粘滯材料沖擊碰撞應(yīng)力場的數(shù)值模擬

粘滯材料沖擊碰撞應(yīng)力場的數(shù)值模擬

汽車安全的數(shù)學(xué)模型是計(jì)算和建模的重要課題之一。它可以為中國快速、國際先進(jìn)的汽車行業(yè)提供平臺和參考。例如，彈塑材料的大變形模擬是當(dāng)前科學(xué)工程計(jì)算中非常重要和緊迫的問題。它涉及飛機(jī)、火車、船只、大型建筑物等安全結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的概念。因此，這項(xiàng)研究不僅具有理論上的重要性和緊迫性，而且具有直接和巨大的經(jīng)濟(jì)效益。馮康、石鐘慈和林群等以戰(zhàn)略眼光對彈性結(jié)構(gòu)的數(shù)學(xué)模型及其數(shù)值解法創(chuàng)立了系統(tǒng)的研究方法,從泛函分析理論高度對計(jì)算方法的高精度收斂性進(jìn)行了開拓性的工作,取得了國際領(lǐng)先的結(jié)果.經(jīng)典的Maxwell方程計(jì)算已被廣泛運(yùn)用于電磁場理論的數(shù)學(xué)建模,并被推廣至磁流動(dòng)力學(xué)計(jì)算.而近來科學(xué)家們又發(fā)現(xiàn)Maxwell方程可用于軟固體材料(如尼龍、橡膠制品)等制作流程的流動(dòng)應(yīng)力場計(jì)算.PhanThien及Tanner(1987年)在Maxwell方程應(yīng)用與實(shí)驗(yàn)的基礎(chǔ)上建立了具有Elongation特征的應(yīng)力計(jì)算,從而對粘滯彈塑性流體的正壓力與切變應(yīng)力作出了更全面的描述.劍橋大學(xué)科學(xué)家L.J.Gibson和M.F.Ashby(1988年)對蜂窩多孔材料力學(xué)性質(zhì)作了系統(tǒng)的論述.EEVC、Euro-NCAP、IIHS、NHTSA等國際汽車安全法規(guī)機(jī)構(gòu)對蜂窩多孔材料在汽車碰撞中的應(yīng)用作了大量實(shí)驗(yàn),并由此而制成了相關(guān)安全法規(guī)(1995～2005年).中國汽車安全技術(shù)研究部門,如清華大學(xué)等也開展了大量汽車碰撞試驗(yàn)數(shù)據(jù)采集系統(tǒng)的研制與公路交通FEA模擬(1990～2006年).然而,對沖擊碰撞問題的信息壓縮至微分方程數(shù)學(xué)模型的研究工作還尚待完善.本工作將借鑒Lagrange-Euler方法計(jì)算網(wǎng)格的移動(dòng)及應(yīng)力場變化,運(yùn)用帶有指數(shù)沖擊項(xiàng)的Maxwell方程與描述大變形的Cauchy方程來模擬彈塑性大變形的流固耦合問題.通過進(jìn)一步研究流變學(xué),完善優(yōu)化非線性自適應(yīng)有限元計(jì)算方法.對汽車安全(EEVC安全法規(guī))所采用的模型進(jìn)行深入學(xué)習(xí)并建立具有新思想和新數(shù)學(xué)模型.在此基礎(chǔ)上運(yùn)用奇異攝動(dòng)方法討論擾動(dòng)參數(shù)對自適應(yīng)有限元方法的適定性問題.1類變量p-t/t的數(shù)值響應(yīng)面為—彈塑性材料的沖擊碰撞問題數(shù)學(xué)模型我們運(yùn)用流變學(xué)理論對各向異性彈塑性P-T/T應(yīng)力方程(Maxwell方程指數(shù)增值沖擊項(xiàng))來計(jì)算應(yīng)力場分布變化律.式中,τ是應(yīng)力場,D是應(yīng)變,u是彈塑性材料的變形速度場,η是粘滯度,λ是彈塑性松弛量,ε是延長因子,ξ是切變因子,ρ是材料密度.其Maxwell微分方程FEA計(jì)算收斂性至少具2階精度.另外,我們計(jì)算了由應(yīng)力場分布變化˙ττ˙產(chǎn)生的彈塑性材料的大變形,包括受沖擊邊界以外Ω內(nèi)u的Cauchy守衡方程:ρ˙u=[■?τ-ρu?■u]?inΩ?(2)初始值由靜態(tài)試驗(yàn)結(jié)果τ(0)和試驗(yàn)的沖擊速度u(0)決定,記為:τ(0)=τ(static),u(0)=ux0onΓ0∈Γ,其中Ω是材料體積,Γ是材料表面,Γ0是受沖擊表面(沿x方向移動(dòng)邊界).以上應(yīng)力方程(1)的離散與計(jì)算及穩(wěn)定性分析已在作者2001年的論文中詳細(xì)描述.有關(guān)工程實(shí)驗(yàn)論證及參考見以下結(jié)果(AE-MDB/IIHS/NHTSA),其中的關(guān)鍵問題是Maxwell方程的移動(dòng)邊界條件與有限元自適應(yīng)算法.另外混合元等方法也非常有效.為解決方程(2)中非線性對流項(xiàng)引出的著名的Kelvin-Helmholtz不穩(wěn)定切變流現(xiàn)象,作者使用分段二次試驗(yàn)函數(shù)即9點(diǎn)雙二次元.此類非線性逼近的超收斂性和有效性在理論與實(shí)踐上得到了驗(yàn)證.由加權(quán)剩余法得到的有關(guān)方程(1)、(2)的FEA逼近在自適應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)上求解并對大變形區(qū)域中各向異性網(wǎng)格的加密進(jìn)行智能判別與控制.我們采用Galerkin方法9點(diǎn)雙二次元計(jì)算.網(wǎng)格的移動(dòng)變形由Euler網(wǎng)格跟蹤C(jī)auchy方程的流場,然后由Lagrange網(wǎng)格計(jì)算Maxwell方程的流動(dòng)應(yīng)力場.當(dāng)計(jì)算二相流時(shí)二網(wǎng)格存在流速差,否則二網(wǎng)格重合.我們在有關(guān)汽車材料部門合作下完成了數(shù)學(xué)模擬的FEA非線性分析與實(shí)驗(yàn)論證.從而開始構(gòu)造用沖擊塊(impactbarrier)代替沖擊試驗(yàn)汽車并實(shí)現(xiàn)微分方程理論在碰撞中的應(yīng)用.我們模擬的FEA非線性結(jié)果(三維)將在第2節(jié)中顯示.其x方向沖擊加速度G數(shù)值解與實(shí)驗(yàn)吻合,由此而得到材料的大變形應(yīng)力場分布.我們將在此基礎(chǔ)上,運(yùn)用自適應(yīng)Lagrange-Euler方法建立高精度網(wǎng)格變形算法,進(jìn)一步完善與有限元沖擊接觸問題的求解格式相容互補(bǔ)的自適應(yīng)格式.有關(guān)Maxwell方程及P-T/T方程的收斂性與穩(wěn)定性在文獻(xiàn)中已對標(biāo)準(zhǔn)化正定格式的建立作了詳細(xì)證明,并保證了方程的有限元求解至少具有2階精度.2由彈塑料制成的影響沖突模型為結(jié)果2.1[n+y+3.]uxy+uy+y+y+y+y+y+y+y+y+y+3.2.0.FEA非線性結(jié)果確定了固體材料變形與非接觸邊界.由此得到的應(yīng)力場分布及變形邊界的速度與微分方程理論結(jié)果完全符合(見圖1、2及文獻(xiàn)).對應(yīng)的P-T/T方程在frontalsolver中的預(yù)估-校正格式的后估計(jì)式為{τn+1xx}={τnxx}+{J1}n+{J1}n+1pre?(3)式中,J1=Δtηλ?ux?x-Δt2λτxx-Δtε2η0(τxx+τyy)τxx-Δt2(ux??x+uy??y)τxx+Δt(τxx??x+τxy??y)ux-Δtξ2[2τxx?ux?x+τxy(?ux?y+?uy?x)].{τn+1xy}={τnxy}+{J2}n+{J2}n+1pre?(4)式中,J2=Δtη2λ(?ux?y+?uy?x)-Δt2λτxy-Δtε2η0(τxx+τyy)τxy-Δt2(ux??x+uy??y)τxy+Δt2[(?ux?x+?uy?y)τxy+τxx?ux?y+τyy?uy?x-Δtξ212(?ux?y+?uy?x)?(τxx+τyy)+τxy(?ux?x+?uy?y)].{τn+1yx}={τn+1xy},(5){τn+1yy}={τnyy}+{J3}n+{J3}n+1pre,(6)式中,J3=Δtηλ?uy?y-Δt2λτyy-Δtε2η0(τxx+τyy)τyy-Δt2(ux??x+uy??y)τyy+Δt(τxy??x+τyy??y)uy-Δtξ2[2τyy?uy?y+τxy(?ux?y+?uy?x)]?式中,{·}n+1pre是迭代{·}n的預(yù)估解已在文獻(xiàn)中給出,初值(n=0)由實(shí)驗(yàn)得到.Cauchy方程在frontalsolver中采用9點(diǎn)雙二次元(9pointbi-quadraticelement)的離散形式{Un+1x}9={Unx}9+Δtρ{(??xτxx+??yτxy)D-ρ[{Unx}?{C1}+{Unx}?{C2}]}9?{A-1}?(7){Un+1y}9={Uny}9+Δtρ{(??xτxy+??yτyy)D-ρ[{Uny}?{C1}+{Uny}?{C2}]}9?{A-1}.(8)式中,Ux、Uy是彈塑性材料的變形速度分量,A、C、D是剛度矩陣,沿x方向移動(dòng)邊界初值(n=0)條件由實(shí)驗(yàn)得到.由此降階處理得到有效格式,節(jié)省了大量計(jì)算.2.2有限元數(shù)值分析上述非線性顯式模型在沖擊碰撞問題中具有非常有效的解題功能.圖1為汽車碰撞試驗(yàn)(test)與有限元模擬初步模型(CAE)的比較,可歸納為4種情況.在此假定,除沖擊板塊為可塑性材料外,沖擊車、障礙墻及B柱均為不變形鋼材.(1)非奇異碰撞區(qū)域.低中速?zèng)_擊(u0:3～9m/s)包括表面充分光滑的鋼體沖擊物.無需局部網(wǎng)格加密,自適應(yīng)方法待機(jī),非線性代數(shù)方程組具有強(qiáng)收斂解.沖擊特征曲線(圖2(a))與沖擊板塊變形有很好的光滑性.(2)非奇異碰撞區(qū)域.高速?zèng)_擊(u0>10m/s)包括表面充分光滑的鋼體沖擊物.自適應(yīng)方法網(wǎng)格加密非常有效.非線性代數(shù)方程組具有強(qiáng)收斂解;沖擊特征曲線(圖2(b))與沖擊板塊變形有很好的光滑性.(3)奇異碰撞區(qū)域.低中速?zèng)_擊(u0:3～9m/s)包括表面尖角的鋼體沖擊物.自適應(yīng)方法網(wǎng)格加密有效但收斂速度降低,非線性代數(shù)方程組具有弱收斂解.(4)由于局部元素變形達(dá)破壞極限,自適應(yīng)方法網(wǎng)格加密失效.沖擊特征曲線(圖2(c))有明顯局部偏差,需要指數(shù)非線性方程求解.我們采用有限元前處理器中MAT-honeycomb對多孔材料極限元素處理方法,用實(shí)驗(yàn)所得參數(shù)進(jìn)行斷裂適應(yīng)性模擬,以達(dá)到最佳材料極限特性.但是材料的微觀與沖擊極限的宏觀特性擬合仍需進(jìn)行更進(jìn)一步的流變學(xué)研究,以完善此建模課題.在以上假設(shè)下,由接觸表面Γ0決定的邊界條件為τ(0)=τ(static),u(0)=u0onΓ0∈Γ.質(zhì)量約1000kg的汽車沖擊力小于F=M·a=250kN.沖擊車、障礙板及B柱均為不變形鋼材.這與實(shí)際情況一致(圖2).若方程組(3)～(6)中ξ→0,則體積變形以正壓縮為主;若ε→0,則體積變形以扭曲為主;在圖2(a)～(c)中各局部應(yīng)力場分布均可對應(yīng)參數(shù)ξ、ε的攝動(dòng)范圍.若方程組(7)、(8)中各應(yīng)力項(xiàng)→0,則體積變形近乎塑性流體,可運(yùn)用自適應(yīng)網(wǎng)格點(diǎn)的求解,并對大變形局部區(qū)域中各向異性網(wǎng)格的加密進(jìn)行智能判別與控制.3自適應(yīng)方法網(wǎng)格加密本工作采用有限元方法對Maxwell方程與Cauchy方程分別進(jìn)行應(yīng)力與應(yīng)變計(jì)算,并對彈塑性多孔材料大變形極限問題進(jìn)行了詳細(xì)研究.對以流固耦合變形特征的幾種自適應(yīng)方法求解進(jìn)行討論.主要結(jié)果概述如下:(1)非奇異碰撞區(qū)域.低中速?zèng)_擊(u0:3～9m/s).無需局部網(wǎng)格加密,自適應(yīng)方法待機(jī)非線性代數(shù)方程組具有強(qiáng)收斂解.沖擊特征曲線與沖擊板塊變形有很好的光滑性.(2)非奇異碰撞區(qū)域.高速?zèng)_擊(u0:>10m/s)包括表面充分光滑的鋼體沖擊物.自適應(yīng)方法網(wǎng)格加密非常有效,非線性代數(shù)方程組具有強(qiáng)收斂解.(3)奇異碰撞區(qū)域.低中速?zèng)_擊(u0:3～9m/s)包括表面尖角的鋼體沖擊物.自適應(yīng)方法網(wǎng)格加密有效但收斂速度降低,非