專題07 圓的有關(guān)計(jì)算與證明問題（解析版）【浙江專用】

決勝2020年中考數(shù)學(xué)壓軸題全揭秘（浙江專用）專題07圓的有關(guān)計(jì)算與證明問題【考點(diǎn)1】圓中有關(guān)角的計(jì)算問題【例1】（2019?臺(tái)州）如圖，AC是圓內(nèi)接四邊形ABCD的一條對(duì)角線，點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E在邊BC上，連接AE．若∠ABC＝64°，則∠BAE的度數(shù)為．【分析】直接利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)結(jié)合三角形外角的性質(zhì)得出答案．【解析】∵圓內(nèi)接四邊形ABCD，∴∠D＝180°﹣∠ABC＝116°，∵點(diǎn)D關(guān)于AC的對(duì)稱點(diǎn)E在邊BC上，∴∠D＝∠AEC＝116°，∴∠BAE＝116°﹣64°＝52°．故答案為：52°．點(diǎn)評(píng)：此題主要考查了圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)以及三角形的外角，正確得出∠AEC的度數(shù)是解題關(guān)鍵．【例2】（2019?溫州）如圖，⊙O分別切∠BAC的兩邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)，點(diǎn)P在優(yōu)?。‥DF）上，若∠BAC＝66°，則∠EPF等于度．【分析】連接OE，OF，由切線的性質(zhì)可得OE⊥AB，OF⊥AC，由四邊形內(nèi)角和定理可求∠EOF＝114°，即可求∠EPF的度數(shù)．【解析】連接OE，OF∵⊙O分別切∠BAC的兩邊AB，AC于點(diǎn)E，F(xiàn)∴OE⊥AB，OF⊥AC又∵∠BAC＝66°∴∠EOF＝114°∵∠EOF＝2∠EPF∴∠EPF＝57°故答案為：57點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，四邊形內(nèi)角和定理，熟練運(yùn)用切線的性質(zhì)是本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)2】切線的有關(guān)線段計(jì)算問題【例3】（2019?舟山）如圖，已知⊙O上三點(diǎn)A，B，C，半徑OC＝1，∠ABC＝30°，切線PA交OC延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，則PA的長(zhǎng)為（）A．2 B．3 C．2 D．1【分析】連接OA，根據(jù)圓周角定理求出∠AOP，根據(jù)切線的性質(zhì)求出∠OAP＝90°，解直角三角形求出AP即可．【解析】連接OA，∵∠ABC＝30°，∴∠AOC＝2∠ABC＝60°，∵過點(diǎn)A作⊙O的切線交OC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，∴∠OAP＝90°，∵OA＝OC＝1，∴AP＝OAtan60°＝1×3故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)和圓周角定理、解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，能熟記切線的性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵，注意：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑．【例4】（2019?臺(tái)州）如圖，等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，以BC上一點(diǎn)O為圓心的圓分別與邊AB，AC相切，則⊙O的半徑為（）A．23 B．3 C．4 D．4-【分析】設(shè)⊙O與AC的切點(diǎn)為E，連接AO，OE，根據(jù)等邊三角形的性質(zhì)得到AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，由切線的性質(zhì)得到∠BAO＝∠CAO=12∠BAC＝30°，求得∠AOC【解析】設(shè)⊙O與AC的切點(diǎn)為E，連接AO，OE，∵等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為8，∴AC＝8，∠C＝∠BAC＝60°，∵圓分別與邊AB，AC相切，∴∠BAO＝∠CAO=12∠BAC∴∠AOC＝90°，∴OC=12AC＝∵OE⊥AC，∴OE=32OC＝2∴⊙O的半徑為23，故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，解直角三角形，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)3】扇形與弧長(zhǎng)的有關(guān)計(jì)算問題【例5】（2019?寧波）如圖所示，矩形紙片ABCD中，AD＝6cm，把它分割成正方形紙片ABFE和矩形紙片EFCD后，分別裁出扇形ABF和半徑最大的圓，恰好能作為一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則AB的長(zhǎng)為（）A．3.5cm B．4cm C．4.5cm D．5cm【分析】設(shè)AB＝xcm，則DE＝（6﹣x）cm，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面圓的周長(zhǎng)列出方程，求解即可．【解析】設(shè)AB＝xcm，則DE＝（6﹣x）cm，根據(jù)題意，得90πx180=π（6﹣解得x＝4．故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算，矩形的性質(zhì)，正確理解圓錐的側(cè)面展開圖與原來的扇形之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵，理解圓錐的母線長(zhǎng)是扇形的半徑，圓錐的底面圓周長(zhǎng)是扇形的弧長(zhǎng)．【例6】（2019?紹興）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠B＝65°，∠C＝70°．若BC＝22，則BC的長(zhǎng)為（）A．π B．2π C．2π D．22π【分析】連接OB，OC．首先證明△OBC是等腰直角三角形，求出OB即可解決問題．【解析】連接OB，OC．∵∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝180°﹣65°﹣70°＝45°，∴∠BOC＝90°，∵BC＝22，∴OB＝OC＝2，∴BC的長(zhǎng)為90?π?2180=故選：A．點(diǎn)評(píng)：本題考查圓周角定理，弧長(zhǎng)公式，等腰直角三角形的性質(zhì)的等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．【考點(diǎn)4】圓錐的有關(guān)計(jì)算問題【例7】（2019?湖州）已知圓錐的底面半徑為5cm，母線長(zhǎng)為13cm，則這個(gè)圓錐的側(cè)面積是（）A．60πcm2 B．65πcm2 C．120πcm2 D．130πcm2【分析】利用圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)和扇形面積公式計(jì)算．【解析】這個(gè)圓錐的側(cè)面積=12×2π×5×13＝65π（故選：B．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．【例8】（2019?金華）如圖物體由兩個(gè)圓錐組成．其主視圖中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，若上面圓錐的側(cè)面積為1，則下面圓錐的側(cè)面積為（）A．2 B．3 C．32 D．【分析】先證明△ABD為等腰直角三角形得到∠ABD＝45°，BD=2AB，再證明△CBD為等邊三角形得到BC＝BD=2AB，利用圓錐的側(cè)面積的計(jì)算方法得到上面圓錐的側(cè)面積與下面圓錐的側(cè)面積的比等于AB：【解析】∵∠A＝90°，AB＝AD，∴△ABD為等腰直角三角形，∴∠ABD＝45°，BD=2AB∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，而CB＝CD，∴△CBD為等邊三角形，∴BC＝BD=2AB∵上面圓錐與下面圓錐的底面相同，∴上面圓錐的側(cè)面積與下面圓錐的側(cè)面積的比等于AB：CB，∴下面圓錐的側(cè)面積=2×1故選：D．點(diǎn)評(píng)：本題考查了圓錐的計(jì)算：圓錐的側(cè)面展開圖為一扇形，這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐底面的周長(zhǎng)，扇形的半徑等于圓錐的母線長(zhǎng)．也考查了等腰直角三角形和等邊三角形的性質(zhì)．【考點(diǎn)5】圓與多邊形的有關(guān)計(jì)算問題【例9】（2019?湖州）如圖，已知正五邊形ABCDE內(nèi)接于⊙O，連結(jié)BD，則∠ABD的度數(shù)是（）A．60° B．70° C．72° D．144°【分析】根據(jù)多邊形內(nèi)角和定理、正五邊形的性質(zhì)求出∠ABC、CD＝CB，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)求出∠CBD，計(jì)算即可．【解析】∵五邊形ABCDE為正五邊形，∴∠ABC＝∠C=(5-2)×180°5∵CD＝CB，∴∠CBD=180°-108°2∴∠ABD＝∠ABC﹣∠CBD＝72°，故選：C．點(diǎn)評(píng)：本題考查的是正多邊形和圓、多邊形的內(nèi)角和定理，掌握正多邊形和圓的關(guān)系、多邊形內(nèi)角和等于（n﹣2）×180°是解題的關(guān)鍵．【例10】（2018?溫州）小明發(fā)現(xiàn)相機(jī)快門打開過程中，光圈大小變化如圖1所示，于是他繪制了如圖2所示的圖形．圖2中六個(gè)形狀大小都相同的四邊形圍成一個(gè)圓的內(nèi)接正六邊形和一個(gè)小正六邊形，若PQ所在的直線經(jīng)過點(diǎn)M，PB＝5cm，小正六邊形的面積為4932cm2，則該圓的半徑為8【分析】設(shè)兩個(gè)正六邊形的中心為O，連接OP，OB，過O作OG⊥PM，OH⊥AB，由正六邊形的性質(zhì)及鄰補(bǔ)角性質(zhì)得到三角形PMN為等邊三角形，由小正六邊形的面積求出邊長(zhǎng)，確定出PM的長(zhǎng)，進(jìn)而求出三角形PMN的面積，利用垂徑定理求出PG的長(zhǎng)，在直角三角形OPG中，利用勾股定理求出OP的長(zhǎng)，設(shè)OB＝xcm，根據(jù)勾股定理列出關(guān)于x的方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【解析】設(shè)兩個(gè)正六邊形的中心為O，連接OP，OB，過O作OG⊥PM，OH⊥AB，由題意得：∠MNP＝∠NMP＝∠MPN＝60°，∵小正六邊形的面積為4932cm∴小正六邊形的邊長(zhǎng)為733cm，即PM＝73∴S△MPN=14734∵OG⊥PM，且O為正六邊形的中心，∴PG=12PM=732cm，在Rt△OPG中，根據(jù)勾股定理得：OP=(72設(shè)OB＝xcm，∵OH⊥AB，且O為正六邊形的中心，∴BH=12x，OH=∴PH＝（5-12x）在Rt△PHO中，根據(jù)勾股定理得：OP2＝（32x）2+（5-12x）2解得：x＝8（負(fù)值舍去），則該圓的半徑為8cm．故答案為：8點(diǎn)評(píng)：此題考查了正多邊形與圓，熟練掌握正多邊形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)6】圓中有關(guān)線段的最值問題【例11】（2019?嘉興）如圖，在⊙O中，弦AB＝1，點(diǎn)C在AB上移動(dòng)，連結(jié)OC，過點(diǎn)C作CD⊥OC交⊙O于點(diǎn)D，則CD的最大值為12【分析】連接OD，如圖，利用勾股定理得到CD，利用垂線段最短得到當(dāng)OC⊥AB時(shí)，OC最小，再求出即可．【解析】連接OD，如圖，∵CD⊥OC，∴∠DCO＝90°，∴CD=O當(dāng)OC的值最小時(shí)，CD的值最大，而OC⊥AB時(shí)，OC最小，此時(shí)D、B兩點(diǎn)重合，∴CD＝CB=12AB=1即CD的最大值為12故答案為：12點(diǎn)評(píng)：本題考查了垂線段最短，勾股定理和垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)，能求出點(diǎn)C的位置是解此題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)7】圓中有關(guān)計(jì)算與證明綜合問題【例12】（2019?金華）如圖，在?OABC中，以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓與BC相切于點(diǎn)B，與OC相交于點(diǎn)D．（1）求BD的度數(shù)．（2）如圖，點(diǎn)E在⊙O上，連結(jié)CE與⊙O交于點(diǎn)F，若EF＝AB，求∠OCE的度數(shù)．【分析】（1）連接OB，證明△AOB是等腰直角三角形，即可求解；（2）△AOB是等腰直角三角形，則OA=2t，HO=O【解析】（1）連接OB，∵BC是圓的切線，∴OB⊥BC，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴OA∥BC，∴OB⊥OA，∴△AOB是等腰直角三角形，∴∠ABO＝45°，∴BD的度數(shù)為45°；（2）連接OE，過點(diǎn)O作OH⊥EC于點(diǎn)H，設(shè)EH＝t，∵OH⊥EC，∴EF＝2HE＝2t，∵四邊形OABC是平行四邊形，∴AB＝CO＝EF＝2t，∵△AOB是等腰直角三角形，∴OA=2t則HO=OE∵OC＝2OH，∴∠OCE＝30°．點(diǎn)評(píng)：本題主要利用了切線和平行四邊形的性質(zhì)，其中（2），要利用（1）中△AOB是等腰直角三角形結(jié)論．【例13】（2019?衢州）如圖，在等腰△ABC中，AB＝AC，以AC為直徑作⊙O交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AB，垂足為E．（1）求證：DE是⊙O的切線．（2）若DE=3，∠C＝30°，求AD【分析】（1）連接OD，只要證明OD⊥DE即可；（2）連接AD，根據(jù)AC是直徑，得到∠ADC＝90°，利用AB＝AC得到BD＝CD，解直角三角形求得BD，在Rt△ABD中，解直角三角形求得AD，根據(jù)題意證得△AOD是等邊三角形，即可OD＝AD，然后利用弧長(zhǎng)公式求得即可．【解答】（1）證明：連接OD；∵OD＝OC，∴∠C＝∠ODC，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠ODC，∴OD∥AB，∴∠ODE＝∠DEB；∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°，∴∠ODE＝90°，即DE⊥OD，∴DE是⊙O的切線．（2）解：連接AD，∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∵AB＝AC，∠C＝30°，∴∠B＝∠C＝30°，BD＝CD，∴∠OAD＝60°，∵OA＝OD，∴△AOD是等邊三角形，∴∠AOD＝60°，∵DE=3，∠B＝30°，∠BED＝90∴CD＝BD＝2DE＝23，∴OD＝AD＝tan30°?CD=33×2∴AD的長(zhǎng)為：60π?2180點(diǎn)評(píng)：本題考查了切線的判定．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心與這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．一．選擇題（共5小題）1．（2020?溫嶺市一模）如圖物體由兩個(gè)圓錐組成．其主視圖中，∠A＝90°，∠ABC＝105°，則上下兩圓錐的側(cè)面積之比為（）A．1：2 B．1：3 C．2：3 D．1：2【分析】設(shè)BD＝2r，先利用∠A＝90°得到AB=2r，再計(jì)算∠CBD＝60°，則BC＝BD＝2r【解析】設(shè)BD＝2r，∵AB＝AD，∠A＝90°，∴AB=2r∵∠ABC＝105°，∴∠CBD＝60°，∴BC＝BD＝2r，∴上下兩圓錐的側(cè)面積之比＝（12×2πr×2r）：（12×2πr×2r故選：D．2．（2020?金華模擬）如圖，一只螞蟻要從圓柱體下底面的A點(diǎn)，沿圓柱表面爬到與A相對(duì)的上底面的B點(diǎn)，圓柱底面直徑為4，母線為6，則螞蟻爬行的最短路線長(zhǎng)為（）A．36+4π2 B．4+36π2 C．4π 【分析】要求最短路線，首先要把圓柱的側(cè)面展開，利用兩點(diǎn)之間線段最短，再利用勾股定理來求．【解析】把圓柱側(cè)面展開，展開圖如圖所示，點(diǎn)A，B的最短距離為線段AB的長(zhǎng)，BC＝6，AC為底面半圓弧長(zhǎng)，AC＝2π，所以AB=6故選：A．3．（2020?杭州模擬）如圖，在△ABC中，以BC為直徑的⊙O，交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)D，交AC于點(diǎn)E，連接OD，OE．若∠A＝α，則∠DOE的度數(shù)為（）A．180°﹣2α B．180°﹣α C．90°﹣α D．2α【分析】連接CD，如圖，根據(jù)圓周角定理得到∠BDC＝90°，利用互余得到∠ACD＝90°﹣α，然后根據(jù)圓周角定理得到∠DOE＝2（90°﹣α）．【解析】連接CD，如圖，∵BC為直徑，∴∠BDC＝90°，∴∠ACD＝90°﹣∠A＝90°﹣α，∴∠DOE＝2∠ACD＝2（90°﹣α）＝180°﹣2α．故選：A．4．（2020?溫州模擬）如圖，△ABC，AC＝3，BC＝43，∠ACB＝60°，過點(diǎn)A作BC的平行線1，P為直線l上一動(dòng)點(diǎn)，⊙O為△APC的外接圓，直線BP交⊙O于E點(diǎn)，則AE的最小值為（）A．3-1 B．7﹣43 C．3 D．【分析】如圖，連接CE．首先證明∠BEC＝120°，由此推出點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的BC上運(yùn)動(dòng)，連接O'A交BC于E′，此時(shí)AE′的值最?。窘馕觥咳鐖D，連接CE．∵AP∥BC，∴∠PAC＝∠ACB＝60°，∴∠CEP＝∠CAP＝60°，∴∠BEC＝120°，∴點(diǎn)E在以O(shè)'為圓心，O'B為半徑的BC上運(yùn)動(dòng)，連接OA交BC于E′，此時(shí)AE′的值最?。藭r(shí)⊙O與⊙O'交點(diǎn)為E'．∵∠BE'C＝120°∴BC所對(duì)圓周角為60°，∴BOC＝2×60°＝120°，∵△BOC是等腰三角形，BC＝43，OB＝OC＝4，∵∠ACB＝60°，∠BCO'＝30°，∴∠ACO；＝90°∴O'A=O'C2∴AE′＝O'A﹣O'E′＝5﹣4＝1．故選：D．5．（2020?紹興一模）如圖，AB是⊙O的直徑，DB，DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，若∠ACE＝20°，則∠D的度數(shù)是（）A．40° B．50° C．60° D．70°【分析】連OC，根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OBD＝∠OCD＝90°，根據(jù)∠ACE＝20°和OA＝OC求出∠OAC＝∠OCA＝70°，可得∠BOC＝2×70°＝140°，再根據(jù)四邊形的內(nèi)角和為360°即可計(jì)算出∠D的度數(shù)．【解析】連OC，如圖，∵DB、DE分別切⊙O于點(diǎn)B、C，∴∠OBD＝∠OCD＝∠OCE＝90°，∵∠ACE＝20°，∴∠OCA＝90°﹣20°＝70°，∵OC＝OA，∴∠OAC＝∠OCA＝70°，∴∠BOC＝2×70°＝140°，∴∠D＝360°﹣90°﹣90°﹣140°＝40°．故選：A．二．填空題（共5小題）6．（2020?金華模擬）如圖，BC是⊙O的弦，以BC為邊作等邊三角形ABC，圓心O在△ABC的內(nèi)部，若BC＝6，OA=3，則⊙O的半徑為21【分析】過O作OD⊥BC于D，由垂徑定理可知BD＝CD=12BC，根據(jù)△ABC是等邊三角形可知∠ABC＝60°，故△ABD也是直角三角形，BD＝DD，在Rt△OBD中利用勾股定理求出【解析】過O作OD⊥BC于D，連接OB，∵BC是⊙O的一條弦，且BC＝6，∴BD＝CD=12BC=12∴OD垂直平分BC，又AB＝AC，∴點(diǎn)A在BC的垂直平分線上，即A，O及D三點(diǎn)共線，∵△ABC是等邊三角形，∴∠ABC＝60°，∴AD=3BD＝33∵OA=3∴OD＝AD﹣OA＝23在Rt△OBD中，OB=B故答案為：21．7．（2020?天臺(tái)縣模擬）如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為8，以AB為直徑的⊙O與邊AC、BC分別交于D、E兩點(diǎn)，則劣弧DE的長(zhǎng)為43π【分析】連接OD、OE，先證明△AOD、△BOE是等邊三角形，得出∠AOD＝∠BOE＝60°，求出∠DOE＝60°，再由弧長(zhǎng)公式即可得出答案．【解析】連接OD、OE，如圖所示：∵△ABC是等邊三角形，∴∠A＝∠B＝∠C＝60°，∵OA＝OD，OB＝OE，∴△AOD、△BOE是等邊三角形，∴∠AOD＝∠BOE＝60°，∴∠DOE＝60°，∵OA=12AB＝∴DE長(zhǎng)=60π×4180故答案為：43π8．（2020?紹興一模）如圖所示，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝6，BC＝8，若以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線有公共點(diǎn)，則r的取值范圍為r≥24【分析】如圖，作CH⊥AB于H．利用勾股定理求出AB，再利用面積法求出CH即可判斷．【解析】如圖，作CH⊥AB于H．在Rt△ABC中，∵∠ACB＝90°，BC＝8，AC＝6，∴AB=AC∵S△ABC=12?AC?BC=12?∴CH=24∵以點(diǎn)C為圓心，r為半徑的圓與邊AB所在直線有公共點(diǎn)，∴r≥24故答案為r≥249．（2020?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，PA，PB是⊙O的兩條切線，A，B為切點(diǎn)，點(diǎn)D，E，F(xiàn)分別在線段AB，BP，AP上，且AD＝BE，BD＝AF，∠P＝54°，則∠EDF＝63度．【分析】根據(jù)切線長(zhǎng)定理得到PA＝PB，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理得到∠PAB＝∠PBA＝63°，證明△AFD≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AFD＝∠BDE，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【解析】∵PA，PB是⊙O的兩條切線，∴PA＝PB，∴∠PAB＝∠PBA=180°-54°2在△AFD和△BDE中，AD=BE∠FAD=∠DBE∴△AFD≌△BDE（SAS）∴∠AFD＝∠BDE，∴∠EDF＝180°﹣∠BDE﹣∠ADF＝180°﹣∠AFD﹣∠ADF＝∠FAD＝63°，故答案為：63．10．（2020?衢州模擬）如圖，小圓O的半徑為1，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBn?n依次為同心圓O的內(nèi)接正三角形和外切正三角形，由弦A1C1和弧A1C1圍成的弓形面積記為S1，由弦A2C2和弧A2C2圍成的弓形面積記為S2，…，以此下去，由弦An?n和弧An?n圍成的弓形面積記為Sn，其中S2020的面積為24036（4π3-【分析】根據(jù)正三角形和圓的關(guān)系可依次求出弓形面積，再根據(jù)弓形面積尋找規(guī)律即可得結(jié)論．【解析】∵小圓O的半徑為1，△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3，…，△AnBn?n依次為同心圓O的內(nèi)接正三角形和外切正三角形，∴S1＝S扇形A1=120π×S2=120π×22S3=120π×42…發(fā)現(xiàn)規(guī)律：Sn=120π×(2n-1)2360-12×（2=π3×22n﹣2﹣22n＝22n﹣4（4π3∴S2020的面積為：24036（4π3故答案為：24036（4π3三．解答題（共10小題）11．（2020?金華模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，點(diǎn)O在AB上，以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O，與BC相切于點(diǎn)D，且交AB于點(diǎn)E．（1）連結(jié)AD，求證：AD平分∠CAB；（2）若BE=2-【分析】（1）連接OD，證OD∥AC，求出∠OAD＝∠ODA＝∠CAD即可；（2）證明△BOD是等腰直角三角形，分別求出△BOD和扇形EOD的面積即可．【解答】（1）證明：如圖，連結(jié)OD，∵⊙O與BC相切于點(diǎn)D，∴OD⊥BC，即∠ODB＝90°．又∵∠C＝90°，∴OD∥AC，∴∠ODA＝∠CAD．在⊙O中，OA＝OD，∴∠ODA＝∠OAD，∴∠OAD＝∠CAD，∴AD平分∠CAB．（2）解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，∴∠B＝45°，∴∠BOD＝45°，∴△BOD是等腰直角三角形，∴OB=2OD，BD＝OD設(shè)⊙O的半徑為r，則OD＝BD＝r，OB=2∴BE=(2∴r＝1，∴S陰影12．（2020?鹿城區(qū)校級(jí)模擬）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC邊上的一點(diǎn)，過A，B，D三點(diǎn)的⊙O交AC于點(diǎn)E，作直徑AF，連結(jié)FD并延長(zhǎng)交AC于點(diǎn)G，且FG∥BE，連結(jié)BE，BF﹒（1）求證：AB＝BD；（2）若BD＝2CD，AC＝5，求⊙O的直徑長(zhǎng)﹒【分析】（1）連接EF、DE，然后證明四邊形ABFE和四邊形BFDE分別為矩形和等腰梯形即可．（2）設(shè)CD為x，在Rt△ABC中，利用勾股定理可求得CD長(zhǎng)度，然后設(shè)BF＝DE＝AE＝y(tǒng)，在Rt△CDE中利用勾股定理求得BF的長(zhǎng)，最后在Rt△ABF中，利用勾股定理算出直徑．【解析】（1）如圖，連接EF、ED．∵AF為直徑，∴∠ABF＝∠AEF＝90°，∵∠BAC＝90°，∴四邊形ABFE是矩形，∴AB＝EF，AE＝BF，∵DF∥BE，∴BF=∴BF＝DE，∴四邊形BFDE是等腰梯形，∴BD＝EF，∴AB＝BD．（2）設(shè)CD＝x，則AB＝BD＝2CD＝2x，BC＝3x．在Rt△ABC中：AB2+AC2＝BC2，∴（2x）2+52＝（3x）2，解得x1=5，x2=∴CD=5，AB＝BD＝25設(shè)BF＝AE＝DE＝y(tǒng)，則CE＝5﹣y，在Rt△CED中：DE2+CD2＝CE2，∴y2+5＝（5﹣y）2，解得y＝2，∴BF＝DE＝AE＝2，∴AF=AB2即⊙O的直徑長(zhǎng)為26．13．（2020?紹興一模）如圖，在正方形網(wǎng)格圖中建立平面直角坐標(biāo)系，一條圓弧經(jīng)過格點(diǎn)A（0，4）、B（﹣4，4）、C（﹣6，2），若該圓弧所在圓的圓心為D點(diǎn)，請(qǐng)你利用網(wǎng)格圖回答下列問題：（1）圓心D的坐標(biāo)為（﹣2，0）；（2）若扇形ADC是一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖，求該圓錐底面圓的半徑長(zhǎng)（結(jié)果保留根號(hào)）．【分析】（1）分別作AB、BC的垂直平分線，兩直線交于點(diǎn)D，則點(diǎn)D即為該圓弧所在圓的圓心，可知點(diǎn)D的坐標(biāo)為（﹣2，0）．（2）連接AC、AD和CD，根據(jù)勾股定理的逆定理求出∠CDA＝90°，根據(jù)弧長(zhǎng)公式和圓的周長(zhǎng)求出答案即可．【解析】（1）分別作線段AB和線段BC的垂直平分線，兩垂直平分線的交點(diǎn)，就是圓心D，如圖，D點(diǎn)正好在x軸上，D點(diǎn)的坐標(biāo)是（﹣2，0），故答案為：（﹣2，0）；（2）連接AC、AD、CD，⊙D的半徑長(zhǎng)=2∵AD2+CD2＝20+20＝40，AC2＝40，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°．設(shè)圓錐的底面圓的半徑長(zhǎng)為r，則2πr=90π×2解得：r=5所以該圓錐底面圓的半徑長(zhǎng)為5214．（2020?上虞區(qū)校級(jí)一模）如圖1（1）已知△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，BD是角平分線，求證：點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）如圖2，正五邊形的邊長(zhǎng)為2，連結(jié)對(duì)角線AD、BE、CE，線段AD分別與BE和CE相交于點(diǎn)M、N，求MN的長(zhǎng)；（3）設(shè)⊙O的半徑為r，直接寫出它的內(nèi)接正十邊形的邊長(zhǎng)＝5-12r（用【分析】（1）如圖1，先證AD＝BD＝BC，再證△BCD∽△ACB，即可得出點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）利用正五邊形的性質(zhì)，證BM＝BA＝AE，再證△AEM∽△BEA，推出EMEB=3-52，再證△EMN（3）正十邊形的中心角為：360°10=36°，利用圖1，可設(shè)∠BAC是正十邊形的一個(gè)中心角，則AB，AC為正十邊形外接圓的半徑r，BD是∠ABC的平分線，由（1）知CDAD=AD【解答】（1）證明：如圖1，∵在△ABC中AB＝AC，∠BAC＝36°，∴∠ABC＝∠C=12（180°﹣36°）＝∵BD是角平分線，∴∠CBD＝∠ABD=12∠ABC∴AD＝BD＝BC，∴在△BCD中，∠BDC＝180°﹣∠C﹣∠CBD＝72°，∴BD＝BC，∵∠A＝∠CBD＝36°，∠C＝∠C，∴△BCD∽△ACB，∴CDBC∵AD＝BD＝BC，∴CDAD∴點(diǎn)D是線段AC的黃金分割點(diǎn)；（2）在正五邊形ABCDE中，∠AED=180°×(5-2)5=108°，AE∴∠EAD＝∠EDA=12（180°﹣108°）＝同理可求，∠AEB＝∠ABE＝36°，∵∠EAM＝∠∠EBA，∠AEM＝∠BEA，∴△AEM∽△BEA，∴EMAE∵∠AMB＝∠MAE+∠AEM＝72°，∠MAB＝∠BAE﹣∠MAE＝72°，∴∠BAM＝∠BMA，∴BM＝BA＝AE＝2，∴EMBM∴EM2∴EM=5-∴EMEB∵∠BAM+∠ABC＝72°+108°＝180°，∴AD∥BC，∴△EMN∽△EBC，∴EMEB∵BC＝2，∴MN＝3-5（3）正十邊形的中心角為：360°10=如圖1，可設(shè)∠BAC是正十邊形的一個(gè)中心角，則AB，AC為正十邊形外接圓的半徑r，BD是∠ABC的平分線，由（1）知CDAD∴r-ADAD∴AD=5-1∴BC＝BD=5-1故答案為：5-1215．（2020?長(zhǎng)安區(qū)模擬）如圖1，在△ABC中，AC＝BC，以BC為直徑的⊙O交AB于點(diǎn)D．（1）求證：點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)；（2）如圖2，過點(diǎn)D作DE⊥AC于點(diǎn)E，求證：DE是⊙O的切線．【分析】（1）由于AC＝AB，如果連接CD，那么只要證明出CD⊥AB，根據(jù)等腰三角形三線合一的特點(diǎn)，我們就可以得出AD＝BD，由于BC是圓的直徑，那么CD⊥AB，由此可證得．（2）連接OD，再證明OD⊥DE即可．【解答】證明：（1）如圖1，連接CD，∵BC為⊙O的直徑，∴CD⊥AB．∵AC＝BC，∴AD＝BD．（2）如圖2，連接OD；∵AD＝BD，OB＝OC，∴OD是△BCA的中位線，∴OD∥AC．∵DE⊥AC，∴DF⊥OD．∵OD為半徑，∴DE是⊙O的切線．16．（2020?衢州模擬）如圖，以△ABC的BC邊上一點(diǎn)O為圓心的圓，經(jīng)過A、B兩點(diǎn)，且與BC邊交于點(diǎn)E，D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，連接AD交BC于F，若AC＝FC．（1）求證：AC是⊙O的切線；（2）若BF＝4，DF=10，求⊙O【分析】（1）由等腰三角形的性質(zhì)和垂徑定理可求∠OAC＝90°，可得結(jié)論；（2）由勾股定理可求解．【解答】證明：（1）連接AO，∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，∵AC＝FC，∴∠CAF＝∠CFA＝∠OFD，∵D為BE的下半圓弧的中點(diǎn)，∴OD⊥BE，∴∠ODA+∠OFD＝90°，∴∠CFA+∠DAO＝90°，∴∠OAC＝90°，且OA是半徑，∴AC是⊙O的切線；（2）在Rt△ODF中，DF2＝OD2+OF2，∴10＝OD2+（4﹣OD）2，∴OD＝1（不合題意舍去），OD＝3，∴⊙O的半徑為3．17．（2020?溫州模擬）如圖，AB是O的直徑，C是弧BD的中點(diǎn)，CE⊥AB，垂足為E，BD交CE于點(diǎn)F．（1）求證：CF＝BF；（2）若AD＝6，⊙O的半徑為5，求BC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接ACAC，由圓周角定理得出∠ACB＝90°，證出∠BAC＝∠BCE；由C是弧BD的中點(diǎn)，得到∠DBC＝∠BAC，延長(zhǎng)∠BCE＝∠DBC，即可得到結(jié)論；CF＝BF．（2）連接OC交BD于G，由圓周角定理得出∠ADB＝90°，由勾股定理得出BD=AB2-AD2=8，由垂徑定理得出OC⊥BD，DG＝BG=12BD＝4，證出OG是△ABD的中位線，得出OG=12AD＝3，求出CG【解答】（1）證明：連接AC，如圖1所示：∵C是弧BD的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠BAC，在ABC中，∠ACB＝90°，CE⊥AB，∴∠BCE+∠ECA＝∠BAC+∠ECA＝90°，∴∠BCE＝∠BAC，又C是弧BD的中點(diǎn)，∴∠DBC＝∠CDB，∴∠BCE＝∠DBC，∴CF＝BF．（2）解：連接OC交BD于G，如圖2所示：∵AB是O的直徑，AB＝2OC＝10，∴∠ADB＝90°，∴BD=AB∵C是弧BD的中點(diǎn)，∴OC⊥BD，DG＝BG=12BD＝∵OA＝OB，∴OG是△ABD的中位線，∴OG=12AD＝∴CG＝OC﹣OG＝5﹣3＝2，在Rt△BCG中，由勾股定理得：BC=CG218．（2020?拱墅區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC是的內(nèi)接三角形，點(diǎn)C是優(yōu)弧AB上一點(diǎn)，設(shè)∠OAB＝α，∠C＝β．（1）猜想：β關(guān)于α的函數(shù)表達(dá)式，并給出證明；（2）若α＝30°，AB＝6，S△ABC＝63，求AC的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OB，理由等腰三角形的性質(zhì)圓周角定理即可解決問題．（2）如圖，延長(zhǎng)AO交⊙O于E，連接EB，作EF∥AB交⊙O于F，連接AF．證明點(diǎn)C與點(diǎn)E重合即可解決問題．【解析】（1）如圖，結(jié)論：β＝90°﹣α．理由：連接OB．∵OA＝OB，∴∠OAB＝∠OBA＝α，∴∠AOB＝180°﹣2α，∴∠C=12∠AOB＝90°﹣α，即β＝90°﹣（2）如圖，延長(zhǎng)AO交⊙O于E，連接EB，作EF∥AB交⊙O于F，連接AF．∵AE是直徑，∴∠ABE＝90°，∵∠EAB＝30°，AB＝6，∴BE＝AB?tan30°＝23，∴S△EAB=12?AB?EB＝6∵S△ABC＝63，∴點(diǎn)C與E重合，或與F重合，∴AC＝2BE＝43或AC′＝AF＝BE＝23．綜上所述，AC的長(zhǎng)度為43或23．19．（2019?瀘縣模擬）如圖，已知⊙O的直徑AB＝10，弦AC＝6，∠BAC的平分線交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作DE⊥AC交AC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）求證：DE是⊙O的切線；（2）求DE的長(zhǎng)．【分析】（1）連接OD，欲證明DE是⊙O的切線，只要證明OD⊥DE即可．（2）過點(diǎn)O作OF⊥AC于點(diǎn)F，只要證明四邊形OFED是矩形即可得到DE＝OF，在RT△AOF中利用勾股定理求出OF即可．【解答】證明：（1）連接OD，∵AD平分∠BAC，∴∠DAE＝∠DAB，∵OA＝OD，∴∠ODA