t2

-S-

,：2Pq+PP=0,/.<

22(2%-%)

y=

?.?點(diǎn)P在雙曲線(xiàn)上一5

化簡(jiǎn)，得再毛=手

9a292c

-----=—,ci=2,

8---4

。2

雙曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程為土-匕=1.

28

解析：

21.答案：(1)證明：在△A6C中，BC=2,AC=20,ZACB=45°,

由余弦定理可得452=BC2+AC2—2XBCXACXCOS45O=4,所以AS=2(負(fù)值舍去)，

因?yàn)锳C2=A82+8C2,

所以△ABC是直角三角形，ABYBC.

又BE工BC,ABcBE=B,

所以BC_L平面ABE.

因?yàn)锳Eu平面ABE,所以3C_LAE,

因?yàn)镋4J_AC,ACr>BC=C