管理運籌學第十四章 排隊論

管理運籌學第十四章排隊論§0前言排隊論是解決把排隊時間控制到一定的限度內(nèi)，在服務質量的提高和成本的降低之間取得平衡，找到最適當?shù)慕獾囊婚T科學。排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標刻畫了排隊系統(tǒng)運行的優(yōu)劣情況?？梢越鉀Q：電話局的占線問題、交通樞紐的堵塞與疏導、故障機器的停機維修、水庫的存儲調(diào)節(jié)等。本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型2一、基本概念一些排隊系統(tǒng)的例子

排隊的過程可表示為：

4排隊服務機構服務服務后顧客離去排隊系統(tǒng)顧客到達排隊過程的組成部分§1排隊系統(tǒng)顧客服務臺 服務電話系統(tǒng)電話呼叫電話總機接通呼叫或取消呼叫售票系統(tǒng)購票旅客售票窗口收款、售票設備維修出故障的設備修理工排除設備故障防空系統(tǒng)進入陣地的敵機高射炮瞄準、射擊，敵機被擊落或離開考慮要點：1、服務臺（或通道）數(shù)目：單服務臺（單通道）、多服務臺（多通道）。2、顧客到達過程：本教材主要考慮顧客的泊松到達情況。滿足以下四個條件的輸入流稱為泊松流（泊松過程）。

*平穩(wěn)性：在時間區(qū)間[t,t+

t)內(nèi)到達k個顧客的概率與t無關，只與

t有關，記為pk(

t）；

*無后效性：不相交的時間區(qū)間內(nèi)到達的顧客數(shù)互相獨立；

*普通性：在足夠短的時間內(nèi)到達多于一個顧客的概率可以忽略；

*有限性：任意有限個區(qū)間內(nèi)到達有限個顧客的概率等于1。泊松分布為單位時間平均到達的顧客數(shù)

P(x)=xe-/x!(x=0,1,2,……)5排隊過程的組成部分§13、服務時間分布：服從負指數(shù)分布，為平均服務率，即單位時間服務的顧客數(shù)，

P（服務時間≤t)=1-e-t

。4、排隊規(guī)則分類

(1)等待制：顧客到達后，一直等到服務完畢以后才離去，先到先服務，后到先服務，隨機服務，有優(yōu)先權的服務；

(2)損失制：到達的顧客有一部分未接受服務就離去。5、平穩(wěn)狀態(tài)：業(yè)務活動與時間無關。6排隊過程的組成部分§1排隊系統(tǒng)的符號表示:

一個排隊系統(tǒng)的特征可以用五個參數(shù)表示，形式為：A／B／C／D／E其中A––顧客到達的概率分布，可取M、D、G

、Ek等；B––服務時間的概率分布，可取M、D、G

、Ek等；C––服務臺個數(shù)，取正整數(shù)；D––排隊系統(tǒng)的最大容量，可取正整數(shù)或

；E––顧客源的最大容量，可取正整數(shù)或

。例如M/M/1/

/

表示顧客到達過程服從泊松分布，服務時間服從負指數(shù)分布，一個服務臺，排隊的長度無限制和顧客的來源無限制。7排隊過程的組成部分§1本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型2M/M/1/∞/∞單位時間顧客平均到達數(shù)，單位平均服務顧客數(shù)

(<

，如果沒有這個條件，則排隊的長度將無限制地增加；稱/為服務強度)數(shù)量指標公式:1.系統(tǒng)中無顧客的概率P0=1

/2.平均排隊的顧客數(shù)Lq=

2/(

)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+/4.顧客花在排隊上的平均等待時間Wq=

Lq/5.顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws=Wq+1/6.顧客得不到及時服務必須排隊等待的概率Pw=/7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率Pn=(/)nP09單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2

10例某儲蓄所只有一個服務窗口。根據(jù)統(tǒng)計分析，顧客的到達過程服從泊松分布，平均每小時到達顧客36人；儲蓄所的服務時間服從負指數(shù)分布，平均每小時能處理48位顧客的業(yè)務。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。解平均到達率

=36/60=0.6，

平均服務率

=48/60=0.8。

P0=1

/=10.6/0.8=0.25,Lq=

2/(

)=(0.6)2/0.8(0.80.6)=2.25(個顧客)Ls=Lq+/=2.25+0.6/0.8=3(個顧客)單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2Wq=

Lq/=2.25/0.6=3.75（分鐘）,Ws=Wq+1/=3.75+1/0.8=5（分鐘）,Pw=/=0.6/0.8=0.75,Pn=(/)nP0=(0.75)n×

0.25,n=1,2,…。儲蓄所的排隊系統(tǒng)里有n個顧客的概率，見表14-1。系統(tǒng)里的顧客數(shù)概率系統(tǒng)里的顧客數(shù)概率00.250040.079110.187550.059320.140660.044530.105570.133511表14-1單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2

12

由上可知儲蓄所的排隊系統(tǒng)并不盡如人意，要提高服務水平，減少顧客的平均排隊時間和平均服務時間，一般可采用兩種措施：第一，減少服務時間，提高服務率；第二，增加服務臺即增加服務窗口。單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2

如采取第一種方法，不增加服務窗口，而增加新型點鈔機，建立儲戶管理信息系統(tǒng)，可以縮短儲蓄所每筆業(yè)務的服務時間，使每小時平均服務的顧客數(shù)目從原來的48人提高到60人，計算結果如表14-2所示：系統(tǒng)里沒有顧客的概率0.4平均排隊的顧客人數(shù)0.9人系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)1.5人一位顧客平均排隊時間1.5分鐘一位顧客平均逗留時間2.5分鐘顧客到達系統(tǒng)必須等待排隊的概率0.6系統(tǒng)里有7個或更多顧客的概率為0.027913表14-2單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2

系統(tǒng)里沒有顧客的概率0.6250平均排隊的顧客人數(shù)0.2250人系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)0.6人一位顧客平均排隊時間0.75分鐘一位顧客平均逗留時間2.000分鐘顧客到達系統(tǒng)必須等待排隊的概率0.375系統(tǒng)里有7個或更多顧客的概率為0.007414如果采用第二種方法，再設一個服務窗口，排隊的規(guī)則為每個窗口排一個隊，先到先服務，并假設顧客一旦排了一個隊，就不能再換到另一個隊上去。這種處理方法就是把顧客分流，把一個排隊系統(tǒng)分成兩個排隊系統(tǒng)，每個排隊系統(tǒng)中有一個服務臺，每個系統(tǒng)的服務率仍然為0.8，但到達率由于分流，只有原來的一半了，

=0.3，這時每一個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標如表14-3所示：

表14-3單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2

比較表14-1和14-3，采用第一種方法顧客平均排隊時間減少到1.5分鐘，顧客平均逗留時間減少到2.5分鐘；采用第二種方法顧客平均排隊時間減少到了0.75分鐘，顧客平均逗留時間減少到了2分鐘。第二種排隊系統(tǒng)為兩個M/M/1排隊系統(tǒng)。如果在第二種方法中把排隊的規(guī)則變一下，在儲蓄所里只排一個隊，這樣的排隊系統(tǒng)就變成了

M/M/2排隊系統(tǒng)。單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§2本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型217M/M/C/∞/∞單位時間顧客平均到達數(shù)

，單位平均服務顧客數(shù)。1.系統(tǒng)中無顧客的概率2.平均排隊的顧客數(shù)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+/,4.顧客花在排隊上的平均等待時間Wq=

Lq/,多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§3185.顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間Ws=Wq+1/,6.系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率當n≤c時當n>c時多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§3

例在前例的儲蓄所里多設一個服務窗口，即儲蓄所開設兩個服務窗口。顧客的到達過程仍服從泊松分布，平均每小時到達顧客仍是36人；儲蓄所的服務時間仍服從負指數(shù)分布，平均每小時仍能處理48位顧客的業(yè)務，其排隊規(guī)則為只排一個隊，先到先服務。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。19多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§3解：C=2，平均到達率

=36/60=0.6，平均服務率

=48/60=0.8。P0=0.4545,Lq=0.1227(個顧客),Ls=Lq+/=0.8727(個顧客),Wq=

Lq/=0.2045（分鐘）,Ws=Wq+1/=1.4545（分鐘）,Pw=0.2045,P1=0.3409,P2=0.1278,P3=0.0479,P4=0.0180,P5=0.0067。系統(tǒng)里有6個人的概率或多于6個人的概率為0.0040。20多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§3使用M/M/2模型與使用兩個M/M/1模型，服務臺數(shù)都是2，服務率和顧客到達率都一樣，只是在M/M/2中只排一隊，在2個M/M/1中排兩個隊，結果卻不一樣。M/M/2使得服務水平有了很大的提高，每個顧客的平均排隊時間減少到0.2045分鐘，每個顧客在系統(tǒng)里逗留時間減少到1.4545分鐘，平均排隊的人數(shù)減少到0.1227人，系統(tǒng)里平均顧客數(shù)減少到0.8727人。如果把M/M/2與原先一個M/M/1比較，那么服務水平之間的差別就更大了。21多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§3以下公式表示任一個排隊模型中，Ls,Lq,Ws,Wq之間的關系：22應為實際進入系統(tǒng)平均到達率，對于排隊長度有限制的模型，我們設因排隊長度的限制顧客被拒絕的概率為

，則實際進入系統(tǒng)平均到達率應為，這時，原式中的應改為。多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型§3本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型224把一個排隊系統(tǒng)的單位時間的總費用TC定義為服務機構的單位時間的費用和顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間的費用之和。即TC=cwLs+csc其中cw為一個顧客在排隊系統(tǒng)中逗留單位時間付出的費用；Ls為在排隊系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)；cs為每個服務臺單位時間的費用；c為服務臺的數(shù)目。

排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析§425例在前兩例中，設儲蓄所的每個服務臺的費用cs=18，顧客在儲蓄所中逗留一小時的成本cw=10。這樣，對儲蓄所M/M/1模型可知Ls=3，c=1，得TC=cwLs+csc=48元/每小時。對儲蓄所

M/M/2模型可知Ls=0.8727，c=2，得TC=cwLs+csc=44.73元/每小時。排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析§4本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型227

M/G/1/∞/∞

單位時間顧客平均到達數(shù)

，單位平均服務顧客數(shù)，一個顧客的平均服務時間1/

，服務時間的均方差。數(shù)量指標公式:1.系統(tǒng)中無顧客的概率P0=1

/2.平均排隊的顧客數(shù)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+/4.顧客花在排隊上的平均等待時間Wq=

Lq/5.在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間Ws=Wq+1/

6.系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率Pw=/7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率Pn單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型§5

例1某雜貨店只有一名售貨員，已知顧客的到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時20人；不清楚這個系統(tǒng)的服務時間服從什么分布，但從統(tǒng)計分析知道售貨員平均服務一名顧客的時間為2分鐘，服務時間的均方差為1.5分鐘。試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。28單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型§5解：這是一個M/G/1的排隊系統(tǒng)

=20/60=0.3333人/分鐘，1/

=2分鐘，=?=0.5人/分鐘，

=1.5。P0=1

/=0.33334,Lq=1.0415(人),Ls=Lq+/=1.7081(人),Wq=

Lq/=2.25/0.6=3.1248（分鐘）,Ws=Wq+1/=5.1241（分鐘）,Pw=/=0.6666。29單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型§5本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型231

M/D/1/∞/∞注：它是M/G/1/∞/∞的特殊情況

=0。1.系統(tǒng)中無顧客的概率P0=1

/2.平均排隊的顧客數(shù)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+/4.顧客花在排隊上的平均等待時間Wq=

Lq/5.在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間Ws=Wq+1/

6.系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率Pw=/7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率Pn單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型§6

例2某汽車沖洗服務營業(yè)部，有一套自動沖洗設備，沖洗每輛車需要6分鐘，到此營業(yè)部來沖洗的汽車到達過程服從泊松分布，每小時平均到達6輛，試求這個排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標。

32單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型§6解：M/D/1排隊模型。

其中

=6輛/小時，

=60/6=10輛/小時，P0=1

/=0.4,Lq=0.45,Ls=Lq+/=1.05,Wq=

Lq/=0.0750，Ws=Wq+1/=0.1750,Pw=/=0.6。33單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型§6本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型235

M/G/C/C/∞

注：不存在平均排隊的顧客數(shù)Lq和顧客平均的排隊等待時間Wq。數(shù)量指標公式:

系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=/(1Pc)

其中Pc是系統(tǒng)中恰好有c個顧客的概率，也就是系統(tǒng)里c個服務臺都被顧客占滿的概率。系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型§736例3.某電視商場專營店開展了電話訂貨業(yè)務，到達過程服從泊松分布，平均到達率為每小時16個，而一個接話員處理訂貨事宜的時間是隨著訂貨的產(chǎn)品、規(guī)格、數(shù)量及顧客的不同而變化的，但平均每個人每小時可以處理8個訂貨電話，在此電視商場專營店里安裝了一臺電話自動交換臺，它接到電話后可以接到任一個空閑的接話員的電話上，試問該公司應安裝多少臺接話員的電話，使得訂貨電話因電話占線而損失的概率不超過10%。多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型§737解：這是一個M/G/C/C/∞模型。當c=3時，即正好有3位顧客的情況，所以不符合要求。當c=4時，因此，設置四個電話很合適。多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型§7本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型239

M/M/1/∞/m條件：單位時間顧客平均到達數(shù)

單位平均服務顧客數(shù)

關心的項目:1.系統(tǒng)中無顧客的概率P02.系統(tǒng)中平均排隊的顧客數(shù)Lq3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls4.系統(tǒng)中顧客平均的排隊等待時間Wq5.系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間Ws6.系統(tǒng)中顧客必須排隊等待的概率Pw7.系統(tǒng)中恰好有n個顧客的概率Pn顧客來源有限制的排隊模型§840

M/M/1/∞/m數(shù)量指標公式:1.系統(tǒng)中無顧客的概率2.平均排隊的顧客數(shù)3.系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)Ls=Lq+(1-p0)4.顧客在排隊上的平均花費等待時間Wq=

Lq/（m-Ls)5.在系統(tǒng)中顧客的平均逗留時間Ws=Wq+1/

6.系統(tǒng)中有n個顧客的概率,n=0,1,2,…m顧客來源有限制的排隊模型§841例4.

某車間有5臺機器，每臺機器連續(xù)運轉時間服從負指數(shù)分布，平均連續(xù)運轉時間為15分鐘，有一個修理工，每次修理時間服從負指數(shù)分布，平均每次12分鐘，求該排隊系統(tǒng)的數(shù)量指標P0,Lq,Ls,Wq,Ws,以及P5。解：這是一個M/M/1/∞/5系統(tǒng)。其中，m=5,=1/15,

=1/12,/

=0.8。Lq=2.766;Ls=3.759Wq=33.43;Ws=45.43P5=0.2870=0.0073顧客來源有限制的排隊模型§8本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型243M/M/1/K/∞模型中，K表示這個系統(tǒng)的最大容量為N，因為這是一個單服務臺的情況，所以排隊的顧客服務最多為K-1，某時刻一顧客到達時，如系統(tǒng)中已有N個顧客，那么這個顧客就被拒絕進入系統(tǒng)，簡寫為M/M/1/K。由于所考慮的排隊子系統(tǒng)中最多只能容納K個顧客（等待位置為K-1），因而有:令，有：1.系統(tǒng)里沒有顧客的概率2.在系統(tǒng)里的平均顧客數(shù)3.平均的排隊顧客數(shù)單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型§9444.有效顧客到達率5.一位顧客花在排隊上的平均時間6.一位顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時間7.在系統(tǒng)里正好有n個顧客的概率單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型§945例5某理發(fā)店只有一個理發(fā)師，且店里最多可容納4名顧客，設顧客按泊松流到達，平均每小時5人，理發(fā)時間服從負指數(shù)分布，平均每15分鐘可為1名顧客理發(fā)，試求該系統(tǒng)的有關指標。解：該系統(tǒng)可以看成一個M/M/1/4排隊系統(tǒng)，其中單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型§9（人/小時）46系統(tǒng)里平均顧客數(shù)=平均的排隊顧客數(shù)平均逗留時間平均排隊時間單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型§9本章內(nèi)容單服務臺泊松到達、任意服務時間的排隊模型5多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型3排隊過程的組成部分1單服務臺泊松到達、定長服務時間的排隊模型6排隊系統(tǒng)的經(jīng)濟分析4多服務臺泊松到達、任意的服務時間、損失制排隊模型7顧客來源有限制排隊模型8單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型9多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型10生滅過程及生滅過程排隊系統(tǒng)11單服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間的排隊模型248

這種排隊模型我們記為M/M/C/K/∞，簡記為M/M/C/K。在此系統(tǒng)中到達率與服務率分別為:1.系統(tǒng)里沒有顧客的概率2.系統(tǒng)里正好有n個顧客的概率多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型§10493.平均排隊顧客數(shù)4.系統(tǒng)里的平均排隊顧客數(shù)5.有效到達率6.顧客花在排隊上的平均時間7.顧客在系統(tǒng)里的平均逗留時間

特別地，當k=c時即為第七節(jié)的M/M/C/C/∞的模型。多服務臺泊松到達、負指數(shù)服務時間、系統(tǒng)容量有限制的排隊模型§1050

例6某公司維修服務中心有兩名維修工，中心內(nèi)至多可以停放6臺機器（包括正在維修的兩臺機器）。假設待修機器按泊松分布過程到達此中心。平均每小時3臺。維修每臺機器平均需要20分鐘，試求該系統(tǒng)的各項性能指數(shù)。解：該子系統(tǒng)可看成一個M/M/2/6排隊