幾何法求函數(shù)最值初探

目錄前言 -9-前言根據(jù)采用幾何知識的求最值的相關(guān)分析研究，清晰知道相關(guān)知識，對知識的靈活運用。幾種幾何知識的求最值的方法進(jìn)行總結(jié)和比較，以方便未來的學(xué)習(xí)提高。求最值問題是一個常見和重要的問題，也是日常生活，生產(chǎn)和科學(xué)研究中遇到的一個問題。對于某些功能，使用常規(guī)方法太復(fù)雜，但如果可以巧妙地轉(zhuǎn)換，則可能難以通過使用幾何知識來解決問題。1一元函數(shù)最值1.1一元函數(shù)最值的概念定義1.1設(shè)函數(shù)在某個空心鄰域內(nèi)有定義，為定數(shù)。如果隨便給一個數(shù)字，只要有一個是正數(shù)，如果可以滿足時有，就可以稱為函數(shù)為當(dāng)幾乎和接近時以為最值，用公式表示為或。若時，記作，稱為右最值;若時，記作，稱為左最值。單側(cè)最值通常包括左右最值。定義1.2設(shè)函數(shù)在時有定義，為常數(shù)。若對于任意給定的正數(shù)(無論它怎么小)，總存在正數(shù)，使得當(dāng)時，都有，就可以稱為函數(shù)為當(dāng)滿足時以為最值。記做或。若我們把定義1.2中的改成()，則稱為函數(shù)當(dāng)取正值且無限增大(記作)時的最值，記作把定義1.2中的改成，則稱為函數(shù)當(dāng)取負(fù)值且絕對值無限增大(記作)時的最值，記作1.2函數(shù)最值的特點函數(shù)最值的特點在求函數(shù)最值中有很大的作用，下面給出當(dāng)時的性質(zhì)。定理1.1(獨一特點)如果存在最值，這個最值一定是獨一的，即唯一的。定理1.2(四則運算法則)若，，則1);2);3)();4)(為常數(shù));5)。定理1.3(迫斂性)設(shè)在時有定義，且滿足:1)對任意的滿足時，有;2)，則。定理1.4設(shè)，，當(dāng)時，(1)假設(shè)存在(或為無窮大量)，則=(或為無窮大量)。(2)假設(shè)有存在(或為無窮大量)，則=(或為無窮大量)。定理1.5函數(shù)都是時的無窮小，且滿足，，則當(dāng)存在時，也存在且等于，即=。定理1.6(柯西準(zhǔn)則)設(shè)在時有定義。如果存在，則它的充要條件是:對于任意給出的數(shù)字，只要存在正數(shù)，讓對任意一個，，就會1.3一元函數(shù)最值的運算方法通過上面介紹中提出了很多種關(guān)于一元函數(shù)最值的求解方法，本文在上述內(nèi)容的基礎(chǔ)上總結(jié)歸納了下面幾種常見的最值求法。（1）用定義求一元函數(shù)最值不可小看定義的重要性在數(shù)學(xué)分析中，最值定義也不例外。如果能透徹理解最值定義，就會大大降低很多題目的難度。通過下面的舉例來介紹一下用定義求函數(shù)最值的方法。例1.1用最值的定義求求解步驟對于任意給出的數(shù)字，在其中任意取出一個，在滿足的時候，只要存在，因此這是利用定義求函數(shù)最值比較簡單一些的。但在平時的練習(xí)或?qū)嶋H生活中，遇到的題目難度要比這個例子大，往往需要借助一些其它的處理方法，如放縮法和含絕對值不等式，至于如何解決要具體問題具體分析。利用定義求函數(shù)最值的方法適合于初學(xué)者，但是在平時的求最值過程中往往避免用定義來求，因為它的難度較大。（2）可以使用最值的四則運算性質(zhì)求出函數(shù)最值若，.根據(jù)定理1.2我們能夠很容易的計算出以下各種最值。(1)。(2).(3)(其中)。(4)(其中c為常數(shù)).以上特點在滿足于時候也是可以運用此方法的。求函數(shù)最值的根本是最值的四則運算，通常也是求一些簡單函數(shù)的和差積商的最值常用方法。要對最值的四則運算很熟悉是學(xué)好求解函數(shù)最值的前提條件。例1.2求.解說明在運用最值的四則運算的時候，首先要考慮適用條件。首先要保證各項最值都存在，假如遇到的是分式，分母最值則不能夠為零。例如，因為最值不存在。（3）利用重要最值求函數(shù)最值下面兩個是重要最值中最重要的:1)2).這兩個最值不僅最常見而且最重要，表達(dá)式(1)為自變量的正弦值與自變量的比的最值值。而且最值過程漸漸向趨勢發(fā)展，兩者都不可缺少。關(guān)于表達(dá)式(2)是以以自變量的倒數(shù)為冪的，且底數(shù)還要加上1的等等都是我們應(yīng)該注意的。對于兩個重要最值我們在學(xué)習(xí)運用過程中要學(xué)會融會貫通，最好能夠自己去總結(jié)概括。對于，，通常我們可以對其系統(tǒng)的進(jìn)行推廣為(A);(B);(C)若則(D)若則除了上面這些外，下面還有幾個很重要的最值3)4)5)這三個重要最值是應(yīng)用非常普遍的。總之，我們要學(xué)會在學(xué)習(xí)的過程中，提高自己的數(shù)學(xué)素質(zhì)，從而總結(jié)出更普遍、更系統(tǒng)的結(jié)論。例1.3求的函數(shù)最值。解 對這幾個重要最值的熟悉掌握需要我們努力學(xué)習(xí)與探索，在這里例題就不一一列舉了。（4）采用洛比達(dá)法則也可以用來求解函數(shù)最值如果需要求“”或者“”這種樣式的未定式最值洛比達(dá)法則是應(yīng)用最普遍的方法。定理1.7設(shè)(或)，(或);當(dāng)?shù)目招泥徲騼?nèi)能夠滿足，同時，假設(shè)，則.當(dāng)中滿足有限數(shù)的條件，另外也可以當(dāng)作。例1.4求下列函數(shù)最值。(1)。(2).(3)。(4).解(1)原式==。上面這題連續(xù)用洛比達(dá)法則，最后用重要最值得出答案。(2)原式.(3)因為因此，原式=。(4)因為因此，原式=。（5）采用等價無窮小代換方法求解函數(shù)最值當(dāng)時，下列函數(shù)都是無窮小的(即最值為0)，且為相互等價，即有;。注意如果上面任意一個函數(shù)自變量x轉(zhuǎn)換時()，仍然可以滿足上面的等價關(guān)系，舉例說明:滿足時，;通?？梢圆捎谩盁o窮小乘以有界量仍是無窮小量”來求解最值。一般無窮小代換的特點如下:如果函數(shù)都是時的無窮小，且，，則當(dāng)存在時，也存在并且等于，也可以表示為=。例1.5求下列函數(shù)最值。(1)。(2).解(1)當(dāng)時，，，則原式=。(2)這是“”型，我們就利用無窮小代換及羅比達(dá)法則來求其最值。當(dāng)時，有，所以，原式。1.4用構(gòu)造法求函數(shù)最值構(gòu)造法是數(shù)學(xué)研究方法中很普通的一種方法，在求函數(shù)最值中經(jīng)常用到。1.4.1構(gòu)造矩形求函數(shù)最值在研究函數(shù)有關(guān)內(nèi)容時，有這樣的公式，這個和勾股定理比較相似。在矩形中就可以用到這個公式，所以可以構(gòu)造矩形。。例1.6：已知，，求的最小值。分析：這中間有三個未知量，取值范圍沒有明確，這里面有這個特殊編量，這可以涉及到均值不等式，但直接運用無法求解。這個題目，假設(shè)構(gòu)造一個正方形就比較容易的求解。解：且構(gòu)造一個正方形，讓兩條鄰邊的一條長度分別為，另外一條是其大致圖像如下：由上圖可知，，；由圖上觀察和兩點之間直線最短可知：（長度）即當(dāng)且僅當(dāng)時取等，最小值為。求函數(shù)最值除了用以上方法外，還可以用三維圖形進(jìn)行解題。1.4.2構(gòu)造矩形求函數(shù)最值例1.7：已知均為銳角且，求的最小值。分析：三角函數(shù)計算一般比較繁瑣，這個題目把三角函數(shù)轉(zhuǎn)換成長度來進(jìn)行計算，而于是構(gòu)造立體圖形。解：構(gòu)造一個長方體，設(shè)它的長、寬、高分別為，如圖：由圖易知，，；==（當(dāng)且僅當(dāng)時取等）即的最小值為。

2多元函數(shù)最值2.1多元函數(shù)最值的概念定義2.1設(shè)函數(shù)在以為聚點的集合上有定義，若對任何的存在，使得只要及[其中為和二點間的距離，則，我們就說重點注意，遇到時，就會解得不會產(chǎn)生理解錯誤的前提條件下，通?？梢杂孟旅婧唵蔚胤绞絹肀硎井?dāng)分別用坐標(biāo)表示時，也可以這樣表示說明二元函數(shù)最值的另一種叫法叫做二重最值。它與一元函數(shù)最值有很大不同，，一元函數(shù)與二元函數(shù)最值的主要區(qū)別是二元函數(shù)最值中自變量趨于點的方向的任意性及方式的多樣性，也是導(dǎo)致二元函數(shù)最值、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分概念間關(guān)系區(qū)別于一元函數(shù)相關(guān)概念間關(guān)系的根本所在。2.2多元函數(shù)最值的運算方法和一元函數(shù)的常見求法有很多類似，多元函數(shù)也有類似的求法，其中包括部分解法在文獻(xiàn)中被提及到。在此以二元函數(shù)為例簡單闡述一下.（1）利用定義求最值例2.1求.解因為，所以于隨便給出，滿足，遇到假設(shè)因此（2）運用函數(shù)的連續(xù)性求最值定義2.2(二元函數(shù)的不間斷性)若滿足定義存在點集上的二元函數(shù)，(它可能是的聚點，也可能是的孤立點)。隨便給出的正數(shù)，一定會有與之對于的正數(shù)，假設(shè)滿足因此，就把稱作關(guān)于集合D在點連續(xù)。在不會出現(xiàn)誤解的情況下，也稱在點連續(xù).例2.2求.求解由于在是不間斷的，因此（3）運用兩邊夾定理求最值例2.3求.解因為，而，所以.（4）利用重要最值求最值例2.4求.解，而，所以，原式.（5）利用有理化的方法求最值例2.5求求解讓分子分母同時乘以，便得出（6）運用無窮小與有界變量的乘積仍為無窮小求最值例2.6求解因為，所以，原式

3求解函數(shù)最值的容易出現(xiàn)錯誤的地方3.1洛比達(dá)法則的運用一般常用的、有效的求最值的方法是洛比達(dá)法則，舉例說明用來求解“”、“”、“”、“”形式等其他各式各樣的最值。洛比達(dá)法則通常能求解出很多函數(shù)最值，但不是所有的函數(shù)最值都能應(yīng)用洛必達(dá)法則，不是對任何函數(shù)在求最值中都適用。例3.1求.解釋假設(shè)此題采用洛比達(dá)法則，因此，但當(dāng)時，的取值不確定，所以就得出此最值不存在，而原來最值卻是存在的。正確做法如下:對二元函數(shù)求最值時洛比達(dá)法則也是不能隨便運用的，但對于二元函數(shù)我們有下列類似于洛比達(dá)法則的定理.定理3.1若二元函數(shù)滿足:(i)為有限點;(ii);(iii)滿足點的某空心鄰域內(nèi)可微，而且和最多有一個為零;(iv)，使得(當(dāng)條件(ii)換做=時結(jié)論依舊可以使用).例3.2求.解由定理3.1可知3.2不同的函數(shù)最值的逼近方式通常情況下一元函數(shù)，是最值存在的充要條件，和都是可以應(yīng)用的。但是如果是對二元函數(shù)來說要復(fù)雜得多，換句話說假如動點通過平行軸或通過平行于軸兩條直線的方式逐漸趨于定點時有最值并且相等，也可以用以下方式表示:時，也不能保證。就算是動點以無窮多種方式趨近于定點時有最值并且相等，到底有沒有最值是不能保證的。因為動點在平面區(qū)域上是可以任意的趨于定點的方式。下面以例題加以說明.例3.3通過求解來證明二元函數(shù)在原點沒有最值.求解步驟假設(shè)動點是隨著直線(為常數(shù))趨于原點時，因此.通過上式便可以解得，最值值是和直線的改變緊密相連的;因此通過定義可知，此函數(shù)在原點不存在最值.3.3區(qū)分二元函數(shù)最值與累次最值定義3.2假設(shè)是的聚點，是的聚點，二元函數(shù)在集合上有定義，任意對每一個會有最值因為此最值一般與有關(guān)，所以用如下來表示而且進(jìn)一步存在最值則稱此最值為二元函數(shù)先對后對的累次最值，并記作.或可稱為二元函數(shù)先對后對的累次最值，簡記作累次最值與二重最值是有區(qū)別的，它們的存在性沒有必然的因果關(guān)系。通過下面的兩個例子還解釋這一點。例3.4若，分別求出關(guān)于原點的二重最值與累次最值.解類似于例3.3的解釋，滿足時沒有二重最值。但當(dāng)時有從而有同理可得因此同時存在并且相等的兩個累次最值.例3.5若分別求關(guān)于原點的二重最值與累次最值.求解步驟以下是關(guān)于原點的兩個累次最值，是由于，因此沒有累次最值.假設(shè)存在沿斜率不同的直線時，所得最值也不同是很好驗證的，因此該函數(shù)沒有二重最值.但是累次最值與二重最值之間可能存在著一些特殊的因果關(guān)系.推論3.1若累次最值，和二重最值都存在，則三者相等.推論3.2若累次最值與存在最值但是最值不相等，因此二重最值肯定沒有.

4結(jié)論關(guān)于函數(shù)的最值，解決幾何知識問題的背景是函數(shù)或者它的轉(zhuǎn)換是不是有相關(guān)的幾何含義。所以，搜索幾何意義是解決幾何知識問題的重要的問題。根據(jù)挖掘問題的幾何含義和構(gòu)建相應(yīng)的幾何模型，將函數(shù)最小值的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題，找到一個簡單的解決方案。對于大多數(shù)最值問題，函數(shù)相對簡單，經(jīng)過簡單的轉(zhuǎn)換，可以獲得幾何含義，這就要求我們觀察和學(xué)習(xí)幾何知識，從而可以快速知道函數(shù)的幾何含義。相比之下，對于更復(fù)雜的功能，我們應(yīng)該有進(jìn)取的精神，經(jīng)過仔細(xì)的分析結(jié)構(gòu)，全面挖掘的潛在幾何意義的功能，從而解決問題，同時培養(yǎng)聯(lián)想和想像力。雖然可以使用幾何知識來解決最小的功能，但它只是一個最小的功能類。但是使用這種方法可以簡單方便地解決問題。它還可以培養(yǎng)幾何可視化的能力，增加思維的主動性和靈活性，提高解決問題的能力。

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