電路原理第4章

第四章動態(tài)電路(DynamicCircuits)到目前為止,我們已經(jīng)掌握了電阻電路的分析方法,如果電路中含有動態(tài)元件(電容、電感),這就是本章要解決的問題。電路將會出現(xiàn)什么新的現(xiàn)象?應該如何分析?本章內(nèi)容4.1基本概念和換路定則4.2一階電路的分析要點1、動態(tài)電路的初始值確定2、零輸入響應，零狀態(tài)響應，全響應3、三要素分析法4、二階電路響應的三種狀態(tài)5、階躍響應和沖激響應6、狀態(tài)和狀態(tài)變量的概念，以及狀態(tài)方程的列寫4.1

動態(tài)電路的基本概念和換路定則4.1.1

動態(tài)電路的基本概念問題的引出1.

汽車:實際生活中的物理現(xiàn)象80公里/小時勻速加速過程穩(wěn)態(tài)1穩(wěn)態(tài)2過渡過程為什么會有過渡過程?2.

照相機:閃光燈充電電容充電需要時間利用電容儲存電能物體慣性的存在電磁慣性的存在過渡過程為什么電容充電會有過渡過程?從靜止狀態(tài)S未動作前,電路原已穩(wěn)定i=0,uC

=0i

=0,uC

=Us一、動態(tài)電路及過渡過程i+–uCUsRC兩種穩(wěn)態(tài)：S接通電源后很長時間達到穩(wěn)定兩種穩(wěn)態(tài)電路之間的過渡過程各物理量是如何變化的?設開關S在t=0時,ab+–uCUsRCi

S(t

=0)ab電容的充電已經(jīng)完成例---初始穩(wěn)態(tài)---新穩(wěn)態(tài)初始狀態(tài)過渡過程變化規(guī)律新穩(wěn)態(tài)USuct0?含有動態(tài)元件（電感或者電容）的電路:動態(tài)電路i此過程稱為電路的過渡過程當動態(tài)電路的結構發(fā)生變化時，需要經(jīng)歷一個變化過程才能達到新的穩(wěn)態(tài):+–uCUsRCi

S(t

=0)ab續(xù)只有了解過渡過程,才能全面的了解動態(tài)電路的性質(zhì)。合上(斷開)電源、換路元件參數(shù)改變、電路結構改變等等。定義換路前后的瞬時,換路為了討論上的方便,忽略了開關的動作時間綜上所述,動態(tài)電路會產(chǎn)生過渡過程:1.電路中含有動態(tài)(儲能)元件L、C3.電磁能量的儲存和釋放都需要一定的時間來完成

電路結構、元件參數(shù)發(fā)生變化電磁慣性(內(nèi)因)(外因)2.換路:過渡過程實質(zhì):是電路的能量從一種分布狀態(tài)到另一種分布狀態(tài)的變化過程。除非電路中具有無窮大功率。二.動態(tài)電路的方程描述方程為微分方程描述方程為代數(shù)方程動態(tài)電路電阻電路iu3+-UsR1R2R3S(t=0)回顧靜態(tài)電路+–uCUsRCi

S(t

=0)ab元件KVL換路后，用一階微分方程描述的電路:一階電路+–

uCiCL–+RusS(t=0)換路后，用二階微分方程描述的電路:二階電路換路后，用n階微分方程描述的電路:n階電路動態(tài)電路的階數(shù)+–uCUsRCi

S(t

=0)ab含有n個動態(tài)元件的電路------n階電路?思考題1:獨立動態(tài)元件個數(shù)經(jīng)典法變換域分析法:時域分析法:拉普拉斯變換法狀態(tài)變量法數(shù)值法三.動態(tài)電路的分析方法(復頻域分析)解微分方程狀態(tài)方程計算機數(shù)值計算本章討論求解一階微分方程組齊次解特解雙零法零輸入響應零狀態(tài)響應(略)第10章討論S域中運算t域4.1.2

換路定則與初始值的確定一.初始條件定義設換路在t=0時刻進行,0-

換路前一瞬間0+

換路后一瞬間0-0+0tf(t)電路的初始條件（初始值）：求解微分方程的邊界條件:電路變量的初始值如何求初始條件?在t=0點連續(xù):在t=0點不連續(xù):電路的變量（電壓或電流）及（n-1）階導數(shù)在t=0+時刻的值。在0點有躍變線性電容所以令t0=0–

，t=0+iCucC

+-uC

(0+)=uC

(0-)換路瞬間，若電容電流為有限值，二.換路定則說明:則有則電容電壓換路前后瞬時的值保持不變。若為有限值線性電感令t0=0–

，t=0+iuLL+-LiL(0+)=iL(0-)說明:

換路瞬間，若電感電壓為有限值，則有所以則電感電流換路前后瞬時的值保持不變。同理若為有限值

L

(0+)=

L

(0-)qc(0+)=qc

(0-)換路定則換路定則成立的條件:換路瞬間，電感電壓為有限值。換路瞬間，電容電流為有限值;uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)

L=LiLqC=CuC由于可知換路定則推廣常數(shù)三、換路定則的應用電路初始值的計算舉例例1(2)由換路定則uC

(0+)=uC

(0-)=8Vic(0+)+-10Vi+8V-10k0+等效電路(1)由0-電路求uC(0-)+-10V+uC(0-)-10k40kuC(0-)=?(3)由0+等效電路,求iC(0+)iC(0--)iC(0+)電路原已穩(wěn)定,開關在t=0打開，求iC(0+)。iC(0+)＝0-等效電路解8V注意:+-10ViiC+uC-S10k40kC開路等值電壓源替代例2

iL(0+)=iL(0-)=2A電路原已穩(wěn)定,t=0時閉合開關S,求uL(0+)。iL+uL-L10VS1

4

+uL(0+)-0+電路:10V1

4

2A先求由換路定則解由0_電路:10V1

4

iL(0_)短路等值電流源替代例3iL(0+)=iL(0-)=ISuC(0+)=uC(0-)=RISuL(0+)=-uC(0+)=-RIS0+等效電路:iC(0+)uL(0+)+–電路原已穩(wěn)定,t=0時閉合開關S,求iC(0+),uL(0+)。S(t=0)+–uLiLC+–uCLRISiC解+–uC(0-)CLRIS0-等效電路:iL(0-)=ISuC(0-)=RISiL(0-)RiL(0+)+–uC(0+)由換路定則所以練習:初始值計算步驟①換路前電路已穩(wěn)定:電容開路、電感短路、uC

(0+)=uC

(0-),uC(0-)由0-電路求和iL(0-)；iL(0+)=iL(0-)②由換路定則求③

0+電路C、L的處理uC(0+)iL(0+)電容用等值電壓源替代電容短路電感開路電感用等值電流源替代④由0+電路求變量及相應(n-1)階導數(shù)的初值。由上舉例可知小結1.動態(tài)電路的特點含有動態(tài)元件(L、C)用微分方程來描述,方程階數(shù)=電路階數(shù)2.產(chǎn)生過渡過程過渡過程的物理現(xiàn)象換路外因動態(tài)元件內(nèi)因?qū)嵸|(zhì)在有限功率下,能量分布狀態(tài)的改變,不能立即完成。電磁慣性3.換路定則有限值條件:uC

(0+)=uC

(0-)iL(0+)=iL(0-)4.初始條件的計算?電路的初始值是求解微分方程的必要條件，給定動態(tài)電路,如何列寫電路的微分方程并求解?動態(tài)電路的分析?練習圖示電路原已穩(wěn)定,求開關打開后的各量初值。S(t=0)R1R2USLCuLuCuR2iLiC解0+電路:?R2uR2(0+)iL(0+)uC(0+)iC(0+)uL(0+)4.2一階電路的分析換路后，描述電路的方程是一階（常系數(shù)）微分方程。TheFirst-OrderCircuit4.2.1零輸入響應分析外加激勵(獨立電源)為零，僅由儲能元件的初始儲能(條件)作用于電路產(chǎn)生的響應。Zero-inputResponse1、RC電路的零輸入響應－－RC放電電路已知：電路如圖,uC

(0-)=U0，求開關閉合后的uC

(t)。解:

iS(t=0)+–uRC+–uCR

uR=Ri特征根設特征方程RCp+1=0則初始值uC

(0+)=uC(0-)=U0A=U0U0it0I0電壓、電流以同一指數(shù)規(guī)律衰減，衰減快慢取決于RC乘積.放電過程中電容電壓uC。

可知：電壓是連續(xù)的，而非突變（躍變）的！在換路瞬間，i

(0－)=0，i

(0+)=U0/R，電流發(fā)生了躍變！

tuC0一個重要的參數(shù)：時間常數(shù)τ令=RC

,稱

為一階電路的時間常數(shù)

=RC時間常數(shù)

的大小反映了電路過渡過程時間的長短;

大

,過渡過程時間長;

小,過渡過程時間短.電壓初值一定：R大（C不變）i=u/R放電電流小放電時間長U0tuc0

小

大C大（R不變）w=0.5Cu2

儲能大U00.368U00.135U00.05U00.007U0工程上認為,經(jīng)過3

-5

,過渡過程結束。

——衰減到初始值的36.8%所需的時間t0

2

3

5

U0

U0e

-1

U0e

-2

U0e

-3

U0e

-5

tU0uC0

0.368U0（1）用特征根計算:

時間常數(shù)τ的求法:R1R2CR3i＋uC－列電路方程:特征方程:特征根:Req=Req（2）用電路參數(shù)計算式中Req

為從電容兩端看出去的等效電阻。

R1R2CR3次切距的長度t2-t1=

t1時刻(A點)曲線的斜率等于I0tuc0

t1t2按此速率，經(jīng)過

秒后uc減為零（3）用圖解法確定ReqReqδA能量關系C不斷釋放能量被R吸收,直到全部消耗完畢.設uC(0+)=U0電容放出能量:電阻吸收（消耗）能量:uCR+-C能量守恒2、RL電路的零輸入響應－RL放電電路iLS(t=0)L+–uLU0RR0+-t≥0時–+uRuL–+iLRLiL(0+)=iL

(0-)例電路方程：特征方程

LP+R=0特征根p=初始值iL(0+)=I0定積分常數(shù)AA=iL(0+)=I0解方程：令iLS(t=0)L+–uLU0RR0+-令

=L/R

,稱為一階RL電路時間常數(shù)iL(0)一定：L大,初始能量大

R小,放電過程消耗能量小放電慢

大-RI0uLtI0tiL0例uV

(0+)=－10000Vt=0時,打開開關S，求uv。現(xiàn)象：電壓表壞了電壓表量程<50V分析iLLR10V措施：加個單向?qū)ㄔǘO管）iLS(t=0)+–uVL=4HR=10

VRV10k

10ViL

(0+)=iL(0-)=1A..小結：一階電路零輸入響應的求解y(t)通常是uc(t)和iL(t)——先求的主要電量；齊性是由儲能元件的初值引起的響應,都是由初始值衰減至零的指數(shù)衰減函數(shù)；2.衰減快慢取決于時間常數(shù)

RC電路

=RC

,RL電路

=L/R3.同一電路中所有響應具有相同的時間常數(shù)；4.一階電路的零輸入響應和初始值成正比。電路的零輸入響應響應的初始值時間常數(shù)Req例4-2如圖

所示電路中，開關S原在位置1，且電路已達穩(wěn)態(tài)。t=0時開關由1合向2，試求t≥0時的uC(t)、i(t)。

解

換路前電路已達穩(wěn)態(tài)，則

uC–+(a)C4ΩR21F4ΩR1S(t=0)2ΩR10V21–+i1FCuC–+R1(b)4Ω4ΩR2iV

SV例4-3已知iL(0+)=150mA，求t>0時的電壓u(t)。

先求電感兩端的等效電阻Req。外加電壓源方法：

(a)0.1u4Ω6Ωu(t)–+iL1/2Hu–+i(b)先計算主要電量：iL(c)u(t)–+50/3ΩL=0.5HiL(t)再計算待電量：u（t）解Ω4.2.2一階電路的零狀態(tài)響應儲能元件初始狀態(tài)為零,在輸入激勵作用下產(chǎn)生的響應.1、RC電路的零狀態(tài)響應例–+uCCUSuR–+S(t=0)–+Ri一階線性非齊次微分方程

初始條件：uC

(0+)=uC(0－)=0齊次通解：方程的解：Zero-stateResponse非齊次特解：與輸入激勵的變化規(guī)律有關，為電路的穩(wěn)態(tài)解(穩(wěn)態(tài)分量)。變化規(guī)律由電路參數(shù)和結構決定全解uC

(0+)=US+A=0

A=-US由起始條件uC

(0+)=0定積分常數(shù)

A齊次方程的通解：特解（強制分量）=US：（自由分量，暫態(tài)分量）滿足滿足強制分量(穩(wěn)態(tài))自由分量(暫態(tài))-USuC"uC'USti0tuc0能量關系電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉換成電場能量儲存在電容中，充電效率只有50％

。電容儲存電源提供能量：電阻消耗RC+-UStiL02、RL電路的零狀態(tài)響應iLS(t=0)US+–uRL+–uLRiL(0-)=0求:電感電流iL(t).已知一階線性非齊次微分方程

初始條件：iL

(0+)=iL(0－)=0方程的解：uLUSt0連續(xù)躍變練習R1ISR2C1C2S(t=0)+-2×103ii已知R1=6KΩ,R2=2KΩ,

C1=1uF,

C2=2uF,求τ。解1)

求Req:R1R2+-2×103ii+u-2)求Ceq:3)求τ:u1u2uq零狀態(tài)響應討論：1)τ的含義，反映過渡過程的快慢；3)

τ計算RC電路（或最終可以化簡為Req與C的電路）τ=ReqCRL電路（或最終可以化簡為Req與L的電路）τ=L/Req2)零狀態(tài)響應的比例性當外加激勵增大K倍時，則零狀態(tài)響應也增大K倍:齊性特性4.2.3全響應(CompleteResponse)非零初始狀態(tài),且有激勵時電路中產(chǎn)生的響應iS(t=0)US+–uRC+–uCR穩(wěn)態(tài)解uC'

=US解為

uC(t)=uC'+uC"uC

(0-)=U0非齊次方程

=RC暫態(tài)解1、RC全響應uC

(0+)=A+US=U0

A=U0-US由起始值定A全響應強制分量(穩(wěn)態(tài)解)自由分量(暫態(tài)解)uC"-USU0暫態(tài)解uC'US穩(wěn)態(tài)解U0uc全解tuc0(1)

全響應=強制分量(穩(wěn)態(tài)解)+自由分量(暫態(tài)解)2、全響應的兩種分解方式特點：物理概念清楚iS(t=0)US+–uRC+–uCRuC

(0-)=U0iS(t=0)US+–uRC+–

uCR=uC

(0-)=0+uC

(0-)=U0C+–

uCiS(t=0)+–uRR(2)

全響應=零狀態(tài)響應+零輸入響應零狀態(tài)響應零輸入響應特點：便于疊加計算零狀態(tài)響應零輸入響應tuc0US零狀態(tài)響應全響應零輸入響應U04.2.4

三要素法其解答一般形式為：三要素在直流激勵下的響應:分析一階電路例1t=0時合上開關,求換路后的uC(t)。解：tuc2(V)0.66701A2

1

3F+-uCS(t=0)響應曲線例2已知：電感無初始儲能

t=0時合S1,t=0.2s時合S2

求兩次換路后的電感電流i(t)。解

0<t<0.2st>0.2si10V1HS1(t=0)S2(t=0.2s)3

2

三要素法分析一階電路過程1、首先分析待求量待求量有很多，在過渡過程求解分析時，電路中各個元件的電壓或者電流、以及功率等都可能作為待求量.+-uC1A2

1

3FS(t=0)+-uR1iR2iC如：圖中待求量2、在待求量中選取主要矛盾來分析解決眾多的待求量中，主要矛盾只有兩個：uc和iL。首先選取uc或iL采用三要素分析。3、然后再通過uc或iL求解最終結果。例4-4如圖所示電路，開關打開以前電路已達穩(wěn)態(tài)，求t≥0時的uC

、iC

。解：uC的初始值：時間常數(shù)：特解：t/suc/v640分析:本題先解決的應該是uc然后,ic則利用與uc的關系求出+-6V+-uc3k

1k

6k

S(t=0)ic10uF例4-5圖示t>0電路，已知iL

(0+)=2A，求iL(t)、i1(t)

。

求電感兩端的戴維南等效電路，iL

(0+)=2

V等效電路UocReq–+iL3H解：得：最后：先計算iL(t)2i1–+4A4Ωi1iL3H其中Uoc=24V，Req=6Ω。As直流電源作用下的一階電路求法:1.經(jīng)典法(列寫微分方程)2.等效電路疊加法：全響應=零輸入響應+零狀態(tài)響應3.三要素法例1用三種方法求開關閉合后的uC(t)。解i2iCi1S(t=0)R2+US-CR1uCuC(0-)=U0經(jīng)典法:uC(0-)=U0等效電路法:Req+UOC-CuC(0+)=U0uC三要素法:R2+US-CR1uCuC(0-)=U