第4.4講對數函數新高一數學寶典（人教A版2019）

第四章指數函數與對數函數第4.4講對數函數一、學習目標1．通過具體實例，了解對數函數模型所刻畫的數量關系，初步理解對數函數的概念，重點培養(yǎng)數學抽象核心素養(yǎng)．2．探索對數函數的圖像與性質，并能簡單應用，重點提升直觀想象核心素養(yǎng)．3．理解對數函數的單調性，并能用單調性比較大小，解不等式，提升邏輯推理核心素養(yǎng)．4．掌握對數函數的性質和圖像，并能綜合應用，提升數學運算核心素養(yǎng)．二、重點難點1、對數函數的概念及應用2、對數函數的圖像問題3、對數函數的性質及應用三、核心知識對數函數的概念我們已經知道y＝2x是指數函數，那么y＝log2x(x＞0)是否表示y是x的函數？為什么？提示：是．由對數的定義可知y＝log2x(x＞0)?x＝2y，結合指數的運算可知，在定義域{x|x＞0}內對于每一個x都有唯一的y與之對應，故y＝log2x(x＞0)表示y是x的函數，其定義域為(0，＋∞)．一般地，函數y＝logax稱為對數函數，其中a是常數，a＞0且a≠1.x是自變量．對數函數的圖像與性質在同一坐標系中，對數函數y＝log2x，y＝log3x，y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x，y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖像如圖所示，說出這四個函數圖像的特征．提示：(1)這四個圖像都在y軸右側，即定義域為(0，＋∞)．(2)y＝log2x與y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x的圖像關于x軸對稱，y＝log3x與y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖像關于x軸對稱．(3)函數y＝logeq\s\do9(\f(1,2))x與y＝logeq\s\do9(\f(1,3))x的圖像從左到右是下降的，即函數的減區(qū)間為(0，＋∞)．(4)這四個圖像均過定點(1，0)對數函數的圖像和性質a＞10＜a＜1圖像性質定義域(0，＋∞)值域(－∞，＋∞)過定點(1，0)，即當x＝1時，y＝0單調性在(0，＋∞)上是增函數在(0，＋∞)上是減函數奇偶性非奇非偶函數三對數函數的性質與圖像當x為何值時，y＝logeq\s\do9(\f(1,5))x大于零？小于零？提示：由logeq\s\do9(\f(1,5))x＞0得0＜x＜1；由logeq\s\do9(\f(1,5))x＜0得x＞1.a＞10＜a＜1x＞1logax＞0logax＜00＜x＜1logax＜0logax＞0三、核心例題題型1對數函數的概念及應用1．下列函數是對數函數的是（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】形如的函數叫作對數函數，它的定義域是，對于A，滿足，故A正確；對于B，C，D，形式均不正確，均錯誤.故選：A2．函數的定義域為（

）．A． B．C． D．【答案】A【詳解】由題得，解得且.故選：A.3．已知偶函數在上單調遞增，若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為是偶函數，所以，因為，所以，因為在，上的單調遞增，所以，即．故選：B．4．函數f(x)＝log2(x2＋8)的值域為（

）A．R B．[0，＋∞)C．[3，＋∞) D．(－∞，3]【答案】C【詳解】解：設t＝x2＋8，則t≥8，又函數y＝log2t在(0，＋∞)上為增函數，所以f(x)≥log28＝3．故選：C．5．已知函數f(x)＝loga(x－1)＋4(a>0，且a≠1)的圖象恒過定點Q，則Q點坐標是（

）A．(0，5) B．(1，4) C．(2，4) D．(2，5)【答案】C【詳解】解：令x－1＝1，即x＝2．則f(x)＝4．即函數圖象恒過定點Q(2，4)．故選：C．題型2對數函數的圖像問題6．當時，在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象是（

）．A．

B．

C．

D．

【答案】A【詳解】依題意可將指數函數化為，由可知；由指數函數圖象性質可得為單調遞減，且過定點，即可排除BC，由對數函數圖象性質可得為單調遞增，且過定點，排除D，故選：A7．已知冪函數的圖象過函數且的圖象所經過的定點，則的值等于（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【詳解】因為函數為冪函數，所以，得，即，函數且的定點為，即.故選：D8．已知，且，則函數與的圖象只可能是（

）A． B．C． D．【答案】C【詳解】當時，函數為增函數，且直線與y軸的交點的縱坐標大于1；當時，函數為減函數，且直線與y軸的交點的縱坐標在0到1之間，只有C符合，故選：C．9．華羅庚是享譽世界的數學大師，其斐然成績早為世人所推崇．他曾說：“數缺形時少直觀，形缺數時難入微”．告知我們把“數”與“形”，“式”與“圖”結合起來是解決數學問題的有效途徑．若函數（且）的大致圖象如圖，則函數的大致圖象是（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由題意，根據函數的圖象，可得，根據指數函數的圖象與性質，結合圖象變換向下移動個單位，可得函數的圖象只有選項C符合.故選：C.10．已知函數的圖象如圖所示，則（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】由圖象知最上方的圖象是的圖象，過點的是的圖象，過點的是的圖象，因此，，，，，，即，故選：C．題型3對數函數的性質及應用11．已知，則的取值范圍為（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為在上遞減，，所以，解得，即的取值范圍是．故選：A．12．設，若函數在上是增函數，則實數的取值范圍是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】因為，設，由題意知在上是增函數，則有，即，于是．又是對數函數，故在上恒成立，由前面分析可知，在上是增函數，所以，解得.綜上，得實數的取值范圍是.故選：A13．關于函數，下列描述不正確的是（

）A．函數在區(qū)間上單調遞增 B．函數的圖象關于直線對稱C．函數的圖象與x軸有且僅有兩個交點 D．若，但，則【答案】D【詳解】因為，將關于y軸對稱，可得，將位于x軸下方的部分對折至x軸上方，可得，將向右平移2個單位，可得，據此可得的圖象，結合圖象可知：函數在區(qū)間上單調遞增，函數的圖象關于直線對稱，函數的圖象與x軸有且僅有兩個交點，故A、B、C正確；例如：，可得滿足選項D條件，但，故D錯誤；故選：D.14．已知函數在定義域內單調遞減，若，則實數的取值范圍是（

）A． B．C． D．【答案】B【詳解】依題意，函數的定義域為，即函數在上單調遞減，因此，不等式化為：，解得，所以實數的取值范圍是.故選：B15．已知函數，若不等式對恒成立，則實數的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】D【詳解】,,所以為奇函數,為單調增函數,,,恒成立,,.故選：D.當堂達標一、單選題1．函數的定義域為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】由題知：.故選：A.2．若，，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】因為，，，所以.故選：A3．函數在區(qū)間上的值域是（）A． B．C． D．【答案】A【詳解】在上是減函數，，即值域為.故選：A.4．下列函數中，在上單調遞減的是（

）．A． B． C． D．【答案】B【詳解】A選項，的圖象如下：故在上單調遞增，A錯誤；B選項，在上單調遞減，B正確；C選項，定義域為，在處無意義，C錯誤；D選項，定義域為，在處無意義，D錯誤.故選：B5．函數（且）恒過定點（

）A． B． C． D．【答案】D【詳解】由于（且），則函數（且）恒過定點．故選：D．6．已知，，則的值域為（

）A． B．C． D．【答案】A【詳解】令，則，又，所以原函數可變?yōu)椋?，所以，，所以的值域?故選：A.7．已知函數在定義域上是單調函數，則實數的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【詳解】當時，單調遞增且，所以當時，也單調遞增，則解得，所以.故選：B.8．已知，則的減區(qū)間為（

）A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，可得，當時，，方程不成立；當時，方程顯然不成立；當時，，方程不成立；所以，即，可函數為單調遞減函數，由函數，則，解得或，當時，單調遞減，所以單調遞增；當時，單調遞增，所以單調遞減，所以函數的遞減區(qū)間為.故選：C.二、多選題9．給出下列結論，其中正確的是（）A．函數的最大值為；B．已知函數在上是減函數，則實數a的取值范圍是；C．在同一平面直角坐標系中，函數與的圖象關于直線對稱；D．函數在上是增函數.【答案】CD【詳解】A中，由，可得，所以函數的最小值為，所以A錯誤；B中，由函數在上是減函數，則滿足，解得，所以B錯誤；C中，函數與互為反函數，其圖象關于對稱，所以C正確；D中，冪函數為偶函數，且在上單調遞減，所以在上單調遞增，所以D正確.故選：CD.10．已知函數在上是減函數，則實數可能值是（

）A． B． C．1 D．【答案】CD【詳解】函數的圖象開口向上，對稱軸為.在上單調遞減.要使在上是減函數，根據復合函數單調性同增異減可知：，解得，所以CD選項符合，AB選項不符合.故選：CD三、填空題11．設函數（且），若，則的值等于．【答案】16【詳解】.故答案為：.12．已知函數的定義域為，則函數的值域是．【答案】【詳解】∵，∴，即，即，則函數的值域為.故答案為：四、解答題13．已知函數（，且）(1)求函數的定義域；(2)判斷函數的奇偶性并證明.【詳解】（1）由題可得，或，所以函數定義域為.（2）由（1）知的定義域關于原點對稱，可得所以為奇函數.14．已知指數函數的圖象過點．(1)求的值；(2)求關于的不等式的解集．【詳解】（1）由題知指數函數，則，得或，又，圖象經過，則，解得；（2），以2為底的對數函數在其定義域內是單調遞增的，∴滿足條件，∴不等式的解集為．15．已知函數是的反函數且，且函數的圖象過點．(1)