第1章 勾股定理 大單元教學(xué)設(shè)計 【 學(xué)情分析指導(dǎo) 】 北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊

“勾股定理”單元教學(xué)分析本單元的知識發(fā)展主線課標(biāo)要求1.要掌握勾股定理的內(nèi)容及其應(yīng)用;2.掌握判斷一個三角形是直角三角形的條件;3.掌握曲面上的最短路線問題。知識結(jié)構(gòu)圖1.3涉及的數(shù)學(xué)思想方法1.數(shù)形結(jié)合思想勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關(guān)系，它是把三角形有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，因此它是數(shù)形結(jié)合的一個典范。勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的的定理，它的驗證和應(yīng)用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。例1：如圖所示是一種“羊頭”形圖案，其作法是：從正方形①開始，以它的一條邊為斜邊作等腰直角三角形，然后再以這個等腰直角三角形兩直角邊為邊作正方形②和②′，如此繼續(xù)下去…，若正方形①的面積為64，則正方形⑥的面積為______。解析：這是一類關(guān)于“勾股樹”(國外叫做“畢達(dá)哥拉斯樹”)的探討題，主要考查靈活運(yùn)用勾股定理解決問題的能力，這里只要由勾股定理的規(guī)律通過一系列的探索就根據(jù)題意可知第一個正方形的面積是64，則第二個正方形的面積是32，…，進(jìn)而可找出規(guī)律，第n個正方形的面積是6422.分類討論思想分類討論思想是指在解題過程中，當(dāng)條件或結(jié)論不確定或不唯一時，往往會產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對問題進(jìn)行分類，再針對各種不同的情況分別予以解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的結(jié)論。分類討論實質(zhì)上是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)方法。(1)直角邊和斜邊不明時需分類討論;(2)已知三角形兩邊a,b及第三邊上的高h(yuǎn)的長，不明確三角形形狀時，應(yīng)分銳角和鈍角兩種情況討論。例2：已知直角三角形兩邊長分別為3和4,求第三邊的長為？解析：已知兩邊分別為3和4①若這兩邊為直角邊則，斜邊c所以，斜邊c=5即第三邊的長為5②若這兩邊一個為直角邊，一個為斜邊那么，第三邊c所以，c=7所以，第三邊（即另一個直角邊）的長為7例3：三角形ABC中,AB=10,AC=17,BC邊上的高線AD=8,求BC的長為？解析：由勾股定理可分別在Rt△ABD和Rt△ADC中求出BD、DC的長，然后分兩種情況考慮：①D點在線段BC上，②D點在CB的延長線上；根據(jù)D點的不同位置可得BD、DC、BC三條線段不同的數(shù)量關(guān)系，從而得到BC的值。Rt△ACD中，AC=17，AD=8，由勾股定理得：CDRt△ABD中，AB=10，AD=8，由勾股定理得：BD①點D在線段BC上時，BC=BD+CD=21，②點D在CB的延長線上時，BC=CD-BD=9，故BC的長為9或21。3.轉(zhuǎn)化思想例4：如圖是一塊長、寬、高分別是6cm、4cm和3cm的長方體木塊，一只螞蟻要從頂點A出發(fā)，沿長方體的表面爬到和A相對的頂點B處吃食物，那么它需要爬行的最短路線的長是（）A：61cmB:85cmC:97cmD:109如圖2，當(dāng)爬的長方形的長是（3+6）=9，寬是4時，92如圖3，爬的長方形的長是（3+4）=7時，寬是6時，72故選B。1.4相關(guān)的十大核心概念1.幾何直觀利用圖形來描述和分析勾股定理的相關(guān)問題體現(xiàn)了幾何直觀的核心概念勾股定理作為“千古第一定理”,證法極多。趙爽和畢達(dá)哥拉斯的方法利用短鏈公理系統(tǒng)“被直線分割的封閉圖形，各個部分的面積之和等于整體的面積”,凸顯幾何直觀，更貼近學(xué)生的知識基礎(chǔ)與認(rèn)知能力，在教材中通常作為正文出現(xiàn)。歐幾里得的方法利用長鏈公理系統(tǒng)(要找到將大正方形的面積分割為兩個小正方形的面積的方法),突出邏輯推理，對初中生的要求過高，在教材中通常作為拓展的閱讀材料出現(xiàn)。在教學(xué)中，要引導(dǎo)學(xué)生探究發(fā)現(xiàn)構(gòu)造圖形證明勾股定理的方法，從而發(fā)展幾何直觀能力。2.應(yīng)用意識將航海和最短路線等實際問題轉(zhuǎn)化為勾股定理相關(guān)的數(shù)學(xué)問題體現(xiàn)了應(yīng)用意識的核心概念。3.創(chuàng)新意識發(fā)現(xiàn)并提出問題----得到猜想和規(guī)律的過程體現(xiàn)了創(chuàng)新意識的核心概念。數(shù)學(xué)的聯(lián)系與應(yīng)用2.1數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)文化1.中國公元前十一世紀(jì)，數(shù)學(xué)家商高（西周初年人）就提出“勾三、股四、弦五”。編寫于公元前一世紀(jì)以前的《周髀算經(jīng)》中記錄著商高與周公的一段對話。商高說：“……故折矩，勾廣三，股修四，經(jīng)隅五?！币鉃椋寒?dāng)直角三角形的兩條直角邊分別為3（勾）和4（股）時，徑隅（弦）則為5。以后人們就簡單地把這個事實說成“勾三股四弦五”，根據(jù)該典故稱勾股定理為商高定理。公元三世紀(jì)，三國時代的趙爽對《周髀算經(jīng)》內(nèi)的勾股定理作出了詳細(xì)注釋，記錄于《九章算術(shù)》中“勾股各自乘，并而開方除之，即弦”，趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，用數(shù)形結(jié)合得到方法，給出了勾股定理的詳細(xì)證明。后劉徽在劉徽注中亦證明了勾股定理。在中國清朝末年，數(shù)學(xué)家華蘅芳提出了二十多種對于勾股定理證法。2.外國遠(yuǎn)在公元前約三千年的古巴比倫人就知道和應(yīng)用勾股定理，他們還知道許多勾股數(shù)組。美國哥倫比亞大學(xué)圖書館內(nèi)收藏著一塊編號為“普林頓322”的古巴比倫泥板，上面就記載了很多勾股數(shù)。古埃及人在建筑宏偉的金字塔和測量尼羅河泛濫后的土地時，也應(yīng)用過勾股定理。公元前六世紀(jì)，希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯證明了勾股定理，因而西方人都習(xí)慣地稱這個定理為畢達(dá)哥拉斯定理。2.2數(shù)學(xué)與現(xiàn)實生活的聯(lián)系勾股定理應(yīng)用非常廣泛。我國戰(zhàn)國時期另一部古籍《路史后記十二注》中就有這樣的記載："禹治洪水決流江河，望山川之形，定高下之勢，除滔天之災(zāi)，使注東海，無漫溺之患，此勾股之所系生也。"這段話的意思是說：大禹為了治理洪水，使不決流江河，根據(jù)地勢高低，決定水流走向，因勢利導(dǎo)，使洪水注入海中，不再有大水漫溺的災(zāi)害，是應(yīng)用勾股定理的結(jié)果。工程技術(shù)人員用的比較多,比如農(nóng)村房屋的屋頂構(gòu)造，就可以用勾股定理來計算,設(shè)計工程圖紙也要用到勾股定理,在求與圓、三角形有關(guān)的數(shù)據(jù)時，多數(shù)可以用勾股定理古代也是大多應(yīng)用于工程，例如修建房屋、修井、造車等等……家裝時,工人為了判斷一個墻角是否標(biāo)準(zhǔn)直角.可以分別在墻角向兩個墻面量出30cm,40cm并標(biāo)記在一個點,然后量這兩點間距離是否是50cm，如果超出一定誤差，則說明墻角不是直角。在做木工活時，要是有大塊的板材要定直角，就用勾股定理。角尺太小，在大板上畫的直角誤差大。在做焊工活時，做大的框架，有一定要直角的也是用勾股定理。比如說我要一個直角，就取一個直角邊3米，一個直角邊4米，讓斜邊有5米，那這個角就是直角了。已知兩個螺絲之間的位置,我們也可以用勾股定理求出兩個螺絲之間的距離。2.3數(shù)學(xué)與其它學(xué)科的聯(lián)系（1）勾股定理多出現(xiàn)于物理學(xué)科進(jìn)行解題時的具體應(yīng)用，作為解題的一小步求解計算。（2）物理中合力的求解和力的分解2.4高觀點下的中小學(xué)數(shù)學(xué)（1）創(chuàng)設(shè)合理的問題情境是課堂教學(xué)的基礎(chǔ)。本節(jié)課通過引導(dǎo)學(xué)生欣賞勾股樹和會標(biāo)圖案時,在讓學(xué)生欣賞美的同時,既培養(yǎng)了學(xué)生自豪的民族感,又創(chuàng)設(shè)了恰當(dāng)合理的問題情境,使學(xué)生了解到了勾股定理與日常生活實際的緊密聯(lián)系,明確研究函數(shù)奇偶性的意義和價值,進(jìn)一步了解數(shù)學(xué)不是枯燥無味的，是來源于我們的生活,并服務(wù)于生活的一門學(xué)科。（2）重視數(shù)學(xué)概念的建構(gòu)是課堂教學(xué)的核心。在教學(xué)中要引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷從具體事例抽象出數(shù)學(xué)概念的過程，在初步運(yùn)用中逐步理解概念的本質(zhì)。有效的概念教學(xué)應(yīng)該是讓學(xué)生在參與數(shù)學(xué)活動的過程中生成和建構(gòu)數(shù)學(xué)概念。（3）恰當(dāng)?shù)厥褂媒虒W(xué)媒體是課堂教學(xué)的保障。多媒體輔助教學(xué)能夠活躍課堂氣氛，可以節(jié)省教師作圖、板書的時間，加快課堂節(jié)奏,增加課堂密度,提高教學(xué)質(zhì)量和效率。教學(xué)研究（以“探索勾股定理”課為例）重點與難點分析3.1.1教學(xué)重點1.探索并證明勾股定理2.勾股定理的逆定理及其運(yùn)用3.1.2教學(xué)難點1.構(gòu)造圖形證明勾股定理2.探索典型證明方法之間的本質(zhì)共性3.1.3常見錯誤1.解題時存在思維定勢，考慮問題不全面而出現(xiàn)漏解（1）要區(qū)分所給邊是斜邊還是直角邊（2）要判斷三角形的高是在三角形內(nèi)部還是外部例5：已知三角形ABC中，AB=17，AC=10，BC邊上的高AD=8，求邊BC的長錯解：如圖1，由勾股定理得BD2=診斷：三角形的高既可以在三角形內(nèi)部，也可以在三角形外部，錯解只考慮了一種情況。正解：當(dāng)AD在三角形ABC的內(nèi)部時，如上解，得BC=21；當(dāng)AD在三角形外部時，如圖2，同樣可以求得BD=15,CD=6，所以BC=15-6=9。綜上，BC的長為21或9。2.機(jī)械盲目的運(yùn)用勾股定理（1）死記a2（2）忽略勾股定理使用的條件例6：在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的對邊分別為a，b，c，且（a+b）（a-b）=c2A：∠A是直角B：∠C是直角C：∠B是直角D：三角形ABC不是直角三角形錯解：選B診斷：因為常見的直角三角形通常將直角標(biāo)注為∠C，因而有同學(xué)就習(xí)慣性地認(rèn)為∠C一定為直角。該題中的條件可轉(zhuǎn)化為a2-b2=c2，即正解：選A例7：已知三角形ABC的各邊長均為整數(shù)，且AB=4，BC=3，AC>AB，求三角形ABC的周長。錯解：由勾股定理，得AC=AB2+BC2=5，所以三角形ABC的周長為診斷：應(yīng)用勾股定理的前提條件是直角三角形，本題并沒有指出三角形ABC是直角三角形，所以不能用勾股定理來解。正解：由三角形的三邊關(guān)系得AB-BC<AC<AB+BC，即1<AC<7,又AC>AB=4,AC為整數(shù)，所以AC長為5或6，于是，三角形ABC為12或13。3.2課題引入設(shè)計3.2.1現(xiàn)實情境下的課題引入引入：2002年在北京召開了第24屆國際數(shù)學(xué)家大會,這次大會是首次在中國召開。今天我要向大家介紹的是本屆大會的會徽(如圖1)。（1）你見過這個圖案嗎?（2）你知道勾股定理嗎?引入內(nèi)容是北師大版“勾股定理”一章的章頭圖,章頭圖一般是本章內(nèi)容在實際生活中的應(yīng)用,國際數(shù)學(xué)家大會會徽即是利用勾股定理設(shè)計的,體現(xiàn)了勾股定理在數(shù)學(xué)史上極高的地位。很多教師將章頭圖直接引人勾股定理的教學(xué),這樣的引人可以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)學(xué)科多一份感動和熱愛。3.2.2數(shù)學(xué)問題情境下的課題引入引入：相傳2500多年前,一次畢達(dá)哥拉斯在朋友家做客時,發(fā)現(xiàn)朋友家用磚鋪成的地面圖案反映了直角三角形三邊的某種數(shù)量關(guān)系。我們也來觀察一下地面的圖案(圖2),看看能從中發(fā)現(xiàn)什么數(shù)量關(guān)系?以著名人物在朋友家做客時發(fā)現(xiàn)勾股定理的小故事引人主題,可以讓學(xué)生體會到生活中處處有數(shù)學(xué),應(yīng)該學(xué)會用數(shù)學(xué)的眼光來觀察世界。3.2.3以舊引新的課題引入引入：同學(xué)們回憶一下,我們學(xué)習(xí)過有關(guān)直角三角形的哪些知識?勾股定理是基本的幾何定理,勾股定理第一課時的教學(xué)重點就是探究直角三角形的三邊關(guān)系，即得到勾股定理。以提問的方式讓學(xué)生回憶學(xué)習(xí)過的有關(guān)直角三角形的內(nèi)容,梳理研究直角三角形應(yīng)從“角”“邊”兩個方面進(jìn)行,已經(jīng)研究過角之間的關(guān)系了,那么很自然就過渡到了要研究直角三角形的邊的關(guān)系,進(jìn)而引出課題。這種“以舊引新”的方式更符合學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律,是對原有知識經(jīng)驗從廣度和寬度上的拓展,學(xué)生更容易接受,并能很快地進(jìn)入新知的學(xué)習(xí)中。同時新舊知識的聯(lián)系更容易讓學(xué)生將新知自然地納人已有的知識體系中,完善知識結(jié)構(gòu)。3.2.4動手操作的課題引入引入：課前要求同學(xué)們各自準(zhǔn)備4張一樣的直角三角形紙片,準(zhǔn)備的紙片有兩種:等腰直角三角形，一般直角三角形(兩腰不等)?；顒?:用4張等腰直角三角形紙片嘗試拼成一個正方形(圖3)。問題1:若直角三角形的直角邊長為1,則正方形的面積是多少?問題2:若正方形的面積是c2,則c與等腰直角三角形有怎樣的關(guān)系?(c是斜邊教師將學(xué)生的正方形拼圖重新組合,得到圖4,引導(dǎo)學(xué)生計算得出a2活動2:用4張一般直角三角形紙片嘗試拼成一個正方形。問題3:你能否得到直角三角形兩直角邊平方與斜邊平方的關(guān)系?若讓學(xué)生直接用一般直角三角形紙片拼正方形,會存在一定的困難,所以從容易理解的等腰直角三角形拼圖引人,降低了拼圖活動的操作難度。通過拼圖,不僅可以提高學(xué)生探究新知的興趣,培養(yǎng)學(xué)生的動手操作能力,體會數(shù)形結(jié)合的思想方法,而且可以讓學(xué)生感受數(shù)學(xué)美。另外,拼圖的引人過程也體現(xiàn)了對勾股定理的證明過程,為后續(xù)勾股定理的證明做好鋪墊。從引人到證明,應(yīng)用同一個拼圖活動,使教學(xué)前后一致,融會貫通,更容易加深學(xué)生對勾股定理的理解。3.2.5數(shù)學(xué)文化熏陶下的課題引入引入：教師提供資料,展示勾股定理對人類科學(xué)發(fā)展的推動作用。(1)勾股定理是歷史上第一個將數(shù)與形聯(lián)系起來的定理。(2)勾股定理導(dǎo)致了無理數(shù)的發(fā)現(xiàn),引發(fā)了第一次數(shù)學(xué)危機(jī)。(3)勾股定理是歷史上第一個給出了完全解答的不定方程,由此引申出費馬大定理。(4)勾股定理不僅是歐氏幾何的基礎(chǔ)定理,在高等數(shù)學(xué)和其他學(xué)科中也有著廣泛的應(yīng)用。這種引人方式開門見山,直接指出今天要學(xué)習(xí)的內(nèi)容-----勾股定理。然后相繼展示勾股定理在科學(xué)發(fā)展的進(jìn)程中發(fā)揮的巨大作用,幾個“第一”足以讓學(xué)生對勾股定理刮目相看,激發(fā)探究的欲望,讓學(xué)生帶著崇拜的心情走進(jìn)“勾股定理”的學(xué)習(xí)。3.3典型例題與變式練習(xí)3.3.1概念理解例8:如圖，在單位正方形組成的網(wǎng)格圖中標(biāo)有AB、CD、EF、GH四條線段，其中能構(gòu)成一個直角三角形三邊的線段是（）A：CD、EF、GHB：AB、EF、GHC：AB、CD、GHD.：AB、CD、EF1）題意分析:本題考查勾股定理及勾股定理的逆定理。2）解題思路:可利用勾股定理直接求出各邊長，再進(jìn)行判斷。3）解答過程:在Rt△EAF中，AF=1，AE=2，根據(jù)勾股定理，得EF=AE2同理，AB=2計算發(fā)現(xiàn)（5）24）解題后的思考:1.勾股定理只適用于直角三角形，而不適用于銳角三角形和鈍角三角形。因此，解題時一定要認(rèn)真分析題目所給條件，看是否可用勾股定理來解。2.在運(yùn)用勾股定理時，要正確分析題目所給的條件，不要習(xí)慣性地認(rèn)為“c”就是斜邊而“固執(zhí)”地運(yùn)用公式c2例9：如圖，有一塊直角三角形紙板ABC,兩直角邊AC=6cm,BC=8cm?，F(xiàn)將直角邊AC沿直線AD折疊,使它落在斜邊AB.上，且點C落到點E處，則CD等于()？A：2cmB：3cmC：4cmD：5cm1）題意分析:本題考查勾股定理的應(yīng)用。2）解題思路:本題若直接在△ACD中運(yùn)用勾股定理是無法求得CD的長的，因為只知道一條邊AC的長，由題意可知，△ACD和△AED關(guān)于直線AD對稱，因而△ACD≌△AED.進(jìn)一步則有AE=AC=6cm,CD=ED,ED⊥AB，設(shè)CD=ED=xcm，則在Rt△ABC中，由勾股定理可得AB2=AC2+3）解答：選B4）解題后的思考:勾股定理說到底是一個等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在利用勾股定理求線段的長時常通過解方程來解決。勾股定理表達(dá)式中有三個量，如果條件中只有一個已知量，必須設(shè)法求出另一個量或求出另外兩個量之間的關(guān)系，這一點是利用勾股定理求線段長時需要明確的思路。3.3.2數(shù)學(xué)思想方法1.數(shù)形結(jié)合思想勾股定理反映了直角三角形三條邊之間的關(guān)系，它是把三角形有一個直角的“形”的特征，轉(zhuǎn)化為三邊“數(shù)”的關(guān)系，因此它是數(shù)形結(jié)合的一個典范。勾股定理本身就是數(shù)形結(jié)合的的定理，它的驗證和應(yīng)用，都體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想。2.分類討論思想分類討論思想是指在解題過程中，當(dāng)條件或結(jié)論不確定或不唯一時，往往會產(chǎn)生幾種可能的情況，這就需要依據(jù)一定的標(biāo)準(zhǔn)對問題進(jìn)行分類，再針對各種不同的情況分別予以解決，最后綜合各類結(jié)果得到整個問題的結(jié)論。分類討論實質(zhì)上是一種“化整為零，各個擊破，再積零為整”的數(shù)學(xué)方法。(1)直角邊和斜邊不明時需分類討論;(2)已知三角形兩邊a,b及第三邊上的高h(yuǎn)的長，不明確三角形形狀時，應(yīng)分銳角和鈍角兩種情況討論。3.方程思想勾股定理說到底是一個等式，而含有未知數(shù)的等式就是方程。所以，在