蘇教版數(shù)學選修2-3講義第3章章末復習課

線性回歸直線方程【例1】某地最近十年糧食需求量逐年上升，下表是部分統(tǒng)計數(shù)據(jù)：年份20102012201420162018需求量(萬噸)236246257276286(1)利用所給數(shù)據(jù)求年需求量與年份之間的回歸直線方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))；(2)利用(1)中所求出的直線方程預測該地2020年的糧食需求量．[思路探究]正確利用求回歸直線方程的步驟求解，注意數(shù)據(jù)計算的準確性．[解](1)由所給數(shù)據(jù)看出，把年份看作點的橫坐標，對應的需求量看作點的縱坐標，畫出散點圖草圖(圖略)，通過觀察知這些點大致分布在一條直線附近，下面求回歸直線方程，為此對數(shù)據(jù)預處理如下：年份—2014－4－2024需求量—257－21－1101929對預處理后的數(shù)據(jù)，容易算得eq\x\to(x)＝0，eq\x\to(y)＝3.2，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(－4×－21＋－2×－11＋2×19＋4×29－5×0×3.2,－42＋－22＋22＋42－5×02)＝eq\f(260,40)＝6.5，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\x\to(y)－eq\o(b,\s\up8(^))eq\x\to(x)＝3.2，由上述計算結果，知所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))－257＝eq\o(b,\s\up8(^))(x－2012)＋eq\o(a,\s\up8(^))＝6.5(x－2012)＋3.2，即eq\o(y,\s\up8(^))＝6.5(x－2012)＋260.2.(*)(2)利用直線方程(*)，可預測2020年的糧食需求量為6.5×(2018－2012)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(萬噸)．建立回歸模型的基本步驟(1)確定兩個變量．(2)畫出散點圖．(3)進行相關系數(shù)檢驗．(4)確定回歸方程類型，求出回歸方程．1．某車間為了制定工時定額，需要確定加工零件所花費的時間，為此做了四次試驗，得到的數(shù)據(jù)如下：零件的個數(shù)x(個)2345加工的時間y(小時)2.5344.5(1)在給定的坐標系中畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)求出y關于x的線性回歸方程eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^))，并在坐標系中畫出回歸直線；(3)試預測加工10個零件需要多少小時？(注：eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\i\su(i＝1,n,x)iyi－n\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\i\su(i＝1,n,x)\o\al(2,i)－n\o(x,\s\up8(－))2)，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－)))[解](1)散點圖如圖．(2)由表中數(shù)據(jù)得：eq\i\su(i＝1,4,x)iyi＝52.5，eq\o(x,\s\up8(－))＝3.5，eq\o(y,\s\up8(－))＝3.5，eq\i\su(i＝1,4,x)eq\o\al(2,i)＝54，∴eq\o(b,\s\up8(^))＝0.7，∴eq\o(a,\s\up8(^))＝1.05，∴eq\o(y,\s\up8(^))＝0.7x＋1.05，回歸直線如圖所示．(3)將x＝10代入線性回歸方程，得eq\o(y,\s\up8(^))＝0.7×10＋1.05＝8.05，故預測加工10個零件約需要8.05小時．回歸分析【例2】煉鋼是一個氧化降碳的過程，鋼水含碳量的多少直接影響冶煉時間的長短，必須掌握鋼水含碳量和冶煉時間的關系，如果已測得爐料熔化完畢時鋼水的含碳量x與冶煉時間y(從爐料熔化完畢到出鋼的時間)的一列數(shù)據(jù)，如下表所示：x(0.01%)104180190177147134150191204121y/min100200210185155135170205235125(1)y與x是否具有線性相關關系？(2)如果y與x具有線性相關關系，求回歸直線方程．(3)預測當鋼水含碳量為160個0.01%時，應冶煉多少分鐘？[思路探究]列表求r，進行判斷，利用eq\o(x,\s\up8(－))，eq\o(y,\s\up8(－))，求eq\o(a,\s\up8(^))，eq\o(b,\s\up8(^))，寫出eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x.[解](1)列出下表：i12345xi104180190177147yi100200210185155xiyi1040036000399003274522785i678910xi134150191204121yi135170205235125xiyi1809025500391554794015125eq\o(x,\s\up8(－))＝159.8，eq\o(y,\s\up8(－))＝172，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝265448，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝312350，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝287640，于是r＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\r(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up8(－))2\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))y\o\al(2,i)－10\o(y,\s\up8(－))2))≈0.9906.根據(jù)小概率0.05與n－2＝8在附表中查得r0.05＝0.632，由|r|>r0.05知，有95%的把握認為y與x具有線性相關關系．(2)設所求回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(a,\s\up8(^))＋eq\o(b,\s\up8(^))x，eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up8(－))2)≈1.267，eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))≈－30.47，即所求線性回歸直線方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝1.267x－30.47.(3)當x＝160時，eq\o(y,\s\up8(^))＝1.267×160－30.47＝172.25(min)，即大約冶煉172.25min.求回歸直線方程的具體步驟(1)描點，選模：畫出已知數(shù)據(jù)的散點圖，把它與已經學過的各種函數(shù)(冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等)圖象作比較，挑選一種跟這些散點擬合得最好的函數(shù)．(2)解模：先對變量進行適當?shù)淖儞Q，再利用線性回歸模型來解模．(3)比較檢驗：通過回歸分析比較所建模型的優(yōu)劣．2．測得某國10對父子身高(單位：英寸)如下：父親身高(x)6062646566兒子身高(y)63.665.26665.566.9父親身高(x)6768707274兒子身高(y)67.167.468.370.170(1)畫出散點圖；(2)如果y與x之間具有線性相關關系，求回歸方程；(3)如果父親的身高為73英寸，估計兒子的身高．[解](1)(2)從散點圖看出，樣本點散布在一條直線附近，因此兩個變量呈線性相關關系．設回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝eq\o(b,\s\up8(^))x＋eq\o(a,\s\up8(^)).eq\o(x,\s\up8(－))＝66.8，eq\o(y,\s\up8(－))＝67.01，eq\o(x,\s\up8(－))2＝4462.24，eq\o(y,\s\up8(－))2≈4490.34，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xeq\o\al(2,i)＝44794，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))yeq\o\al(2,i)＝44941.93，eq\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi＝44842.4，由eq\o(b,\s\up8(^))＝eq\f(\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))xiyi－10\o(x,\s\up8(－))\o(y,\s\up8(－)),\o(∑,\s\up8(10),\s\do14(i＝1))x\o\al(2,i)－10\o(x,\s\up8(－))2)＝eq\f(44842.4－44762.68,44794－44622.4)＝eq\f(79.72,171.6)≈0.4646.eq\o(a,\s\up8(^))＝eq\o(y,\s\up8(－))－eq\o(b,\s\up8(^))eq\o(x,\s\up8(－))＝67.01－0.4646×66.8≈35.97.故所求的回歸方程為eq\o(y,\s\up8(^))＝0.4646x＋35.97.(3)當x＝73時，eq\o(y,\s\up8(^))＝0.4646×73＋35.97≈69.9.所以當父親身高為73英寸時，估計兒子的身高約為69.9英寸．獨立性檢驗【例3】為了研究人的性別與患色盲是否有關系，某研究所進行了隨機調查，發(fā)現(xiàn)在調查的480名男性中有39名患有色盲，520名女性中有6名患有色盲，能在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為人的性別與患色盲有關系嗎？[解]由題意列出2×2列聯(lián)表：患色盲未患色盲合計男性39441480女性6514520合計459551000由公式得χ2的觀測值χ2＝eq\f(1000×39×514－441×62,480×520×45×955)≈28.225.因為P(χ2≥10.828)≈0.001，且28.225>10.828，所以在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為患色盲與人的性別有關系，男性患色盲的概率要比女性大得多．獨立性檢驗的一般步驟(1)根據(jù)樣本數(shù)據(jù)制成2×2列聯(lián)表；(2)根據(jù)公式計算χ2；(3)比較χ2與臨界值的大小關系作統(tǒng)計推斷．3．考察小麥種子經過滅菌與否跟發(fā)生黑穗病的關系，經試驗觀察，得到數(shù)據(jù)如下表所示：種子滅菌種子未滅菌合計黑穗病214175389無黑穗病4515971048合計6657721437能否在犯錯誤的概率不超過0.001的前提下認為種子滅菌與小麥黑穗病有關系？[解]提出