專題五：函數(shù)奇偶性專題總結(jié)

函數(shù)專題之專題五：函數(shù)奇偶性專題五：函數(shù)奇偶性一、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的定義定義說明：對于函數(shù)的定義域內(nèi)任意一個：⑴是偶函數(shù)；⑵奇函數(shù)；函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)為奇（偶）函數(shù)的必要不充分條件。二、函數(shù)的奇偶性的幾個性質(zhì)①、對稱性：奇（偶）函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱；②、整體性：奇偶性是函數(shù)的整體性質(zhì)，對定義域內(nèi)任意一個都必須成立；③、可逆性：是偶函數(shù)；奇函數(shù)；④、等價性：⑤、奇函數(shù)的圖像關(guān)于原點對稱，偶函數(shù)的圖像關(guān)于軸對稱；⑥、可分性：根據(jù)函數(shù)奇偶性可將函數(shù)分類為四類：奇函數(shù)、偶函數(shù)、既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)、非奇非偶函數(shù)。三、函數(shù)的奇偶性的判斷判斷函數(shù)的奇偶性大致有下列兩種方法：第一種方法：利用奇、偶函數(shù)的定義，主要考查是否與、相等，判斷步驟如下：①、定義域是否關(guān)于原點對稱；②、數(shù)量關(guān)系哪個成立；【例題】判斷下列各函數(shù)是否具有奇偶性⑴、⑵、⑶、⑷、⑸、⑹、解：⑴為奇函數(shù)⑵為偶函數(shù)⑶為非奇非偶函數(shù)⑷為非奇非偶函數(shù)⑸為非奇非偶函數(shù)⑹既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)【例題】判斷函數(shù)的奇偶性。第二種方法：利用一些已知函數(shù)的奇偶性及下列準則（前提條件為兩個函數(shù)的定義域交集不為空集）：兩個奇函數(shù)的代數(shù)和是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和是偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的和既不非奇函數(shù)也非偶函數(shù)；兩個奇函數(shù)的積為偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的積為偶函數(shù)；奇函數(shù)與偶函數(shù)的積是奇函數(shù)。四、關(guān)于函數(shù)的奇偶性的幾個命題的判定。命題1函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要不充分條件。此命題正確。如果函數(shù)的定義域不關(guān)于原點對稱，那么函數(shù)一定是非奇非偶函數(shù)，這一點可以由奇偶性定義直接得出。命題2兩個奇函數(shù)的和或差仍是奇函數(shù)；兩個偶函數(shù)的和或差仍是偶函數(shù)。此命題錯誤。一方面，如果這兩個函數(shù)的定義域的交集是空集，那么它們的和或差沒有定義；另一方面，兩個奇函數(shù)的差或兩個偶函數(shù)的差可能既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)，如f(x)=x(x∈〔-1,1〕),g(x)=x(x∈〔-2,2〕)，可以看出函數(shù)f(x)與g(x)都是定義域上的函數(shù)，它們的差只在區(qū)間〔-1，1〕上有定義且f(x)-g(x)=0，而在此區(qū)間上函數(shù)f(x)-g(x)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)。命題3f(x)是任意函數(shù)，那么|f(x)|與f(|x|)都是偶函數(shù)。此命題錯誤。一方面，對于函數(shù)|f(x)|=不能保證f(-x)=f(x)或f(-x)=-f(x)；另一方面，對于一個任意函數(shù)f(x)而言，不能保證它的定義域關(guān)于原點對稱。如果所給函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱，那么函數(shù)f(|x|)是偶函數(shù)。命題4如果函數(shù)f(x)滿足：|f(x)|=|f(-x)|，那么函數(shù)f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)。此命題錯誤。如函數(shù)f(x)=從圖像上看，f(x)的圖像既不關(guān)于原點對稱，也不關(guān)于y軸對稱，故此函數(shù)非奇非偶。命題5函數(shù)f(x)+f(-x)是偶函數(shù)，函數(shù)f(x)-f(-x)是奇函數(shù)。此命題正確。由函數(shù)奇偶性易證。命題6已知函數(shù)f(x)是奇函數(shù)，且f(0)有定義，則f(0)=0。此命題正確。由奇函數(shù)的定義易證。命題7已知f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，方程f(x)=0有實根，那么方程f(x)=0的所有實根之和為零；若f(x)是定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)，則方程f(x)=0有奇數(shù)個實根。此命題正確。方程f(x)=0的實數(shù)根即為函數(shù)f(x)與x軸的交點的橫坐標，由奇偶性的定義可知：若f(x0)=0，則f(-x0)=0。對于定義在實數(shù)集上的奇函數(shù)來說，必有f(0)=0。故原命題成立。五、關(guān)于函數(shù)按奇偶性的分類全體實函數(shù)可按奇偶性分為四類：①奇函數(shù)、②偶函數(shù)、③既是奇函數(shù)也是偶函數(shù)、④非奇非偶函數(shù)。六、關(guān)于奇偶函數(shù)的圖像特征【例題】已知偶函數(shù)在軸右則時的圖像如圖（一）試畫出函數(shù)軸右則的圖像。2-12-111-2XY圖（二）0121XY圖（一）七、關(guān)于函數(shù)奇偶性的簡單應(yīng)用1、利用奇偶性求函數(shù)值【例題】已知且，那么2、利用奇偶性比較大小【例題】已知偶函數(shù)在上為減函數(shù)，比較，，的大小。3.利用奇偶性求解析式【例題】已知為偶函數(shù)，求的解析式？4、利用奇偶性討論函數(shù)的單調(diào)性【例題】若是偶函數(shù)，討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間？5、利用奇偶性判斷函數(shù)的奇偶性【例題】已知函數(shù)是偶函數(shù)，判斷的奇偶性。6、利用奇偶性求參數(shù)的值【例題】定義在R上的偶函數(shù)在是單調(diào)遞減，若，則的取值范圍是如何？7、利用圖像解題【例題】（2004.上海理）設(shè)奇函數(shù)f(x)的定義域為[-5,5].若當x∈[0,5]時,f(x)的圖象如右圖,則不等式的解是.8.利用定義解題【例題】已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，則________?！揪毩?xí)】1.函數(shù)是()A．奇函數(shù) B．偶函數(shù) C．既奇又偶函數(shù) D．非奇非偶函數(shù)2．已知函數(shù)為偶函數(shù)，則的值是（）A.B.C.D.設(shè)為定義在上的奇函數(shù)，當時，，則()(A)2；(B)1；(C)；(D)．4.設(shè)是上的奇函數(shù)，，當時，，則的值是（）A.B.C.D.5．函數(shù)是（）A．偶函數(shù)B．奇函數(shù)C．非奇非偶函數(shù)D．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)6．若，g（x）都是奇函數(shù)，在（0，＋∞）上有最大值5，則f（x）在（－∞，0）上有（）A．最小值－5B．最大值－5C．最小值－1D．最大值－37.若函數(shù)是奇函數(shù)，則為__________。8.若是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則．9.已知函數(shù)對任意實數(shù)恒有判斷的奇偶性10.P已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，若，求實數(shù)的取值范圍；11.已知且，那么12.已知為偶函數(shù)，求的解析式為13.已知函數(shù)（1）確定的值，使為奇函數(shù)；（2）當為奇函數(shù)時，求的值域。14．已知函數(shù).（1）確定的值，使為奇函數(shù)；（2）當為奇函數(shù)時，求的值域。15.已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)。（1）求的值；（2）判斷函數(shù)的單調(diào)性;（3）若對任意的，不等式恒成立，求的取值16.已知函數(shù)f（x）滿足f（x＋y）＋f（x－y）＝2f（x）·f（y）（xR，yR），且f（0）≠0.試證f（x）是偶函數(shù)．證明：令x＝y(tǒng)＝0，有f（0）＋f（0）＝2f（0）·f（0），又f（0）≠0，∴可證f（0）＝1．令x＝0，∴f（y）＋f（－y）＝2f（0）·f（y）f（－y）＝f（y），故f（x）為偶函數(shù)．17.設(shè)函數(shù)y＝f（x）（xR且x≠0）對任意非零實數(shù)x1、x2滿足f（x1·x2）＝f（x1）＋f（x2）.求證f