第3講12.3 角的平分線的性質(zhì)（解析版）

12.3角平分線的性質(zhì)（解析版）一、學(xué)習(xí)目標(biāo)1.掌握角平分線的尺規(guī)作圖的方法，知道作法的理論依據(jù)。能理解角平分線與三角形的角平分線的區(qū)別與聯(lián)系2.探索并證明角平分線的性質(zhì)與判定定理（高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)）3.能用角平分線的性質(zhì)與判定定理解決問(wèn)題（高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)）4.通過(guò)三角形的角平分線，了解三角形中三條角平分線交于一點(diǎn)的事實(shí)（高頻考點(diǎn)，難點(diǎn)）5.掌握命題的一般步驟二、新知解讀知識(shí)點(diǎn)1角平分線的尺規(guī)作圖典例1在平行四邊形ABCD中，用尺規(guī)作圖畫∠BAD的角平分線（不用寫過(guò)程，留下作圖痕跡），交DC于點(diǎn)H，若BC＝6，DH＝2HC，求平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】利用基本作圖作AH平分∠BAD，則∠BAH＝∠DAH，再利用平行四邊形的性質(zhì)得到CD∥AB，AB＝CD，AD＝BC＝6，接著證明∠DAH＝∠DHA得到DA＝DH＝6，所以CH＝3，然后計(jì)算平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)．解：如圖，AH為所作．∵AH平分∠BAD，∴∠BAH＝∠DAH，∵四邊形ABCD為平行四邊形，∴CD∥AB，AB＝CD，AD＝BC＝6，∴∠BAH＝∠DHA，∴∠DAH＝∠DHA，∴DA＝DH＝6，∵DH＝2CH，∴CH＝3，∴平行四邊形ABCD的周長(zhǎng)＝2（AD+CD）＝2×（6+9）＝30．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握基本作圖（作一條線段等于已知線段；作一個(gè)角等于已知角；作已知線段的垂直平分線；作已知角的角平分線；過(guò)一點(diǎn)作已知直線的垂線）．也考查了平行四邊形的性質(zhì)．知識(shí)點(diǎn)2角平分線的性質(zhì)典例2如圖，在△ABC中，C＝90°，AD是∠BAC的平分線，若CD＝3，AB＝10，則S△ABD＝．【思路引領(lǐng)】由點(diǎn)D是∠BAC平分線上的點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)，得到點(diǎn)D到∠BAC兩邊的距離相等，再根據(jù)三角形的面積公式即可解答．解：過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，CD＝3，∴CD＝DE＝3．∵AB＝10，∴S△ABD＝15．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，掌握角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．知識(shí)點(diǎn)3命題的證明典例3-1已知：如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD、CE分別是AC、AB邊上的高．求證：BD＝CE．【思路引領(lǐng)】利用“AAS”證明△ABD≌△ACE，進(jìn)而得出BD＝CE．證明：∵BD、CE分別是AC、AB邊上的高，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，在△ABD與△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（AAS），∴BD＝CE．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判斷與性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵．典例3-2投影屏上是對(duì)“定理：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”的證明．已知：如圖，OC是∠AOB的平分線，點(diǎn)P是OC上任意一點(diǎn)，PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分別為E、F．求證：PE＝PF．證明：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，∴△POE≌△POF，∴PE＝PF．小明為了保證以上證明過(guò)程更加嚴(yán)謹(jǐn)，想在投影屏上“∴∠PEO＝∠PFO”和“∴△POE≌△POF”之間作補(bǔ)充，下列正確的是（）A．投影屏上推理嚴(yán)謹(jǐn)，不必補(bǔ)充 B．應(yīng)補(bǔ)充：“又∵∠OPE＝∠OPF” C．應(yīng)補(bǔ)充：“又OE＝OF，OP＝OP” D．應(yīng)補(bǔ)充：“又OP＝OP”【思路引領(lǐng)】根據(jù)全等三角形的判定的定理進(jìn)行求解即可．解：∵OC是∠AOB的平分線，∴∠POE＝∠POF，∵PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠PEO＝∠PFO，∵OP＝OP，∴△POE≌△POF（AAS），∴PE＝PF．故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查全等三角形的判定，解答的關(guān)鍵是對(duì)全等三角形的判定條件的掌握．知識(shí)點(diǎn)4角平分線的判定典例4如圖，△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB于E，F(xiàn)在AC上，且BE＝FC，BD＝FD，求證：AD是∠BAC的平分線．【思路引領(lǐng)】利用“HL”可證明Rt△CDF≌Rt△EDB，則DC＝DE，然后根據(jù)角平行線性質(zhì)定理的逆定理可判斷AD是∠BAC的平分線．證明：在Rt△CDF和Rt△EDB中，，∴Rt△CDF≌Rt△EDB（HL），∴DC＝DE，而DC⊥AC，DE⊥AB，∴∠DAC＝∠DAB，即AD是∠BAC的平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：全等三角形的判定是結(jié)合全等三角形的性質(zhì)證明線段和角相等的重要工具．在判定三角形全等時(shí)，關(guān)鍵是選擇恰當(dāng)?shù)呐卸l件．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形．也考查了角平分線的性質(zhì)定理的逆定理．三、易錯(cuò)預(yù)警易錯(cuò)點(diǎn)：在應(yīng)用角平分線的性質(zhì)時(shí)由于漏掉條件而出錯(cuò)。易錯(cuò)題如圖，OP平分∠AOB，PE⊥OA于E，點(diǎn)F是射線OB上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若PE＝2，則PF的最小值為（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路引領(lǐng)】由直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)連接的所有線段中垂線段最短可知，當(dāng)PF⊥OB時(shí)，PF的值最小，根據(jù)“角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等”可得PE＝PF．解：當(dāng)PF⊥OB時(shí)，PF的值最?。逴P平分∠AOB，PE⊥OA，PF⊥OB，PE＝2，∴PE＝PF＝2（角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等），∴PF的最小值為2．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，垂線段最短，解題的關(guān)鍵是熟練角平分線的性質(zhì)，屬于中考?？碱}型．四、題型梳理題型1角平分線性質(zhì)的一般應(yīng)用方法點(diǎn)撥：點(diǎn)在角平分線上，得垂線段相等，從而求線段的和差、周長(zhǎng)、面積，以及作為證明全等的條件典例1如圖，已知∠1＝∠2，P為BN上一點(diǎn)，且PD⊥BC于D，AB+BC＝2BD，求證：∠BAP+∠BCP＝180°．【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得PD＝PE，再利用“HL”證明Rt△BPE和Rt△BPD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得BE＝BD，然后求出AE＝CD，再利用“邊角邊”證明△APE和△CPD全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)角相等可得∠BCP＝∠PAE，然后根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義解答即可．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于E，∵∠1＝∠2，PD⊥BC，∴PD＝PE，在Rt△BPE和Rt△BPD中，，∴Rt△BPE≌Rt△BPD（HL），∴BE＝BD，∵AB+BC＝2BD，∴BE﹣AE+BD+CD＝2BD，∴AE＝CD，在△APE和△CPD中，，∴△APE≌△CPD（SAS），∴∠BCP＝∠PAE，∵∠BAP+∠PAE＝180°，∴∠BAP+∠BCP＝180°．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，作輔助線構(gòu)造出全等三角形，并二次證明全等是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖所示，已知△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，且AB＝6cm，則△DEB的周長(zhǎng)為（）A．5cm B．6cm C．9cm D．不能確定【思路引領(lǐng)】由AD平分∠CAB，∠C＝90°，DE⊥AB可得DC＝DE，從而可得AC＝AE，再根據(jù)AC＝BC求解．解：∵AD平分∠CAB，DC⊥AC，DE⊥AB，∴DC＝DE，∵AD＝AD，∴△ACD≌△AED，∴AC＝AE，∴△DEB的周長(zhǎng)為BE+BD+DE＝BE+BD+DC＝BE+BC＝BE+AE＝AB＝6cm．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是掌握等腰三角形的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法及性質(zhì)．2．如圖所示，已知點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，PD⊥AB，若PD＝5，△ABC的周長(zhǎng)為50，求△ABC的面積．【思路引領(lǐng)】作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PE＝PF＝PD＝5，然后根據(jù)三角形面積公式和S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC得到S△ABC＝（AB+BC+AC），再把△ABC的周長(zhǎng)為50代入計(jì)算即可．解：作PE⊥BC于E，PF⊥AC于F，如圖，∵點(diǎn)P是△ABC三條角平分線的交點(diǎn)，∴PE＝PF＝PD＝5，∴S△ABC＝S△PAB+S△PBC+S△PAC＝PD?AB+PE?BC+PF?AC＝（AB+BC+AC）＝×50＝125．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．也考查了三角形面積公式．題型2角平分線性質(zhì)的實(shí)際應(yīng)用方法點(diǎn)撥：利用角平分線的性質(zhì)去確定符合條件的點(diǎn)的位置典例2為了加快災(zāi)后重建的步伐，我市某鎮(zhèn)要在三條公路圍成的一塊平地上修建一個(gè)砂石場(chǎng)，如圖，要使這個(gè)砂石場(chǎng)到三條公路的距離相等，則可供選擇的地址（）A．僅有一處 B．有四處 C．有七處 D．有無(wú)數(shù)處【思路引領(lǐng)】利用角平分線性質(zhì)定理：角的平分線上的點(diǎn)，到這個(gè)角的兩邊的距離相等．又要求砂石場(chǎng)建在三條公路圍成的一塊平地上，所以是三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)．解：滿足條件的點(diǎn)有1個(gè)：是三個(gè)內(nèi)角平分線交點(diǎn)．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查學(xué)生對(duì)角平分線的性質(zhì)的理解和掌握，解答此題的關(guān)鍵是熟練掌握角平分線性質(zhì)定理．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖所示，有一塊三角形的空地，其三邊長(zhǎng)分別為20m、30m、40m，現(xiàn)在要把它分成面積比為2：3：4的三部分，分別種植不同的花．請(qǐng)你設(shè)計(jì)出一個(gè)方案，并說(shuō)明你的理由．【思路引領(lǐng)】分別作∠C和∠B的角平分線，它們相交于點(diǎn)P，連接PA，經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，PH⊥BC于點(diǎn)H，利用S△ABP＝AB×PE，S△BCP＝BC×PH，S△ACP＝AC×PF，得出面積比即可．解：方案：如圖所示，分別作∠C和∠B的角平分線，它們相交于點(diǎn)P，連接PA．則△PAB、△PAC、△PBC的面積之比就是2：3：4．理由：經(jīng)過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，PH⊥BC于點(diǎn)H．因?yàn)辄c(diǎn)P是∠C和∠B的角平分線上的點(diǎn)，所以PE＝PF＝PH．所以S△ABP＝AB×PE＝10PE，S△BCP＝BC×PH＝20PH，S△ACP＝AC×PF＝15PF，所以S△ABP：S△ACP：S△BCP＝10PE：15PF：20PH＝2：3：4．【點(diǎn)睛】此題主要考查了全等三角形的面積求法以及應(yīng)用與設(shè)計(jì)作圖，根據(jù)已知表示出三角形面積是解題關(guān)鍵．題型3角平分線判定定理的應(yīng)用方法點(diǎn)撥：做垂直，證相等，根據(jù)角平分線的判定定理得角平分線典例3如圖，在△ABC中，∠C＝90°，DE⊥AB．若CD＝3，AB＝10，△ABD的面積為15，AD是∠BAC的角平分線嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】根據(jù)三角形面積公式得出DE，進(jìn)而利用角平分線的判定解答即可．解：AD是∠BAC的角平分線，∵AB＝10，△ABD的面積為15，DE⊥AB，∴DE＝，∴DE＝CD，∵∠C＝90°，DE⊥AB，∴AD是∠BAC的角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，利用角平分線的判定是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．已知，如圖，點(diǎn)B、C分別在射線OA、OD上，AB＝CD，△PAB的面積等于△PCD的面積求證：OP平分∠AOD．【思路引領(lǐng)】作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，根據(jù)三角形的面積公式得到PE＝PF，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．證明：作PE⊥AB于E，PF⊥CD于F，∵△PAB的面積等于△PCD的面積，AB＝CD，∴PE＝PF，∵PE＝PF，PE⊥AB，PF⊥CD，∴OP平分∠AOD．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的判定定理，掌握到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．題型四角平分線的性質(zhì)與判定的綜合運(yùn)用方法點(diǎn)撥：利用角平分線的性質(zhì)和判定定理去解決線段相等或角相等的問(wèn)題，不必再去證明兩個(gè)三角形全等，有時(shí)需要添加輔助線，過(guò)角平分線上的點(diǎn)向角的兩邊作垂線段，將符合性質(zhì)定理的基本圖形構(gòu)造出來(lái)。典例4如圖，BP，CP都是△ABC的外角平分線，PM⊥AB于點(diǎn)M，PN⊥AC于點(diǎn)N．求證：AP平分∠MAN．【思路引領(lǐng)】作PD⊥BC于點(diǎn)D，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到PM＝PD，PN＝PD，得到PM＝PN，根據(jù)角平分線的判定定理證明即可．證明：作PD⊥BC于點(diǎn)D，∵BP是△ABC的外角平分線，PM⊥AB，PD⊥BC，∴PM＝PD，同理，PN＝PD，∴PM＝PN，又∵PM⊥AB，PN⊥AC，∴PA平分∠MAN．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的判定和性質(zhì)，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．已知：如圖，△ABC的角平分線BE、CF相交于點(diǎn)P．求證：點(diǎn)P在∠A的平分線上．【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分別為D、M、N，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得PD＝PM，同理可得PM＝PN，從而得到PD＝PN，再根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上證明即可．證明：如圖，過(guò)點(diǎn)P作PD⊥AB、PM⊥BC、PN⊥AC垂足分別為D、M、N，∵BE平分∠ABC，點(diǎn)P在BE上，∴PD＝PM，同理，PM＝PN，∴PD＝PN，∴點(diǎn)P在∠A的平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等的性質(zhì)，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．題型5角平分線在探究題中的應(yīng)用此類題靈活性較強(qiáng)，一般是將角平分線的性質(zhì)定理和三角形全等綜合使用，用于探究線段間的數(shù)量關(guān)系或者等積變形等問(wèn)題典例5在△ABC中，AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，AD、CE相交于點(diǎn)F．（1）①如圖（1），當(dāng)∠B＝60°，∠ACB＝90°，則∠AFC＝；②如圖（2），如果∠ACB不是直角，∠B＝60°時(shí)，請(qǐng)問(wèn)在①中所得的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由．（2）如圖（3），在②的條件下，請(qǐng)猜想EF與DF的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．【思路引領(lǐng)】（1）①根據(jù)角平分線的定義求出∠FAC、∠FCA，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；②根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和角平分線的定義求出∠FAC、∠FCA，再利用三角形內(nèi)角和定理列式計(jì)算即可得解；（2）過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等可得FG＝FH＝FM，再求出∠EFH＝∠DFG，然后利用“角邊角”證明△EFH和△DFG全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可．解：（1）①∵∠B＝60°，∠ACB＝90°，∴∠BAC＝90°﹣60°＝30°，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠FAC＝∠BAC＝×30°＝15°，∠FCA＝∠ACB＝×90°＝45°，∴∠AFC＝180°﹣15°﹣45°＝120°；故答案為：120°．②∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴∠FAC+∠FCA＝（∠BAC+∠ACB）＝（180°﹣∠B），∴∠AFC＝180°﹣（∠FAC+∠FCA）＝180°﹣（180°﹣∠B）＝90°+∠B，∵∠B＝60°，∴∠AFC＝90°+×60°＝120°；（2）如圖，過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，作FH⊥AB于H，作FM⊥AC于M，∵AD、CE分別是∠BAC、∠BCA的平分線，∴FG＝FH＝FM，∵∠EFH+∠DFH＝120°，∠DFG+∠DFH＝360°﹣90°×2﹣60°＝120°，∴∠EFH＝∠DFG，在△EFH和△DFG中，，∴△EFH≌△DFG（AAS），∴EF＝DF．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的判斷與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，角平分線的定義，（2）作輔助線構(gòu)造出全等三角形是解題的關(guān)鍵．針對(duì)訓(xùn)練1．如圖，∠AOB＝90°，OM平分∠AOB，將直角三角板的頂點(diǎn)P在射線OM上移動(dòng)，兩直角邊分別與OA、OB相交于點(diǎn)C、D，問(wèn)PC與PD相等嗎？試說(shuō)明理由．【思路引領(lǐng)】先過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F，構(gòu)造全等三角形：Rt△PCE和Rt△PDF，這兩個(gè)三角形已具備兩個(gè)條件：90°的角以及PE＝PF，只需再證∠EPC＝∠FPD，根據(jù)已知，兩個(gè)角都等于90°減去∠CPF，那么三角形全等就可證．解：PC與PD相等．理由如下：過(guò)點(diǎn)P作PE⊥OA于點(diǎn)E，PF⊥OB于點(diǎn)F．∵OM平分∠AOB，點(diǎn)P在OM上，PE⊥OA，PF⊥OB，∴PE＝PF（角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等）又∵∠AOB＝90°，∠PEO＝∠PFO＝90°，∴四邊形OEPF為矩形，∴∠EPF＝90°，∴∠EPC+∠CPF＝90°，又∵∠CPD＝90°，∴∠CPF+∠FPD＝90°，∴∠EPC＝∠FPD＝90°﹣∠CPF．在△PCE與△PDF中，∵，∴△PCE≌△PDF（ASA），∴PC＝PD．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，以及四邊形的內(nèi)角和是360°、還有三角形全等的判定和性質(zhì)等知識(shí)．正確作出輔助線是解答本題的關(guān)鍵．2．如圖，∠B＝∠C＝90°，M是BC上一點(diǎn)，且DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求證：AD＝CD+AB．【思路引領(lǐng)】過(guò)M作ME⊥AD于E，根據(jù)垂直定義和角平分線性質(zhì)得出∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，根據(jù)AAS推出△MCD≌△MED，根據(jù)全等得出CD＝DE，AE＝AB，即可得出答案．證明：如圖：過(guò)M作ME⊥AD于E，∵∠B＝∠C＝90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，∴∠C＝∠DEM＝90°，∠B＝∠AEM＝90°，∠CDM＝∠EDM，CM＝EM，∠EAM＝∠BAM，BM＝ME，在△MCD和△MED中∴△MCD≌△MED（AAS），∴CD＝DE，同理：AE＝AB，∴AD＝AE+DE＝CD+AB．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的性質(zhì)和判定，角平分線性質(zhì)的應(yīng)用，能正確作出輔助線是解此題的關(guān)鍵，注意：角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．五、重點(diǎn)題型重點(diǎn)題型——利用角平分線的性質(zhì)解決面積問(wèn)題方法點(diǎn)撥：1.三角形三條角分線的交點(diǎn)到三邊的距離相等，鏈接這個(gè)交點(diǎn)與各個(gè)頂點(diǎn)，講角平分線的交點(diǎn)到三邊的距離轉(zhuǎn)化為三個(gè)小三角形的高2.登高三角形的面積等于底邊長(zhǎng)的比典例角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等．這一性質(zhì)在解決圖形面積問(wèn)題時(shí)有何妙用呢？閱讀材料：已知，如圖（1），在面積為S的△ABC中，BC＝a，AC＝b，AB＝c，三條角平分線的交點(diǎn)O到三邊的距離為r．連接OA、OB、OC，△ABC被劃分為三個(gè)小三角形．∵S＝S△OBC+S△OAC+S△OAB＝BC?r+AC?r+AB?r＝（a+b+c）?r，∴r＝（1）類比推理：若面積為S的四邊形ABCD的四條角平分線交于O點(diǎn)，如圖（2），各邊長(zhǎng)分別為AB＝a，BC＝b，CD＝c，AD＝d，求點(diǎn)O到四邊的距離r；（2）理解應(yīng)用：如圖（3），在四邊形ABCD中，AB∥DC，AB＝21，CD＝11，AD＝BC＝13，對(duì)角線BD＝20，點(diǎn)O1與O2分別為△ABD與△BCD的三條角平分線的交點(diǎn)，設(shè)它們到各自三角形三邊的距離為r1和r2，求的值．【思路引領(lǐng)】（1）已知已給出示例，我們仿照例子，連接OA，OB，OC，OD，則四邊形被分為四個(gè)小三角形，且每個(gè)三角形都以內(nèi)切圓半徑為高，以四邊形各邊作底，這與題目情形類似．仿照證明過(guò)程，r易得；（2）（1）中已告訴我們內(nèi)切圓半徑的求法，如是我們?cè)傧啾燃吹媒Y(jié)果．但求內(nèi)切圓半徑需首先知道三角形各邊邊長(zhǎng)，根據(jù)等腰梯形性質(zhì)，過(guò)點(diǎn)D作AB垂線，進(jìn)一步易得BD的長(zhǎng)，則r1、r2、易得．解：（1）如圖，連接OA、OB、OC、OD，∵S＝S△AOB+S△BOC+S△COD+S△AOD＝ar+br+cr+dr＝（a+b+c+d）r，∴r＝；（2）∵AB∥CD，∴S△ABD：S△BCD＝AB：CD＝21：11；∵r1＝＝，r2＝＝，∴＝：＝×＝＝．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的定義，三角形面積計(jì)算以及等腰梯形等相關(guān)知識(shí)的綜合應(yīng)用，這類創(chuàng)新性題目已經(jīng)成為新課標(biāo)熱衷的考點(diǎn)，同時(shí)要求學(xué)生在日常的學(xué)習(xí)中要注重自我學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)．針對(duì)訓(xùn)練1．在△ABC中，D是BC邊上的點(diǎn)（不與點(diǎn)B、C重合），連接AD．（1）如圖1，當(dāng)點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)時(shí)，S△ABD：S△ACD＝；（2）如圖2，當(dāng)AD是∠BAC的平分線時(shí)，若AB＝m，AC＝n，求S△ABD：S△ACD的值（用含m，n的代數(shù)式表示）；（3）如圖3，AD平分∠BAC，延長(zhǎng)AD到E，使得AD＝DE，連接BE，如果AC＝2，AB＝4，S△BDE＝6，那么S△ABC＝．【思路引領(lǐng)】（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根據(jù)角平分線性質(zhì)求出DE＝DF，根據(jù)三角形面積公式求出即可；（3）根據(jù)已知和（1）（2）的結(jié)論求出△ABD和△ACD的面積，即可求出答案．解：（1）過(guò)A作AE⊥BC于E，∵點(diǎn)D是BC邊上的中點(diǎn)，∴BD＝DC，∴SABD：S△ACD＝（×BD×AE）：（×CD×AE）＝1：1，故答案為：1：1；（2）過(guò)D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，∵AD為∠BAC的角平分線，∴DE＝DF，∵AB＝m，AC＝n，∴SABD：S△ACD＝（×AB×DE）：（×AC×DF）＝m：n；（3）∵AD＝DE，∴由（1）知：S△ABD：S△EBD＝1：1，∵S△BDE＝6，∴S△ABD＝6，∵AC＝2，AB＝4，AD平分∠CAB，∴由（2）知：S△ABD：S△ACD＝AB：AC＝4：2＝2：1，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝3+6＝9，故答案為：9．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線性質(zhì)和三角形的面積公式，能根據(jù)（1）（2）得出規(guī)律是解此題的關(guān)鍵．六、考向預(yù)測(cè)考點(diǎn)1角平分線的性質(zhì)考情分析：與教材第56頁(yè)第12題考點(diǎn)相同，中考中考查利用角平分線的性質(zhì)證明或計(jì)算，題型以選擇題、填空題為主，難度中等。典例1如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點(diǎn)D，DE⊥AB于點(diǎn)E，AC＝2，DE＝1，則△ACD的面積為（）A．2 B．1 C．4 D．3【思路引領(lǐng)】過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AC于F，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DF＝DE＝3，然后根據(jù)三角形面積公式求解．解：過(guò)D點(diǎn)作DF⊥AC于F，如圖，∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴DF＝DE＝1，∴△ADC的面積＝×2×1＝1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)：角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等．考點(diǎn)2角平分線的判定考情分析：和教材第55頁(yè)第5題考點(diǎn)相同，中考中考查通過(guò)角平分線的判定方法進(jìn)行判定，進(jìn)而計(jì)算角度。題型以選擇題、填空題為主，難度中等典例2如圖所示，點(diǎn)O在一塊直角三角板ABC上（其中∠ABC＝30°），OM⊥AB于點(diǎn)M，ON⊥BC于點(diǎn)N，若OM＝ON，則∠ABO＝度．【思路引領(lǐng)】方法一：根據(jù)OM⊥AB，ON⊥BC，可知∠OMB＝∠ONB＝90°，從而可證Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得∠OBM＝∠OBN，即可求出∠ABO的度數(shù)．方法二：根據(jù)角平分線的判定定理求解即可．解：方法一：∵OM⊥AB，ON⊥BC，∴∠OMB＝∠ONB＝90°，在Rt△OMB和Rt△ONB中，，∴Rt△OMB≌Rt△ONB（HL），∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．方法二：∵OM⊥AB，ON⊥BC，又∵OM＝ON，∴OB平分∠ABC，∴∠OBM＝∠OBN，∵∠ABC＝30°，∴∠ABO＝15°．故答案為：15．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握判定直角三角形全等特有的方法（HL）是解題的關(guān)鍵．最新考法——三角形的面積與周長(zhǎng)的關(guān)系方法點(diǎn)撥：角平分線的性質(zhì)與垂直相關(guān)，進(jìn)而聯(lián)想到三角形的邊長(zhǎng)那個(gè)、高于面積或周長(zhǎng)之間的關(guān)系。預(yù)測(cè)題如圖，△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，過(guò)點(diǎn)D作一條平分△ABC面積的直線，那么這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是（）A．2：1 B．1：1 C．2：3 D．3：1【思路引領(lǐng)】連接AD，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥BC于點(diǎn)G，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知：AD也是一條角平分線，D為△ABC的內(nèi)心，則有DE＝DF＝DG，根據(jù)MDN平分△ABC的面積以此來(lái)列等式即可求解．解：連接AD，過(guò)D點(diǎn)作DE⊥AB于點(diǎn)E，作DF⊥AC于點(diǎn)F，作DG⊥BC于點(diǎn)G，∵△ABC的兩條內(nèi)角平分線相交于點(diǎn)D，∴AD也是△ABC的角平分線，則D點(diǎn)為△ABC的內(nèi)心，∴DE＝DF＝DG，設(shè)MN平分△ABC的面積，則S△BDM+S△BDN＝S△ADM+S△ADC+S△DCN，∵S△BDM＝BM?DE，S△ADM＝AM?DE，S△ADC＝AC?DF，S△DCN＝NC?DG，S△BDN＝BN?DG，∴BM?DE+BN?DG＝AM?DE+AC?DF+NC?DG，∴BM+BN＝AM+AC+NC，∵M(jìn)N＝MN，∴BM+BN+MN＝AM+AC+NC+MN，∴，即這條直線分成的兩個(gè)圖形的周長(zhǎng)比是：1：1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)，掌握三角形中三條角平分線的交點(diǎn)為三角形的內(nèi)心，內(nèi)心到三邊的距離相等是解答本題的關(guān)鍵．七、提優(yōu)訓(xùn)練（一）夯實(shí)雙基1．如圖，△ABC中，AB＝5，AC＝4，以點(diǎn)A為圓心，任意長(zhǎng)為半徑作弧，分別交AB、AC于D和E，再分別以點(diǎn)D、E為圓心，大于二分之一DE為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)F，連接AF并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)G，GH⊥AC于H，GH＝2，則△ABG的面積為．【思路引領(lǐng)】由作法得AG平分∠BAC，過(guò)G點(diǎn)作GQ⊥AB于Q點(diǎn)，如圖，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到GH＝GQ＝2，然后利用三角形面積公式計(jì)算．解：由作法得AG平分∠BAC，過(guò)G點(diǎn)作GQ⊥AB于Q點(diǎn)，如圖，∴GH＝GQ＝2，∴△ABG的面積＝×5×2＝5．故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了作圖﹣基本作圖：熟練掌握5種基本作圖是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．也考查了角平分線的性質(zhì)．2．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，且CD：BD＝3：4．若BC＝21，則點(diǎn)D到AB邊的距離為（）A．7 B．9 C．11 D．14【思路引領(lǐng)】先確定出CD＝9，再利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊的距離相等，即可得出結(jié)論．解：如圖，∵CD：BD＝3：4．設(shè)CD＝3x，則BD＝4x，∴BC＝CD+BD＝7x，∵BC＝21，∴7x＝21，∴x＝3，∴CD＝9，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AB于E，∵AD是∠BAC的平分線，∠C＝90°，∴DE＝CD＝9，∴點(diǎn)D到AB邊的距離是9，故選：B．【點(diǎn)睛】此題主要考查了角平分線的性質(zhì)，線段的和差，解本題的關(guān)鍵是掌握角平分線的性質(zhì)定理．3．如圖，已知△ABC中，∠C＝90°，∠BAC＝2∠B，D是BC上一點(diǎn)，DE⊥AB于E，DE＝DC．求證：AD＝BD．【思路引領(lǐng)】根據(jù)到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上可以證明∠BAD＝∠BAC，然后即可證明∠B＝∠BAD，再根據(jù)等角對(duì)等邊的性質(zhì)即可證明AD＝BD．證明：∵∠C＝90°，DE⊥AB于E，DE＝DC，∴AD是∠BAC的角平分線，∴∠BAD＝∠BAC，∵∠BAC＝2∠B，∴∠B＝∠BAD，∴AD＝BD．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與等角對(duì)等邊的性質(zhì)，證明得到AD是∠BAC的角平分線是證明本題的關(guān)鍵．4．命題：有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形必有兩條高線相等，寫出它的逆命題，并判斷逆命題的真假，若是真命題，給出證明；若是假命題，請(qǐng)舉反例，【思路引領(lǐng)】先找到原命題的題設(shè)和結(jié)論，再將題設(shè)和結(jié)論互換，即可而得到原命題的逆命題，再得出命題的正確性．解：有兩個(gè)內(nèi)角相等的三角形必有兩條高線相等的逆命題是有兩條高線相等的三角形必有兩個(gè)內(nèi)角相等，是真命題；在Rt△BCE與Rt△CBD中．∴Rt△BCE≌Rt△CBD（HL），∴∠DCB＝∠EBC．【點(diǎn)睛】此題主要考查了命題與定理的證明，根據(jù)逆命題的概念來(lái)回答：對(duì)于兩個(gè)命題，如果一個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是另外一個(gè)命題的結(jié)論和條件，那么這兩個(gè)命題叫做互逆命題，其中一個(gè)命題叫做原命題，另外一個(gè)命題叫做原命題的逆命題，進(jìn)而利用全等三角形的證明方法求出即可．（二）提高能力5．如圖，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB于E，S△ABC＝90，AB＝18，BC＝12，求DE的長(zhǎng)．【思路引領(lǐng)】過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得DE＝DF，然后根據(jù)三角形的面積列出方程求解即可．解：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DF⊥BC于F，∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，∴DE＝DF，∴S△ABC＝AB?DE+BC?DF＝90，即×18?DE+×12?DE＝90，解得DE＝6．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等的性質(zhì)，三角形的面積，熟記性質(zhì)并作出輔助線是解題的關(guān)鍵．6．如圖，已知在△ABC中，∠ABC＝60°，∠ACB＝40°，BD平分∠ABC，CD平分∠ACB．（1）如圖1，求∠BDC的度數(shù)；（2）如圖2，連接AD，作DE⊥AB，DE＝2，AC＝4，求△ADC的面積．【思路引領(lǐng)】（1）先根據(jù)角平分線的定義得到∠DBC＝30°，∠DCB＝20°，然后根據(jù)三角形內(nèi)角和進(jìn)行計(jì)算即可解答；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，然后根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到DH＝DE＝DF＝2，然后根據(jù)三角形面積公式，進(jìn)行計(jì)算即可解答．解：（1）∵BD平分∠ABC∴∠DBC＝∠ABC＝×60°＝30°，∵CD平分∠ACB，∴∠DCB＝∠ACB＝×40°＝20°，∴∠BDC＝180°﹣∠DBC﹣∠DCB＝180°﹣30°﹣20°＝130°，∴∠BDC的度數(shù)為130°；（2）過(guò)點(diǎn)D作DF⊥AC，垂足為F，過(guò)點(diǎn)D作DH⊥BC，垂足為H，∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DH⊥BC，∴DH＝DE＝2，∵CD平分∠ACB，DF⊥AC，DH⊥BC，∴DF＝DH＝2，∴△ADC的面積＝DF?AC＝×2×4＝4，∴△ADC的面積為4．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．7．如圖，△ABC中，點(diǎn)D在BC邊上，∠BAD＝100°，∠ABC的平分線交AC于點(diǎn)E，過(guò)點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為F，且∠AEF＝50°，連接DE．（1）求∠CAD的度數(shù)；（2）求證：DE平分∠ADC；（3）若AB＝7，AD＝4，CD＝8，且S△ACD＝15，則△ABE的面積＝（直接寫出結(jié)果，不需要過(guò)程）【思路引領(lǐng)】（1）根據(jù)題意先求出∠DAF的度數(shù)，利用直角三角形中兩銳角互余可求出∠EAF的度數(shù)，然后根據(jù)∠CAD＝∠DAF﹣∠EAF即可求出∠CAD的度數(shù)；（2）根據(jù)題意作出輔助線，利用角平分線的性質(zhì)，可以推出EF＝EN＝EM，再利用角平分線的判定推出DE平分∠ADC；（3）根據(jù)圖形可得出：S△ADE+S△CDE＝S△ACD，利用高相等可以求出EF長(zhǎng)，即可求出△ABE的面積．（1）解：∵∠BAD＝100°，∴∠DAF＝180°﹣∠BAD＝80°，∵EF⊥AB，∴∠A