新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)考點(diǎn)歸納與演練專題3-9 利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題（含解析）

專題3-9利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題目錄TOC\o"1-1"\h\u專題3-9利用導(dǎo)函數(shù)研究極值點(diǎn)偏移問題 1 1題型一：對稱化構(gòu)造 1題型二：比值代換法 13題型三：對數(shù)均值不等式法 22 29題型一：對稱化構(gòu)造【典例分析】例題1．（2022·江蘇南通·高三期中）已知SKIPIF1<0，其極小值為-4.(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不相等的實數(shù)根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)3(2)證明見解析【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，沒有極值，舍去.當(dāng)SKIPIF1<0時，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0，舍去當(dāng)SKIPIF1<0時，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以不妨設(shè)SKIPIF1<0.下面先證SKIPIF1<0.即證SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因為區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0單調(diào)遞減，只要證SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0，只要證SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.下面證SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0；在區(qū)間SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】極值點(diǎn)偏移問題中（極值點(diǎn)為SKIPIF1<0），證明SKIPIF1<0或SKIPIF1<0的方法：①構(gòu)造SKIPIF1<0，②確定SKIPIF1<0的單調(diào)性，③結(jié)合特殊值得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，再利用SKIPIF1<0，得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系，④利用SKIPIF1<0的單調(diào)性即可得到SKIPIF1<0或SKIPIF1<0.例題2．（2022·北京市房山區(qū)良鄉(xiāng)中學(xué)高三期中）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)求函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)區(qū)間；(2)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點(diǎn)，①求SKIPIF1<0的取值范圍；②求證：SKIPIF1<0．【答案】(1)單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0；單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0(2)①SKIPIF1<0；②證明見解析【詳解】（1）SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0的單調(diào)遞增區(qū)間為SKIPIF1<0；單調(diào)遞減區(qū)間為SKIPIF1<0.（2）①若SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩個不同零點(diǎn)，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上有兩個不同交點(diǎn)；由（1）知：SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0的圖象如下圖所示，由圖象可知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.②不妨設(shè)SKIPIF1<0，由①知：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：處理極值點(diǎn)偏移問題中的類似于SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的問題的基本步驟如下：①求導(dǎo)確定SKIPIF1<0的單調(diào)性，得到SKIPIF1<0的范圍；②構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，求導(dǎo)后可得SKIPIF1<0恒正或恒負(fù)；③得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系后，將SKIPIF1<0置換為SKIPIF1<0；④根據(jù)SKIPIF1<0與SKIPIF1<0所處的范圍，結(jié)合SKIPIF1<0的單調(diào)性，可得到SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.【提分秘籍】主要用來解決與兩個極值點(diǎn)之和，積相關(guān)的不等式的證明問題．其解題要點(diǎn)如下：(1)定函數(shù)(極值點(diǎn)為SKIPIF1<0)，即利用導(dǎo)函數(shù)符號的變化判斷函數(shù)的單調(diào)性，進(jìn)而確定函數(shù)的極值點(diǎn)SKIPIF1<0．(2)構(gòu)造函數(shù)，即對結(jié)論SKIPIF1<0型，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0；(3)對結(jié)論SKIPIF1<0型，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，通過研究SKIPIF1<0的單調(diào)性獲得不等式．(4)判斷單調(diào)性，即利用導(dǎo)數(shù)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性．(5)比較大小，即判斷函數(shù)SKIPIF1<0在某段區(qū)間上的正負(fù)，并得出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系．(6)轉(zhuǎn)化，即利用函數(shù)SKIPIF1<0的單調(diào)性，將SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系，進(jìn)而得到所證或所求．【變式演練】1．（2022·福建·廈門外國語學(xué)校高二期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0(1)若對任意的SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)設(shè)SKIPIF1<0是兩個不相等的實數(shù)，且SKIPIF1<0．求證：SKIPIF1<0【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，不符合題意；

當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．

所以SKIPIF1<0．

由SKIPIF1<0恒成立可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0．(2)因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，由題意可知，存在不相等的兩個實數(shù)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0．

由（1）可知SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞減．不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，

則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，

所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上恒成立．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．

又因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0在區(qū)間SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0的極值.(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)極大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0(2)證明見解析(1)（1）由題意可得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0與SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減.故SKIPIF1<0的極大值為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的極小值為SKIPIF1<0.(2)證明：由（1）可知SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由（1）可知SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.3．（2022·河北·開灤第二中學(xué)高二期末）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0．（1）當(dāng)SKIPIF1<0有極值時，若存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，若在SKIPIF1<0定義域內(nèi)存在兩實數(shù)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，不合題意，SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0；存在SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0.（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0知：SKIPIF1<0；令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.4．（2022·全國·高三階段練習(xí)（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0（SKIPIF1<0且SKIPIF1<0）.(1)若函數(shù)SKIPIF1<0的最小值為2，求SKIPIF1<0的值；(2)在（1）的條件下，若關(guān)于SKIPIF1<0的方程SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析【詳解】（1）解：因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，有SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以函數(shù)SKIPIF1<0不存在最小值；所以SKIPIF1<0不合題意，故SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0的值為SKIPIF1<0（2）解：方法一：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩個不同的實數(shù)根，所以SKIPIF1<0①；SKIPIF1<0②.①－②得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，從而得SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0恒成立，即SKIPIF1<0，得證.方法二：由（1）知，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0為方程SKIPIF1<0的兩個不同的實數(shù)根，所以SKIPIF1<0，即方程SKIPIF1<0有兩個不同的實數(shù)根SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0.當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.又SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0，得證.題型二：比值代換法【典例分析】例題1．（2022·全國·高二期末）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)討論SKIPIF1<0的單調(diào)性.(2)若函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點(diǎn)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)答案見解析(2)證明見解析(1)解：函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.①當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.②當(dāng)SKIPIF1<0時，令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減；令SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.綜上所述，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.(2)證明：因為SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的兩個零點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩式相減，可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，因此，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0得證.例題2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0恒成立，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍；(2)求證：SKIPIF1<0；(3)設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0的兩個零點(diǎn)SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，求證：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)證明見解析(3)證明見解析(1)解：由SKIPIF1<0可得SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，所以，SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0；(2)解：要證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，由（1）可知，SKIPIF1<0，當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立，令SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時函數(shù)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0和SKIPIF1<0取等的條件不同，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0；(3)解：由題知SKIPIF1<0①，SKIPIF1<0②，①SKIPIF1<0②得SKIPIF1<0③，②SKIPIF1<0①得SKIPIF1<0④.③SKIPIF1<0④得SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，記SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【提分秘籍】比值換元的目的也是消參、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實現(xiàn)消參、減元的目的．設(shè)法用比值(一般用SKIPIF1<0表示)表示兩個極值點(diǎn)，即SKIPIF1<0，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求解問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于SKIPIF1<0的函數(shù)問題求解．【變式演練】1．（2022·四川成都·高三期中（文））已知函數(shù)SKIPIF1<0有兩個零點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求a的取值范圍；（2）求證：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【詳解】(1)SKIPIF1<0有兩個零點(diǎn)SKIPIF1<0有兩個相異實根．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0有兩個零點(diǎn)時，實數(shù)a的取值范圍為SKIPIF1<0．（2）不妨設(shè)SKIPIF1<0,由題意得SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，要證：SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0只需證：SKIPIF1<0.令SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0遞增，SKIPIF1<0SKIPIF1<0成立.綜上所述，SKIPIF1<0成立．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）設(shè)函數(shù)SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的單調(diào)區(qū)間；（2）若SKIPIF1<0存在三個極值點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求k的取值范圍，并證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，證明見解析.【詳解】（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，∴由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，∴SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，解SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0的單調(diào)減區(qū)間為SKIPIF1<0，單調(diào)增區(qū)間為SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0有三個極值點(diǎn)，∴方程SKIPIF1<0有兩個不等根，且都不是1，令SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0單調(diào)遞增，SKIPIF1<0至多有一根，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞減，在SKIPIF1<0上遞增，∴SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，此時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0有三個根SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，下面證明：SKIPIF1<0，可變形為SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上遞增，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.3．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)，(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的極值；(2)當(dāng)SKIPIF1<0時，若方程SKIPIF1<0有兩個不等實根SKIPIF1<0．（ⅰ）證明：SKIPIF1<0；（ⅱ）證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)極小值為SKIPIF1<0，沒有極大值．(2)（?。┳C明見解析，（ⅱ）證明見解析（1）由題意可知函數(shù)SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，函數(shù)SKIPIF1<0有極小值為SKIPIF1<0，函數(shù)SKIPIF1<0沒有極大值．（2）（?。┯深}意，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0．設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，構(gòu)造函數(shù)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（ⅱ）因為當(dāng)SKIPIF1<0時，方程SKIPIF1<0有兩個不等實根SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0兩式相減得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．由（ⅰ）得SKIPIF1<0．由重要不等式得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故由（Ⅰ）得SKIPIF1<0題型三：對數(shù)均值不等式法【典例分析】例題1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的導(dǎo)函數(shù)）.(1)討論SKIPIF1<0單調(diào)性；(2)設(shè)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的兩個極值點(diǎn)，證明：SKIPIF1<0.【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析（1）SKIPIF1<0的定義域為SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0恒成立，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增.當(dāng)SKIPIF1<0時，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減（2）證明：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是函數(shù)SKIPIF1<0的兩個極值點(diǎn)，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0兩式相減得，SKIPIF1<0欲證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0①不妨設(shè)SKIPIF1<0，故①變形為SKIPIF1<0②令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0故②式成立，即要證不等式得證例題2．（2022·黑龍江·牡丹江市第二高級中學(xué)高三階段練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)若SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，求實數(shù)SKIPIF1<0的取值范圍．(2)若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不相等的實數(shù)根，證明：SKIPIF1<0．【答案】(1)SKIPIF1<0；(2)詳見解析【詳解】（1）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上恒成立，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0在SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞增，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，函數(shù)單調(diào)遞減，所以函數(shù)SKIPIF1<0的最大值是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0是方程SKIPIF1<0的兩個不相等的實數(shù)根，即SKIPIF1<0又2個不同實數(shù)根SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，不妨設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，要證明SKIPIF1<0，只需證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，即證明SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，令函數(shù)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以函數(shù)SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞減，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即得SKIPIF1<0【提分秘籍】兩個正數(shù)SKIPIF1<0和SKIPIF1<0的對數(shù)平均定義：SKIPIF1<0對數(shù)平均與算術(shù)平均、幾何平均的大小關(guān)系：SKIPIF1<0（此式記為對數(shù)平均不等式）取等條件：當(dāng)且僅當(dāng)SKIPIF1<0時，等號成立．【變式演練】1．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)f(x)＝lnx﹣ax，a為常數(shù)．（1）若函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，求a的值；（2）當(dāng)a＝1時，試比較f（m）與f（SKIPIF1<0）的大?。唬?）若函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)x1、x2，試證明x1x2＞e2．【答案】（1）a＝1；（2）答案不唯一，具體見解析；（3）證明見解析．【詳解】（1）解：由f(x)＝lnx﹣ax，得：SKIPIF1<0，∵函數(shù)f(x)在x＝1處的切線與x軸平行，∴SKIPIF1<0，即a＝1；（2）當(dāng)a＝1時，f(x)＝lnx﹣x，∴SKIPIF1<0，當(dāng)0＜x＜1時，SKIPIF1<0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x＞1時，SKIPIF1<0，f(x)單調(diào)遞減．令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．又∵h(yuǎn)（1）＝0，①當(dāng)0＜m＜1時，h（m）＞0，即SKIPIF1<0；②當(dāng)m＝1時，h（m）＝0，即SKIPIF1<0；③當(dāng)m＞1時，h（m）＜0即SKIPIF1<0；（3）證明：∵函數(shù)f(x)有兩個零點(diǎn)x1、x2，∴l(xiāng)nx1﹣ax1＝0，lnx2﹣ax2＝0，∴l(xiāng)nx1+lnx2＝a（x1+x2），lnx1﹣lnx2＝a（x1﹣x2），∴SKIPIF1<0，欲證明SKIPIF1<0，即證lnx1+lnx2＞2，∵lnx1+lnx2＝a（x1+x2），∴即證SKIPIF1<0，∴原命題等價于證明SKIPIF1<0，即證：SKIPIF1<0（x1＞x2），令SKIPIF1<0，則t＞1，設(shè)SKIPIF1<0（t＞1），SKIPIF1<0，∴g（t）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，又∵g(1)＝0，∴g（t）＞g(1)＝0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．2．（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)SKIPIF1<0存在兩個零點(diǎn)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的取值范圍；（2）證明：SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見解析.【詳解】（1）SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，SKIPIF1<0至多有一個零點(diǎn)，不合題意；②當(dāng)SKIPIF1<0時，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0單調(diào)遞減；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在SKIPIF1<0上單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，注意此時SKIPIF1<0，（i）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0上分別存在一個零點(diǎn)；（ii）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞增，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0單調(diào)遞減，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0分別存在一個零點(diǎn)；綜上，若SKIPIF1<0有兩個零點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為SKIPIF1<0；（2）不妨設(shè)SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得：SKIPIF1<0，兩式相減得：SKIPIF1<0，兩式相加得：SKIPIF1<0，要證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，只需證SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以只需證SKIPIF1<0，即證SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，