機械振動總結(jié)復習習題及解答

歡迎閱讀歡迎閱讀、某測量低頻振動用的測振儀（倒置擺）如下圖所示。試根據(jù)能量原理推導系統(tǒng)靜平衡穩(wěn)定條件。若已知整個系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動慣量I=1.725x10一3kg?m2，彈簧剛麻=24.5N/m，小球質(zhì)量0m=0.0856kg，直角折桿的一邊l=4cm。另一邊b=5cm。試求固有頻率。U重力勢能 g0■0U重力勢能 g0■0一mg(l一lcos0)解：彈性勢能U=U=U總勢能 k.八Li+U=—kb202+mglCos0一mglg2dU代入dU代入~dT=0可得X=X二.i可求得0=0滿足上式。dd2U再根據(jù)公式dX2T>0判別0=0位置是否穩(wěn)定及其條件:即滿足kb2>mgl條件時，振動系統(tǒng)方可在=0位置附近作微幅振動。系統(tǒng)的動能為T=2I0&2d(d(T+U)代入dt=0可得歡迎閱讀由e=0為穩(wěn)定位置，則在微振動時sin°田0,可得線性振動方程為：固有頻率代入已知數(shù)據(jù)，可得2用能量法解此題：一個質(zhì)量為均勻半圓柱體在水平面上做無滑動的往復滾動，如上圖所示，設(shè)圓柱體半徑為，重心在點,物體對重心的回轉(zhuǎn)體半徑為L試導出運動微分方程。解：如圖所示，在任意角度0(t)時，重心c的升高量為A=r(1—cos0)=2rsin2o2取重心c的最低位置為勢能零點，并進行線性化處理，則柱體勢能為TOC\o"1-5"\h\zV=mgA=2mgrsin2&?+mgr02 (a)Ib=Ic+mbc2=m(L2+bc2) (b)bc2=r2+R2-2rRcos0(t) (c)而柱體的動能為T=2Ib02把(b)式，(c)式兩式代入，并線性化有T=+m[L2+(一)2]02 ()根據(jù)能量守恒定理，有+m[L2+(—)2]02++mgr02=E=const對上式求導并化簡，得運動微分方程為[L2+(一)2府+0=0 (e)3一質(zhì)量為m、轉(zhuǎn)動慣量為I的圓柱體作自由純滾動，圓心受到一彈簧k約束，如圖所示，求系統(tǒng)的固有頻率。解：取圓柱體的轉(zhuǎn)角0為坐標，逆時針為正，靜平衡位置時0=0，則當m有0轉(zhuǎn)角時，系統(tǒng)有：由d(E+U)=0可知：T解得3=#r2/(I+mr2)( )4圖中，半徑為的圓柱在半徑為的槽內(nèi)作無滑滾動，試寫出系統(tǒng)作微小振動時的微分方程解1)建立廣義坐標。設(shè)槽圓心。與圓柱軸線O1的連線偏離平衡位置的轉(zhuǎn)角為廣義坐標，逆時針方向為正。歡迎閱讀歡迎閱讀2）寫出系統(tǒng)的動能和勢能。圓柱的動能由兩部分組成，即它跟隨質(zhì)心的移動動能和繞質(zhì)心轉(zhuǎn)動的動能，而質(zhì)心的速度為（-。，圓柱相對于質(zhì)心的角速度g（r）G/r，因此系統(tǒng)的動能為若取系統(tǒng)靜平衡時的勢能為零，則在一般位置系統(tǒng)的勢能為U=mg（R-r）（1-cos9）3）利用能量守恒原理得到當系統(tǒng)作微小振動時9很小，sin9.9，9不恒等于零，方程就簡化為。5單圓盤轉(zhuǎn)子如圖（）所示，可化簡為圖I）所示的簡去 T ⑹支梁系統(tǒng)，求其在跨度中點垂直方向的剛度及系統(tǒng)的自然頻率。解：當忽略軸的質(zhì)量時，系統(tǒng)簡化為圖（b）的模型，這是一個彎曲變形振動問題。為了求其剛度，按照材料力學中的公式，其跨度中點在集中力P的作用下，產(chǎn)生的撓度y為則由k=P/y得到系統(tǒng)可進一步簡化為“m-k”系統(tǒng)，則單自由度系統(tǒng)的自然頻率為6機械式振動儀原理圖如圖所示。支承于水平軸的擺連接一個剛度為的螺線彈簧，在重力作用下擺的平衡位置偏離水平線成P角。設(shè)擺在水平線上方成。角處，螺線彈簧不受力。擺的質(zhì)量為，它繞軸的轉(zhuǎn)動慣量為，擺重心至軸的距離為擺可圍繞平衡位置作微幅振動，求其固有頻率。振動儀原理圖解：方法一：當擺處于平衡位置時，有擺的微振動角位移記為9，由動量矩定理，可得擺的運動微分方程為考慮到式，并精確到一階小量，上式可線性化為因此，擺的振動固有頻率為方法二：能量法由于不考慮阻尼，因而系統(tǒng)的機械能守恒。這時系統(tǒng)的動能和勢能可以分別表示為

由+ ==常數(shù)一=，可得因此，擺的振動固有頻率為、例：重物落下，與簡支梁做完全非彈性碰撞梁長L抗彎剛度其中給出九二mgl3由材料力學：一麗求：梁的自由振動頻率和最大撓度解：取平衡位置以梁承受重物時的靜平衡位置為坐標原點建立坐標系靜變形：九自由振動頻率為：g .148自由振動頻率為：g .148EJml3撞擊時刻為零時刻則自由振動振幅為梁的最大擾度：則撞擊時刻為零時刻則自由振動振幅為梁的最大擾度：則t=0時，有:、質(zhì)量 的物塊，沿光滑斜面無初速度滑下，如上圖所示。當物塊從高度 時撞于彈簧上并不在分離。彈簧的剛度系數(shù)為傾簧上并不在分離。彈簧的剛度系數(shù)為傾NB 30求此系統(tǒng)的固有頻率和振幅，并寫出物塊的運動方程。解：物塊平衡時，彈簧的變形為3=mgsinp/k0歡迎閱讀以物塊平衡位置為原點，建立圖示坐標。物塊受力如圖所示，其運動微分方程為mx=mgsinP-k(d+x)o將式()帶入上式，化簡后得系統(tǒng)的固有頻率為當物塊碰上彈簧時，取時間 作為振動的起點。則運動的的初始條件為：初位移： x=-b=-3.06x10-3m初速度：v=、,;2gh=1.4m/sTOC\o"1-5"\h\z0 0代入式A=：x2+xi和tane=2A得0 32 xY n 0則物塊的運動方程為 x=35.1sin(401-0.087)(9今有離心式自動脫水洗衣機，質(zhì)量為，有四個垂直的螺旋彈簧支撐，每個彈簧的剛度由試驗測定為，另有四個阻尼器，總的相對阻尼系數(shù)為z。簡化如圖所示。洗衣機在初次脫水時以運行。此時衣物的偏心質(zhì)量為，偏心距為。試計算其垂直振幅。由于結(jié)構(gòu)的對稱性，在計算其垂直方向振幅時，可作為單自由度系統(tǒng)來處理。解偏心質(zhì)量的離心慣性力在垂直方向的分量引起洗衣機機體在垂直方向上的受迫運動，其振動方程為：式中右邊分子上的me32為離心慣性力，3為激振力頻率:系統(tǒng)的四個彈簧為并聯(lián)，總剛度為K=4k=3320N/cm,固有頻率3n為頻率比為這說明此時超過共振點較遠，不會發(fā)生共振。振幅為：、為了估計機器基座的阻尼比C,用激振器使機器上下振動。激振器有兩個相同的偏心塊組成，它們沿相反的方向以同一角速度3如下圖所示回轉(zhuǎn)，這樣可以產(chǎn)生垂直慣性力。當轉(zhuǎn)速3逐漸提高時機