第02講 二次函數(shù)y=ax²的圖像和性質(zhì)（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（解析版）

第02講二次函數(shù)的圖像和性質(zhì)會用描點法畫出二次函數(shù)（a≠0）的圖像，并結(jié)合圖像理解拋物線、對稱軸、頂點坐標及開口方向等概念。；掌握二次函數(shù)（a≠0）的圖像和性質(zhì)，并解決簡單的應(yīng)用；知識點1y=ax2的圖像畫法：應(yīng)先列表，（2）再描點，（3）最后連線。列表選取自變量x值時常以0為中心，選取便于計算、描點的整數(shù)值，描點連線時一定要用光滑曲線連接，并注意變化趨勢?！締栴}1】在平面直角坐標系中畫出y＝x2的圖象并簡單描述其性質(zhì)。【解答】解：（1）列表：x…﹣2﹣1012…y…41014…（2）描點、連線：．二次函數(shù)y＝x2的性質(zhì)：（1）y＝-x2圖像是一條拋物線（2）關(guān)于y軸對稱（3）開口向上（4）頂點（0，0）（5）當x＜0時，y隨x的增大而減少，當x＞0時，y隨x的增大而增大；（6）有最低點.【問題2】在平面直角坐標系中畫出y＝﹣x2函數(shù)的圖象．【解答】解：列表得：﹣2﹣1012y＝﹣x2﹣4﹣10﹣1﹣4描點、連線可得圖象為：．二次函數(shù)y＝-x2的性質(zhì)：（1）y＝-x2圖像是一條拋物線（2）關(guān)于y軸對稱（3）開口向下（4）頂點（0，0）（5）當x＜0時，y隨x的增大而增大，當x＞0時，y隨x的增大而減少；（6）有最高點.總結(jié)：y=ax2的圖像的性質(zhì)小結(jié)：從二次函數(shù)的圖象可以看出，對于拋物線y=ax2來說，越大，拋物線的開口越小知識點2：二次函數(shù)y=ax2的圖像及性質(zhì)的應(yīng)用二次函數(shù)y=ax2的圖像關(guān)于y軸對稱，因此圖像左右兩部分折疊可以重合，在比較二次函數(shù)大小時，我們可以根據(jù)圖中點具有的對稱性轉(zhuǎn)變到同一變化區(qū)域；根據(jù)圖像中函數(shù)值高低去比較；對于不規(guī)則的圖形面積，采用等面積割補法，將不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形以方便求解?！绢}型1二次函數(shù)y=ax2頂點與對稱軸問題】【典例1】拋物線y=3x2A．直線x=3B．直線x=-3C．直線x=0D．直線y=0【答案】C【解答】解：對稱軸為直線：x=-b2a其中，a=3，b=0，∴x=0，故答案為：C．【變式1-1】（2022九上·定南期中）拋物線y=2x2的圖象的對稱軸是【答案】y軸【解析】解：∵二次函數(shù)y=2x2的對稱軸為直線x=-b2a，a=2∴x=0，即二次函數(shù)的對稱軸為y軸．故答案為：y軸【變式1-2】拋物線y＝﹣2x2的頂點坐標是；對稱軸是【答案】（0，0）；y軸或x=0【解答】解：拋物線y＝﹣2x2的頂點坐標是（0，0）；對稱軸是y軸或x=0【題型2二次函數(shù)y=ax2頂開口方向和開口大小問題】【典例2】拋物線y＝2x2與y＝－2x2相同的性質(zhì)是（）A．開口向下B．對稱軸是y軸C．有最低點D．對稱軸是x軸【答案】B【解答】解：拋物線y=2x2的開口向上，對稱軸為y拋物線y=-2x2開口向下，對稱軸為y故拋物線y=2x2與y=-2x2相同的性質(zhì)是對稱軸都是故答案為：B.【變式2-1】（2022九上·青秀月考）二次函數(shù)y=-xA．向下 B．向上 C．向左 D．向右【答案】A【解析】解：∵二次函數(shù)y=-x2∴二次函數(shù)y=-x故答案為：A【變式2-2】（2022九上·瑞安期中）已知拋物線y=ax2（A．-2 B．14 C．1 D．【答案】A【解析】解：拋物線y=ax2（a≠0）的開口向下，∴a＜0，故只有A選項符合題意.故答案為：A.【典例3】（2021秋?武岡市期末）已知四個二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a1，a2，a3，a4的大小關(guān)系是．（請用“＞”連接排序）【答案】a1＞a2＞a3＞a4【解答】解：如圖所示：①y＝a1x2的開口小于②y＝a2x2的開口，則a1＞a2＞0，③y＝a3x2的開口大于④y＝a4x2的開口，開口向下，則a4＜a3＜0，故a1＞a2＞a3＞a4．故答案為：a1＞a2＞a3＞a4【變式3-1】（2022九上·上思月考）在同一個平面直角坐標系中，二次函數(shù)y1=a1x2，y2=a2x2，y3=【答案】a3＞a2＞a1【解析】解：由函數(shù)圖象可知：a3＞a2＞a1.故答案為：a3＞a2＞a1【變式3-2】（秋?建鄴區(qū)期末）已知兩個二次函數(shù)的圖象如圖所示，那么a1a2（填“＞”、“＝”或“＜”）．【答案】＞【解答】解：如圖所示y＝a1x2的開口大于y＝a2x2的開口，開口向下，則a2＜a1＜0，故答案為：＞．【變式3-3】如圖所示四個二次函數(shù)的圖象中，分別對應(yīng)的是①y＝ax2；②y＝bx2；③y＝cx2；④y＝dx2．則a、b、c、d的大小關(guān)系為．【答案】a＞b＞d＞c【解答】解：因為直線x＝1與四條拋物線的交點從上到下依次為（1，a），（1，b），（1，d），（1，c），所以，a＞b＞d＞c．【題型3二次函數(shù)y=ax2圖像性質(zhì)】【典例4】關(guān)于拋物線y＝3x2，下列說法正確的是（）A．開口向下B．頂點坐標為（0，3）C．對稱軸為y軸D．當x＜0時，函數(shù)y隨x的增大而增大【答案】C【解答】解：∵y＝3x2，∴拋物線開口向上，對稱軸為y軸，頂點坐標是（0，0），∴A、B都不符合題意，C符合題意，∵a＝3＞0，對稱軸為x＝0，∴當x＜0時，y隨x的增大而減小，∴D不符合題意，故答案為：C．【變式4-1】（2021九上·肥東期末）二次函數(shù)y=x2的圖象經(jīng)過的象限是（）A．第一、二象限 B．第一、三象限C．第二、四象限 D．第三、四象限【答案】A【解析]解：∵y=x2，∴拋物線開口向上，頂點坐標為（0，0），∴拋物線經(jīng)過第一，二象限．故答案為：A【變式4-2】（2022九上·河西期中）在拋物線y=xA．（1，0） B．（2，2） C．（-1，1） D．（0，1）【答案】C【解析】解：A.0≠1，故A選項不符合題意；B.2≠4，故B選項不符合題意；C.1=1，故C選項不符合題意；D.1≠0，故D選項不符合題意．故答案為：C．【變式4-3】（2022九上·蕭山期中）對于y=-xA．開口向下 B．對稱軸為直線x=0C．頂點為(0，0) D．y隨【答案】D【解析】解：y=-x2中a=-1<0，開口向下，對稱軸為直線x=0，B正確，不符合題意；頂點為(0，0)，當x<0時y隨著x的增大而增大，D錯誤，符合題意，故答案為：D.【題型4二次函數(shù)y=ax2平移規(guī)律】【典例5】（2022秋?津南區(qū)期末）拋物線y＝（x﹣2）2是由拋物線y＝x2平移得到的，下列平移正確的是（）A．向上平移2個單位長度 B．向下平移2個單位長度 C．向左平移2個單位長度 D．向右平移2個單位長度【答案】D【解答】解：將拋物線y＝（x﹣2）2平移得到拋物線y＝x2，則這個平移過程正確的是向右平移了2個單位，故選：D．【變式5-1】（2022九上·密云期末）將拋物線y=xA．y=(x+1)2B．y=(x-1)2【答案】B【解析】解：拋物線y=x2向右平移一個單位，得到的新拋物線的表達式是故答案為：B．【變式5-2】（2022九上·門頭溝期末）如果將拋物線y=x2向上平移A．y=(x+3)2 B．y=(x-3)2C．y=【答案】C【解析】解：拋物線y=x2向上平移3個單位長度可得故答案為：C【變式5-3】（2023九上·南寧期末）拋物線y=xA．y=(x+1)2 B．y=(x-1)2 C【答案】D【解析】解：拋物線y=x2向下平移一個單位得到拋物線解析式為：故答案為：D.【題型5二次函數(shù)y=ax2中y值大小比較問題】【典例6】（2022九上·普陀期中）已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)在拋物線y=-x2上，如果x1<x【答案】＜【解析】解：∵y=-x∴拋物線開口向下，對稱軸為y軸，在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大，∵x1∴y1【變式6】若點A(-1,y1)，B(2,y2)在拋物線y=2x2上，則y1，y2的大小關(guān)系為：【答案】＜【解答】解：∵若點A(?1,y1)，B(2,y2)在拋物線y=2x2上，y1=2×（-1）2=2，y2=2×4=8，∵2＜8，∴y1﹤y2．故答案為：﹤.【題型6二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)綜合問題】【典例7】（榆社縣期末）在同一坐標系中，函數(shù)y＝ax2與y＝ax+a（a＜0）的圖象的大致位置可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解答】解：∵a＜0，∴二次函數(shù)y＝ax2的圖象的開口方向是向下；一次函數(shù)y＝ax+a（a＜0）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限；故選：B．【變式7-1】（2022九上·桐廬月考）已知a≠0，在同一平面直角坐標系中，函數(shù)y＝ax與y＝ax2的圖象有可能是（）A． B．C． D．【答案】C【解析】解：A、函數(shù)y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＞0，但當x＝1時，兩函數(shù)圖象有交點（1，a），故A錯誤；B、函數(shù)y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＞0，故B錯誤；C、函數(shù)y＝ax中，a＜0，y＝ax2中，a＜0，但當x＝1時，兩函數(shù)圖象有交點（1，a），故C正確；D、函數(shù)y＝ax中，a＞0，y＝ax2中，a＜0，故D錯誤．故答案為：C．【變式7-2】（2021九上·鄂爾多斯期中）二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)A． B．C． D．【答案】D【解析】解：由一次函數(shù)y＝ax+a可知，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點（-1，0），排除A、B；當a>0時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，當故答案為：D．【題型7二次函數(shù)y=ax2圖像及性質(zhì)的實際應(yīng)用】【典例8】（2020?蘭州）如圖所示，有一座拋物線形拱橋，橋下面在正常水位AB時，寬20m，水位上升3m就達到警戒線CD，這時水面寬度為10m．（1）在如圖的坐標系中求拋物線的解析式；（2）若洪水到來時，水位以每小時0.2m的速度上升，從警戒線開始，再持續(xù)多少小時才能到達拱橋頂？【答案】（1）（2）5小時【解答】解：（1）設(shè)所求拋物線的解析式為：y＝ax2（a≠0），由CD＝10m，可設(shè)D（5，b），由AB＝20m，水位上升3m就達到警戒線CD，則B（10，b﹣3），把D、B的坐標分別代入y＝ax2得：，解得．∴y＝；（2）∵b＝﹣1，∴拱橋頂O到CD的距離為1m，∴＝5（小時）．所以再持續(xù)5小時到達拱橋頂．【變式8-1】（2022九上·中山期中）如圖，正方形的邊長為4，以正方形中心為原點建立平面直角坐標系，作出函數(shù)y=13x2與y=-1【答案】8【解析】解：∵函數(shù)y=13x2與∴圖中的陰影部分的面積是圖中正方形面積的一半，∵正方形的邊長為4，∴S故答案為：8．【變式8-2】（2020九上·臨江期末）如圖，A、B為拋物線y＝x2上的兩點，且AB//x軸，與y軸交于點C，以點O為圓心，OC為半徑畫圓，若AB＝22，則圖中陰影部分的面積為【答案】π【解析】解：∵AB=22，∴BC=12AB=12×22=2∴點B的橫坐標為2，代入拋物線解析式得，y=（2）2=2，∴OC=2，即圓的半徑為2，由圖可知，陰影部分的面積等于圓的面積的14，即為14×π×22故答案為：π．1．（2023?賓陽縣一模）拋物線y＝x2向上平移2個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【答案】A【解答】解：∵拋物線y＝x2的頂點坐標為（0，0），∴向上平移2個單位后的拋物線頂點坐標為（0，2），∴新拋物線解析式為y＝x2+2．故選：A．2．（2022?黑龍江）若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點（）A．（2，4） B．（﹣2，﹣4） C．（﹣4，2） D．（4，﹣2）【答案】A【解答】解：∵二次函數(shù)y＝ax2的對稱軸為y軸，∴若圖象經(jīng)過點P（﹣2，4），則該圖象必經(jīng)過點（2，4）．故選：A．3．（2023?延安一模）如圖是四個二次函數(shù)的圖象，則a、b、c、d的大小關(guān)系為（）A．d＜c＜a＜b B．d＜c＜b＜a C．c＜d＜a＜b D．c＜d＜b＜a【答案】B【解答】解：因為直線x＝1與四條拋物線的交點從上到下依次為（1，a），（1，b），（1，c），（1，d），所以，a＞b＞c＞d．故選：B．4．（2023?增城區(qū)一模）已知A（0，y1），B（3，y2）為拋物線y＝（x﹣2）2上的兩點，則y1與y2的大小關(guān)系是（）A．y1＞y2 B．y1＝y(tǒng)2 C．y1＜y2 D．無法確定【答案】A【解答】解：將A（0，y1），B（3，y2）代入y＝（x﹣2）2，得：，，∴y1＞y2．故選：A．1．若二次函數(shù)y＝ax2的圖象經(jīng)過點(1，－2)，則它也經(jīng)過（）A．(－1，－2) B．(－1，2) C．(1，2) D．(2，1)【答案】A【解答】解：∵圖象經(jīng)過點（1，-2），∴a=-2，∴y=-2x2，AB、當x=-1時，y=-2×（-1）2=-2，∴A正確，B錯誤；C、當x=1時，y=-2×12=-2，錯誤；D、當x=2時，y=-2×22=-4，錯誤.故答案為：A.2．下列關(guān)于二次函數(shù)y＝2x2的說法正確的是（）A．它的圖象經(jīng)過點（－1，－2）B．它的圖象的對稱軸是直線x＝2C．當x＜0時，y隨x的增大而增大D．當－1≤x≤2時，y有最大值為8，最小值為0【答案】D【解答】解：二次函數(shù)y=2x2，當x=-1時，y=2，故它的圖象不經(jīng)過點（-1，-2），故選項A不合題意；二次函數(shù)y=2x2的圖象的對稱軸是y軸，故選項B不合題意；該函數(shù)開口向上，對稱軸是y軸，所以當x＜0時，y隨x的增大而減小，故選項C不合題意；二次函數(shù)y=2x2，在-1≤x≤2的取值范圍內(nèi)，當x=2時，有最大值8；當x=0時，y有最小值為0，故選項D符合題意.故答案為：D.3．二次函數(shù)y=x2，當-1≤x≤3時，函數(shù)值yA．1≤y≤9 B．0≤y≤9 C．0≤y≤1 D．y≥0【答案】B【解答】解：∵y=x2∴拋物線開口向上，對稱軸為y軸，當-1≤x≤0時，y隨x的增大而減小，∴當x=-1時，y有最大值1，當x=0時，y有最小值0，當0≤x≤3時，y隨x的增大而增大，∴當x=3時，y有最大值9，當x=0時，y有最小值0，∴當-1≤x≤3時，y的取值范圍是0≤y≤9，故答案為：B．4．已知二次函數(shù)y＝（a﹣1）x2，當x≥0時，y隨x增大而增大，則a的取值范圍是（）A．a(chǎn)＞0 B．a(chǎn)＞1 C．a(chǎn)≥1 D．a(chǎn)＜1【答案】B【解答】解：∵二次函數(shù)y=(a-1)x2的對稱軸為y軸，當x>0∴二次函數(shù)y=(∴a-1>0，即：a>1，故答案為：B.5．若拋物線y=ax2經(jīng)過點A．(4,-7)B．(7,4)【答案】B【解答】解：由拋物線y=ax2可知拋物線的對稱軸為∵拋物線y=ax2經(jīng)過∴點(-7,4)關(guān)于y∴它也經(jīng)過點(7故答案為：B．6．二次函數(shù)y＝ax2與一次函數(shù)A． B．C． D．【答案】D【解答】解：由一次函數(shù)y＝ax+a可知，一次函數(shù)的圖象與x軸交于點（-1，0），排除A、B；當a>0時，二次函數(shù)開口向上，一次函數(shù)經(jīng)過一、三、四象限，當故答案為：D．7.（秋?龍巖期末）將拋物線y＝x2通過一次平移可得到拋物線y＝（x+5）2，對這一平移過程描述正確的是（）A．向上平移5個單位長度 B．向下平移5個單位長度 C．向左平移5個單位長度 D．向右平移5個單位長度【答案】C【解答】解：將拋物線y＝x2平移得到拋物線y＝（x+5）2，則這個平移過程正確的是向左平移了5個單位，故選：C．8．蘋果熟了，從樹上落下所經(jīng)過的路程s與下落時間t滿足S＝12gt2（g＝9.8），則s與t的函數(shù)圖象大致是（）A． B．C． D．【答案】B【解答】解：∵s＝12gt2∴二次函數(shù)的圖象是一條拋物線．又∵12g＞0∴應(yīng)該開口向上，∵自變量t為非負數(shù)，∴s為非負數(shù)．∴圖象是拋物線在第一象限的部分．故答案為：B．9．如圖，在平面直角坐標系中，平行于x軸的直線y=2，與二次函數(shù)y=x2，y=ax2分別交于A、B和C、D，若CD=2ABA．4 B．14 C．2 D．【答案】B【解答】解：如圖，設(shè)直線AB交y軸于點E，∵直線y=2與二次函數(shù)y=x2交于A、∴當y=2時，x2=2，得x=±∴A(2,2),B(-∴AB=22∵CD=2AB，∴CD=42，由二