專題1.5 二次函數(shù)與線段最值面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）（原卷版）

專題1.5二次函數(shù)與線段最值/面積最值綜合應(yīng)用（四大題型）重難點(diǎn)題型歸納【題型1線段差最大問題】【題型2線段和最小】【題型3周長最值問題】【題型4求面積最值】【題型1線段差最大問題】【典例1】（2023?汝南縣一模）如圖，已知拋物線過點(diǎn)O（0，0），A（5，5），其對(duì)稱軸為x＝2．（1）求該拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)B是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，且點(diǎn)B在第一象限．①當(dāng)△OAB的面積為15時(shí)，求點(diǎn)B的坐標(biāo)；②在①的條件下，P是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA﹣PB取得最大值時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式1-1】（秋?椒江區(qū)校級(jí)月考）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）經(jīng)過點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求此拋物線的解析式；（2）若點(diǎn)T為對(duì)稱軸直線x＝2上一點(diǎn)，則TC﹣TB的最大值為多少？【變式1-2】（連云港）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，把與x軸交點(diǎn)相同的二次函數(shù)圖象稱為“共根拋物線”．如圖，拋物線L1：y＝x2﹣x﹣2的頂點(diǎn)為D，交x軸于點(diǎn)A、B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），交y軸于點(diǎn)C．拋物線L2與L1是“共根拋物線”，其頂點(diǎn)為P．（1）若拋物線L2經(jīng)過點(diǎn)（2，﹣12），求L2對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；（2）當(dāng)BP﹣CP的值最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【題型2線段和最小】【典例2】（2023?棗莊）如圖，拋物線y＝﹣x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0），C（0，3）兩點(diǎn)，并交x軸于另一點(diǎn)B，點(diǎn)M是拋物線的頂點(diǎn)，直線AM與y軸交于點(diǎn)D．（1）求該拋物線的表達(dá)式；（2）若點(diǎn)H是x軸上一動(dòng)點(diǎn)，分別連接MH，DH，求MH+DH的最小值；【變式2-1】（2023?新疆三模）如圖，拋物線C1：y＝x2﹣2x與拋物線C2：y＝ax2+bx開口大小相同、方向相反，它們相交于O，C兩點(diǎn)，且分別與x軸的正半軸交于點(diǎn)B，點(diǎn)A，OA＝2OB．?（1）求拋物線C2的解析式；（2）在拋物線C2的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使PA+PC的值最??？若存在，求出PA+PC的最小值及點(diǎn)P的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；【變式2-2】（2023?紅花崗區(qū)校級(jí)模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx﹣2與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的解析式；（2）M是拋物線對(duì)稱軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求MB+MC的最小值；【變式2-3】（2023?瓊山區(qū)校級(jí)三模）如圖，拋物線y＝ax2+3x+c（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C（0，8），頂點(diǎn)為D，連接AC，CD，DB，P是第一象限內(nèi)拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，連接PB，PC，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為t．（1）求拋物線的解析式；（2）當(dāng)t為何值時(shí)，△PBC的面積最大？并求出最大面積；（3）M為直線BC上一點(diǎn)，求MO+MA的最小值；【變式2-4】（2023?寧夏）如圖，拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（﹣1，0），拋物線的對(duì)稱軸是直線x＝1．（1）直接寫出點(diǎn)B的坐標(biāo)；（2）在對(duì)稱軸上找一點(diǎn)P，使PA+PC的值最小．求點(diǎn)P的坐標(biāo)和PA+PC的最小值；【題型3周長最值問題】【典例3】（2023?張家界）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣2，0）和點(diǎn)B（6，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，6）．點(diǎn)D為線段BC上的一動(dòng)點(diǎn)．（1）求二次函數(shù)的表達(dá)式；（2）如圖1，求△AOD周長的最小值；【變式3-1】（2023?盤錦三模）如圖，已知拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于點(diǎn)A，B，AB＝2，與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸為直線x＝2．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）設(shè)P為對(duì)稱軸上一動(dòng)點(diǎn)，求△APC周長的最小值；?【變式3-2】（富拉爾基區(qū)模擬）如圖，已知拋物線y＝ax2+bx+3（a≠0）與x軸交于點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（﹣3，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線解析式；（2）若M是拋物線對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，則△ACM周長的最小值為多少？【變式3-3】（2022?齊河縣模擬）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3過A（1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)解析式；（2）在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)M，使△ACM的周長最??？若存在，求出△ACM周長的最小值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【題型4求面積最值】【典例4】（2023?阜新）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx﹣c的圖象與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0）和點(diǎn)B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的表達(dá)式．（2）如圖1，二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸與直線AC：y＝x+3交于點(diǎn)D，若點(diǎn)M是直線AC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△MCD面積的最大值．【變式4-1】（2022秋?曲周縣期末）如圖1，拋物線y＝﹣x2+bx+c與x軸交于A（2，0），B（﹣4，0）兩點(diǎn)．（1）求該拋物線的解析式；（2）在拋物線的第二象限圖象上是否存在一點(diǎn)P，使得△PBC的面積最大？若存在，求出點(diǎn)P的坐標(biāo)及△PBC的面積最大值；若不存在，請(qǐng)說明理由．【變式4-2】（2023?樂東縣二模）如圖1，拋物線y＝ax2+bx+3與x軸交于點(diǎn)A（﹣3，0），B（1，0），與y軸交于點(diǎn)C，對(duì)稱軸直線x＝m交拋物線于點(diǎn)D，交x軸于點(diǎn)E，連接AD，CD．（1）求該拋物線的表達(dá)式以及m的值；（2）求四邊形OADC的面積；?【變式4-3】（2023?東坡區(qū)模擬）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）過A（﹣1，0），B（﹣3，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，OC＝3．（1）求拋物線的解析式及頂點(diǎn)D的坐標(biāo)；（2）點(diǎn)P為拋物線在直線BC下方圖形上的一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△PBC面積最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；【變式4-4】（2023?肇東市三模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與x軸交于A，B點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，3），點(diǎn)A在原點(diǎn)的左側(cè)，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，0），點(diǎn)P是拋物線上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且在直線BC的上方．（1）求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；（2）當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△BPC的面積最大？請(qǐng)求出點(diǎn)P的坐標(biāo)和△BPC面積的最大值．【變式4-5】（2022秋?朝陽期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，已知拋物線y＝ax2+bx+5與x軸交于A（﹣1，0），B（5，0）兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C．（1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式；（2）若點(diǎn)P是位于直線BC上方拋物線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，求△BPC面積的最大值；【變式4-6】（2023?四平模擬）如圖，拋物線y＝a