第2章 二元一次方程組

第2章二元一次方程組（典型30題專練）一．選擇題（共6小題）1．（2021春?撫順期末）秀山到懷化路程全長288km，一輛小汽車和一輛客車同時從秀山、懷化兩地相向而行，經(jīng)過1小時50分鐘相遇，相遇時小汽車比客車多行駛40km，設小汽車和客車的平均速度分別為xkm/h和ykm/h，則下列方程組正確的是（）A． B． C． D．【分析】1小時50分鐘＝小時，根據(jù)路程＝速度×時間，結(jié)合“經(jīng)過1小時50分鐘兩車相遇，且相遇時小汽車比客車多行駛40km”，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，此題得解．【解答】解：1小時50分鐘＝小時．依題意得：．故選：D．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程組，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．2．（2021春?奉化區(qū)校級期末）若x|a|﹣1+（a﹣2）y＝1是關(guān)于x，y的二元一次方程，則a＝（）A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．0【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，求出即可．【解答】解：∵方程x|a|﹣1+（a﹣2）y＝1是關(guān)于x、y的二元一次方程，∴a﹣2≠0且|a|﹣1＝1，解得：a＝﹣2，故選：B．【點評】本題考查了二元一次方程的定義，能根據(jù)二元一次方程的定義得出a﹣2≠0且|a|﹣1＝1是解此題的關(guān)鍵．3．（2021秋?濟南期末）下到方程組中，屬于二元一次方程組的是（）A． B． C． D．【分析】利用二元一次方程組的定義判斷即可．【解答】解：A、屬于二元一次方程組，符合題意；B、不屬于二元一次方程組，不符合題意；C、屬于二元二次方程組，不符合題意；D、屬于二元二次方程組，不符合題意，故選：A．【點評】此題考查了二元一次方程組的定義，熟練掌握二元一次方程組的定義是解本題的關(guān)鍵．4．（2021?文成縣模擬）中國清代算書《御制數(shù)理精蘊》中有這樣一題：“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”設馬每匹價值x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】直接利用“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩”，分別得出方程得出答案．【解答】解：設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為：．故選：A．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，正確得出等式是解題關(guān)鍵．5．（2021?下城區(qū)模擬）王阿姨以每個m元的價格買進蘋果100個，現(xiàn)以每個比進價多20%價格賣出70個后，再以每個比進價低n元的價格將剩下的30個賣出，則全部賣出100個蘋果所得的金額是W元，下列方程正確的是（）A．70m+30（m﹣n）＝W B．70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W C．70×（1+20%）m+30n＝W D．100×（1+20%）m﹣30（m﹣n）＝W【分析】王阿姨全部蘋果共賣得金額＝先賣70個蘋果的總價+剩下的30個蘋果賣出的總價．根據(jù)等量關(guān)系直接列出方程即可．【解答】解：依題意得，先賣70個蘋果的單價是m（1+20%）元，剩下的30個蘋果賣出的單價是（m﹣n）元，∴全部蘋果共賣得金額是：70×（1+20%）×m+30（m﹣n）元．∴70×（1+20%）m+30（m﹣n）＝W故選：B．【點評】本題考查了由實際問題抽象出二元一次方程，正確理解文字語言中的關(guān)鍵詞，從而明確其中的運算關(guān)系．注意多每個比進價多20%是原來的價錢m再加上20%m．6．（2021?寧波模擬）我國古代算題：“馬四匹，牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹，牛五頭，共價三十八兩．問馬、牛各價幾何？”設馬價x兩，牛價y兩，可列方程組為（）A． B． C． D．【分析】直接利用“馬四匹、牛六頭，共價四十八兩（我國古代貨幣單位）；馬三匹、牛五頭，共價三十八兩”列出方程組即可．【解答】解：設馬每匹x兩，牛每頭y兩，根據(jù)題意可列方程組為：．故選：A．【點評】此題主要考查了二元一次方程組的應用，正確得出等式是解題關(guān)鍵．二．填空題（共12小題）7．（2020秋?江漢區(qū)期末）把方程（1﹣y）﹣x＝0寫成用含有x的式子表示y的形式，得y＝1﹣3x．【分析】將x看作已知數(shù)，y看作未知數(shù)，求出y即可．【解答】解：（1﹣y）﹣x＝0，1﹣y﹣3x＝0，即y＝1﹣3x．故答案為：1﹣3x．【點評】此題考查了解二元一次方程，解題的關(guān)鍵是將x看作已知數(shù)，y看作未知數(shù)．8．（2021春?滿洲里市期末）如果方程組的解為，那么“*”表示的數(shù)是2．【分析】根據(jù)已知條件可得x＝6是方程2x﹣y＝16的解，進而可得y的值，再代入計算即可．【解答】解：將x＝6代入2x﹣y＝16，得12﹣y＝16，解得y＝﹣4，∴x+y＝6﹣4＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了二元一次方程組的解，解決本題的關(guān)鍵是掌握二元一次方程組的解法．9．（2021春?奉化區(qū)校級期末）如圖，6塊同樣大小的長方形復合地板剛好拼成一個寬為30cm的大長方形，則這個大長方形的長是40cm．【分析】設每個小長方形的長為xcm，寬為ycm，根據(jù)長方形的對邊相等已經(jīng)寬為30cm，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出x，y的值，再將其代入（1+2y）中即可求出結(jié)論．【解答】解：設每個小長方形的長為xcm，寬為ycm，依題意，得：，解得：，∴x+2y＝40．故答案為：40．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．10．（2021秋?白銀期末）已知2x﹣3y＝1，用含x的代數(shù)式表示y，則y＝x．【分析】首先移項、然后系數(shù)化1，繼而可求得答案．【解答】解：∵2x﹣3y＝1，∴3y＝2x﹣1，解得：y＝x﹣．故答案為：x﹣．【點評】此題考查了二元一次方程的知識．此題比較簡單，注意掌握解方程的步驟．11．（2021?金華）已知是方程3x+2y＝10的一個解，則m的值是2．【分析】把二元一次方程的解代入到方程中，得到關(guān)于m的一元一次方程，解方程即可．【解答】解：把代入方程得：3×2+2m＝10，∴m＝2，故答案為：2．【點評】本題考查了二元一次方程的解，把二元一次方程的解代入到方程中，得到關(guān)于m的一元一次方程是解題的關(guān)鍵．12．（2021?南京模擬）解方程組，若設（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，則原方程組可變形為．【分析】把x+y換為A，x﹣y換為B得到新方程組即可．【解答】解：解方程組，若設（x+y）＝A，（x﹣y）＝B，則原方程組可變形為．故答案為：．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，以及解二元一次方程組，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．13．（2021?饒平縣校級模擬）若關(guān)于x，y的方程2x|n|+3ym﹣2＝0是二元一次方程，則m+n＝2或4．【分析】根據(jù)二元一次方程的定義得到|n|＝1，m﹣2＝1，然后解不等式和方程得到滿足條件的m、n的值，然后把m、n的值代入m+n中計算即可．【解答】解：根據(jù)題意得：|n|＝1，m﹣2＝1，解得：n＝±1，m＝3，∴m+n＝3+1＝4，m+n＝3﹣1＝2，∴m+n的值是2或4，故答案為：2或4．【點評】本題考查了二元一次方程的定義：含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的次數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次方程．14．（2020秋?五常市期末）已知方程4x﹣3y﹣6＝0，用含y的代數(shù)式表示x，則x＝y(tǒng)+．【分析】把y看作已知數(shù)求出x即可．【解答】解：方程4x﹣3y﹣6＝0，移項得：4x＝3y+6，解得：x＝y(tǒng)+．故答案為：y+．【點評】此題考查了解二元一次方程，以及列代數(shù)式，熟練掌握等式的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．15．（2021?無錫模擬）一天，小民去問爺爺?shù)哪挲g，爺爺說：“我若是你現(xiàn)在這么大，你還要40年才出生呢，你若是我現(xiàn)在這么大，我已經(jīng)是老壽星了，125歲了，哈哈！”請你寫出小民爺爺?shù)降资?0歲．【分析】設小民爺爺是x歲，小民是y歲，根據(jù)爺爺及小民年齡之間的關(guān)系，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論．【解答】解：設小民爺爺是x歲，小民是y歲，依題意得：，解得：．故答案為：70．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．16．（2020秋?福田區(qū)校級期末）對x，y定義一種新運算“※”，規(guī)定：x※y＝mx+ny（其中m，n均為非零常數(shù)），若1※1＝4，1※2＝3．則2※1的值是9．【分析】由已知條件，根據(jù)所給定義可得到關(guān)于m、n的方程組，則可求得m、n的值，再代入計算即可．【解答】解：∵1※1＝4，1※2＝3，∴，解得：，則x※y＝5x﹣y∴2※1＝2×5﹣1＝9，故答案為：9．【點評】此題考查了解二元一次方程組，以及有理數(shù)的混合運算，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．17．（2020秋?李滄區(qū)期末）如圖，是由7塊顏色不同的正方形組成的長方形，已知中間小正方形的邊長為1，則這個長方形的面積為63．【分析】設左下角的小正方形邊長為x，左上角最大的正方形的邊長為y，根據(jù)矩形的長和寬列出方程組求解即可．【解答】解：設左下角的小正方形邊長為x，左上角最大的正方形的邊長為y，由題意得：，解得：，∴矩形的長＝2+2+2+3＝9，寬＝2+5＝7，S矩形＝7×9＝63，故答案為：63．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．18．（2021春?奉化區(qū)校級期末）若方程組的解是，則方程組的解是x＝﹣1，y＝﹣3．【分析】把代入方程組可求出c1﹣c2＝2（a1﹣a2），c1﹣2a1＝3，再根據(jù)方程組，即可求出x、y的值．【解答】解：把代入方程組得，，所以c1﹣c2＝2（a1﹣a2），c1﹣2a1＝3，方程組，①﹣②得，（a1﹣a2）x＝a1﹣a2﹣（c1﹣c2），所以（a1﹣a2）x＝﹣（a1﹣a2），因此x＝﹣1，把x＝﹣1代入方程組中的方程①得，﹣a1+y＝a1﹣c1，所以y＝2a1﹣c1＝﹣（c1﹣2a1）＝﹣3，故答案為：﹣1，﹣3．【點評】本題考查二元一次方程組及其解法，掌握方程組的解法是解決問題的關(guān)鍵，解二元一次方程組的基本思想是消元．三．解答題（共12小題）19．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）解下列方程組：（1）．（2）．【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1），②×2﹣①得：7y＝﹣7，解得：y＝﹣1，把y＝﹣1代入①得：2x+3＝3，解得：x＝0，則方程組的解為；（2）方程組整理得：，①+②得：6x＝18，解得：x＝3，把x＝3代入②得：9﹣2y＝8，解得：y＝，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．20．（2021春?婁星區(qū)期末）解下列方程組：（1）；（2）．【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1），②﹣①×3得：x＝5，把x＝5代入①得：10﹣y＝5，解得：y＝5，則方程組的解為；（2）方程組整理得：，②×4﹣①×3得：﹣7y＝﹣28，解得：y＝4，把y＝4代入②得：3x﹣16＝2，解得：x＝6，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．21．（2020秋?扶風縣期末）解下列方程組：（1）；（2）．【分析】（1）方程組利用加減消元法求出解即可；（2）方程組整理后，利用加減消元法求出解即可．【解答】解：（1），①×2得：2x+4y＝6③，②+③得，7x＝7，解得：x＝1，把x＝1代入①得：y＝1，則方程組的解為；（2）方程組整理得：，①﹣②得：6y＝18，解得：y＝3，把y＝3代入①得：3x+12＝36，解得：x＝8，則方程組的解為．【點評】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法．22．（2021春?江北區(qū)期中）解下列方程組：（1）；（2）．【分析】（1）利用代入消元法解方程組即可；（2）利用加減消元法解方程組即可．【解答】解：（1），①代入②，得3x+2（4x﹣13）＝7，解得x＝3，把x＝3代入①，得y＝﹣1，所以原方程組的解為：；（2），①+②，得4x＝4，解得x＝1，把x＝1代入①，得y＝﹣2，所以原方程組的解為：．【點評】本題考查了解二元一次方程組，解決本題的關(guān)鍵是掌握加減消元法和代入消元法解二元一次方程組．23．（2021春?拱墅區(qū)校級期中）已知關(guān)于x，y的方程組，其中a是實數(shù)．（1）若x＝y(tǒng)，求a的值；（2）若方程組的解也是方程x﹣5y＝3的一個解，求（a﹣4）2019的值；（3）求k為何值時，代數(shù)式x2﹣kxy+9y2的值與a的取值無關(guān)，始終是一個定值，求出這個定值．【分析】（1）把a看做已知數(shù)，利用加減消元法求出解即可；（2）把方程組的解代入方程計算求出a的值，代入原式計算即可求出值；（3）將代數(shù)式x2﹣kxy+9y2的配方＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，即可求解．【解答】解：（1）方程組，①×3+②得：5x＝15a﹣5，解得：x＝3a﹣1，把x＝3a﹣1代入①得：y＝a﹣2，則方程組的解為，令3a﹣1＝a﹣2，解得a＝；（2）把方程組代入方程得：3a﹣1﹣5a+10＝3，解得：a＝3，則（a﹣4）2019＝（﹣1）2019＝﹣1；（3）∵x2﹣kxy+9y2＝（x﹣3y）2+6xy﹣kxy＝25+（6﹣k）xy，且代數(shù)式x2﹣kxy+9y2的值與a的取值無關(guān)，∴當k＝6時，代數(shù)式x2﹣kxy+9y2的值與a的取值無關(guān)，定值為25．【點評】此題考查了二元一次方程組的解，二元一次方程的解，以及解二元一次方程，熟練掌握運算法則是解本題的關(guān)鍵．24．（2021?鹿城區(qū)校級一模）為了推進現(xiàn)代化教育，教育局決定給某區(qū)每所中學配備m臺電腦，每所小學配備n臺電腦．現(xiàn)有甲、乙兩家企業(yè)愿意捐贈其結(jié)對的學校所需的電腦（結(jié)對學校數(shù)的情況如圖），甲企業(yè)計劃捐贈295臺，乙企業(yè)計劃捐贈305臺．（1）求m，n的值．（2）現(xiàn)兩家企業(yè)決定在計劃購買電腦總金額1650000元不變的情況下，統(tǒng)一購買A，B兩種型號電腦（單價如下表）．在實際購買時，商家給予打折優(yōu)惠：A，B兩種型號電腦分別打a折和b折（a≤b＜10，a、b都是整數(shù)），最后購進的電腦總數(shù)比計劃多100臺．求實際購買的A，B兩種型號電腦各多少臺．型號AB單價（元/臺）30002500【分析】（1）由題意得出方程組，解方程組即可；（2）設購買的A，B兩種型號電腦分別為x臺、（295+305+100﹣x）臺，即（700﹣x）臺，由題意得出方程，進而得出得＜700，則a＞，再由∵a≤b＜10，a、b都是整數(shù)，得出有三種情況，即可解決問題．【解答】解：（1）由題意得：，解得：；（2）設購買的A，B兩種型號電腦分別為x臺、（295+305+100﹣x）臺，即（700﹣x）臺，由題意得：3000×0.1ax+2500×0.1b（700﹣x）＝1650000，整理得：x＝，∵A型電腦臺數(shù)小于700臺，∴＜700，解得：a＞，又∵a≤b＜10，a、b都是整數(shù)，∴有三種情況：①，②，③，代入方程檢驗得：①x＝625，②x＝500，③x不是整數(shù)，舍去；∴實際購買A型625臺，B型電腦75臺或A型500臺，B型電腦200臺．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用以及不等式的應用，根據(jù)題意列出正確的方程組和不等式是本題的關(guān)鍵．25．（2021春?澄城縣期末）閱讀感悟：有些關(guān)于方程組的問題，需要求的結(jié)果不是每一個未知數(shù)的值，而是關(guān)于未知數(shù)的代數(shù)式的值，如以下問題：已知實數(shù)x，y滿足3x﹣y＝5①，2x+3y＝7②，求x﹣4y和7x+5y的值．本題常規(guī)思路是將①②兩式聯(lián)立組成方程組，解得x，y的值再代入欲求值的代數(shù)式得到答案，常規(guī)思路運算量比較大．其實，仔細觀察兩個方程未知數(shù)的系數(shù)之間的關(guān)系，本題還可以通過適當變形整體求得代數(shù)式的值，如由①﹣②可得x﹣4y＝﹣2，由①+②×2可得7x+5y＝19．這樣的解題思想就是通常所說的“整體思想”．解決問題：（1）已知二元一次方程組，則x﹣y＝﹣4，x+y＝6；（2）“戰(zhàn)疫情，我們在一起”，某公益組織計劃為老年公寓捐贈一批防疫物資．已知購買20瓶消毒液、3支測溫槍、2套防護服共需1180元；購買30瓶消毒液、2支測溫槍、8套防護服共需2170元，若該公益組織實際捐贈了100瓶消毒液、10支測溫槍、20套防護服，則購買這批防疫物資共需多少元？（3）對于實數(shù)x，y，定義新運算：x*y＝ax﹣by+c，其中a，b，c是常數(shù)，等式右邊是通常的加法和乘法運算．已知3*5＝15，4*7＝28，那么求1*1的值．【分析】（1）由方程組的兩式相減與相加即可得出結(jié)果；（2）設的消毒液單價為m元，測溫槍的單價為n元，防護服的單價為p元，由題意列出方程組，即可得出結(jié)果；（3）由定義新運算列出方程組，求出a﹣b+c＝﹣11，即可得出結(jié)果．【解答】解：（1），由②﹣①得：x﹣y＝﹣4，①+②得：5x+5y＝30，∴x+y＝6，故答案為：﹣4，6；（2）設的消毒液單價為m元，測溫槍的單價為n元，防護服的單價為p元，由題意得：，由①+②得：50m+5n+10p＝3350，∴100m+10n+20p＝3350×2＝6700，答：購買這批防疫物資共需6700元；（3）由題意得：，由3×①﹣2×②可得：a﹣b+c＝﹣11，∴1*1＝a﹣b+c＝﹣11．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用、定義新運算、“整體思想”等知識；熟練掌握“整體思想”，找出等量關(guān)系列出方程組是解題的關(guān)鍵．26．（2021?章丘區(qū)模擬）疫情期間，為保護學生和教師的健康，某學校用33000元購進甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計1000盒，甲，乙兩種口罩的售價分別是30元/盒，35元/盒．（1）求甲、乙兩種口罩各購進了多少盒？（2）現(xiàn)已知甲，乙兩種口罩的數(shù)量分別是20個/盒，25個/盒，按照教育局要求，學校必須儲備足夠使用十天的口罩，該校師生共計800人，每人每天2個口罩，問購買的口罩數(shù)量是否能滿足教育局的要求？【分析】（1）設學校購進甲種口罩x盒，購進乙種口罩y盒，根據(jù)學校33000元購進甲、乙兩種醫(yī)用口罩共計1000盒，即可得出關(guān)于x，y的二元一次方程組，解之即可得出結(jié)論；（2）利用總數(shù)量＝每盒的數(shù)量×盒數(shù)可求出購買的口罩總數(shù)，利用全校師生兩周需要的用量＝師生數(shù)×每天的用量×時間（2周）可求出全校師生兩周需要的用量，比較后即可得出結(jié)論．【解答】解：（1）設學校購進甲種口罩x盒，購進乙種口罩y盒，依題意，得：，解得：．答：學校購進甲種口罩400盒，購進乙種口罩600盒．（2）購買的口罩總數(shù)為：400×20+600×25＝23000（個），全校師生兩周需要的用量為：800×2×10＝16000（個）．∵23000＞16000，∴購買的口罩數(shù)量能滿足教育局的要求．【點評】本題考查了二元一次方程組的應用，找準等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵．27．（2019秋?阜南縣期末）若關(guān)于x、y的二元一次方程組的解x、y互為相反數(shù)，求m的值．【分析】利用x，y的關(guān)系代入方程組消元，從而求得m的值．【解答】解：將x＝﹣y代入二元一次方程租可得關(guān)于y，m的二元一次方程組，解得m＝23．【點評】考查了解二元一次方程的能力和對方程解的概念的理解．28．（2008春?杭州期末）解三元一次方程組：．【分析】因為三個方程中z的系數(shù)相同或互為相反數(shù)，應用加減法來解．【解答】解：①+②得5x+2y＝16④，③+②得3x+4y＝18⑤，得方程組，解得，代入③得，2+3+z＝6，∴z＝1．∴方程組的解為．【點評】解三元一次方程組要注意以下幾點：方程組有三個未知數(shù)，每個方程的未知項的次數(shù)都是1，并且一共有三個方程，像這樣的方程組，叫三元一次方程組．通過解方程組，了解把“三元”轉(zhuǎn)化為“二元”、把“二元”轉(zhuǎn)化為“一元”的消元的思想方法，從而進一步理解把“未知”轉(zhuǎn)化為“已知”和把復雜問題轉(zhuǎn)化為簡單問題的思想方法．解三元一次方程組的關(guān)鍵是消元．解題之前先觀察方程組中的方程的系數(shù)特點，認準易消的未知數(shù)，消去未知數(shù)，組成元該未知數(shù)的二元一次方程組．29．把數(shù)字1，2，3，…，9分別填入圖中的9個圈內(nèi)，要求三角形ABC和三角形DEF的每條邊上三個圈內(nèi)數(shù)位之和等于18．（1）給出符合要求的填法；（2）共有多少種不同填法？證明你的結(jié)論．【分析】（1）先確定D、E、F三處的數(shù)字之和應該是24，再進一步分析其它的數(shù)字；（2）把填入A，B，C三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為x；D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為y；其余三個圈所填的數(shù)位之和為z．結(jié)合圖形和已知條件得到方程組，進而求得y＝24，再進一步分析即可．【解答】解：（1）右圖給出了一個符合要求的填法；（2）共有6種不同填法把填入A，B，C三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為x；D，E，F(xiàn)三處圈內(nèi)的三個數(shù)之和記為y；其余三個圈所填的數(shù)位之和為z．顯然有x+y+z＝1+2+…+9＝45①，圖中六條邊，每條邊上三個圈中之數(shù)的和為18，所以有z+3y+2x＝6×18＝108②，②﹣①，得x+2y＝108﹣45＝63③，把AB，BC，CA每一邊上三個圈中的數(shù)的和相加，則可得2x+y＝3×18＝54④，