高中數(shù)學(xué) 第八章 立體幾何初步 8.3.1 棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積習(xí)題(含解析)新人教A版必

wordword/word8.3簡(jiǎn)單幾何體的表面積與體積8.3.1棱柱、棱錐、棱臺(tái)的表面積和體積課后篇鞏固提升基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)練1.(多選題)長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的長(zhǎng)、寬、高分別為3,2,1,則()A.長(zhǎng)方體的表面積為20B.長(zhǎng)方體的體積為6C.沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短距離為3D.沿長(zhǎng)方體的表面從A到C1的最短距離為2解析長(zhǎng)方體的表面積為2×(3×2+3×1+2×1)=22,A錯(cuò)誤.長(zhǎng)方體的體積為3×2×1=6,B正確.如圖①所示,在長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=3,BC=2,BB1=1.在表面上求最短距離可把幾何體展開成平面圖形,如圖②所示,將側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1展開,則有AC1=,即當(dāng)經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和側(cè)面BCC1B1時(shí)的最短距離是;如圖③所示,將側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1==3,即當(dāng)經(jīng)過側(cè)面ABB1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是3;如圖④所示,將側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1展開,則有AC1==2,即當(dāng)經(jīng)過側(cè)面ADD1A1和底面A1B1C1D1時(shí)的最短距離是2.因?yàn)?<2,所以沿長(zhǎng)方體表面從A到C1的最短距離是3,C正確,D不正確.答案BC2.如圖所示,正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1,則三棱錐D-ACD1的體積是()A. B. C. D.1解析三棱錐D-ACD1的體積等于三棱錐D1-ACD的體積,三棱錐D1-ACD的底面ACD是直角邊長(zhǎng)為1的等腰直角三角形,高D1D=1,∴三棱錐D-ACD1的體積為V=×1×1×1=.答案A3.一個(gè)正四棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,高為,則該正四棱錐的表面積為()A.8 B.12 C.16 D.20解析由題意得側(cè)面三角形底邊上的高為=2,所以該四棱錐的表面積為22+4××2×2=12.答案B4.正方體的棱長(zhǎng)為2,以其所有面的中心為頂點(diǎn)的多面體的體積為()A.3π B. C.π D.1解析如圖所示,由圖可知,該幾何體由兩個(gè)四棱錐構(gòu)成,并且這兩個(gè)四棱錐體積相等.四棱錐的底面為正方形,且邊長(zhǎng)為,故底面積為()2=2;四棱錐的高為1,則四棱錐的體積為×2×1=.故幾何體的體積為2×.答案B5.正三棱錐的底面周長(zhǎng)為6,側(cè)面都是直角三角形,則此棱錐的體積為()A. B. C. D.解析由題意,正三棱錐的底面周長(zhǎng)為6,所以正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為2,側(cè)面均為直角三角形,可知側(cè)棱長(zhǎng)均為,三條側(cè)棱兩兩垂直,所以此三棱錐的體積為.答案D6.(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積是120,E為CC1的中點(diǎn),則三棱錐E-BCD的體積是.

解析因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1的體積為120,所以AB·BC·CC1=120,因?yàn)镋為CC1的中點(diǎn),所以CE=CC1,由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知CC1⊥底面ABCD,所以CE是三棱錐E-BCD的底面BCD上的高,所以三棱錐E-BCD的體積V=AB·BC·CE=AB·BC·CC1=×120=10.答案107.正四棱柱的一條體對(duì)角線長(zhǎng)為9,表面積為144,適合這些條件的正四棱柱有個(gè).

解析設(shè)底面邊長(zhǎng)為a,高為h,由題意得這個(gè)方程組有兩個(gè)解,所以適合條件的正四棱柱有2個(gè).答案28.已知某幾何體是由兩個(gè)全等的長(zhǎng)方體和一個(gè)三棱柱組合而成,如圖所示,其中長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為4,3,3,三棱柱底面是直角邊分別為4,3的直角三角形,側(cè)棱長(zhǎng)為3,則此幾何體的體積是,表面積是.

解析該幾何體的體積V=4×6×3+×4×3×3=90,表面積S=2(4×6+4×3+6×3)-3×3+×4×3×2+×3+3×4=138.答案901389.在正四棱錐S-ABCD中,點(diǎn)O是底面中心,SO=2,側(cè)棱SA=2,則該棱錐的體積為.

解析∵側(cè)棱SA=2,高SO=2,∴AO==2,因此,底面正方形的邊長(zhǎng)AB=AO=4,底面積為AB2=16.該棱錐的體積為V=AB2·SO=×16×2=.答案10.有一個(gè)正四棱臺(tái)形狀的油槽,可以裝油190L,假如它的兩底面邊長(zhǎng)分別等于60cm和40cm,則它的深度為cm.

解析設(shè)油槽的上、下底面積分別為S',S.由V=(S++S')h,得h==75(cm).答案75能力提升練1.(2020某某某某檢測(cè))我國(guó)古代名著《X丘建算經(jīng)》中記載:“今有方錐下廣二丈,高三丈,欲斬末為方亭,令上方六尺,問亭方幾何?”大致意思為“有一個(gè)正四棱錐下底面邊長(zhǎng)為二丈,高三丈,現(xiàn)從上面截去一段,使之成為正四棱臺(tái)狀方亭,且正四棱臺(tái)的上底面邊長(zhǎng)為六尺,問該正四棱臺(tái)的體積是多少立方尺?”(注:1丈=10尺)()A.1946立方尺B.3892立方尺C.7784立方尺D.11676立方尺解析由題意可知,正四棱錐的高為30,所截得正四棱臺(tái)的下底面棱長(zhǎng)為20,上底面棱長(zhǎng)為6,設(shè)棱臺(tái)的高為OO1=h,由△PA1O1∽△PAO可得,解得h=21,可得正四棱臺(tái)的體積為×21×(62+202+6×20)=3892(立方尺),故選B.答案B2.(2020某某某某檢測(cè))如圖所示,在上、下底面對(duì)應(yīng)邊的比為1∶2的三棱臺(tái)中,過上底面的一邊A1B1和AC,BC的中點(diǎn)F,E作一個(gè)平面A1B1EF,記平面分三棱臺(tái)兩部分的體積為V1(三棱柱A1B1C1-FEC),V2兩部分,那么V1∶V2=.

解析設(shè)三棱臺(tái)的高為h,上底面的面積是S,則下底面的面積是4S,∴V棱臺(tái)=h(S+4S+2S)=Sh,V1=Sh,∴.答案3∶43.(2020全國(guó)高一課時(shí)練習(xí))如圖,AA1,BB1,CC1相交于點(diǎn)O,形成兩個(gè)頂點(diǎn)相對(duì)、底面水平的三棱錐容器,AO=A1O,BO=B1O,CO=C1O.設(shè)三棱錐高均為1,若上面三棱錐中裝有高度為0.5的液體,且液體能流入下面的三棱錐,則液體流下去后液面高度為.

解析液體部分的體積為三棱錐體積的,流下去后,液體上方空出的三棱錐的體積為三棱錐體積的.設(shè)空出的三棱錐的高為x,則,所以x=,所以液面高度為1-.答案1-4.已知一個(gè)三棱柱的三視圖如圖所示,求這個(gè)三棱柱的側(cè)面積.解由三視圖易知,該三棱柱的底面為正三角形,各側(cè)面為矩形,側(cè)棱長(zhǎng)為4cm,如圖所示.因?yàn)檎切蜛BC和正三角形A'B'C'的高為2cm,所以正三角形ABC的邊長(zhǎng)AB==4(cm).故三棱柱的側(cè)面積為S側(cè)=4×4×3=48(cm2).5.一個(gè)正三棱錐P-ABC的底面邊長(zhǎng)為a,高為h.一個(gè)正三棱柱A1B1C1-A0B0C0的頂點(diǎn)A1,B1,C1分別在三條棱上,A0,B0,C0分別在底面△ABC上,何時(shí)此三棱柱的側(cè)面積取到最大值?解設(shè)三棱錐的底面中心為O,連接PO,圖略,則PO為三棱錐的高,設(shè)A1,B1,C1所在的底面與PO交于O1點(diǎn),則,令A(yù)1B1=x,而PO=h,則PO1=x,于是OO1=h-PO1=h-x=h.所以所求三棱柱的側(cè)面積為S=3x·h(a-x)x=.當(dāng)x=時(shí),S有最大值為ah,此時(shí)O1為PO的中點(diǎn),即A1,B1,C1分別是三條棱的中點(diǎn).素養(yǎng)培優(yōu)練在正三棱臺(tái)ABC-A1B1C1中,已知AB=10,棱臺(tái)一個(gè)側(cè)面梯形的面積為,O1,O分別為上、下底面正三角形的中心,連接A1O1,AO并延長(zhǎng),分別交B1C1,BC于點(diǎn)D1,D,∠D1DA=60°,求上底面的邊長(zhǎng).解∵AB=10,∴AD=AB=5,OD=AD=.設(shè)上底面的邊長(zhǎng)為x(x>0),