202022學年甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)樹人中學九年級期中數(shù)學試卷

2022-2022學年甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)樹人中學九年級（上）期中數(shù)學試卷一、精心選一選（每小題4分，共60分，將正確的答案填寫在括號內(nèi)）1．（4分）一元二次方程x2+x﹣＝0的根的情況是（）A．有兩個不等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定2．（4分）在一個不透明的袋子里裝有若干個白球和15個黃球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過很多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.75，則袋中白球有（）A．5個 B．15個 C．20個 D．35個3．（4分）如圖，菱形中ABCD，∠BCD＝50°，BC的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接BF、DF，則∠DFC的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．120° D．130°4．（4分）四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出下列4個條件：①AB∥CD；②OB＝OD；③AD＝BC；④AD∥BC．從中任取兩個條件，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的概率是（）A． B． C． D．5．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點E、F在AD、BC上，則菱形AECF的面積為（）A．2.5 B．5 C． D．26．（4分）若一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個實數(shù)根分別是a、b，則一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限7．（4分）如圖，為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為4m的正方形，使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內(nèi)．現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機投擲小球（假設(shè)小球落在正方形內(nèi)每一點都是等可能的），經(jīng)過大量重復投擲試驗，發(fā)現(xiàn)小球落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.65附近，由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積約為（）A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m28．（4分）在平面直角坐標系中，點A（﹣6，2），B（﹣4，﹣4），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標是（）A．（﹣3，1） B．（﹣12，4） C．（﹣12，4）或（12，﹣4） D．（﹣3，1）或（3，﹣1）9．（4分）如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，連接AF交CG于M點，則FM＝（）A． B． C． D．10．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2 D．311．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E、F分別在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，則AF的長為（）A．4 B．3 C．2.5 D．212．（4分）在四張背面完全相同的卡片上分別印有等腰三角形、平行四邊形、菱形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．13．（4分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交AB于點E，∠BCD＝60°，AD＝AB，連接OE．下列結(jié)論：①S?ABCD＝AD?BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個14．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，那么EF的長為（）A． B． C． D．15．（4分）如圖，點P是邊長為的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結(jié)論中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM?PH；④EF的最小值是．其中正確結(jié)論是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④二、細心填一填（每小題4分，共20分）16．（4分）如圖，矩形ABCD對角線AC、BD交于點O，AB＝6，BC＝8，點P為AD邊上的一個動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF＝．17．（4分）已知關(guān)于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，當|x1|+|x2|＝7時，那么k的值是18．（4分）一天晚上，小偉幫助媽媽清洗兩個只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉只好把杯蓋和茶杯隨機地搭配在一起，則顏色搭配正確的概率是．19．（4分）如圖，已知點E是菱形ABCD的AD邊上的一點，連接BE、CE，M、N分別是BE、CE的中點，連接MN，若∠A＝60°，AB＝4，則四邊形BCNM的面積為．20．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF＝CD，下列結(jié)論：①∠BAE＝30°，②AE⊥EF，③△ABE∽△AEF，④△ADF∽△ECF．其中正確的結(jié)論是．三.耐心做一做（共70分，寫出必要的解題步驟和分析過程）21．（8分）解方程：（1）x2﹣2x+1＝0（配方法）（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣6＝022．（8分）如圖，在坐標系中，△ABC三頂點坐標為A（﹣2，0），B（﹣2，4），C（﹣4，1），將△ABC繞著P點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1，其中A點對應(yīng)點A1的坐標為（1，3），C點對應(yīng)點C1的坐標為（2，5）．（1）旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為，并在坐標系中標出點P；（2）B點的對應(yīng)點B1的坐標是，并在坐標系中畫出△A1B1C1（3）在坐標系中畫出△A2B2C2，以O(shè)為位似中心，使△A2B2C2∽△ABC，位似比是．23．（8分）如圖，某同學相測量旗桿的高度，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長1.5米，在同時刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上影長為21米，留在墻上的影高為2米，求旗桿的高度．24．（8分）小美周末去公園玩，發(fā)現(xiàn)公園一角有一種“守株待兔”的游戲，該游戲老板說明游戲規(guī)則如下：提供一只兔子和一個有A、B、C、D、E五個出口的兔籠，而且籠內(nèi)的兔子從每個出口走出兔籠的機會是均等的，玩家只能將兔子從A、B兩個出入口放兔子，如果兔子進籠子后從開始進入的入口出來，則玩家可獲得價值5元的小兔玩具一只，否則，應(yīng)付3元的參與費用．（1）用作表或樹狀圖列出小美參與游戲的所有可能結(jié)果，并求出小美得到玩具兔子的概率．（2）假設(shè)有100人玩這個游戲，估計老板約賺多少錢．25．（8分）為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區(qū)，經(jīng)考察，康福特公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇．（1）康福特公司2022年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，經(jīng)過連續(xù)兩年降價，2022年每套售價為1.6萬元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2022年市政府經(jīng)過招標，決定年內(nèi)采購并安裝康福特公司A，B兩種型號的健身器材共80套，采購專項經(jīng)費總計不超過112萬元，采購合同規(guī)定：每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套B型健身器材售價為1.5（1﹣n）萬元，A型健身器材最多可購買多少套？26．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點P、Q運動的時間為ts．（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．27．（10分）△ABC中，AB＝AC，點D、E、F分別在BC、AB、AC上，∠EDF＝∠B．（1）如圖1，求證：DE?CD＝DF?BE；（2）如圖2，若D為BC中點，連接EF．求證：ED平分∠BEF．28．（12分）已知：矩形OABC的頂點O在平面直角坐標系的原點，邊OA、OC分別在x、y軸的正半軸上，且OA＝3cm，OC＝4cm，點M從點A出發(fā)沿AB向終點B運動，點N從點C出發(fā)沿CA向終點A運動，點M、N同時出發(fā)，且運動的速度均為1cm/秒，當其中一個點到達終點時，另一點即停止運動．設(shè)運動的時間為t秒．（1）當點N運動1秒時，求點N的坐標；（2）試求出多邊形OAMN的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；（3）t為何值時，以△OAN的一邊所在直線為對稱軸翻折△OAN，翻折前后的兩個三角形所組成的四邊形為菱形？

2022-2022學年甘肅省蘭州市城關(guān)區(qū)樹人中學九年級（上）期中數(shù)學試卷參考答案與試題解析一、精心選一選（每小題4分，共60分，將正確的答案填寫在括號內(nèi)）1．（4分）一元二次方程x2+x﹣＝0的根的情況是（）A．有兩個不等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．無實數(shù)根 D．無法確定【分析】根據(jù)方程的系數(shù)結(jié)合根的判別式，可得出△＝2＞0，進而可得出方程x2+x﹣＝0有兩個不相等的實數(shù)根，此題得解．【解答】解：∵△＝12﹣4×1×（﹣）＝2＞0，∴方程x2+x﹣＝0有兩個不相等的實數(shù)根．故選：A．【點評】本題考查了根的判別式，牢記“當△＞0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根”是解題的關(guān)鍵．2．（4分）在一個不透明的袋子里裝有若干個白球和15個黃球，這些球除顏色不同外其余均相同，每次從袋子中摸出一個球記錄下顏色后再放回，經(jīng)過很多次重復試驗，發(fā)現(xiàn)摸到黃球的頻率穩(wěn)定在0.75，則袋中白球有（）A．5個 B．15個 C．20個 D．35個【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率．【解答】解：設(shè)袋中白球有x個，根據(jù)題意得：＝0.75，解得：x＝5，經(jīng)檢驗：x＝5是分式方程的解，故袋中白球有5個．故選：A．【點評】此題考查了利用概率的求法估計總體個數(shù)，利用如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝是解題關(guān)鍵．3．（4分）如圖，菱形中ABCD，∠BCD＝50°，BC的垂直平分線交對角線AC于點F，垂足為E，連接BF、DF，則∠DFC的度數(shù)是（）A．100° B．110° C．120° D．130°【分析】首先求出∠CFB＝130°，再根據(jù)對稱性可知∠CFD＝∠CFB即可解決問題；【解答】解：∵四邊形ABCD是菱形，∴∠BCD＝25°，∵EF垂直平分線段BC，∴FB＝FC，∴∠FBC＝∠FCB＝25°，∴∠CFB＝180°﹣25°﹣25°＝130°，根據(jù)對稱性可知：∠CFD＝∠CFB＝130°，故選：D．【點評】本題考查菱形的性質(zhì)、線段的垂直平分線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考常考題型．4．（4分）四邊形ABCD的對角線AC、BD相交于點O，給出下列4個條件：①AB∥CD；②OB＝OD；③AD＝BC；④AD∥BC．從中任取兩個條件，能推出四邊形ABCD是平行四邊形的概率是（）A． B． C． D．【分析】根據(jù)概率的求法，找準兩點：①全部情況的總數(shù)；②符合條件的情況數(shù)目；二者的比值就是其發(fā)生的概率，即可求出答案．【解答】解：有①與②，①與③，①與④，②與③，②與④，③與④六種情況，①與④根據(jù)兩組對邊分別平行的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；③與④根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；①與②，②與④通過證明全等得到四邊形的對角線互相平分，能推出四邊形ABCD為平行四邊形；所以能推出四邊形ABCD為平行四邊形的有4組，所以能推出四邊形ABCD是平行四邊形的概率是＝．故選：C．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝，解題的關(guān)鍵是掌握平行四邊形的判定．5．（4分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，點E、F在AD、BC上，則菱形AECF的面積為（）A．2.5 B．5 C． D．2【分析】根據(jù)矩形和菱形的性質(zhì)以及面積公式解答即可．【解答】解：設(shè)CF為x，則BF＝4﹣x，∵菱形AECF，∴AF＝CF＝x，∵矩形ABCD，∴∠B＝90°，在Rt△ABF中，AF2＝BF2+AB2，即x2＝（4﹣x）2+22，解得：x＝，∴菱形AECF的面積＝，故選：B．【點評】本題考查了菱形的面積的求法，一般作法有兩種：①菱形的面積＝底邊×高；②菱形的面積＝兩條對角線乘積的一半．6．（4分）若一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個實數(shù)根分別是a、b，則一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象一定不經(jīng)過（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得出a+b＝5、ab＝4，再結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，即可找出一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象經(jīng)過的象限，此題得解．【解答】解：∵一元二次方程x2﹣5x+4＝0的兩個實數(shù)根分別是a、b，∴a+b＝5，ab＝4，∴一次函數(shù)的解析式為y＝4x+5．∵4＞0，5＞0，∴一次函數(shù)y＝abx+a+b的圖象經(jīng)過第一、二、三象限．故選：D．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系以及一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，利用根與系數(shù)的關(guān)系結(jié)合一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，找出一次函數(shù)圖象經(jīng)過的象限是解題的關(guān)鍵．7．（4分）如圖，為測量平地上一塊不規(guī)則區(qū)域（圖中的陰影部分）的面積，畫一個邊長為4m的正方形，使不規(guī)則區(qū)域落在正方形內(nèi)．現(xiàn)向正方形內(nèi)隨機投擲小球（假設(shè)小球落在正方形內(nèi)每一點都是等可能的），經(jīng)過大量重復投擲試驗，發(fā)現(xiàn)小球落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.65附近，由此可估計不規(guī)則區(qū)域的面積約為（）A．2.6m2 B．5.6m2 C．8.25m2 D．10.4m2【分析】首先確定小石子落在不規(guī)則區(qū)域的概率，然后利用概率公式求得其面積即可．【解答】解：∵經(jīng)過大量重復投擲試驗，發(fā)現(xiàn)小石子落在不規(guī)則區(qū)域的頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.65附近，∴小石子落在不規(guī)則區(qū)域的概率為0.65，∵正方形的邊長為4m，∴面積為16m2，設(shè)不規(guī)則部分的面積為s，則＝0.65，解得：s＝10.4，故選：D．【點評】考查了利用頻率估計概率的知識，解題的關(guān)鍵是了解大量重復試驗中事件發(fā)生的頻率可以估計概率．8．（4分）在平面直角坐標系中，點A（﹣6，2），B（﹣4，﹣4），以原點O為位似中心，相似比為，把△ABO縮小，則點A的對應(yīng)點A′的坐標是（）A．（﹣3，1） B．（﹣12，4） C．（﹣12，4）或（12，﹣4） D．（﹣3，1）或（3，﹣1）【分析】根據(jù)已知得出位似圖形對應(yīng)坐標與位似圖形比的關(guān)系進而得出答案．【解答】解：∵△ABO的一個頂點A的坐標是（﹣6，2），以原點O為位似中心相似比為1：2將△ABO縮小得到它的位似圖形△A′B′O′，∴點A′的坐標是：（﹣×6，×2），[﹣×（﹣6），﹣×2]，即（﹣3，1），（3，﹣1）．故選：D．【點評】此題主要考查了位似圖形的性質(zhì)，根據(jù)如果位似變換是以原點為位似中心，相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點的坐標的比等于k或﹣k得出是解題關(guān)鍵．9．（4分）如圖，在正方形ABCD和正方形CEFG中，點D在CG上，BC＝1，CE＝3，連接AF交CG于M點，則FM＝（）A． B． C． D．【分析】由正方形的性質(zhì)知DG＝CG﹣CD＝2、AD∥GF，據(jù)此證△ADM∽△FGM得＝，求出GM的長，再利用勾股定理求解可得答案．【解答】解：∵四邊形ABCD和四邊形CEFG是正方形，∴AD＝CD＝BC＝1、CE＝CG＝GF＝3，∠ADM＝∠G＝90°，∴DG＝CG﹣CD＝2，AD∥GF，則△ADM∽△FGM，∴＝，即＝，解得：GM＝，∴FM＝＝＝，故選：C．【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握正方形的性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)及勾股定理等知識點．10．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝6，AC＝8，P為邊BC上一動點，PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，M為EF的中點，則AM的最小值是（）A．2.5 B．2.4 C．2 D．3【分析】根據(jù)矩形的性質(zhì)就可以得出EF，AP互相平分，且EF＝AP，根據(jù)垂線段最短的性質(zhì)就可以得出AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小，由勾股定理求出BC，根據(jù)面積關(guān)系建立等式求出其解即可．【解答】解：∵PE⊥AB，PF⊥AC，∠BAC＝90°，∴∠EAF＝∠AEP＝∠AFP＝90°，∴四邊形AEPF是矩形，∴EF，AP互相平分．且EF＝AP，∴EF，AP的交點就是M點，∵當AP的值最小時，AM的值就最小，∴當AP⊥BC時，AP的值最小，即AM的值最小．∵AP×BC＝AB×AC，∴AP×BC＝AB×AC，在Rt△ABC中，由勾股定理，得BC＝＝10，∵AB＝6，AC＝8，∴10AP＝6×8，∴AP＝，∴AM＝，故選：B．【點評】本題考查了矩形的性質(zhì)的運用，勾股定理的運用，三角形的面積公式的運用，垂線段最短的性質(zhì)的運用，解答時求出AP的最小值是關(guān)鍵．11．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為6，點E、F分別在AB、AD上，若CE＝3，且∠ECF＝45°，則AF的長為（）A．4 B．3 C．2.5 D．2【分析】首先延長FD到G，使DG＝BE，利用正方形的性質(zhì)得∠B＝∠CDF＝∠CDG＝90°，CB＝CD；利用SAS定理得△BCE≌△DCG，利用全等三角形的性質(zhì)易得△GCF≌△ECF，利用勾股定理可得AE＝3，設(shè)AF＝x，利用GF＝EF，利用勾股定理列方程求解即可．【解答】解：如圖，延長FD到G，使DG＝BE；連接CG、EF；∵四邊形ABCD為正方形，在△BCE與△DCG中，，∴△BCE≌△DCG（SAS），∴CG＝CE，∠DCG＝∠BCE，∴∠GCF＝45°，在△GCF與△ECF中，，∴△GCF≌△ECF（SAS），∴GF＝EF，∵CE＝3，CB＝6，∴BE＝＝3，∴AE＝3，設(shè)AF＝x，則DF＝6﹣x，GF＝3+（6﹣x）＝9﹣x，∴EF＝9﹣x．在Rt△AEF中，由勾股定理得：（9﹣x）2＝9+x2，∴x＝4，即AF＝4．故選：A．【點評】本題主要考查了全等三角形的判定及性質(zhì)，勾股定理等，構(gòu)建全等三角形，利用方程思想是解答此題的關(guān)鍵．12．（4分）在四張背面完全相同的卡片上分別印有等腰三角形、平行四邊形、菱形、圓的圖案，現(xiàn)將印有圖案的一面朝下，混合后從中隨機抽取兩張，則抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為（）A． B． C． D．【分析】首先根據(jù)題意畫出樹狀圖，然后由樹狀圖求得所有等可能的結(jié)果與抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的情況，再利用概率公式求解即可求得答案．【解答】解：分別用A、B、C、D表示等腰三角形、平行四邊形、菱形、圓，畫樹狀圖得：∵共有12種等可能的結(jié)果，抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的有6種情況，∴抽到卡片上印有的圖案都是軸對稱圖形的概率為：＝．故選：D．【點評】本題考查的是用列表法或畫樹狀圖法求概率．列表法或畫樹狀圖法可以不重復不遺漏的列出所有可能的結(jié)果，列表法適合于兩步完成的事件，樹狀圖法適合兩步或兩步以上完成的事件．注意概率＝所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．13．（4分）如圖，?ABCD的對角線AC、BD交于點O，DE平分∠ADC交AB于點E，∠BCD＝60°，AD＝AB，連接OE．下列結(jié)論：①S?ABCD＝AD?BD；②DB平分∠CDE；③AO＝DE；④S△ADE＝5S△OFE，其中正確的個數(shù)有（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【分析】求得∠ADB＝90°，即AD⊥BD，即可得到S?ABCD＝AD?BD；依據(jù)∠CDE＝60°，∠BDE30°，可得∠CDB＝∠BDE，進而得出DB平分∠CDE；依據(jù)Rt△AOD中，AO＞AD，即可得到AO＞DE；依據(jù)OE是△ABD的中位線，即可得到OE∥AD，OE＝AD，進而得到△OEF∽△ADF，依據(jù)S△ADF＝4S△OEF，S△AEF＝2S△OEF，即可得到S△ADE＝6S△OFE．【解答】解：∵∠BAD＝∠BCD＝60°，∠ADC＝120°，DE平分∠ADC，∴∠ADE＝∠DAE＝60°＝∠AED，∴△ADE是等邊三角形，∴AD＝AE＝AB，∴E是AB的中點，∴DE＝BE，∴∠BDE＝∠AED＝30°，∴∠ADB＝90°，即AD⊥BD，∴S?ABCD＝AD?BD，故①正確；∵∠CDE＝60°，∠BDE＝30°，∴∠CDB＝∠BDE，∴DB平分∠CDE，故②正確；∵Rt△AOD中，AO＞AD，∴AO＞DE，故③錯誤；∵O是BD的中點，E是AB的中點，∴OE是△ABD的中位線，∴OE∥AD，OE＝AD，∴△OEF∽△ADF，∴S△ADF＝4S△OEF，且AF＝2OF，∴S△AEF＝2S△OEF，∴S△ADE＝6S△OFE，故④錯誤；故選：B．【點評】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形的面積公式以及相似三角形的判定與性質(zhì)的綜合運用，熟練掌握性質(zhì)定理和判定定理是解題的關(guān)鍵．14．（4分）如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝6，AC＝10，∠BAC和∠ACB的平分線相交于點E，過點E作EF∥BC交AC于點F，那么EF的長為（）A． B． C． D．【分析】延長FE交AB于點D，作EG⊥BC、作EH⊥AC，由EF∥BC可證四邊形BDEG是矩形，由角平分線可得ED＝EH＝EG、∠DAE＝∠HAE，從而知四邊形BDEG是正方形，再證△DAE≌△HAE、△CGE≌△CHE得AD＝AH、CG＝CH，由BC＝8，可設(shè)BD＝BG＝x，則AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，得x＝2，即BD＝DE＝2、AD＝4，再證△ADF∽△ABC可得DF＝，據(jù)此得出EF＝DF﹣DE＝．【解答】解：如圖，延長FE交AB于點D，作EG⊥BC于點G，作EH⊥AC于點H，∵EF∥BC、∠ABC＝90°，∴FD⊥AB，∵EG⊥BC，∴四邊形BDEG是矩形，∵AE平分∠BAC、CE平分∠ACB，∴ED＝EH＝EG，∠DAE＝∠HAE，∴四邊形BDEG是正方形，在△DAE和△HAE中，，∴△DAE≌△HAE（SAS），∴AD＝AH，同理△CGE≌△CHE，∴CG＝CH，∵BC＝＝＝8，設(shè)BD＝BG＝x，則AD＝AH＝6﹣x、CG＝CH＝8﹣x，∴6﹣x+8﹣x＝10，解得：x＝2，∴BD＝DE＝2，AD＝4，∵DF∥BC，∴△ADF∽△ABC，∴＝，即＝，解得：DF＝，則EF＝DF﹣DE＝﹣2＝．故選：C．【點評】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)及正方形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)和正方形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．15．（4分）如圖，點P是邊長為的正方形ABCD的對角線BD上的動點，過點P分別作PE⊥BC于點E，PF⊥DC于點F，連接AP并延長，交射線BC于點H，交射線DC于點M，連接EF交AH于點G，當點P在BD上運動時（不包括B、D兩點），以下結(jié)論中：①MF＝MC；②AH⊥EF；③AP2＝PM?PH；④EF的最小值是．其中正確結(jié)論是（）A．①③ B．②③ C．②③④ D．②④【分析】①錯誤，②正確．想辦法證明∠GFM+∠AMD＝90°即可；③正確．只要證明△CPM∽△HPC，可得＝，推出PC2＝PM?PH，根據(jù)對稱性可知：PA＝PC，可得PA2＝PM?PH；④錯誤．利用矩形的性質(zhì)可知EF＝PC，當PC⊥BD時，EF的值最小，最小值為1；【解答】解：①錯誤．因為當點P與BD中點重合時，CM＝0，顯然FM≠CM；②正確．連接PC交EF于O．根據(jù)對稱性可知∠DAP＝∠DCP，∵四邊形PECF是矩形，∴OF＝OC，∴∠OCF＝∠OFC，∴∠OFC＝∠DAP，∵∠DAP+∠AMD＝90°，∴∠GFM+∠AMD＝90°，∴∠FGM＝90°，∴AH⊥EF．③正確．∵AD∥BH，∴∠DAP＝∠H，∵∠DAP＝∠PCM，∴∠PCM＝∠H，∵∠CPM＝∠HPC，∴△CPM∽△HPC，∴＝，∴PC2＝PM?PH，根據(jù)對稱性可知：PA＝PC，∴PA2＝PM?PH．④錯誤．∵四邊形PECF是矩形，∴EF＝PC，∴當CP⊥BD時，PC的值最小，此時A、P、C共線，∵AC＝2，∴PC的最小值為1，∴EF的最小值為1；故選：B．【點評】本題考查正方形的性質(zhì)、矩形的判定和性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、細心填一填（每小題4分，共20分）16．（4分）如圖，矩形ABCD對角線AC、BD交于點O，AB＝6，BC＝8，點P為AD邊上的一個動點，PE⊥AC于點E，PF⊥BD于點F，則PE+PF＝．【分析】連接OP，首先求得△AOD的面積，根據(jù)△AOD的面積＝△ODP的面積+△AOP的面積＝AO?PE+OD?PF，即可求解．【解答】解：連接OP，在直角△ABD中，AB＝6，AD＝8，∴BD＝＝10，∴AO＝OD＝5，∵△AOD的面積是×矩形ABCD的面積＝×8×6＝12即△ODP的面積+△AOP的面積＝12，∴AO?PE+OD?PF＝3，∴×5（PE+PF）＝12，解得：PE+PF＝．故答案為．【點評】本題考查矩形的性質(zhì)、勾股定理，三角形的面積等知識，解題的關(guān)鍵是學會用面積法解決問題，屬于中考?？碱}型．17．（4分）已知關(guān)于x的方程x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，當|x1|+|x2|＝7時，那么k的值是﹣2【分析】先根據(jù)方程有兩個實數(shù)根，確定△≥0，可得k≤，由x1?x2＝k2+1＞0，可知x1、x2，同號，分情況討論即可．【解答】解：∵x2+（3﹣2k）x+k2+1＝0的兩個實數(shù)根分別是x1、x2，∴△＝（3﹣2k）2﹣4×1×（k2+1）≥0，9﹣12k+4k2﹣4k2﹣4≥0，k≤，∵x1?x2＝k2+1＞0，∴x1、x2，同號，分兩種情況：①當x1、x2同為正數(shù)時，x1+x2＝7，即2k﹣3＝7，k＝5，∵k≤，∴k＝5不符合題意，舍去，②當x1、x2同為負數(shù)時，x1+x2＝﹣7，即2k﹣3＝﹣7，k＝﹣2，故答案為：﹣2．【點評】本題考查了根與系數(shù)的關(guān)系和根的判別式．解此題時很多學生容易順理成章的利用兩根之積與和公式進行解答，解出k值，而忽略了限制性條件△≥0時k≤．18．（4分）一天晚上，小偉幫助媽媽清洗兩個只有顏色不同的有蓋茶杯，突然停電了，小偉只好把杯蓋和茶杯隨機地搭配在一起，則顏色搭配正確的概率是．【分析】根據(jù)概率的計算公式．顏色搭配總共有4種可能，分別列出搭配正確和搭配錯誤的可能，進而求出各自的概率即可．【解答】解：用A和a分別表示第一個有蓋茶杯的杯蓋和茶杯；用B和b分別表示第二個有蓋茶杯的杯蓋和茶杯、經(jīng)過搭配所能產(chǎn)生的結(jié)果如下：Aa、Ab、Ba、Bb．所以顏色搭配正確的概率是．故答案為：．【點評】此題考查概率的求法：如果一個事件有n種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件A出現(xiàn)m種結(jié)果，那么事件A的概率P（A）＝．19．（4分）如圖，已知點E是菱形ABCD的AD邊上的一點，連接BE、CE，M、N分別是BE、CE的中點，連接MN，若∠A＝60°，AB＝4，則四邊形BCNM的面積為3．【分析】如圖，連接BD．首先證明△BCD是等邊三角形，推出S△EBC＝S△DBC＝×42＝4，再證明△EMN∽△EBC，可得＝（）2＝，推出S△EMN＝，由此即可解決問題；【解答】解：如圖，連接BD．∵四邊形ABCD是菱形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，∠A＝∠BCD＝60°，AD∥BC，∴△BCD是等邊三角形，∴S△EBC＝S△DBC＝×42＝4，∵EM＝MB，EN＝NC，∴MN∥BC，MN＝BC，∴△EMN∽△EBC，∴＝（）2＝，∴S△EMN＝，∴S陰＝4﹣＝3，故答案為3．【點評】本題考查相似三角形的判定和性質(zhì)、三角形的中位線定理、菱形的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是靈活運用所學知識解決問題，屬于中考?？碱}型．20．（4分）如圖，在正方形ABCD中，E是BC的中點，F(xiàn)是CD上一點，且CF＝CD，下列結(jié)論：①∠BAE＝30°，②AE⊥EF，③△ABE∽△AEF，④△ADF∽△ECF．其中正確的結(jié)論是②③．【分析】根據(jù)已知條件得到BE＝AB，由三角函數(shù)的定義得到tan∠BAE＝＝，于是得到∠BAE≠30°；故①錯誤；根據(jù)已知條件得到＝＝2，且∠B＝∠C，得到△ABE∽△ECF，根據(jù)余角的性質(zhì)得到∠AEF＝90°，故②正確，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到＝＝2，推出△ABE∽△AEF，③正確；由于＝2，＝3，得到≠，于是得到△ADF和△ECF不相似，④錯誤．【解答】解：在正方形ABCD中，∵AB＝BC，∵E是BC的中點，∴BE＝AB，∴tan∠BAE＝＝，∴∠BAE≠30°；故①錯誤；∵E為BC中點，CF：CD＝1：4，∴＝＝2，且∠B＝∠C，∴△ABE∽△ECF，∴∠BAE＝∠CEF，∴∠BAE＝∠FEC，且∠BAF+∠AFB＝90°，∴∠AFB+∠FEC＝90°，∴∠AEF＝90°，即AE⊥EF，故②正確，∵△ABE∽△ECF，∴＝＝2，∴＝＝，且∠ABE＝∠AEF＝90°，∴△ABE∽△AEF，∴③正確；∵＝2，＝3，∴≠，∴△ADF和△ECF不相似，∴④錯誤，綜上可知正確的為：②③，故答案為②③．【點評】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)，掌握相似三角形的判定方法是解題的關(guān)鍵，注意正方形性質(zhì)的運用．三.耐心做一做（共70分，寫出必要的解題步驟和分析過程）21．（8分）解方程：（1）x2﹣2x+1＝0（配方法）（2）（x﹣1）2﹣（x﹣1）﹣6＝0【分析】（1）根據(jù)一元二次方程的配方法即可求出答案．（2）根據(jù)因式分解法即可求出答案．【解答】解：（1）∵x2﹣2x+1＝0，∴x2﹣2x＝﹣1，∴x2﹣2x+2＝1，∴（x﹣）2＝1，∴x＝±1；（2）設(shè)x﹣1＝t，∴原方程化為：t2﹣t﹣6＝0，∴（t﹣3）（t+2）＝0，∴t＝3或t＝﹣2，∴x＝4或x＝﹣1；【點評】本題考查一元二次方程，解題的關(guān)鍵是熟練運用一元二次方程的解法，本題屬于基礎(chǔ)題型．22．（8分）如圖，在坐標系中，△ABC三頂點坐標為A（﹣2，0），B（﹣2，4），C（﹣4，1），將△ABC繞著P點順時針旋轉(zhuǎn)90°后得到△A1B1C1，其中A點對應(yīng)點A1的坐標為（1，3），C點對應(yīng)點C1的坐標為（2，5）．（1）旋轉(zhuǎn)中心P的坐標為（1，0），并在坐標系中標出點P；（2）B點的對應(yīng)點B1的坐標是（5，3），并在坐標系中畫出△A1B1C1（3）在坐標系中畫出△A2B2C2，以O(shè)為位似中心，使△A2B2C2∽△ABC，位似比是．【分析】（1）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出旋轉(zhuǎn)中心即可；（2）直接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出得對應(yīng)點位置，進而得出答案；（3）直接利用相似三角形的性質(zhì)得出對應(yīng)邊長進而得出答案．【解答】解：（1）如圖所示：P點即為所求，其坐標為：（1，0）；故答案為：（1，0）；（2）如圖所示：B點的對應(yīng)點B1的坐標是：（5，3），△A1B1C1，即為所求；故答案為：（5，3）；（3）如圖所示：△A2B2C2∽△ABC，且相似比是．【點評】此題主要考查了相似變換以及旋轉(zhuǎn)變換，正確得出對應(yīng)點位置是解題關(guān)鍵．23．（8分）如圖，某同學相測量旗桿的高度，他在某一時刻測得1米長的竹竿豎直放置時影長1.5米，在同時刻測量旗桿的影長時，因旗桿靠近一樓房，影子不全落在地面上，有一部分落在墻上，他測得落在地面上影長為21米，留在墻上的影高為2米，求旗桿的高度．【分析】過C作CE⊥AB于E，首先證明四邊形CDBE為矩形，可得BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，設(shè)AE＝x，則1：1.5＝x：21，求出x即可解決問題．【解答】解：過C作CE⊥AB于E，∵CD⊥BD，AB⊥BD，∴∠EBD＝∠CDB＝∠CEB＝90°，∴四邊形CDBE為矩形，∴BD＝CE＝21，CD＝BE＝2，設(shè)AE＝x，則1：1.5＝x：21，解得x＝14，∴旗桿的高AB＝AE+BE＝14+2＝16米．【點評】本題考查相似三角形的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是學會添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問題，學會利用物長：影長＝定值，構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．24．（8分）小美周末去公園玩，發(fā)現(xiàn)公園一角有一種“守株待兔”的游戲，該游戲老板說明游戲規(guī)則如下：提供一只兔子和一個有A、B、C、D、E五個出口的兔籠，而且籠內(nèi)的兔子從每個出口走出兔籠的機會是均等的，玩家只能將兔子從A、B兩個出入口放兔子，如果兔子進籠子后從開始進入的入口出來，則玩家可獲得價值5元的小兔玩具一只，否則，應(yīng)付3元的參與費用．（1）用作表或樹狀圖列出小美參與游戲的所有可能結(jié)果，并求出小美得到玩具兔子的概率．（2）假設(shè)有100人玩這個游戲，估計老板約賺多少錢．【分析】（1）利用樹狀圖展示所有10種等可能的結(jié)果數(shù)，找出小美得到玩具兔子的結(jié)果數(shù)，然后根據(jù)概率公式求解；（2）利用概率意義，估計有100×的人付參與費用，有100×的人獲得價值5元的小兔玩具，然后計算它們的差得到老板賺的錢．【解答】解：（1）畫樹狀圖為：共有10種等可能的結(jié)果數(shù)，其中小美得到玩具兔子的結(jié)果數(shù)為2，所以小美得到玩具兔子的概率＝＝；（2）100××3﹣100××5＝140，所以估計老板約賺140元錢．【點評】本題考查了列表法與樹狀圖法：利用列表法或樹狀圖法展示所有等可能的結(jié)果n，再從中選出符合事件A或B的結(jié)果數(shù)目m，然后利用概率公式計算事件A或事件B的概率．25．（8分）為滿足社區(qū)居民健身的需要，市政府準備采購若干套健身器材免費提供給社區(qū)，經(jīng)考察，康福特公司有A，B兩種型號的健身器材可供選擇．（1）康福特公司2022年每套A型健身器材的售價為2.5萬元，經(jīng)過連續(xù)兩年降價，2022年每套售價為1.6萬元，求每套A型健身器材年平均下降率n；（2）2022年市政府經(jīng)過招標，決定年內(nèi)采購并安裝康福特公司A，B兩種型號的健身器材共80套，采購專項經(jīng)費總計不超過112萬元，采購合同規(guī)定：每套A型健身器材售價為1.6萬元，每套B型健身器材售價為1.5（1﹣n）萬元，A型健身器材最多可購買多少套？【分析】（1）該每套A型健身器材年平均下降率n，則第一次降價后的單價是原價的（1﹣x），第二次降價后的單價是原價的（1﹣x）2，根據(jù)題意列方程解答即可．（2）設(shè)A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，根據(jù)采購專項經(jīng)費總計不超過112萬元列出不等式并解答．【解答】解：（1）依題意得：2.5（1﹣n）2＝1.6，則（1﹣n）2＝0.64，所以1﹣n＝±0.8，所以n1＝0.2＝20%，n2＝1.8（不合題意，舍去）．答：每套A型健身器材年平均下降率n為20%；（2）設(shè)A型健身器材可購買m套，則B型健身器材可購買（80﹣m）套，依題意得：1.6m+1.5×（1﹣20%）×（80﹣m）≤112，整理，得1.6m+96﹣1.2m≤112，解得m≤40，即A型健身器材最多可購買40套．【點評】本題考查了一元一次不等式的應(yīng)用和一元二次方程的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵是讀懂題意，找到題中的等量關(guān)系，列出方程或不等式，解答即可得到答案．26．（8分）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，點P從點D出發(fā)向點A運動，運動到點A停止，同時，點Q從點B出發(fā)向點C運動，運動到點C即停止，點P、Q的速度都是1cm/s．連接PQ、AQ、CP．設(shè)點P、Q運動的時間為ts．（1）當t為何值時，四邊形ABQP是矩形；（2）當t為何值時，四邊形AQCP是菱形；（3）分別求出（2）中菱形AQCP的周長和面積．【分析】（1）當四邊形ABQP是矩形時，BQ＝AP，據(jù)此求得t的值；（2）當四邊形AQCP是菱形時，AQ＝AC，列方程求得運動的時間t；（3）菱形的四條邊相等，則菱形的周長＝4×10，根據(jù)菱形的面積求出面積即可．【解答】解：（1）∵在矩形ABCD中，AB＝8cm，BC＝16cm，∴BC＝AD＝16cm，AB＝CD＝8cm，由已知可得，BQ＝