新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)講義第二十一講空間向量在立體幾何中的應(yīng)用（含解析）

第二十一講：空間向量在立體幾何中的應(yīng)用【考點(diǎn)梳理】1.法向量的求解=1\*GB3①法向量一定是非零向量；=2\*GB3②一個(gè)平面的所有法向量都互相平行；=3\*GB3③向量SKIPIF1<0是平面的法向量，向量SKIPIF1<0是與平面平行或在平面內(nèi)，則有SKIPIF1<0．第一步：寫(xiě)出平面內(nèi)兩個(gè)不平行的向SKIPIF1<0；第二步：那么平面法向量SKIPIF1<0，滿(mǎn)足SKIPIF1<0．第三步：化解方程組令SKIPIF1<0其中一個(gè)為1，求其它兩個(gè)值.2.判定直線(xiàn)、平面間的位置關(guān)系=1\*GB3①直線(xiàn)與直線(xiàn)的位置關(guān)系：不重合的兩條直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的方向向量分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．=2\*GB3②直線(xiàn)與平面的位置關(guān)系：直線(xiàn)SKIPIF1<0的方向向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．3.平面與平面的位置關(guān)系平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0．若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；若SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0．4.空間角公式．（1）異面直線(xiàn)所成角公式：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為異面直線(xiàn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0上的方向向量，SKIPIF1<0為異面直線(xiàn)所成角的大小，則SKIPIF1<0．（2）線(xiàn)面角公式：設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的斜線(xiàn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小，則SKIPIF1<0．（3）二面角公式：設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的法向量，二面角的大小為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（需要根據(jù)具體情況判斷相等或互補(bǔ)），其中SKIPIF1<0．5.點(diǎn)到平面的距離SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0外一點(diǎn)（如圖），SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，過(guò)SKIPIF1<0作平面SKIPIF1<0的斜線(xiàn)SKIPIF1<0及垂線(xiàn)SKIPIF1<0．SKIPIF1<0【典型題型講解】考點(diǎn)一：直線(xiàn)與平面所成的角【典例例題】例1．（2022·廣東茂名·一模）如圖，四棱錐P-ABCD中，PA⊥底面ABCD，底面ABCD為平行四邊形，E為CD的中點(diǎn)，SKIPIF1<0.(1)證明：SKIPIF1<0；(2)若三角形AED為等邊三角形，PA=AD=6，F(xiàn)為PB上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，求直線(xiàn)EF與平面PAE所成角的正弦值.【解析】(1)由SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0又SKIPIF1<0，E為CD的中點(diǎn)SKIPIF1<0又SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.(2)由（1）得，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，分別以AC、AD、AP為x、y、z軸建立空間坐標(biāo)系.因?yàn)槿切蜛ED為等邊三角形，PA=AD=6，SKIPIF1<0CD=12，AC=SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設(shè)平面PAE的一個(gè)法向量為由SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0令SKIPIF1<0則SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)直線(xiàn)EF與平面PAE所成的角為SKIPIF1<0SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】設(shè)SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的斜線(xiàn)，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的方向向量，SKIPIF1<0為平面SKIPIF1<0的法向量，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所成角的大小，則SKIPIF1<0．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東惠州·一模）如圖1所示，梯形ABCD中，AB=BC=CD=2，AD=4，E為AD的中點(diǎn)，連結(jié)BE，AC交于F，將△ABE沿BE折疊，使得平面ABE⊥平面BCDE（如圖2）.(1)求證：AF⊥CD；(2)求平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值.【解析】（1）連接EC，則△ABE?△BCE?△CDE都是正三角形，四邊形ABCE是菱形，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因?yàn)槊鍿KIPIF1<0面BCDE，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面ABE，所以SKIPIF1<0面BCDE，又因?yàn)镾KIPIF1<0面BCDE，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）知FB?FC?FA兩兩垂直，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面ADE的法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面AFC的法向量為SKIPIF1<0，設(shè)平面AFC與平面ADE的夾角的大小為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以平面AFC與平面ADE的夾角的余弦值為SKIPIF1<0.2．（2022·廣東廣州·一模）如圖，在五面體ABCDE中，SKIPIF1<0平面ABC，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：平面SKIPIF1<0平面ACD；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，五面體ABCDE的體積為SKIPIF1<0，求直線(xiàn)CE與平面ABED所成角的正弦值.【解析】若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點(diǎn)，連接SKIPIF1<0，作SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0面ABC，則SKIPIF1<0面ABC，又SKIPIF1<0面ABC，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0兩兩垂直，故可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0是面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量，則SKIPIF1<0，所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.(2)由SKIPIF1<0面ABC，SKIPIF1<0面ABED，則面ABEDSKIPIF1<0面ABC，故SKIPIF1<0到面ABED的距離，即為△SKIPIF1<0中SKIPIF1<0上的高，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0上的高SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0面ABC，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0為直角梯形，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，綜上，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.由（1）知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是面ABED的一個(gè)法向量，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以直線(xiàn)CE與平面ABED所成角的正弦值為SKIPIF1<0.3．（2022·廣東汕頭·一模）如圖，D為圓錐的頂點(diǎn)，O是圓錐底面的圓心，SKIPIF1<0為底面直徑，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是底面的內(nèi)接正三角形，且SKIPIF1<0，P是線(xiàn)段SKIPIF1<0上一點(diǎn).(1)是否存在點(diǎn)P，使得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，若存在，求出SKIPIF1<0的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)當(dāng)SKIPIF1<0為何值時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角的正弦值最大.【解析】（1）解：由題得SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.所以△SKIPIF1<0是圓的內(nèi)接三角形，所以SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0.假設(shè)SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.此時(shí)SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.（2）解：如圖所示，建立以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)直線(xiàn)SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角為SKIPIF1<0，由題得SKIPIF1<0SKIPIF1<0.當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，直線(xiàn)SKIPIF1<0與面SKIPIF1<0所成的角的正弦值最大.考點(diǎn)二：二面角【典例例題】例1．（2021·廣東佛山·一模）某商品的包裝紙如圖1，其中菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為3，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，將包裝紙各三角形沿菱形的邊進(jìn)行翻折后，點(diǎn)E，F(xiàn)，M，N匯聚為一點(diǎn)P，恰好形成如圖2的四棱錐形的包裹．(1)證明SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0；(2)設(shè)點(diǎn)T為BC上的點(diǎn)，且二面角SKIPIF1<0的正弦值為SKIPIF1<0，試求PC與平面PAT所成角的正弦值．【解析】(1)由菱形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為3，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0同理SKIPIF1<0，即有SKIPIF1<0在翻折的過(guò)程中，垂直關(guān)系保持不變可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0(2)解法一：如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，AB為x軸，過(guò)點(diǎn)A作AB的垂線(xiàn)為y軸，AP為z軸建立空間直角坐標(biāo)系．由第（1）問(wèn)可得SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由題意可得：SKIPIF1<0考慮SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．利用正弦定理SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，可得點(diǎn)T的坐標(biāo)為SKIPIF1<0．點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則有：SKIPIF1<0則PC與面PAT所成角的正弦值為SKIPIF1<0．解法二：由第（1）問(wèn)可知SKIPIF1<0底面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．則SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由題意可得：SKIPIF1<0考慮SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0．利用正弦定理SKIPIF1<0可得：SKIPIF1<0，即點(diǎn)T為BC上靠近點(diǎn)B的三等分點(diǎn)所以在SKIPIF1<0中，由余弦定理可得：SKIPIF1<0，設(shè)過(guò)點(diǎn)C作平面PAT的垂線(xiàn)，垂足為Q，連接PQ，所以SKIPIF1<0為PC與面PAT所成角考慮三棱錐SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0所以PC與面PAT所成角的正弦值為SKIPIF1<0解法三：由SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，可得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0為二面角SKIPIF1<0的平面角，由題意可得：SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0故SKIPIF1<0過(guò)點(diǎn)C作CQ垂直于AT于Q，連接CQ、AC則SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面PAT故SKIPIF1<0為SKIPIF1<0與面PAT所成的角，∴SKIPIF1<0即PC與面PAT所成角的正弦值為SKIPIF1<0【方法技巧與總結(jié)】設(shè)SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的兩個(gè)半平面的法向量，其方向一個(gè)指向二面角內(nèi)側(cè)，另一個(gè)指向二面角的外側(cè)，則二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東·一模）如圖，SKIPIF1<0為圓柱SKIPIF1<0的軸截面，SKIPIF1<0是圓柱上異于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的母線(xiàn).(1)證明：SKIPIF1<0平面DEF；(2)若SKIPIF1<0，當(dāng)三棱錐SKIPIF1<0的體積最大時(shí)，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】（1）證明：如右圖，連接AE，由題意知AB為SKIPIF1<0的直徑，所以SKIPIF1<0.因?yàn)锳D，EF是圓柱的母線(xiàn)，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0,所以四邊形AEFD是平行四邊形.所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.因?yàn)镋F是圓柱的母線(xiàn)，所以SKIPIF1<0平面ABE,又因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABE，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，DF，SKIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0平面DEF.（2）由（1）知BE是三棱錐SKIPIF1<0底面DEF上的高，由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即底面三角形DEF是直角三角形.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)等號(hào)成立，即點(diǎn)E，F(xiàn)分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)時(shí)，三棱錐SKIPIF1<0的體積最大,下面求二面角SKIPIF1<0的余弦值：法一：由（1）得SKIPIF1<0平面DEF，因?yàn)镾KIPIF1<0平面DEF，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面BEF.因?yàn)镾KIPIF1<0平面BEF，所以SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0是二面角SKIPIF1<0的平面角,由（1）知SKIPIF1<0為直角三角形，則SKIPIF1<0.故SKIPIF1<0,所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.法二：由（1）知EA，EB，EF兩兩相互垂直，如圖，以點(diǎn)E為原點(diǎn)，EA，EB，EF所在直線(xiàn)為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0平面DEF，故平面DEF的法向量可取為SKIPIF1<0.設(shè)平面BDF的法向量為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角為θ,則SKIPIF1<0，由圖可知θ為銳角，所以二面角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0.2．（2022·廣東湛江·一模）如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，四邊形SKIPIF1<0是菱形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn).(1)證明：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】(1)證明：連接SKIPIF1<0，因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是菱形，則SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，故SKIPIF1<0為等邊三角形，所以SKIPIF1<0.因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：連接SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0.又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，以點(diǎn)SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所在直線(xiàn)分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0軸建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量是SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，由圖可知，二面角SKIPIF1<0為鈍角，因此，二面角SKIPIF1<0的余弦值是SKIPIF1<0.3．（2022·廣東深圳·一模）如圖，在四棱錐E-ABCD中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，E在以AB為直徑的半圓上（不包括端點(diǎn)），平面SKIPIF1<0平面ABCD，M，N分別為DE，BC的中點(diǎn)．(1)求證：SKIPIF1<0平面ABE；(2)當(dāng)四棱錐E-ABCD體積最大時(shí)，求二面角N-AE-B的余弦值．【解析】(1)證明：如圖所示，取EC的中點(diǎn)的F，連接MF，NF，因?yàn)镸，F(xiàn)分別為ED和EC的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.(2)解：如圖所示，過(guò)E作SKIPIF1<0交AB于O，因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面ABCD，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面ABCD，故EO為四棱錐E-ABCD的高，要使四棱錐E-ABCD體積最大，則E為弧SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以O(shè)與AB的中點(diǎn)，取CD的中點(diǎn)G，連接OG，因?yàn)镾KIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以EO，AB，OG兩兩垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，分別以AB為x軸，以O(shè)E為y軸，以O(shè)G為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由圖可知二面角SKIPIF1<0的平面角為銳角，所以二成角SKIPIF1<0的余弦值為SKIPIF1<0．4．（2022·廣東廣東·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，PD⊥平面ABCD，四邊形ABCD是等腰梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，M，N分別是AB，AD的中點(diǎn)．(1)證明：平面PMN⊥平面PAD；(2)若二面角SKIPIF1<0的大小為60°，求四棱錐SKIPIF1<0的體積．【解析】(1)連接DM，顯然SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴四邊形BCDM為平行四邊形，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴△SKIPIF1<0是正三角形，故SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，SKIPIF1<0平面ABCD，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面PAD，又SKIPIF1<0平面PMN，∴平面SKIPIF1<0平面PAD．(2)（方法一）連接BD，易知SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又PD⊥平面ABCD，ADSKIPIF1<0平面ABCD，則PD⊥AD，故可建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，平面PAB的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，而平面ABCD的法向量為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（方法二）連接DM，由M為AB的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以BCDM為平行四邊形，故SKIPIF1<0，所以△SKIPIF1<0為等邊三角形，在AM上取中點(diǎn)H，連接DH，PH，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面ABCD，AMSKIPIF1<0平面ABCD，所以SKIPIF1<0，易知：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的二面角，所以SKIPIF1<0，又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.5．（2022·廣東韶關(guān)·一模）如圖，在四棱錐SKIPIF1<0中，底面SKIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為斜邊的等腰直角三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)點(diǎn)SKIPIF1<0為棱SKIPIF1<0上一點(diǎn)，若SKIPIF1<0，求二面角SKIPIF1<0的余弦值.【解析】(1)取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連結(jié)SKIPIF1<0.SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0為等腰直角三角形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0面SKIPIF1<0.（2）由（1）可知，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0為直角三角形，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，則SKIPIF1<0因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，設(shè)平面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由題可知SKIPIF1<0為面SKIPIF1<0的一個(gè)法向量設(shè)二面角的平面角為SKIPIF1<0，由圖知SKIPIF1<0為銳角，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0.6.如圖，四棱錐SKIPIF1<0的底面ABCD是平行四邊形，且SKIPIF1<0底面ABCD，SKIPIF1<0，點(diǎn)E是線(xiàn)段BC（包括端點(diǎn)）上的動(dòng)點(diǎn)．（1）探究點(diǎn)E位于何處時(shí)，平面SKIPIF1<0平面PED；（2）設(shè)二面角SKIPIF1<0的平面角的大小為SKIPIF1<0，直線(xiàn)AD與平面PED所成角為SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0【解析】（1）過(guò)點(diǎn)A作直線(xiàn)SKIPIF1<0，交直線(xiàn)BC于點(diǎn)M，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，直線(xiàn)AM?AD?AP分別為x軸?y軸?z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，設(shè)點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)平面PEA的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，設(shè)平面PED的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，若平面SKIPIF1<0平面PED，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．故點(diǎn)E是BC中點(diǎn)或與點(diǎn)C重合時(shí)，平面SKIPIF1<0平面PED．（2）SKIPIF1<0平面ADE的一個(gè)法向量為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為銳角，SKIPIF1<0．考點(diǎn)三：點(diǎn)到平面距離【典例例題】例1．（2022·廣東中山·高三期末）已知圓錐SKIPIF1<0的底面半徑為2，母線(xiàn)長(zhǎng)為SKIPIF1<0，點(diǎn)C為圓錐底面圓周上的一點(diǎn)，O為圓心，D是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）求三棱錐SKIPIF1<0的表面積；（2）求A到平面SKIPIF1<0的距離．【解析】解：（1）由已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0三棱錐SKIPIF1<0的表面積等于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，圓錐的高SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，對(duì)于SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故三棱錐SKIPIF1<0的表面積為SKIPIF1<0；（2）因?yàn)镈是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，則A到平面SKIPIF1<0的距離即為B到平面SKIPIF1<0的距離，過(guò)B作SKIPIF1<0垂足為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0面SKIPIF1<0所以面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，面SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，則線(xiàn)段SKIPIF1<0長(zhǎng)度即為B到平面SKIPIF1<0的距離，SKIPIF1<0，所以A到平面SKIPIF1<0的距離為SKIPIF1<0.例2.在正方體SKIPIF1<0中，E為SKIPIF1<0的中點(diǎn)，過(guò)SKIPIF1<0的平面截此正方體，得如圖所示的多面體，F(xiàn)為棱SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)．（1）點(diǎn)H在棱BC上，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，試確定動(dòng)點(diǎn)F在棱SKIPIF1<0上的位置，并說(shuō)明理由；（2）若SKIPIF1<0，求點(diǎn)D到平面AEF的最大距離．【解析】（1）設(shè)平面SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0的交線(xiàn)為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0．由正方體SKIPIF1<0知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因?yàn)槠矫鍿KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0取SKIPIF1<0中點(diǎn)SKIPIF1<0，連接SKIPIF1<0，易知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因?yàn)镾KIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)．（2）以點(diǎn)SKIPIF1<0為原點(diǎn)，SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，則有SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0則有SKIPIF1<0，不妨取SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0，即點(diǎn)SKIPIF1<0與點(diǎn)SKIPIF1<0重合時(shí)，取等．所以點(diǎn)D到平面AEF的最大距離為SKIPIF1<0．【方法技巧與總結(jié)】如圖所示，平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0內(nèi)一點(diǎn)，點(diǎn)SKIPIF1<0是平面SKIPIF1<0外的任意一點(diǎn)，則點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離SKIPIF1<0，就等于向量SKIPIF1<0在法向量SKIPIF1<0方向上的投影的絕對(duì)值，即SKIPIF1<0或SKIPIF1<0【變式訓(xùn)練】1．（2022·廣東梅州·二模）如圖①，在直角梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0?SKIPIF1<0分別是SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中點(diǎn)，將四邊形SKIPIF1<0沿SKIPIF1<0折起，如圖②，連結(jié)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求證：SKIPIF1<0；(2)當(dāng)翻折至SKIPIF1<0時(shí)，設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點(diǎn)，SKIPIF1<0是線(xiàn)段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，求線(xiàn)段SKIPIF1<0長(zhǎng)的最小值.【解析】(1)證明：因?yàn)樗倪呅蜸KIPIF1<0是直角梯形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0分別是的SKIPIF1<0，SKIPIF1<0中點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又因SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；(2)解：由（1）可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，以SKIPIF1<0為原點(diǎn)，建立如圖的空間直角坐標(biāo)系，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，有SKIPIF1<0最小值SKIPIF1<0，所以線(xiàn)段SKIPIF1<0長(zhǎng)的最小值為SKIPIF1<0.2.如圖，在三棱柱SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為等邊三角形，四邊形SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為2的正方形，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，且SKIPIF1<0．（1）求證：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）若點(diǎn)SKIPIF1<0在線(xiàn)段SKIPIF1<0上，且直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0，求點(diǎn)SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距離．【解析】（1）證明：由題知SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，在正三角形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0中點(diǎn)，于是SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0（2）取SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0中點(diǎn)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，由（1）知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，于是SKIPIF1<0兩兩垂直如圖，以SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0的方向?yàn)镾KIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸，SKIPIF1<0軸的正方向，建立空間直角坐標(biāo)系則SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0設(shè)平面SKIPIF1<0的法向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由于直線(xiàn)SKIPIF1<0與平面SKIPIF1<0所成角的正弦值為SKIPIF1<0于是SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0