2022年北京四中高二數(shù)學(xué)期末考試卷及答案(一)

2022年北京四中高二數(shù)學(xué)期末考試卷及答案（一）

考試時間：120分鐘

姓名:班級：考號：

題號——總分

得分

-、選擇題（本大題共10小題,每小題3分，共30分）

1.下列敘述不正確的是（）

A.已知a,占是空間中的兩條直線，若則直線a與b平行或異面

B.己知I是空間中的一條直線，&是空間中的一個平面，若則lua或I與a

只有一個公共點

C.已知a,A是空間兩個不同的平面，若則，必相交于一條直線

D.已知直線］與平面z相交，且J垂直于平面a內(nèi)的無數(shù)條直線，則

2.已知直線4：》+"+7=°和12：（a—2A+3y+1=°互相平行，則（）

A.a=3B,a=-l

C.。=-1或a=3D.a=l或。=-3

3.若空間向量a,b不共線，且一a+（3x—y）b=xa+3b,則xy=

A.1B.2C.4D.6

4.已知向量^￡不共線，、L'',rrr,如果r-,那么（）

a力c=d=a-bdid

A._f同向B._f反向

金=1目占d左=1日占id

C.*=一狙占4同向D.*=一狙_。與d反向

5.已知圓°二，+丁=4,從圓上任意一點M向V軸作垂線段MN,N為垂足，則線段MN

的中點P的軌跡方程為（)

心

A.44

工+匕=13-1

C.16D.416

6.某省新高考方案規(guī)定的選科要求為:學(xué)生先從物理、歷史兩科中任選一科，再從化學(xué)、生

物、政治、地理四門學(xué)科中任選兩科.現(xiàn)有甲、乙兩名學(xué)生按上面規(guī)定選科，則甲、乙

恰有一門學(xué)科相同的選科方法有（）

A.24種B.30種C.48種D.60種

2

7.已知一個圓柱的側(cè)面積等于其表面積的M,且其軸截面的周長為24,則該圓柱的體積為

（）

A.B.27xC.36網(wǎng)D.54?

8.圓E：與圓F：＜廿一4工-4"4=0的公切線的條數(shù)為（）

A.1B.2C.3D.4

C._h_J

9.雙曲線.42的右焦點為F,點P在橢圓C的一條漸近線上.（）為坐標(biāo)原點，則

下列說法錯誤的是（）

￡

A.該雙曲線離心率為2

金21

B,雙曲線42與雙曲線C的漸近線相同

c,若尸”，則a/w的面積為0

D.吃I的最小值為2

10.設(shè)函數(shù)1一無，則函數(shù)的圖像可能為（）

二、填空題（本大題共10小題,每小題3分，共30分）

11.若父=/則正整數(shù)”=.

12.在平行六面體幺睨*）—中，^RAD==N/七Z）=6QP,*=3,JLD=4,

H4'=5,則/C*=.

13.在I%）的二項展開式中，常數(shù)項為________.（用數(shù)字作答）

2

14.橢圓73的離心率為.

X2y3

—=■——=l(fl>0,6>0)m

15.在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若雙曲線爐?的右焦點到一條漸近

旦

線的距離為2,則其離心率的值是.

16.如圖，梯形ABCD中，加〃"，AD=AB=1,ADLAR,ZBCD=45°,將^ABC

沿對角線BD折起，設(shè)折起后點A的位置為d',且平面?即_L平面BCD,則下列四個

命題中正確的是.

①HZ)J_笈C；

②三棱錐d'-BCD的體積為

③CD■平面4'BD

④平面/，皿JL平面，OC

X2V2,

———=l(a>0)

17.若雙曲線。16經(jīng)過點(2,0),則該雙曲線漸近線的方程為

18.寒假里5名同學(xué)結(jié)伴乘動車外出旅游，實名制購票，每人一座，恰在同一排A、B、C、

D、E五個座位(一排共五個座位)，上車后五人在這五個座位上隨意坐，則恰有一人

坐對與自己車票相符座位的坐法有種.

x2v2

19.已知點F是雙曲線ab的左焦點，點E是該雙曲線的右頂點，過F

且垂直于x軸的直線與雙曲線交于A、B兩點，若aABE是銳角三角形，則該雙曲線的

離心率e的取值范圍建.

x_1

~—snx+cosx=-$LPiKH一

20.已知2,5,則皿》一

、解答題(本大題共9小題,每小題10分,共90分)

txZPAB=2,tinZPKi=-

21.如圖，設(shè)點A、B在五軸上，且關(guān)于原點0對稱.點P滿足2,

且△?，州的面積為20.

(n)以A、B為焦點，且過點P的橢圓記為C.設(shè)MQo，%)是c上一點，且T<9<3,

求此的取值范圍.

i2—a2—c2CDS(J4+C)

22.在銳角三角形ABC中，角A,RC所對的邊分別為&b,c,且皿sindcnsd

(1)求角A；

(2)若"=應(yīng)，求6c的取值范圍.

23.已知拋物線0：丁=23「>°),過拋物線C的焦點F且垂直于K軸的直線交拋物線C

于兩點，聞=4

①求拋物線C的方程，并求其焦點F的坐標(biāo)和準(zhǔn)或的方程；

⑵過拋物線C的焦點F的直線與拋物線C交于不同的兩點A、B,直線Q*與準(zhǔn)線’

交于點M.連接過點F作訪的垂線與準(zhǔn)線'交于點N.求證：.“'處三點共線

24.已矢口長方體ABCD—ABCD，以=色，AB=2BC=2,E雌AB的中點，F(xiàn)M

>111

段4c的中點.

B

（1）求證：跳7/平面Ba通

（2）求直線皿與平面力印所成角的正弦值.

25.已知函數(shù)/8=丁一3工

⑴求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；

（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間［-1,3］上的最大值和最小值.

26.設(shè)S為數(shù)列｛a｝的前n項和，已知W€N*

nn

（D求珥，■,并求數(shù)列｛a｝的通項公式；

（II）求數(shù)列｛"｝的前n項和4.

士+且=1e=—

27.已知橢圓/*2（a>b>0）的左、右焦點分別為維，F(xiàn)i,離心率2,橢

圓的短軸長為2.

（1）求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；

1

（2）已知直線4,弓過右焦點用，且它們的斜率乘積為2,設(shè)工勺分別與橢圓交

于點A,B和C,D.

①求3+8的值；

②設(shè)AB的中點M,CD的中點為N,求口面積的最大值.

28.已知“七M(jìn)，?>2,給定“X"個整點（不，），其中IWK,KywW，

（1）當(dāng)”=2時從上面的2X2個整點中任取兩個不同的整點（不，“），（巧，％）,求不*?

的所有可能值；

、5u.

I7X2---1

（2）從上面"X"個整點中任取m個不同的整點，2

⑴證明：存在互不相同的四個整點（小貝），（、㈤，匕』），佑嗎），滿足M",

4=區(qū)，4.

*?

（ii）證明：存在互不相同的四個整點由M）,《乂），（巧多），區(qū)外）,滿足

29.袋中有10個大小、材質(zhì)都相同的小球，其中紅球3個，白球7個每次從袋中隨機摸出1

個球，摸出的球不再放回.求：

（I）第一次摸到紅球的概率；

（II）在第一次摸到紅球的條件下，第二次也摸到紅球的概率；

（III）第二次摸到紅球的概率.

2022年北京四中高二數(shù)學(xué)期末考試卷及答案（一）解析

0.

-'選擇題

1.【答案解析】

D

【詳解】

對于A,空間兩直線沒有公共點，由空間兩直線位置關(guān)系的分類知，兩直線平行或是異面

直線，A正確；

對于B,直線與平面有公共點，由直線與平面位置關(guān)系的分類知，直線與平面有無數(shù)個

公共點（直線在平面內(nèi)）或僅只一個，即B正確；

對于C,兩個不重合平面有公共點，由平面基本性質(zhì)知，它們有且只有一條經(jīng)過公共點

的公共直線，即C正確；

對于D,正三棱錐的側(cè)棱垂直于底面三角形與該棱相對的邊，而在底面三角形所在平面內(nèi)

與該邊平行的直線都垂直于這條棱，正三棱錐側(cè)棱不垂直于底面，即D不正確.

故選：D

2.【答案解析】

C

【分析】

根據(jù)兩直線平行的條件求解.

,a-231

//------=-3t-

【詳解】a=°時.，兩直線顯然不平行，“#°時，則1"7,解得a=-L

或a=3.

故選：C.

3.【答案解析】

D

T（r—]

,解得.‘從而.”一6.

{3J3*ly=6.

4.D

5.【答案解析】

A

【分析】

利用相關(guān)點法即可求解.

【詳解】設(shè)線段的中點.工同，皿與?。?/p>

1o+O戶”

所以I2，解得卜。=即，

又點M在圓°：1+'=4上，

貝產(chǎn)即彳*…

故選：A

6.【答案解析】

I）

【分析】

以甲，乙所選相同學(xué)科是否在物理、歷史兩科中分為兩類，每類中由排列組合公式和基本

原理可求.

【詳解】解：分為兩類，第一類物理、歷史兩科中是相同學(xué)科，則有中羽=匕種選

法；第二類物理、歷史兩科中沒相同學(xué)科，則有種選法，

所以甲、乙二人恰有一門學(xué)科相同的選法有12+48=60種，

故選：刀.

7.【答案解析】

D

【詳解】

設(shè)圓柱的底面半徑為高為.

2

?.?圓柱的側(cè)面積等于表面積的3,且其軸截面的周長是24,

2

2r/ft=^x2rA（*+2t）

4=3

,2h+4R=24,解得h=6

圓柱的體積為，=，展A="r，

故選:D.

8.【答案解析】

B

【分析】

求出兩圓的圓心坐標(biāo)與半徑，由圓心距與半徑間的關(guān)系可知兩圓相交，從而得到兩圓公

切線的條數(shù).

【詳解】解：化7+八4乂+4"4=。為6-毋"+2）2=4

可知圓尸的圓心坐標(biāo)為（4一2）,半徑為2:

又圓民，+產(chǎn)=1的圓心坐標(biāo)為（。，0）,半徑為1.

［匹卜依-+（-2-01=2立即2-14邱>2a<2+1

二圓芭與圓尸相交，則公切線條數(shù)為2.

故選：B

9.【答案解析】

D

【分析】

A.根據(jù)雙曲線方程，求出a,b,c,利用離心率公式求解判斷；B.分別求出兩個雙曲

線的漸近線方程判斷；C.根據(jù)點P在漸近線上，又POLPF,利用直線P0與直線

PF的方程聯(lián)立，求得點P的坐標(biāo)求解判斷；D.由1^1的最小值為點F到漸近線的距離

求解判斷.

【詳解】A.因為雙曲線方程為,42，所以a=2,b=j2,c=^

c娓

o=—=___

則a2,故正確；

X2/^---=1=±當(dāng)

B.雙曲線C彳一亍二1與雙曲線彳萬一的漸近線方程都為“――了"，故正確；

=包五

C.設(shè)，住,），因為點P在漸近線上，不妨設(shè)漸近線方程由-2%,即為直線P0

的方程，又因為WP%所以直線PF的方程為彳"［一”），由

y=SR）尸，竽,竽）S=L辰組=&

I），解得I3,即I33人所以2V3,

故正確；

D.尸（廢°）,其中一條漸近線小一了"則吃?的最小值為點F到漸近線的距離，

落遍

LT

即2）,故錯誤；

故選：D

10.【答案解析】

B

解析：

y(—x)=—xln^~—=—xln

=〃x)

所以,㈤為偶函數(shù)，排除A,C；

X-%-In—1=-ln3>0

W2j_l2

，排除D,故選B.

二'填空題

11.【答案解析】

5

【分析】

按組合數(shù)、排列數(shù)公式列出等式求解即可.

~~—=n(n—l)(n—2),(H>3)

【詳解】由0=4得2x1'八1,

解得”=5

故答案為：5

12.【答案解析】

而

［分析］_____________________

在平行六面體中，利用對角線向量苻=7萬+萬土石\利用向量的平方等于向量模

的平方，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律求得結(jié)果：_________

【詳解】由平行六面體的特征可知d0'=3+牙，

所以

=(AB+AD+AA'f=AB+JD+"AD+2ABAA,+2JDAA,

=9+16+25+2x3x4xi+2x3x5xl+2x4x5xi

222

=50+12+15+20=97

所以蜀?=4，

故答案為：質(zhì).

13.【答案解析】

15

【分析】

由二項式展開式通項有m疝=."',可知常數(shù)項的值;

6-r?絲

%=11(與'=%丁

【詳解】二項展開式通項為x

.?.當(dāng)r=2時，常數(shù)項&=2=15

故答案為：15

14.【答案解析】

15.【答案解析】

2

分析：先確定雙曲線的焦點到漸近線的距離，再根據(jù)條件求離心率.

y=±-x,

詳解：因為雙曲線的焦點尸到漸近線即版土卬=0的距離為

|*c±0|be6j/門232121

/,,--b=—c<r=tr-b=c—c=-c,a=-c,e=

八”c所以2,因此442

16.【答案解析】

③④

【分析】

利用線面垂直、面面垂直的判定定理以及性質(zhì)定理可判斷①的；利用三棱錐的體積公式

可判斷②.

【詳解】解：如圖所示：

設(shè)中點為其，連接d'E,

對①，：加=幺&=1,即，Z)=，A=1,

二4EJJW),

又：平面/初J_平面才8,

:-HEJ_平面,

又；BCu平面58

：.A'E±BC,

若/'Z)_LZJC,

EDc屋=4,

二BC■平面dBD,

又Q刖u平面/的，

：.BC±BD

與已知矛盾，所以①錯誤；

，對②，JD=JS=1,ADLAR,

：.^E=—

2BD=①r

又；4CD=450

：.CD±BD

二坨ax?=jX、歷=1

J=￥哼譜,所以②錯誤;

對③，?-?平面4如，平面公CD,

平面ABDn平面BCD=BD,

BC±BD

\m八平面幺'即.所以③正確；

對④，：COJ■平面幺'勸，

CDu平面4DC,

---平面平面勸C,所以④正確

故答案為：③④.

17.【答案解析】

y=i2r

【分析】

將點(2°)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程，求出實數(shù)”的值，進(jìn)而可得出該雙曲線的漸近線

方程.

【詳解】將點(2°)的坐標(biāo)代入雙曲線的方程得1一1，：a>°，可得。=2,

±-2=1

所以，雙曲線的方程為416",因此，該雙曲線的漸近線方程為>==12r.

故答案為：y=±2x

18.【答案解析】

45

【分析】

先選出坐對位置的人，再對剩下四人進(jìn)行錯排，最后利用分布計數(shù)乘法原理求結(jié)果.

【詳解】先選出坐對位置的人，即從5人中選1人，有5種可能；

剩下四人進(jìn)行錯排，設(shè)四人座位為123,4,則四人都不坐在自己位置上有

2143.23412413,3142,341X3421412X4312,43219種可能

所以恰有一人坐對與自己車票相符座位的坐法有5x9=45種

故答案為：45

19.【答案解析】

(1,2)

20.【答案解析】

7

三、解答題

2L【答案解析】

(I)(-X4)(?)[-2^,-4)0(12^]

【分析】

（1）設(shè)典c，0）,根據(jù)點P滿足2,得到直泌4的方程

l、

xy=—（zx-c）

為,=4x+cj,直線PR的方程為2,兩方程聯(lián)立用c表示點P的坐標(biāo)，

2S=-|^UJ||y,|=20

再根據(jù)△A我州的面積為20,由2*求得c即可.

（1D由⑴得4T唳G叫P（T?從而由口+四出網(wǎng)）求得a,進(jìn)而得

到橢圓C的方程，然后根據(jù)一1</<3求解.

則直線’”的方程為y=WG,直線網(wǎng)的方程為2

r3c

jr=2(jc+c),x=——

戶T

由

、PMs=$網(wǎng)-3-1

故的面積25.

-<?=20

所以5,

解得。=5.

所以點P的坐標(biāo)為（3②.

w由⑴色竺絲色°）,___________

所以|口|=7（-5+5）2+42=2,\PB\=7（-3-=玷

fy2

-Cl今*彳=1

設(shè)以46為焦點且過點尸的橢圓方程為Qb.

但皿1+1網(wǎng)）=",2,2M

則2,又b=<r-c=20

"=1

所以橢圓C的方程為4520

W+區(qū)=1即…造

所以4520

因為-1<與<3,所以<9.

所以16<就《叫

所以％的取值范圍是卜2而.T）U（4,2/1.

22.【答案解析】

（1）q(2)

【分析】

b2—a2—c2cos(Z+C)

（1）由余弦定理結(jié)合皿sin/cosd可得2sin幺cosd=lg|jan2j4=l,

0<A<—

又因為2,即可得解:

b

sinAsinCsind'反

（2）由正弦定理可得~2

*c=4sm5smC=4sii5sm(--J)=2sin(2JJ--)+^

由44再結(jié)合三角形幺8c為

nn

—<B<—

銳角三角形可得42,即可得解.

CBSB=

【詳解】（1）由余弦定理可得lac

b^-^-c2

—2cos5=

所以ac,

cos(d+C)

又Hsindcosd

cos(^4+C)—cx)sB

—2cosB=―—----------=---------------

所以An/cos/sindcosd,

因為4RC為銳角三角形，所以2sindcos/=l,

c▲K/露

0<d<—d=—

即-24=1,又因為2,所以4

A=-j-

(2)由(1)知4,由“=蟲，

b

anBsinCanjl也

可得

A=-

由4,且三角形幺8°為銳角三角形,

jr_jr

C=--B—<B<—

所以4，且42

be=4saiBsnC=4smBdn^^--S)=2x/2sinA(cosB+smjB)

4

=&sin2B+&Q-cos2B)=2sin(22-馬+&

4

x-x龍?"?無'3"

—<S<——<25—<—

又42,所以444

—<sin(25--)<l2&<2dn(2S-與+&K2+應(yīng)

所以244

“(班,2+&]

所以加的取值范圍為'」.

23.t答案解析】

(1)拋物線°的方程為「=",焦點"坐標(biāo)為(1,0),準(zhǔn)4方程疔=T⑵證明

見解析

【分析】

p=2

(1)根據(jù)拋物線通徑的性質(zhì)，得出，即可求出拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，即可得出焦

點坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；

(2)根據(jù)題意，設(shè)直線,，與拋物線方程聯(lián)立，求出則口，

-41

M—L—,、=—

uv,=-4I穌九1乂)..Jif

,通過直線相交分別求出和，從而求出和

%。凡N

,通過化簡求出，即可證出三點共線.

|坦=2p=4p=1

【詳解】解：(1),貝I

y2=4x

故拋物線的方程為:

F(X0)

其焦點坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為:

X=￡JF+1

AB:x=fy+l

(24設(shè)直線，聯(lián)立，

/-4^-4=0A=lft2+16>0

得，貝！J，

〃(鼻乂)典巧/2)兇+M="卬2=^

設(shè)，，貝J,

OA:y=—x

法1：直線

則直線網(wǎng)的斜率

直產(chǎn),"一"7則點可』）

直線叩的斜率％=-M.

所以a旦"三點共線,

OA:y=—x

法2：直線不，

2.y=-xM

由M=4不得%,故點

由叩2=T,得M(T%)

*—2=

直線W的斜率9-1-1

FN.y=—[x-^N

直線外,得點

由卬2=T,得N（-LX）

直線卯的斜率%=F.

%=&Ikm=—

直線的斜率、，由艮=4巧得“一點

由Wi=T,得々》=一乂，

則有b=%.所以°＞況W三點共線.

/去3：（]）,??II,2,,.OF=1p=2

,拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：/=4%，

則焦點坐標(biāo)為:尸（1°）,準(zhǔn)線方程為:Z:x=-1

（2）設(shè)直線％：工=**1,聯(lián)立得：/-4^-4=0

八=]#+16>0

孰+必=4￡

耳片=y

設(shè)/（不，乂），A（巧,1y2）,

網(wǎng):尸-在任-1）

...直線隊

N

y=—。.

當(dāng)￡=—1時，乂，??

%—*啜

皿2+4凝巧y1yz+4（+膏+1）（+必+1）

（4+2+1）^+4+（^+^）+4

-4（4+2+1）+16+2+4

=--------------------------------=0

.kw=iwo

：.3*共線.

24.【答案解析】

CC.

解：，、（1）如圖：取r的中點G,連接GF,GB,

EBH-AB

2=2：.FGHERF<^E

則,又-,則四邊形為平行四邊形,

JEFIIGB,又班也面38^,GBu面B8tsi二.〃平面

(2)如果建立空間直角坐標(biāo)系，

￡(UO),F|1,L1)題LO,O)，V@O,⑹

則

DE=(UO),DF=0,L科巫=(T0,⑹

設(shè)面的的法向量為'=(%""),

[x+jr=O

"爭=。,令f可一陽網(wǎng)

則

設(shè)直線皿與平面”質(zhì)所成角為0,

-6一四T_卜色：動|辰

|西|洞4+373+3+2220

則LIII,

回

所以直線A一D.與平面"DEXF所成角的正弦值7小0

25.t答案解析】

〃“)(-?,-1)Q9(U)

(1)函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為(2)

最大值為18,最小值為一？.

【分析】

(1)求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；

(2)根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出函數(shù)的極值點，從而求出函數(shù)的最值即可.

33=7-3x=3X2-3

【詳解】(1)因為，所以

)=0凝=T5=1

令，解得，

r(x)/(X)

ST…(-U)(L*?)

X—11

r㈤+0—0+

〃工)□極大值□極小值□

所以，函數(shù)，(無)的單調(diào)遞增區(qū)間為(T°bD和Q1?),單調(diào)遞減區(qū)間為(T4)

(2)因為函數(shù)〃")在區(qū)間【—Ui上單調(diào)遞減，在區(qū)間【Ui上單調(diào)遞增，

又f(—D=270)=-2,/(3)=18

所以，函數(shù),㈤在區(qū)間[F]上的最大值為18,最小值為-2.

26.【答案解析】

⑴1,2,,M2"1；(]])霏=ST)2°+1

【分析】

⑴代入數(shù)據(jù)計算得到?，.，利用公式q=S「邑4得到%=%,計算得到答

案

(II)直接利用錯位相加法得到答案.

[詳解]⑴：緘=/二當(dāng)”=1時，2._.=sr5?

:4,0二，=1

當(dāng)”=2時2.-1=1+.二4=2

以一42%一4

=S「Sz==況-2^

A

二值｝是首項為4=1公比為1=2的等比數(shù)列

(II)設(shè)工=1-.+2-勺+3-Oj+…+

則0工=1勺4+2/4+3goj+-Tn￡4

即0工=1，+2%+3%+…+a?

上式錯位相減：

(1-M=4+?2+/—

l-ga

—=2a-l—H-2R

1-g

二焉=01-。2”“次

27.【答案解析】

-+/=1廠在

(1)2；(2)①3也；②8

分析：

①由短軸長為2,得到占=1,再由離心率結(jié)合臣=笳+，計算可得橢圓方程;

②①由直線〃，co過右焦點耳，設(shè)出直線〃的方程與橢圓方程聯(lián)立，列出韋

達(dá)定理，計算出弦長乂笈，再由兩直線的斜率乘積為2,將弦長〃中的斜率變?yōu)?/p>

2t可得弦8,相加即可得解；

②由中點坐標(biāo)公式求出M、"的坐標(biāo)，觀察坐標(biāo)知MW的中點T在工軸上，所以

整理后利用基本不等式即可得到面積的最值;

2b=2

c梃ft=1

a2a=^2

3

C=1—+J=1

解答：解：(1)依題意可得解得一，故橢圓的方程為2

(2)①設(shè)々的方程為了=無任-1),/(OM),典巧」2)

y=i(x-l)

.圻/=1消去y并整理得到”編產(chǎn)4-2—=。

聯(lián)立

4—卯—2

于是3=戊+丫瓦-引=m+*24R+0)‘一4飛=

2a+

CD=--------

l+2i2

1+2

同理可得