多元函數(shù)極限及其應用

PAGEPAGEII東?？茖W技術學院本科畢業(yè)論文（隸書四號,居中,上空一行）多元函數(shù)極限及其應用摘要微積分是研究函數(shù)微分、積分以及有關概念和應用的一個重要的數(shù)學分支。研究微積分理論不僅具有重要的理論意義，而且也具有重要的應用價值，而極限在微積分中占有舉足輕重的地位。但是極限技巧性強，靈活多變，初學者不易掌握，為此極限被稱為高等數(shù)學學習的第一個難關。本文對極限的求法做了總結歸納，希望給初學者有一定的幫助。本文首先將極限分為一元函數(shù)極限和二元函數(shù)極限分別進行闡述。對于一元函數(shù)極限概括了利用極限的定義、四則運算、無窮小量分除法等求極限的十幾種方法;對于二元函數(shù)極限也系統(tǒng)地概括了變量代換、利用兩邊夾定理求極限等幾種方法，并都給出了相應的例子。最后還陳述了求函數(shù)極限的幾個誤區(qū)。關鍵詞:二元函數(shù);極限;解題誤區(qū);求解方法;一元函數(shù)

AbstractCalculusandintegralwhichdealswiththedifferentialandintegralcalculusandtherelevantconceptanditsapplication,isoneoftheimportantmathematicbranches.Tostudythetheoryofcalculusoffunctionsnotonlyhasimportanttheoreticalsignificance,butalsohasimportantapplicationvalue.Limitationplaysadecisiveroleincalculusofdifferentialandintegral,buttheskillsofsolvinglimitationsarestrongandflexible,soitishardforbeginnerstomastersolimitationiscalledthefirstdifficultyinhighermathematics.Inthisdissertation,wesummarizethesolvingmethedsoflimitation,hopingitwillhelptothebeginners.Thisdissertationwillbedividedlimitintounitaryfunctionlimitandbinaryfunctionlimittoelaboraterespectively.Forunitaryfunctionlimit,weoutlineseveralwayssuchasusingthedefinitionoflimit,arithmetic,infinitesmallsub-divisionandsoon.Forbinaryfunctionlimit,wealsosystematicallysummarizeseveralmethods,forexample,variablesubstitution,forcingconvergencetheorermandsoon,andseparatelypresentthecorrespondingexamples.Atlast,weillustrateafewerrorsofcalculatingfunctionlimit.Keywords:Binaryfunction;Limit;Problem-solving;Solvingmethoderrors;Unitaryfunction

目錄TOC\o"1-2"\h\z\u1前言 12一元函數(shù)極限 32.1一元函數(shù)極限的定義 32.2函數(shù)極限的一般性質 32.3一元函數(shù)極限的求解方法 43多元函數(shù)極限 153.1多元函數(shù)極限的定義 153.2多元函數(shù)極限的求解方法 154函數(shù)極限的求解誤區(qū) 185小結 23參考文獻 24致謝 251前言微積分是研究函數(shù)微分、積分以及有關概念和應用的一個重要的數(shù)學分支，不僅與實際應用有著緊密的聯(lián)系，而且在天文學、力學、化學、生物學、工程學、經(jīng)濟學等自然科學、社會科學及應用科學等許多方面有著重要的應用。因此，研究微積分理論不僅具有重要的理論意義，而且也具有重要的應用價值。而極限在微積分中占有舉足輕重的地位，可以這么說，很多概念比如連續(xù)、導數(shù)、各類積分、甚至無窮級數(shù)收斂與否的判斷都以極限為基礎。公元3世紀，中國數(shù)學家劉徽首先將極限思想應用于實踐，利用計算圓的面積時建立的“割圓術”成功地創(chuàng)立了科學的求圓周率的方法。之后，牛頓和萊布尼茲在以無窮小概念為基礎建立微積分時都接受了極限的思想。牛頓用路程的改變量與時間的改變量之比表示運動物體的平均速度，讓無限趨近于零，得到物體的瞬時速度，并由此引出導數(shù)概念和微分學理論。后來牛頓意識到極限概念的重要性，并試圖以極限概念作為微積分的基礎，但是無法澄清“似零非零”的模糊認識。在18-19世紀中，數(shù)學家們提出了許多方案來定義極限，最終法國數(shù)學家達朗貝爾明確了極限作為微積分的基本概念，并且提出了極限較明確的定義。雖然達朗貝爾所定義的極限已初步擺脫了幾何、力學的直觀原型，但是沒有把極限的概念公式化，這就使得極限的概念是描述性的、通俗的。此后，法國數(shù)學家柯西在前人工作的基礎上，比較完整地闡述了極限概念及其理論，并指出:“當一個變量逐次所取的值無限趨于一個定值，最終使變量的值和該定值之差要多小就多小，這個定值就叫做所有其它值的極限值，特別地，當一個變量的數(shù)值(絕對值)無限地減小使之收斂到極限零，就說這個變量成為無窮小”。柯西把無窮小視為以零為極限的變量，這就澄清了無窮小“似零非零”的模糊認識，這就是說，在變化過程中，它的值可以是非零，但它變化的趨向是“零”，可以無限地接近于零?？挛髟噲D消除極限概念中的幾何直觀，作出極限的明確定義，然后去完成牛頓的愿望。但柯西的敘述中還存在描述性的詞語，如“無限趨近”、“要多小就多小”等，因此還保留著幾何和物理的直觀痕跡，沒有達到徹底嚴密化的程度。為了排除極限概念中的直觀痕跡，維爾斯特拉斯提出了含有數(shù)學語言的極限的定義。極限是微分的理論基礎，研究函數(shù)的性質實際上就是研究各種類型的極限，如連續(xù)、導數(shù)、定積分等，因此對于極限的求解就顯得十分重要了。到目前為止，人們對極限的求解方法只是進行了初步的總結。余長安在文獻[1]中概括總結了函數(shù)極限常見的幾種求解方法，并且給出了相對應的經(jīng)典例題;裴禮文在文獻[2]中總結了求極限(數(shù)列極限和函數(shù)極限)的方法與技巧;黎東在文獻[3]中不僅對一些人們常用的求函數(shù)的方法進行了總結，還給出了一些特殊的解法，同時結合例題進行了說明解釋;張敏捷在文獻[4]中列舉了若干種求函數(shù)極限的特殊解法。雖然求解函數(shù)極限的方法有多種，但是極限技巧性強，靈活多變，初學者不易掌握，為此極限被稱為高等數(shù)學學習的第一個難關。本文對極限的求法做了總結歸納，介紹了利用極限的定義、極限的四則運算法則、化為已知重要極限、洛必達法則、等價無窮小代換、夾逼準則、函數(shù)的連續(xù)性、左右極限、無窮小量與無窮大量的關系等求函數(shù)極限的十幾種方法。

2一元函數(shù)極限2。1一元函數(shù)極限的定義定義2。1設函數(shù)在某個空心鄰域內有定義，為定數(shù)。若對任給的，存在正數(shù)，使得當時有，則稱函數(shù)為當趨于時以為極限，記作或。若時，記作，稱為右極限;若時，記作，稱為左極限。左右極限統(tǒng)稱為單側極限。定義2。2設函數(shù)在時有定義，為常數(shù)。若對于任意給定的正數(shù)(無論它怎么小)，總存在正數(shù)，使得當時，都有，則稱函數(shù)為當時以為極限。記做或。若我們把定義2.2中的改成()，則稱為函數(shù)當取正值且無限增大(記作)時的極限，記作把定義2.2中的改成，則稱為函數(shù)當取負值且絕對值無限增大(記作)時的極限，記作2.2函數(shù)極限的一般性質函數(shù)極限的性質在求函數(shù)極限中有很大的作用，下面給出當時的性質。定理2.1(唯一性)若極限存在，則此極限是唯一的。定理2.2(四則運算法則)若，，則1);2);3)();4)(為常數(shù));5)。定理2.3(迫斂性)設在時有定義，且滿足:1)對任意的滿足時，有;2)，則。定理2.4設，，當時，(1)若存在(或為無窮大量)，則=(或為無窮大量)。(2)若存在(或為無窮大量)，則=(或為無窮大量)。定理2.5函數(shù)都是時的無窮小，且滿足，，則當存在時，也存在且等于，即=。定理2.6(柯西準則)設在時有定義。存在的充要條件是:任給，存在正數(shù)，使得對任何，，有2.3一元函數(shù)極限的求解方法在文獻[7-11]中提出了許多種關于一元函數(shù)極限的求解方法，本文在上述內容的基礎上總結歸納了下面幾種常見的極限求法。1利用定義求函數(shù)極限定義在數(shù)學分析中相當重要，極限定義也如此。如果將極限定義理解透徹，很多題目就可以迎刃而解。下面就舉例介紹一下用定義求函數(shù)極限的方法。例2.1用極限的定義求解任給，取，則當時，有，所以這是利用定義求極限的簡單例子。但在平時的練習中，不可能遇到的題目都這么簡單，往往需要一些處理方法，放縮法和含絕對值不等式是最常見的。具體的就留給讀者細細體會。這種方法適合于初學者，但是在平時的求極限過程中往往避免用定義來求。2利用極限的四則運算性質求函數(shù)極限若，.根據(jù)定理2.2我們就可以計算出以下各種極限。(1)。(2).(3)(其中)。(4)(其中c為常數(shù)).上述性質對于時也同樣成立。極限的四則運算是求函數(shù)極限的基礎，也是求一些簡單函數(shù)的和差積商的極限常見的方法。要想學好函數(shù)極限的求法必須要先熟練掌握極限的四則運算。例2.2求.解注意運用極限的四則運算的時候，必須注意適用條件。首先要保證各項極限都存在，如果遇到分式的話，分母極限不能為零。例如，因為極限不存在。3利用重要極限求函數(shù)極限所謂重要極限中最重要的有下面兩個:(1)(2).這兩個極限是最常見最重要的極限，表達式(1)為自變量的正弦值與自變量的比的極限值。且極限過程趨勢為兩者缺一不可。對于表達式(2)是以以自變量的倒數(shù)為冪的，且底數(shù)還要加上1的等等都是我們應該注意的。對于兩個重要極限我們在學習運用過程中要學會融會貫通，最好還能自己總結概括。對于，，我們就可以進行系統(tǒng)地推廣為(A);(B);(C)若則(D)若則除此之外，還有以下這幾個重要極限(3)(4)(5)這三個重要極限也是常用的?？傊覀円獙W會在學習的過程中，提高自己的數(shù)學素質，從而總結出更普遍、更系統(tǒng)的結論。例2.3求的函數(shù)極限。解 對這幾個重要極限的熟悉掌握就要我們努力學習和探索了，例題就不在一一列舉了。4利用洛比達法則求函數(shù)極限求“”或“”型未定式極限更常用的方法是用洛比達法則。定理2.7設(或)，(或);在的空心鄰域內可導，且，若，則.其中可以是有限數(shù)，也可以是。注意將換成或或也有相應的洛比達法則，同時這些法則也成立。洛比達法則可用語言簡單而又直接的描述成如下形式:假設當自變量x趨近于某一定值(或無窮大)時，函數(shù)和滿足:(1)和的極限都是0或都是無窮大;(2)和都可導，且的導數(shù)不為0;(3)存在(或是無窮大)，則極限也一定存在，且等于，即=。說明用該法則求極限時，應注意條件是否滿足，只要有一條不滿足，洛比達法則就不能應用。特別要注意條件(1)是否滿足，即驗證所求極限是否為“”型或“”型;條件(2)一般都滿足，而條件(3)則在求導完畢后可以知道是否滿足;應用洛比達法則，要分別求分子、分母的導數(shù)，而不是求整個分式的導數(shù)。另外，洛比達法則可以連續(xù)使用，但每次使用之前都需要注意條件。當不存在時，本法則失效，但并不是說極限不存在，此時求極限須用另外方法。當所求極限中的函數(shù)比較復雜時，也可能用到前面的重要極限、后面的等價無窮小代換等方法。一般情況下，對于“”、“”、“”、“”、“”、“”型都可以直接或間接地使用洛比達法則進行計算。對于“”型、“”型的可以直接使用洛比達法則進行計算，而對于“”型，我們只要進行簡單的轉化就可以轉化成“”型、“”型再進行計算。對于“”、“”、“”型，我們可以用對數(shù)的性質把它化成“”型，就全當求“”型。例2.4求下列函數(shù)極限。(1)。(2).(3)。(4).解(1)原式==。此題連續(xù)用洛比達法則，最后用重要極限得出答案。(2)原式.(3)因為因此，原式=。(4)因為因此，原式=。5利用等價無窮小代換求函數(shù)極限當時，下列函數(shù)都是無窮小(即極限為0)，且相互等價，即有;。說明當上面每個函數(shù)中的自變量x換成時()，仍有上面的等價關系成立，例如:當時，;利用“無窮小乘以有界量仍是無窮小量”求極限是常用方法。無窮小代換有以下性質:如果函數(shù)都是時的無窮小，且，，則當存在時，也存在并且等于，也可以表示為=。例2.5求下列函數(shù)極限。(1)。(2).解(1)當時，，，則原式=。(2)這是“”型，我們就利用無窮小代換及羅比達法則來求其極限。當時，有，所以，原式。6利用夾逼準則求函數(shù)極限若函數(shù)滿足上述定理2.3的條件，且函數(shù)本身的極限不易直接求出時，可考慮將求極限的變量做適當?shù)梅糯蠛涂s小，使放大、縮小后的極限較易求得，并且兩者的極限相同。即求得原極限的值。例2.6求()。解當時，存在唯一的正整數(shù)，使，于是當時，有，.又因為當時，，有，，所以=0。7利用函數(shù)的連續(xù)性求函數(shù)極限一些函數(shù)在其定義區(qū)間內連續(xù)，因此求這類函數(shù)在其定義區(qū)間內的點處的極限，可以根據(jù)以下性質來求極限(對于等情況都適用)。(i)若在處連續(xù)，則;(ii)若是復合函數(shù)，有且在處連續(xù)，則。例2.7求.解由于在定義域內都連續(xù)，所以8分別利用左右極限求得函數(shù)極限在文獻介紹了用左右極限求函數(shù)極限的方法。求分段函數(shù)在連接點處的極限，要分別求左、右極限求得函數(shù)極限。即對于分段函數(shù)考察是否存在就要分別求與。若與相等，則可得;若與不相等，則不存在.例2.8設=求及.解因為，由，所以。又因為，，由于，所以不存在.9利用利用無窮小量與無窮大量的關系求函數(shù)極限無窮小量與無窮大量的關系如下:(1)若，則;(2)若且，則.例2.9求.解由于，則.10利用泰勒公式求函數(shù)極限對于求某些不定式的極限來說，應用泰勒公式比使用羅比塔法則更為方便.例2.10求.解利用文獻[6]中的泰勒公式，當，有，于是===.11利用拉格朗日中值定理求函數(shù)極限根據(jù)文獻中的拉格朗日中值定理，我們可以求一些函數(shù)極限.例2.11求.解令，對它應用拉格朗日中值定理得，即。因為連續(xù)，所以，從而有.12利用無窮小分除法求函數(shù)極限此種方法與約分法極為相似，只不過約分因子為零因子.例2.12求.解.13利用無窮大分除法求函數(shù)極限此種方法對于型多項式比較適應，以分母中自變量的最高次冪除分子，分母，以分出無窮小，然后再求極限.例2.13求.解注意此法可總結為:當時，以后遇到這種形式直接代入即可.14利用導數(shù)定義求某些函數(shù)的極限例2.14求證:若存在，則證明注意到我們有例2.15求解原式15利用通分法求某些函數(shù)的極限這是一種求簡單函數(shù)極限的方法，適用于型.例2.16求.解原式===.16利用級數(shù)收斂的必要條件求函數(shù)極限級數(shù)收斂的必要條件是:若級數(shù)收斂，則。因此，對某些極限，可將函數(shù)作為級數(shù)的一般項。只須證明此級數(shù)收斂，便有例2.17求解令，則，因為，所以。即收斂，所以17利用只保留最大量的原則求函數(shù)極限對于“”型，求其極限時，遵循一個原則，那就是分子分母只保留最大量的項。當遇到時，按量級的降序是:;當遇到有限量時，按量級的降序則是:.例2.18求(1)(2).解(1)原式(2)原式上面兩例屬于極限問題中的特例，常常不好解釋，實際上它滿足保留最大量原則.18利用極限性質，將極限(非零)確定的因子首先算出例2.19求解原式

3多元函數(shù)極限3.1多元函數(shù)極限的定義定義3.1設函數(shù)在以為聚點的集合上有定義，若對任何的存在，使得只要及[其中為和二點間的距離]，則，我們就說特別地，當時，可以得到在對于不致產(chǎn)生誤解時，也可簡單地寫作當分別用坐標表示時，也常寫作注意二元函數(shù)極限有時也稱二重極限。它與一元函數(shù)極限存在著一定的差別，在二元函數(shù)極限中自變量趨于點的方向的任意性及方式的多樣性，這是一元函數(shù)與二元函數(shù)極限的主要區(qū)別，也是造成二元函數(shù)極限、連續(xù)、偏導數(shù)、全微分概念間關系有別于一元函數(shù)相關概念間關系的根源.3.2多元函數(shù)極限的求解方法類似于一元函數(shù)的常見求法，多元函數(shù)也有相似的求法，其中包括部分解法在文獻[13-15]中被提及到。在這里就簡單介紹一下(以二元函數(shù)為例).1利用定義求極限例3.1求.解因為，所以于是對任意的，存在，當有即2利用函數(shù)的連續(xù)性求極限定義3.2(二元函數(shù)的連續(xù)性)設為定義在點集上的二元函數(shù)，(它或者是的聚點，或者是的孤立點)。對于任給的正數(shù)，總存在相應的正數(shù)，只要就有，則稱關于集合D在點連續(xù)。在不至于誤解的情況下，也稱在點連續(xù).例3.2求.解因為在是連續(xù)的，所以3利用兩邊夾定理求極限例3.3求.解因為，而，所以.4利用重要極限求極限例3.4求.解，而，所以，原式.5利用有理化的方法求極限例3.5求解分子分母同乘以，即得6利用無窮小與有界變量的乘積仍為無窮小求極限例3.6求解因為，所以，原式7利用極限的四則運算定理、無窮小的運算定理、無窮小于無窮大的關系求極限例3.7求解由，得，故.同理，于是，原式8利用等價無窮小代換求極限例3.8求解因為時所以故原式9利用換元法求極限運用換元的形式求極限的方法中最為主要的是整體代換或三角代換，特別是當遇到時，我們可以設，相當于。通過變量代換可以將某些二元函數(shù)的極限轉化為—元函數(shù)的極限，從而二元函數(shù)的極限變得簡單。例3.9求解設因為故當時，則原式例3.10求.解.10利用取對數(shù)法求極限例3.11求解設則而令有所以，原式

4函數(shù)極限的求解誤區(qū)下面就介紹一下有關函數(shù)極限的幾個求解誤區(qū):(一)洛比達法則的運用洛比達法則是一種常用的、有效的求極限的方法，可以求譬如“”、“”、“”、“”型等多種形式的極限。洛比達法則雖然是有效的求極限的方法，但不是萬能的求極限的方法，也不是對任何函數(shù)在求極限中都適用。例4.1求.分析此題如果用洛比達法則，則，但當時，的取值不確定，所以就得出此極限不存在，而原來極限卻是存在的。正確做法如下:對二元函數(shù)求極限時洛比達法則也是不能隨便運用的，但對于二元函數(shù)我們有下列類似于洛比達法則的定理.定理4.1若二元函數(shù)滿足:(i)為有限點;(ii);(iii)在點的某空心鄰域內可微，且與不同時為零;(iv)，則(條件(ii)改為=時結論仍然成立).例4.2求.解由定理4.1可知(二)函數(shù)極限的逼近方式不同對一元函數(shù)而言，極限存在的充要條件是與同時成立。但對二元函數(shù)而言要復雜得多，也就是說若動點以平行于軸或以平行于軸兩條直線的方式趨于定點時有極限并且相等，也可以用以下方式表示:時，也不能保證。就即使是動點以無窮多種方式趨近于定點時有極限并且相等，也不能保證其有極限。因為動點在平面區(qū)域上趨于定點的方式是可以是任意的。下面以例題加以說明.例4.3證明二元函數(shù)在原點不存在極限.證明若當動點沿著直線(為常數(shù))趨于原點時，有.由上式可知，極限值隨著直線的改變而改變;所以由定義可得，此函數(shù)在原點沒有極限.(三)二元函數(shù)極限與累次極限的區(qū)別定義4.2設是的聚點，是的聚點，二元函數(shù)在集合上有定義，若對每一個存在極限由于此極限一般與有關，因此記作而且進一步存在極限則稱此極限為二元函數(shù)先對后對的累次極限，并記作.或可稱為二元函數(shù)先對后對的累次極限，簡記作累次極限與二重極限是兩個不同的概念，它們的存在性沒有必然的蘊含關系。下面兩個例子將說明這一點.例4.4設，求關于原點的二重極限與累次極限.解類似于例4.3的分析，當時的二重極限不存在。但當時有從而有同理可得即的兩個累次極限都存在而且相等.例4.5設求關于原點的二重極限與累次極限.解它關于原點的兩個累次極限分別為，因為，所以累次極限不存在.當沿斜率不同的直線時，容易驗證所得極限也不同，因此該函數(shù)的二重極限不存在.但是累次極限與二重極限之間蘊含著某種特殊的關聯(lián).推論4.1若累次極限，和二重極限都存在，則三者相等.推論4.2若累次極限與存在但不相等，則二重極限必不存在.

5小結函數(shù)極限在微積分中占有舉足輕重的地位，也已成為數(shù)學科學聯(lián)系實際的主要途徑之一。由此可見，其求法的重要性就不言而喻了。本文主要對極限的求法做了總結歸納。首先將極限分為一元函數(shù)極限和二元函數(shù)極限分別進行闡述。對于一元函數(shù)極限概括了利用極限的定義、極限的四則運算法則、化為已知重要極限、洛必達法則、等價無窮小代換、夾逼準則、函數(shù)的連續(xù)性、左右極限、無窮小量與無窮大量的關系等求函數(shù)極限的十幾種方法;對于二元函數(shù)極限也系統(tǒng)地概括了變量代換、利用兩邊夾定理求極限等幾種方法，并都給出了相應的例子。最后還陳述了求函數(shù)極限的幾個誤區(qū)，強調了洛必達法則使用條件及二重極限與累次極限的關系。

參考文獻余長安.大學數(shù)學考研題型精講與解題技巧集粹[M].北京:科學出版社,2005.裴禮文.數(shù)學分析中的典型問題與方法[M].北京:高等教育出版社,2006.黎東.淺談求函數(shù)極限的方法[J].昌吉師專學報,