人教A版高中數(shù)學(xué)(選擇性必修第一冊(cè))同步講義第32講 拓展一：中點(diǎn)弦問(wèn)題（原卷版）

第07講拓展一：中點(diǎn)弦問(wèn)題一、知識(shí)點(diǎn)歸納知識(shí)點(diǎn)01：相交弦中點(diǎn)（點(diǎn)差法）：直線與曲線相交，涉及到交線中點(diǎn)的題型，多數(shù)用點(diǎn)差法。按下面方法整理出式子，然后根據(jù)實(shí)際情況處理該式子。主要有以下幾種問(wèn)題：（1）求中點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求中點(diǎn)軌跡方程；（3）求直線方程；（4）求曲線；中點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0知識(shí)點(diǎn)02：點(diǎn)差法：設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入橢圓方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；將兩式相減，可得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；最后整理得：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0同理，雙曲線用點(diǎn)差法，式子可以整理成：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)直線和曲線的兩個(gè)交點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，代入拋物線方程，得SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；將兩式相減，可得SKIPIF1<0；整理得：SKIPIF1<0二、題型精講題型01求直線方程【典例1】（2023春·寧夏吳忠·高二吳忠中學(xué)?？计谥校┻^(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且點(diǎn)M平分弦SKIPIF1<0，則直線SKIPIF1<0的方程為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【典例2】（2023秋·新疆巴音郭楞·高二校考期末）（1）求過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，與雙曲線SKIPIF1<0離心率相等的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.（2）已知雙曲線SKIPIF1<0，求過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且被點(diǎn)SKIPIF1<0平分的弦SKIPIF1<0所在直線的方程.【典例3】（2023春·四川·高二統(tǒng)考期末）已知直線SKIPIF1<0與拋物線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0、SKIPIF1<0兩點(diǎn).(1)若直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且傾斜角為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；(2)若直線SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，且弦SKIPIF1<0恰被SKIPIF1<0平分，求SKIPIF1<0所在直線的方程.【變式1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與雙曲線SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，若SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則直線SKIPIF1<0的方程是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0【變式2】（2023春·河南·高二臨潁縣第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知橢圓SKIPIF1<0的長(zhǎng)軸比短軸長(zhǎng)2，橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0．(1)求橢圓SKIPIF1<0的方程；(2)若直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的方程．【變式3】（2023春·內(nèi)蒙古呼倫貝爾·高二?？茧A段練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0是拋物線SKIPIF1<0上的點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求拋物線SKIPIF1<0的方程；(2)已知直線SKIPIF1<0交拋物線SKIPIF1<0于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的中點(diǎn)為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0的方程．題型02處理存在性問(wèn)題【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0：SKIPIF1<0的焦點(diǎn)為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，SKIPIF1<0垂直于動(dòng)直線SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為等邊三角形時(shí)，其面積為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0相切，且與橢圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，直線SKIPIF1<0與SKIPIF1<0交于點(diǎn)SKIPIF1<0，試問(wèn)：是否存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例2】（2023春·江西萍鄉(xiāng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）已知雙曲線SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且C的一條漸近線經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0.(1)求C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)是否存在過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線l與C交于不同的A，B兩點(diǎn)，且線段AB的中點(diǎn)為P.若存在，求出直線l的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【變式1】（2023秋·重慶北碚·高二西南大學(xué)附中?？茧A段練習(xí)）雙曲線SKIPIF1<0的漸近線方程為SKIPIF1<0，一個(gè)焦點(diǎn)到該漸近線的距離為2．(1)求C的方程；(2)是否存在直線l，經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與雙曲線C于A，B兩點(diǎn)，M為線段AB的中點(diǎn)，若存在，求l的方程：若不存在，說(shuō)明理由．題型03求弦中點(diǎn)的軌跡方程【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知曲線SKIPIF1<0上一動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0到兩定點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的距離之和為SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0的直線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0相交于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的方程；(2)動(dòng)弦SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程；【典例2】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知拋物線SKIPIF1<0，過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作一條直線交拋物線于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩點(diǎn)，試求弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)軌跡方程.【變式1】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的弦SKIPIF1<0所在直線過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0，求弦SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0的軌跡方程.【變式2】（2022·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）橢圓SKIPIF1<0，則該橢圓所有斜率為SKIPIF1<0的弦的中點(diǎn)的軌跡方程為．題型04確定參數(shù)的取值范圍【典例1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0：SKIPIF1<0，A為橢圓的下頂點(diǎn)，設(shè)橢圓SKIPIF1<0與直線SKIPIF1<0相交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為弦SKIPIF1<0的中點(diǎn)，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，求SKIPIF1<0的取值范圍.【典例2】（2022·遼寧沈陽(yáng)·東北育才學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知橢圓SKIPIF1<0的左、右焦點(diǎn)分別為SKIPIF1<0，離心率SKIPIF1<0為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0和橢圓交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，且SKIPIF1<0的周長(zhǎng)為SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，求線段SKIPIF1<0長(zhǎng)度的取值范圍．【變式1】（2023·天津·校考模擬預(yù)測(cè)）已知曲線SKIPIF1<0的方程為SKIPIF1<0，曲線SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為焦點(diǎn)的橢圓，點(diǎn)SKIPIF1<0為曲線SKIPIF1<0與曲線SKIPIF1<0在第一象限的交點(diǎn)，且SKIPIF1<0．(1)求曲線SKIPIF1<0的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)直線SKIPIF1<0與橢圓SKIPIF1<0相交于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)SKIPIF1<0在曲線SKIPIF1<0上，求直線SKIPIF1<0的斜率SKIPIF1<0的取值范圍．【變式2】（2023春·內(nèi)蒙古赤峰·高二?？茧A段練習(xí)）已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)為SKIPIF1<0，且離心率SKIPIF1<0.（1）求橢圓的方程；（2）直線SKIPIF1<0（與坐標(biāo)軸不平行）與橢圓交于不同的兩點(diǎn)SKIPIF1<0，且線段SKIPIF1<0中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為SKIPIF1<0，求直線SKIPIF1<0傾斜角的取值范圍.題型05定值問(wèn)題【典例1】（2022·全國(guó)·高二專(zhuān)題練習(xí)）已知橢圓SKIPIF1<0的離心率為SKIPIF1<0，直線SKIPIF1<0被橢圓SKIPIF1<0截得的線段長(zhǎng)為SKIPIF1<0.（1）求橢圓SKIPIF1<0的方程；（2）設(shè)過(guò)橢圓SKIPIF1<0的右焦點(diǎn)SKIPIF1<0與坐標(biāo)軸不垂直的直線SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，交SKIPIF1<0軸于點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0為垂足.問(wèn)：是否存在定點(diǎn)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0的長(zhǎng)為定值？若存在，求點(diǎn)SKIPIF1<0的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【典例2】（2023春·湖南株洲·高二株洲二中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知雙曲線SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）的漸近線方程為SKIPIF1<0，焦點(diǎn)到漸近線的距離為SKIPIF1<0.(1)求雙曲線SKIPIF1<0的方程；(2)設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是雙曲線SKIPIF1<0右支上不同的兩點(diǎn)，線段AB的垂直平分線SKIPIF1<0交AB于SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0的橫坐標(biāo)為2，則是否存在半徑為