2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬自測(cè)試題(高頻考點(diǎn)版)13期

2022年高考數(shù)學(xué)全真模擬自測(cè)試題（高頻考點(diǎn)版）_005

單選題（共8個(gè)，分值共：）

1、已知a=cosl,b=si/i2,c=則（）

A.c>b>aB.a>b>c

C.b>a>cD.b>c>a

答案：A

解析：

【分析】

利用誘導(dǎo)公式及正弦函數(shù)的單調(diào)性可判斷a,b的大小，利用正切函數(shù)的單調(diào)性可判斷c的范圍，從而可得正確

的選項(xiàng).

【詳解】

a=sin-1），b=sin（n—2）,

因?yàn)?<1—1<7T—2v］，故a<b<1,

而c=tan4=tan（4—TT）,

因?yàn)樗?lt;4—7T<—,故c>1,故c>b,

42

綜上，c>b>a,

故選：A

2、"直播電商"己經(jīng)成為當(dāng)前經(jīng)濟(jì)發(fā)展的新增長(zhǎng)點(diǎn)，某電商平臺(tái)的直播間經(jīng)營(yíng)化妝品和服裝兩大類(lèi)商品.2021

年前三個(gè)季度的收人情況如圖所示，已知直播間每個(gè)季度的總收入都比上一季度的總收入翻一番，則下列說(shuō)

法正確的是（）

I|化妝M收入||服裝收入

A.該直播間第三季度服裝收入低于前兩個(gè)季度的服裝收入之和.

B.該直播間第一季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的士

C.該直播間第二季度化妝品收入是第三季度化妝品收入的￡

D.該直播間第三季度總收入是第一季度總收入的3倍.

答案：C

解析：

【分析】

利用條形統(tǒng)計(jì)圖求解判斷.

【詳解】

設(shè)第一季度的總收入為a,則第二季度的總收入為2a,第三季度的總收入為4a.

對(duì)于選項(xiàng)A,第一、二季度服裝收入和為(a-0.1a)+(2a-0.4a)=2.5a,第三季度服裝收入為4a-1.2a=

2.8a,故A錯(cuò)誤；

對(duì)于選項(xiàng)B,第一季度化妝品收入為aX10%=0.1a,第三季度化妝品收入為4aX30%=1.2a,第一季度化

妝品收入是第三季度化妝品收入的爭(zhēng)=白，故B錯(cuò)誤；

1.2a12

對(duì)于選項(xiàng)C,第二季度的化妝品收入為2ax20%=0.4a,第三季度的化妝品收入為4ax30%=1.2a,第二季

度化妝品收入是第三季度化妝品收入的窗故C正確；

對(duì)于選項(xiàng)D,第三季度總收入是第一季度總收入的絲=4倍，故D錯(cuò)誤.

a

故選：C.

3、已知定義域?yàn)镽的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(x+4)=f域),且/⑺_/(_%)=0,當(dāng)一2WXW0時(shí)，f(x)=2X,

則/(2022)等于()

A.扣.1C,2D.4

答案：A

解析：

【分析】

根據(jù)函數(shù)的周期性以及奇偶性，結(jié)合已知函數(shù)解析式，代值計(jì)算即可.

【詳解】

因?yàn)楹瘮?shù)/(%)滿(mǎn)足：f(x+4)=f(x),且f(x)-八-x)=0,

故/(x)是R上周期為4的偶函數(shù)，故/(2022)=/(2)=/(-2),

又當(dāng)一2<%<0時(shí)，“%)=2%則/(-2)=2-2=；,

故/(2022)=

故選：A.

4、已知￡sina+*osa=專(zhuān)則sin(a+豹的值為()

A.當(dāng)B.2c.土

5555

答案：c

解析：

2

【分析】

應(yīng)用輔助角公式可得sin(a+g)=',再應(yīng)用誘導(dǎo)公式求目標(biāo)三角函數(shù)的值.

【詳解】

由題設(shè)，sin(a+])=',而sin(a+第=sin(兀+a+])=-sin(a+])=—:

故選：C

5、已知復(fù)數(shù)z=2+i(i為虛數(shù)單位)，則z?(z-1)=(

A.3+IB.3-iC.1+3iD.1-31

答案：A

【分析】

首先求出2,再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則計(jì)算可得；

【詳解】

解：因?yàn)閦=2+i,所以z=2—i,所以z,(z—1)=(2—i)(l+i)-2+2i—I—尸=3+i

故選：A

6、已知tan。=—2,則cos20=()

A.--B.-C.--D

335

答案：c

解析：

【分析】

由二倍角余弦公式有cos2。=cos20-sin26,利用平方關(guān)系將cos2g-siMj齊次化，然后弦化切即可求解.

【詳解】

故選：C.

7、在AABC中，內(nèi)角4,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且。2+?2=13,ac=6,bsinA=V3acosB,則

b=()

A.V7B.V6C.V5D.V3

答案：A

解析：

【分析】

根據(jù)正弦定理及同角關(guān)系可得B=爭(zhēng)再用余弦定理可求解.

【詳解】

由bsinA=gacosB,根據(jù)正弦定理有：

sinBsinA=VSsinAcosB,

3

因?yàn)樵谌切沃?VAV%0VBV7T,所以sin4>0,

從而有sinB=y/3cosB=tanB=V3=B=g

再由余弦定理有：cosB=K竽土=汽廿=j解得b=b.

2ac122

故選：A

8、函數(shù)/(%)=cos(2%-1)的最小正周期是()

A.4TIB.2nC.TTD.-

2

答案：c

解析：

【分析】

利用余弦型函數(shù)的周期公式，即得解

【詳解】

由題意，函數(shù)/(X)=COS(2x-1)的最小正周期7=y=7T

故選：C

多選題(共4個(gè)，分值共：)

9、己知函數(shù)/0)=5譏(2%+9)(-]<9<9的圖象關(guān)于直線》=^對(duì)稱(chēng)，則()

A./(0)=1

B.函數(shù)/⑺在吊手上單調(diào)遞增

C.函數(shù)/(%)的圖象關(guān)于點(diǎn)偌,0)成中心對(duì)稱(chēng)

D.若-/(刀2)1=2,貝IJ|%1—久21的最小值為]

答案：BD

解析：

【分析】

首先利用函數(shù)的值求出函數(shù)的關(guān)系式，進(jìn)一步利用正弦型函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用判斷A、B、C、D的結(jié)論.

【詳解】

解：對(duì)于函數(shù)fQ)=sin(2x+0)的圖象關(guān)于x=W對(duì)稱(chēng)，

故/。)=sin(等+勿)=±1,

由于所以?<當(dāng)+W<?,所以?+乎=%

2￡63o3Z

故Q=-g

所以/(%)=sin(2x-^)；

6

對(duì)于A：由于/'(%)=sin(2%-￡),所以/'(())=一；，故A錯(cuò)誤；

62

對(duì)于B：由于“6*苧，故2x—故函數(shù)在該區(qū)間上單調(diào)遞增，故B正確；

4

對(duì)于C：當(dāng)“，時(shí)，/砥=今故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：若|人石)一/。2)1=2，則氏一外1的最小值為(=或故D正確.

故選：BD.

10、高斯是德國(guó)著名數(shù)學(xué)家，享有"數(shù)學(xué)王子”的稱(chēng)號(hào)，以他名字命名的"高斯函數(shù)"是數(shù)學(xué)界非常重要的函

數(shù)."高斯函數(shù)"為f(%)=[幻,其中x€R,[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，例如[2.1]=2,則函數(shù)g(x)=

償?shù)闹悼赡転?)

A.-IB.0C.1D.2

答案：ABC

解析：

【分析】

根據(jù)題意，可知9。)=[我土-：，利用基本不等式，結(jié)合高斯函數(shù)的定義，求出函數(shù)g(x)g(x)的值域，分

析選項(xiàng)可得答案.

【詳解】

9。)=[⑥-1]=因?yàn)榍?*22(當(dāng)且僅當(dāng)靖=卷，即x=0時(shí)，等號(hào)成立)，所以一[<

白-三?，故9。)的值域?yàn)閧TO1}.

故選：ABC.

11、下列函數(shù)f(x),g(x)表示相同函數(shù)的是()

X7

A./(x)=2,g(x)=log2xB./(x)=|x|,g[x)=Vx

C./(x)=2lgx,g(x)=lgx2O./(x)=x,g(x)=

答案：BD

解析：

【分析】

兩個(gè)函數(shù)相同要求定義域相同，對(duì)應(yīng)法則相同，依次判斷即可

【詳解】

對(duì)于A：f(x)=2，，g(x)=log2%分別為指數(shù)運(yùn)算與對(duì)數(shù)運(yùn)算，不為相等函數(shù)，故A錯(cuò)誤；

對(duì)于B：由于g(x)=>/短=|x|=/(x)故是相等函數(shù)，故B正確；

對(duì)于C：/(X)=2Zgx定義域?yàn)?0,+oo),g(x)=仞/定義域?yàn)槠琽},不是相等函數(shù)，故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：因?yàn)間(x)=以5'=x=/(x),所以/(x)=刀與9(乃=孤5'是同一函數(shù)，故D正確；

故選：BD

12、已知察函數(shù)f(x)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),則下列命題正確的有()

A.函數(shù)為增函數(shù)

5

B.函數(shù)f(K)為減函數(shù)

C.若XN9,則/(%)23

D.若％2>%>0,則*詈)

答案：AC

解析：

【分析】

求出函數(shù)的解析式，根據(jù)幕函數(shù)的圖像性質(zhì)即可逐項(xiàng)求解.

【詳解】

設(shè)幕函數(shù)y=r(x)=x。，a為實(shí)數(shù)，?：其圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2),「.40=2,解得a=%

.?./(x)=xt其定義域?yàn)椋?,+00),且/(>)=裝在［0,+8)上為增函數(shù)，A正確；

xZ9時(shí)，/(x)>/(9)=3,選項(xiàng)C正確；

1

函數(shù)/(%)=是上凸函數(shù)，

???對(duì)定義域內(nèi)任意的與<%2,都有嗎9</(晉)成立，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.

故選：AC.

填空題(共3個(gè)，分值共：)

13、已知正四面體ABC。的表面積為275,且A,B,C,。四點(diǎn)都在球。的球面上，則球。的體積為.

答案：弓兀

解析：

【分析】

設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,根據(jù)正四面體的結(jié)構(gòu)特征求出它的表面積，結(jié)合正四面體和正方體的聯(lián)系求出正方體

的棱長(zhǎng)，利用正方體的外接球的體積公式計(jì)算即可.

【詳解】

正四面體各面都是全等的等邊三角形，設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為a,

所以該正四面體的表面積為S=4x|xaxJ—gf=V3a2,所以a=V2,

又正方體的面對(duì)角線可構(gòu)成正四面體，

若正四面體棱長(zhǎng)為近，可得正方體的棱長(zhǎng)為1,

所以正方體的外接球即為該正四面體的外接球，所以外接球的直徑為遮，半徑為理，

所以球。的體積為當(dāng)兀.

故答案為：自兀

14復(fù)數(shù)Zi=cosx—isinx,z2=sinx—icosxf貝“Zi,z2\=.

答案：1

6

解析：

【分析】

根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法，求得Z「Z2,進(jìn)而求得其模.

【詳解】

22

-z2=(cosx—isinx)(sinx—icosx)=-i(sinx+cosx)=-i,

故|Z]々I=1

故答案為：1

15、若函數(shù)/(x)是定義域?yàn)镽的奇函數(shù).當(dāng)久>0時(shí)，/(x)=x3-2.則函數(shù)/Q+2)的所有零點(diǎn)之和為

答案：-6

解析：

【分析】

由題意，首先確定函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)及零點(diǎn)之和，然后結(jié)合函數(shù)圖象平移的性質(zhì)即可求得答案.

【詳解】

當(dāng)x>0時(shí)，易知函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為短，而奇函數(shù)滿(mǎn)足/(0)=0,結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱(chēng)性可知函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)，

設(shè)它們分別為修,％2，叼，則與+犯+”3=0，當(dāng)把函數(shù)/(%)的圖象向左平移2個(gè)單位之后得到函數(shù)+2)的

圖象，所以函數(shù)/(x+2)的零點(diǎn)之和為X]—2+^2—2+%3--2=尤1+g+刀3—6=—6.

故答案為：-6.

解答題(共6個(gè)，分值共：)

16、如圖，已知正方形A8CD的邊長(zhǎng)為1,點(diǎn)E是A8邊上的動(dòng)點(diǎn)，求：

⑴麗?麗的值；

⑵麗?瓦的最大值.

答案：⑴1

(2)1

解析：

【分析】

建立平面直角坐標(biāo)系，利用數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求解.

⑴

解：建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系：

7

則。(O,O),C(O,1),B(1,1),設(shè)E(l,x),(OWxW1),

所以屁=(l,x),CB=(1,0),

所以而?而=lxl+xx0=l；

(2)

因?yàn)槠?(1,尤)，反=(0,1),

所以DE-CB=lx0+xxl=x,

因?yàn)?<x<1>

所以瓦?沅的最大值是1.

17、如圖，兩條筆直的公路相交成60。角，兩輛汽車(chē)A和8同時(shí)從交點(diǎn)。出發(fā)，分別沿兩條公路行駛.如果

汽車(chē)A的速度是48km/h,那么汽車(chē)B應(yīng)以多大的速度行駛，才能使這兩輛汽車(chē)在出發(fā)lh后相距43km(結(jié)果

精確到lkm/h)?

答案：35km/八或13km/h

解析：

【分析】

設(shè)1小時(shí)后，汽車(chē)4在4點(diǎn)，汽車(chē)B在B點(diǎn)，問(wèn)題即為，在三角形40B中，已知4。=48,AB=43,且

/.AOB=60°,求08的長(zhǎng)，利用余弦定理，列出OB的方程，解出。B即可.

【詳解】

如圖：

8

A

設(shè)1小時(shí)后，汽車(chē)A在4點(diǎn)，汽車(chē)B在B點(diǎn),

由已知：在AAOB中，。4=48,AB=43,/.AOB=60°,

二由余弦定理得4辟=OA2+OB2-2OA-OBcos乙AOB,

即432=482+?？?-2x48xOBX5

化簡(jiǎn)得0”-48x0^+455=0,

解得OB=35或13

二汽車(chē)B的速度是35km",或13/OTI"時(shí)，兩輛汽車(chē)在出發(fā)后相距43km.

18、如圖，已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,E為CD的中點(diǎn)，F(xiàn)為AD的中點(diǎn)，求荏?前的值.

0

答案：0

解析：

【分析】

以荏、而分別為x、y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系,用坐標(biāo)法直接計(jì)算即可.

【詳解】

以荏、而分別為x、y軸正方向建立平面直角坐標(biāo)系.

二

~i\fix

則A(0,0),B(2,0),F(0,l),E(l,2),所以荏=(1,2),亙F=(-2,1)

所以荏?麗=1x(-2)+2x1=0.

19、已知表示向量五的有向線段方的起點(diǎn)4的坐標(biāo),求它的終點(diǎn)B的坐標(biāo).

9

(l)a=(-2,3).4(0,0);

(2)5=(-2,-6),A(-3,4).

答案：(1)(一2,3)；

(2)(-5,-2).

解析：

【分析】

(1)設(shè)出終點(diǎn)B的坐標(biāo)，表示出荏，利用d=四，即可求出答案.

(2)設(shè)出終點(diǎn)B的坐標(biāo)，表示出荏，利用日=荏，即可求出答案.

⑴

設(shè)終點(diǎn)B的坐標(biāo)為8=(x,y),AB=(x,y),"a=AB,得至“：??；，

???8的坐標(biāo)為(一2,3).

(2)

設(shè)終點(diǎn)B的坐標(biāo)為B=(x,y),AB=(x+3,y-4),

：-a=AB,得到產(chǎn)產(chǎn)一評(píng)『=一；

??.B的坐標(biāo)為(-5,-2).

20、已知向量己=(1,1),3=(0,—2),在下列條件下分別求1的值:

(1)5+5與k益—族平行；

(2尼+5與蔗一族的夾角為

答案：⑴一1

(2)-1±V3

解析：

【分析】

(1)首先求出日+?與人之-人再根據(jù)向量平行的坐標(biāo)表示得到方程，解得即可；

(2)首先利用向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算求出(a+b)-(ka-b),再根據(jù)平面向量數(shù)量積的定義得到方程，解得

即可；

⑴

解：因?yàn)閐=(l,l),b=(0,-2),所以a+b=ka-b=(k,k+2),又a+b與ka-b平行，所以

—k=k+2,解得k=—1；

⑵

解：因?yàn)镼+b=(1,-1),ku—b=(k,Zc+2),所以(a+b)?(ka—b)=1x/c+(—1)x(fc4-2)=-2,

因?yàn)閍+b與ka-b夾角為半，所以(a+b).(ka-h)=|a+Z?||a-b|cos拳

即一2=—y/2x+(4+2)2x解得k=—1±V3.

10

21、如圖，在A/IBC中，而=|荏，D