交通流理論-排隊(duì)論

知識(shí)點(diǎn)3：排隊(duì)論概述交通流理論“服務(wù)”與“需求”排隊(duì)論概述定義排隊(duì)論是研究服務(wù)系統(tǒng)因“需求”擁擠而產(chǎn)生等待行列(即排隊(duì))的現(xiàn)象，以及合理協(xié)調(diào)“需求”與“服務(wù)"關(guān)系的一種數(shù)學(xué)理論，是運(yùn)籌學(xué)中以概率論為基礎(chǔ)的一門重要分支，亦稱"隨機(jī)服務(wù)系統(tǒng)理論"。【食堂、醫(yī)院、超市、銀行、買火車票等等】組成排隊(duì)系統(tǒng)的組成(1)輸入過程：就是指各種類型的"顧客(車輛或行人)"按怎樣的規(guī)律到達(dá)。有各式各樣的輸入過程，例如：D—定長輸入：顧客等時(shí)距到達(dá)。M—泊松輸入：顧客到達(dá)時(shí)距符合負(fù)指數(shù)分布。Ek—愛爾朗輸入：顧客到達(dá)時(shí)距符合愛爾朗分布。組成排隊(duì)系統(tǒng)的組成(2)排隊(duì)規(guī)則：指到達(dá)的顧客按怎樣的次序接受服務(wù)。例如：損失制：顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)均被占，該顧客就自動(dòng)消失，永不再來。等待制：顧客到達(dá)時(shí)，若所有服務(wù)臺(tái)均被占，他們就排成隊(duì)伍，等待服務(wù)，服務(wù)次序有先到先服務(wù)(這是最通常的情形)和優(yōu)先權(quán)服務(wù)(如急救車、消防車優(yōu)先)等多種規(guī)則?；旌现疲侯櫩偷竭_(dá)時(shí)，若隊(duì)伍長小于L，就排入隊(duì)伍；若隊(duì)伍長大于等于L，顧客就離去，永不再來。組成服務(wù)臺(tái)的排列方式(1)單通道服務(wù)系統(tǒng)組成服務(wù)臺(tái)的排列方式(2)多通道服務(wù)系統(tǒng)組成服務(wù)臺(tái)的排列方式(3)服務(wù)方式：指同一時(shí)刻多少服務(wù)臺(tái)可接納顧客，每一顧客服務(wù)了多少時(shí)間。每次服務(wù)可以成批接待，例如公共汽車一次就裝載大批乘客。D—定長分布：每一顧客的服務(wù)時(shí)間都相等；M—負(fù)指數(shù)分布：即各顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，服從相同的負(fù)指數(shù)分布。Ek—愛爾朗分布：即各顧客的服務(wù)時(shí)間相互獨(dú)立，具有相同的愛爾朗分布。方式排隊(duì)模型的表示方法肯道爾(D.G.Kendall)1971年國際排隊(duì)符號(hào)標(biāo)準(zhǔn)會(huì)議到達(dá)過程/服務(wù)過程/服務(wù)臺(tái)數(shù)目/在系統(tǒng)中最大顧客數(shù)/在顧客源中顧客數(shù)/排隊(duì)規(guī)則M/M/1/K/∞/FCFSM/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用M/M/1系統(tǒng)（單通道服務(wù)系統(tǒng)）的基本概念：由于排隊(duì)等待接受服務(wù)的通道只有單獨(dú)的一條，因此也叫做“單通道服務(wù)”系統(tǒng)。服務(wù)（收費(fèi)站）μ輸出輸入λM/M/1系統(tǒng)M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用思考：假設(shè)在某一個(gè)高速公路的收費(fèi)站，平均每10秒有一輛車到達(dá)，收費(fèi)站發(fā)行通行卡的時(shí)間平均需要8s，這個(gè)收費(fèi)站是否會(huì)出現(xiàn)大量的阻塞？即:1/λ=10s；1/μ=8sM/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用設(shè)平均到達(dá)率為λ，則兩次到達(dá)的平均間隔時(shí)間（時(shí)距）為1/λ；設(shè)排隊(duì)從單通道接受服務(wù)后出來的系統(tǒng)平均服務(wù)率（輸出率）為μ，則平均服務(wù)時(shí)間為1/μ；主要參數(shù)稱為交通強(qiáng)度或利用系數(shù)，由比率ρ即可確定各種狀態(tài)的性質(zhì)。比率當(dāng)ρ<1（即λ<μ），且時(shí)間充分，每個(gè)狀態(tài)都會(huì)以非0的概率反復(fù)出現(xiàn)；當(dāng)ρ≥1（即λ≥μ），任何狀態(tài)都是不穩(wěn)定的，且排隊(duì)會(huì)越來越長。要保持穩(wěn)定狀態(tài)，確保單通道排隊(duì)消散的條件是ρ<1。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用思考：假設(shè)在某一個(gè)高速公路的收費(fèi)站，平均每10秒有一輛車到達(dá)，收費(fèi)站發(fā)行通行卡的時(shí)間平均需要8s，這個(gè)收費(fèi)站是否會(huì)出現(xiàn)大量的阻塞？即:1/λ=10s；1/μ=8s如果時(shí)間充分，這個(gè)收費(fèi)站不會(huì)出現(xiàn)大量阻塞。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)在系統(tǒng)中沒有顧客的概率為（即沒有接受服務(wù)，也沒有排隊(duì)）：在系統(tǒng)中有n個(gè)顧客的概率為（包括接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）在系統(tǒng)中的平均顧客數(shù)為（平均接受服務(wù)的顧客與排隊(duì)的顧客之和）：M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差：當(dāng)ρ≥0.8以后，平均排隊(duì)長度迅速增加，排隊(duì)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務(wù)能力迅速下降。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)系統(tǒng)中顧客數(shù)的方差：當(dāng)ρ≥0.8以后，平均排隊(duì)長度迅速增加，排隊(duì)系統(tǒng)變得不穩(wěn)定，造成系統(tǒng)的服務(wù)能力迅速下降。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)排隊(duì)系統(tǒng)中平均消耗時(shí)間：是指排隊(duì)中消耗時(shí)間與接受服務(wù)所用時(shí)間之和。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)排隊(duì)中的平均等待時(shí)間：這里在排隊(duì)時(shí)平均需要等待的時(shí)間，不包括接受服務(wù)的時(shí)間，等于排隊(duì)系統(tǒng)平均消耗時(shí)間與平均服務(wù)時(shí)間之差。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)平均排隊(duì)長度：這里是指排隊(duì)顧客（車輛）的平均排隊(duì)長度，不包括接受服務(wù)的顧客（車輛）。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)平均非零排隊(duì)長度：即排隊(duì)不計(jì)算沒有顧客的時(shí)間，僅計(jì)算有顧客時(shí)的平均排隊(duì)長度，即非零排隊(duì)。如果把有顧客時(shí)計(jì)算在內(nèi)，就是前述的平均排隊(duì)長度。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)系統(tǒng)中顧客數(shù)超過k的概率：M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用其他參數(shù)系統(tǒng)中排隊(duì)等候的顧客數(shù)超過k的概率：即系統(tǒng)中顧客數(shù)超過k+1的概率M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用實(shí)例分析【例題】某收費(fèi)公路入口處設(shè)有一收費(fèi)亭，汽車進(jìn)入公路必須向收費(fèi)亭交費(fèi)。收費(fèi)亭的收費(fèi)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每輛車的交費(fèi)時(shí)間為7.2秒，汽車到達(dá)率為400輛/h，并服從泊松分布。求：收費(fèi)人員空閑的概率；收費(fèi)亭前沒有車輛排隊(duì)的概率；收費(fèi)亭前排隊(duì)長度超過12輛的概率；平均排隊(duì)長度；車輛通過收費(fèi)亭所花費(fèi)時(shí)間的平均值；車輛的平均排隊(duì)時(shí)間。M/M/1系統(tǒng)及其應(yīng)用解：M/M/1系統(tǒng)，λ=400(輛/h),μ=3600/7.2=500