2022年3月廈門市高三一檢答案

廈門市2022屆高中畢業(yè)班第一次質(zhì)量檢查數(shù)學(xué)（理科）試題答案一．選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1-6BCDBBD7-12CDCDAA12.解析：由題意知，與關(guān)于直線對稱，設(shè)，則，，，，，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，且，，在區(qū)間存在唯一零點，即為.令得：，即.由不等式得：，解得：，故選A.命題意圖：考查三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、導(dǎo)數(shù)、零點、不等式等，考查數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想，考查邏輯推理能力.二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．13.14.15.16.15.解析：由三視圖可得三棱錐的直觀圖如圖所示，取的中點，連接，設(shè)為的外心，為三棱錐的外接球的半徑，則在線段上，因為，即，解得：，所以，16.解析：（法一）由得：在坐標系中考察函數(shù)與的圖象，所以，的最小值等價于直線與函數(shù)，交點橫坐標之間距離的最小值.設(shè)直線與相切于點，則，解得：，所以，，故.（法二）由得：，則，令，則，當時，；當時，；當時，；所以，在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故，所以，三、解答題：本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17．本題以遞推數(shù)列為背景考查等差數(shù)列的判定以及利用基本量的求和運算，（Ⅰ）重點考查利用數(shù)列遞推形式構(gòu)造等差或等比數(shù)列以及等差數(shù)列的判定方法；（Ⅱ）主要考查數(shù)列求和應(yīng)首先探尋通項公式，通過分析通項公式的特征發(fā)現(xiàn)求和的方法.滿分12分．（Ⅰ）證明：法一：由，得 3分數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列 5分法二：由得 3分 4分數(shù)列是首項為，公差為的等差數(shù)列 5分（Ⅱ）解：設(shè) 7分由（Ⅰ）得，數(shù)列為公差為的等差數(shù)列即 8分，且是首項，公差為的等差數(shù)列 10分 12分18.本小題主要考查對頻數(shù)分布表的理解與應(yīng)用，古典概型、隨機變量的數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、數(shù)據(jù)處理能力、應(yīng)用意識，考查必然與或然思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想．滿分12分．解：（Ⅰ）由已知可得下表人數(shù)次數(shù)年齡[0,10)[10,20)[20,30)[30,40)[40,50)[50,60]合計青年人102040608090300中年人221833371911140老年人151310125560本市一個青年人月騎車的平均次數(shù)：. 5分（Ⅱ）本市老年人或中年人中月騎車時間超過40次的概率為. 7分，，故. 9分所以的分布列如下：0123 11分. 12分19．本題考查立體幾何中的線面關(guān)系，空間角，空間向量在立體幾何中的應(yīng)用等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、空間想象能力、等價轉(zhuǎn)化能力，考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化、或然與必然等數(shù)學(xué)思想．滿分12分．證明：（1）法一：連接相交于點，取的中點為,連接.是正方形，是的中點，,又因為,所以且，所以四邊形是平行四邊形， 3分，又因為平面,平面平面 5分法二：延長相交于點,連接.因為，是的中點，所以且，所以四邊形是平行四邊形， 3分，又因為平面,平面平面 5分（2）是正方形，是直角梯形，，,平面,同理可得平面.又平面，所以平面平面,又因為二面角為，所以,,,由余弦定理得,所以,又因為平面，,所以平面， 7分法一：以為坐標原點，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系.則, 8分所以,設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，所以 11分設(shè)直線和平面所成角為，則 12分法二：取的中點為,的中點為，連接.以為坐標原點，為軸、為軸、為軸建立空間直角坐標系.則 8分以,設(shè)平面的一個法向量為，則即令，則，所以 11分設(shè)直線和平面所成角為，則 12分20.本題考查函數(shù)單調(diào)性、極值、零點的基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生運算求解與推理論證的能力，運用導(dǎo)數(shù)工具解決函數(shù)與方程、不等式綜合問題的能力?？疾閿?shù)形結(jié)合，分類與整合，轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想。解：（1）法1：由已知 1分令， 2分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減 3分綜上：或時，有1個零點時，有2個零點時，有0個零點 5分法2：，， 1分時，單調(diào)遞增，，所以，有1個零點 2分時，，單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，時，，0個零點時，，1個零點 4分時，，，，所以，此時有2個零點綜上：或時，有1個零點時，有2個零點時，有0個零點 5分（2）證明：法1：要證即證令， 7分9分單調(diào)遞減 11分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，綜上： 12分法2要證即證令， 7分令，令令 9分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減單調(diào)遞減，單調(diào)遞減 11分單調(diào)遞增，單調(diào)遞減，綜上： 12分21．本題考查橢圓的標準方程的求法，直線與圓、直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，考查推理運算和方程求解能力.運用化歸轉(zhuǎn)化手段.將切線長最短問題轉(zhuǎn)化為橢圓上的動點到定點距離最短問題；考查圓錐曲線中的有關(guān)定值問題，從變化中尋找不變量，并通過必要的推理和運算化簡求值.考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類整合思想.（Ⅰ）解：如圖1，因為，所以，POMNyxPOMNyx圖1故點在圓外，不妨設(shè)與圓相切于T，則有：切線長 1分代入得 3分由已知得：，解得：，所以橢圓的方程為： 4分POMNyx圖2（Ⅱ）解：1°當切線OM或ON斜率不存在即圓P與y軸相切時，易得，代入橢圓方程得：，說明圓P同時也與x軸相切（圖2），此時M、N分別為長、短軸一個端點，則的面積為POMNyx圖22°當切線OM、ON斜率都存在時，設(shè)切線方程為：，由得：，整理得：（*）， 6分由1°知：，即，此時，方程（*）必有兩個非零根，記為,則分別對應(yīng)直線的斜率，由韋達定理得：，將代入得： 7分解法一：（求交點坐標）由上知：，設(shè)點N位于第一、三象限，點M位于第二、四象限，若點N位于第一象限，點M位于第二象限，ABOMNyxABOMNyxM1N1圖3設(shè)ON：與橢圓方程聯(lián)立可得： 9分 10分代入坐標有：同理，當點M、N位于其它象限時，結(jié)論也成立綜上，的面積為定值. 12分解法二：（探尋直線MN方程特征）（接上）設(shè)OMNyx圖4OMNyx圖4將與橢圓方程聯(lián)立可得：，，由得， 8分代入有：整理得：； 9分又而原點O到直線的距離為 11分.所以的面積為定值. 12分22．本題考查學(xué)生對直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程之間的相互轉(zhuǎn)化，利用極坐標方程求解弦長問題，三角形最值問題，通過直角坐標方程、參數(shù)方程、極坐標方程之間的互化考查化歸與轉(zhuǎn)化、數(shù)形結(jié)合的思想.解：（Ⅰ）依題意得，曲線的普通方程為，曲線的極坐標方程為， 3分直線的直角坐標方程為． 5分（Ⅱ）曲線的直角坐標方程為，由題意設(shè)，，則，即，得或（舍），，則， 7分到的距離為．以為底邊的的高的最大值為．則的面積的最大值為． 10分23.本題考查學(xué)生對絕對值不等式的理解與運用，考查學(xué)生對絕對值函數(shù)的運算求解能力，考查分類與整合、函數(shù)與方程思想和數(shù)形結(jié)合等思想．本題以絕對值函數(shù)為背景，設(shè)置學(xué)生熟悉的絕對值函數(shù)化為分段函數(shù)以及不等式求解問題．解：（Ⅰ）解法一： 1分作出函數(shù)的圖象……3分由的解集為及函數(shù)圖象得得…………5分解法二： 1分①得得， 2分②得，不合題意 3分③得當時，，不符合，舍去當時， 4分綜上不等式的解集為， 5分（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）得 6分有解即 8分