第一章1.1.2弧度制

**1．1.2 弧度制學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)1.理解角度制與弧度制的概念，能對弧度和角度進(jìn)行正確的轉(zhuǎn)換.2.體會引入弧度制的必要性，建立角的集合與實(shí)數(shù)集一一對應(yīng)關(guān)系.3.謝謝閱讀掌握并能應(yīng)用弧度制下的扇形弧長公式和面積公式．**知識點(diǎn)一 角度制與弧度制1角度制 用度作為單位來度量角的單位制叫做角度制，規(guī)定1度的角等于周角的360精品文檔放心下載長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度的角，用符號rad表示，讀作精品文檔放心下載弧度制弧度．以弧度作為單位來度量角的單位制叫做弧度制思考 半徑為2的圓中1弧度的角比半徑為1的圓中1弧度的角大，這句話正確嗎？精品文檔放心下載答案 錯誤．“1弧度的角”的大小與所在圓的半徑大小無關(guān)，其大小是一個(gè)定值．感謝閱讀知識點(diǎn)二 角度制與弧度制的換算1．角度與弧度的互化角度化弧度弧度化角度360°＝2πrad2πrad＝360°180°＝πradπrad＝180°π1801°＝rad≈0.01745rad1rad＝°≈57.30°180π2.一些特殊角的度數(shù)與弧度數(shù)的對應(yīng)關(guān)系**120135150180270360度0°1°30°45°60°90°°°°°°°弧度0πππππ2π3π5ππ3π2識點(diǎn)三 扇形的弧長及面積公式設(shè)扇形的半徑為R，弧長為l，θ為其圓心角，則：θ＝α°θ＝α(單位：弧度)απRl＝αR扇形的弧長l＝180απR211扇形的面積S＝360S＝2lR＝2αR21．1rad的角和1°的角大小相等．( × )精品文檔放心下載π提示 1rad的角和1°的角大小不相等，1°＝180rad.謝謝閱讀2．用弧度來表示的角都是正角．( × )提示 弧度也可表示負(fù)角，負(fù)角的弧度數(shù)是一個(gè)負(fù)數(shù)．**3．“1弧度的角”的大小和所在圓的半徑大小無關(guān)．( √ )謝謝閱讀提示 “1弧度的角”的大小等于半徑長的圓弧所對的圓心角，是一個(gè)定值，與所在圓的半精品文檔放心下載徑大小無關(guān)．4．半徑為1的圓弧中，60°角所對的圓弧長為60°.( × )精品文檔放心下載π π提示 使用扇形弧長公式l＝αR時(shí)應(yīng)將角α化為弧度，60°等于3，所以60°角所對弧長為3.感謝閱讀題型一 角度與弧度的互化例1 將下列角度與弧度進(jìn)行互化．7π 11π(1)20°；(2)－15°；(3)12；(4)－5.謝謝閱讀考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 角度與弧度的互化20π π(1)20°＝180＝9.15π π(2)－15°＝－180＝－12.7π 7(3)12＝12×180°＝105°.**11π 11(4)－5＝－5×180°＝－396°.反思感悟 將角度轉(zhuǎn)化為弧度時(shí)，要把帶有分、秒的部分化為度之后，牢記πrad＝180°即精品文檔放心下載180可求解．把弧度轉(zhuǎn)化為角度時(shí)，直接用弧度數(shù)乘以 °即可．謝謝閱讀π跟蹤訓(xùn)練1 下列轉(zhuǎn)化結(jié)果錯誤的是( )3πA．67°30′化成弧度是810πB．－3化成角度是－600°7πC．－150°化成弧度是－6πD.12化成角度是15°考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制、角度制互化答案 C3π解析 對于A，67°30′＝67.5×180＝8，正確；精品文檔放心下載10π10π180對于B，－＝－×°＝－600°，正確；33π5π對于C，－150°＝－150×180＝－6，錯誤；謝謝閱讀π180對于D， ＝ × °＝15°，正確．12 12π題型二 用弧度制表示終邊相同的角例2 把下列各角化成2kπ＋α(0≤α<2π，k∈Z)的形式，并指出是第幾象限角．感謝閱讀23π(1)－1500°；(2)6；(3)－4.**考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制與角度制互化(1)∵－1500°＝－1800°＋300°＝－5×360°＋300°.精品文檔放心下載5π∴－1500°可化成－10π＋3，是第四象限角．謝謝閱讀23π 11π(2)∵6＝2π＋6，23π 11π6與6終邊相同，是第四象限角．π(3)∵－4＝－2π＋(2π－4)，2<2π－4<π.感謝閱讀∴－4與2π－4終邊相同，是第二象限角．反思感悟 用弧度制表示終邊相同的角2kπ＋α(k∈Z)時(shí)，其中2kπ是π的偶數(shù)倍，而不是整感謝閱讀數(shù)倍，還要注意角度制與弧度制不能混用．跟蹤訓(xùn)練2 如圖所示：(1)用弧度制分別寫出終邊落在OA，OB位置上的角的集合；謝謝閱讀(2)用弧度制寫出終邊落在陰影部分(包括邊界)的角的集合．謝謝閱讀考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 終邊相同的角**3π解(1)終邊在OA上的角的集合為αα＝4＋2kπ，k∈Z.π6π3π(2)α－＋2kπ≤α≤＋2kπ，k∈Z.64題型三扇形的弧長及面積公式的應(yīng)用例3(1)若扇形的中心角為120°，半徑為3，則此扇形的面積為()5π3π23πA．πB.4C.3D.9(2)如果2弧度的圓心角所對的弦長為4，那么這個(gè)圓心角所對的弧長為( )謝謝閱讀24A．2B.sin1C．2sin1D.sin1考點(diǎn)扇形的弧長與面積公式題點(diǎn)扇形的弧長公式；扇形面積公式答案(1)A(2)D2π解析(1)扇形的中心角為120°＝3，半徑為3，112π所以S扇形＝2|α|r2＝2×3×(3)2＝π.(2)連接圓心與弦的中點(diǎn)，則以弦心距、弦長的一半、半徑長為長度的線段構(gòu)成一個(gè)直角三角感謝閱讀2 2 4形，圓心角為2，半弦長為2，故半徑長為sin1.這個(gè)圓心角所對的弧長為2×sin1＝sin1.精品文檔放心下載1 1反思感悟 聯(lián)系半徑、弧長和圓心角的有兩個(gè)公式：一是S＝2lr＝2|α|r2，二是l＝|α|r，如感謝閱讀果已知其中兩個(gè)，就可以求出另一個(gè)．求解時(shí)應(yīng)注意先把角度制化為弧度制，再計(jì)算．精品文檔放心下載**跟蹤訓(xùn)練3 扇形周長為6cm，面積為2cm2，則其圓心角的弧度數(shù)是( )精品文檔放心下載A．1或5 B．1或2 C．2或4 D．1或4謝謝閱讀考點(diǎn) 扇形的弧長與面積公式題點(diǎn) 扇形的弧長公式；扇形面積公式答案 D解析 設(shè)扇形的半徑為rcm，圓心角為α(0<α<2π)，謝謝閱讀2r＋αr＝6，r＝1，r＝2，則1解得或αr2＝2，α＝4α＝1.扇形面積計(jì)算典例 《九章算術(shù)》是我國古代數(shù)學(xué)的杰出代表作．其中《方田》章給出計(jì)算弧田面積所用謝謝閱讀1的經(jīng)驗(yàn)公式為：弧田面積＝2(弦×矢＋矢2)．弧田(如圖)由圓弧和其所對弦圍成，公式中“弦”感謝閱讀2π指圓弧所對的弦長，“矢”等于半徑長與圓心到弦的距離之差．現(xiàn)有圓心角為3，半徑為4m感謝閱讀的弧田，按照上述經(jīng)驗(yàn)公式計(jì)算所得弧田面積約是( )**A．6m2B．9m2C．12m2D．15m2考點(diǎn) 扇形的弧長與面積公式題點(diǎn) 扇形面積公式答案 Bπ解析 根據(jù)題設(shè)，弦＝2×4sin3＝4 3(m)，謝謝閱讀π矢＝4－4cos3＝2(m)，11故弧田面積＝2×(弦×矢＋矢2)＝2×(43×2＋22)＝43＋2≈9(m2)．[素養(yǎng)評析] 本例以古代數(shù)學(xué)為典例，體現(xiàn)了通過對實(shí)際問題進(jìn)行分析，抽象出具體的數(shù)學(xué)精品文檔放心下載模型，建立相應(yīng)公式解決問題的思想和方法，這就是數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)數(shù)學(xué)抽象的具體體現(xiàn)．感謝閱讀**1．下列說法正確的是( )A．1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑B．大圓中1弧度的圓心角比小圓中1弧度的圓心角大精品文檔放心下載C．所有圓心角為1弧度的角所對的弧長都相等D．用弧度表示的角都是正角考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制定義答案 A解析 對于A，根據(jù)弧度的定義知，“1弧度的圓心角所對的弧長等于半徑”，故A正確；對精品文檔放心下載B，大圓中1弧度的圓心角與小圓中1弧度的圓心角相等，故B錯誤；對于C，不在同圓或等圓中，1弧度的圓心角所對的弧長是不等的，故C錯誤；對于D，用弧度表示的角也可以不是正角，故D錯誤．謝謝閱讀2．下列表述中不正確的是( )A．終邊在x軸上的角的集合是{α|α＝kπ，k∈Z}謝謝閱讀πB．終邊在y軸上的角的集合是αα＋kπ，k∈Z2**πααk，k∈Z2πD．終邊在直線y＝x上的角的集合是αα＋2kπ，k∈Z4考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn)弧度制、角度制互化，用弧度制表示角答案D解析 終邊在直線y＝x上的角的集合是αα＝π＋kπ，k∈Z謝謝閱讀43．若θ＝－5，則角θ的終邊在( )A．第四象限 B．第三象限C．第二象限 D．第一象限考點(diǎn) 弧度制的應(yīng)用題點(diǎn) 弧度制的應(yīng)用答案 D解析 2π－5與－5的終邊相同， π∵2π－5∈0，， 2∴2π－5是第一象限角，則－5也是第一象限角．3π4．已知半徑為1的扇形面積為8，則扇形的圓心角為( )感謝閱讀3π3π3π3πA.16B.8C.4D.2考點(diǎn)弧度制題點(diǎn)扇形的面積公式

.**答案C13π13π解析 由S＝2|α|r2得8＝2×α×12，所以α＝4.謝謝閱讀2π5．已知扇形AOB的圓心角α為3，半徑長R為6，求：謝謝閱讀(1)弧AB的長；(2)扇形所含弓形的面積．考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 扇形的弧長公式、弧度制應(yīng)用2(1)l＝α·R＝3π×6＝4π，所以弧AB的長為4π.1 1(2)S扇形OAB＝2lR＝2×4π×6＝12π.精品文檔放心下載2如圖所示，過點(diǎn)O作OD⊥AB，交AB于點(diǎn)D，3π＝120°，感謝閱讀所以∠AOD＝60°，∠DAO＝30°，1于是有S△OAB＝2×AB×OD**1＝2×2×6cos30°×3＝9 3.所以弓形的面積為S扇形OAB－S△OAB＝12π－9 3.感謝閱讀所以弓形的面積是12π－9 3.1．角的概念推廣后，在弧度制下，角的集合與實(shí)數(shù)集R之間建立起一一對應(yīng)的關(guān)系：每一個(gè)角都有唯一的一個(gè)實(shí)數(shù)(即這個(gè)角的弧度數(shù))與它對應(yīng)；反過來，每一個(gè)實(shí)數(shù)也都有唯一的一個(gè)角(即弧度數(shù)等于這個(gè)實(shí)數(shù)的角)與它對應(yīng)．精品文檔放心下載2．解答角度與弧度的互化問題的關(guān)鍵在于充分利用“180°＝πrad”這一關(guān)系式．即：感謝閱讀π 180角度數(shù)× rad＝弧度數(shù)，弧度數(shù)× °＝角度數(shù)．精品文檔放心下載180 π3．在弧度制下，扇形的弧長公式及面積公式都得到了簡化，在具體應(yīng)用時(shí)，要注意角的單位取弧度．精品文檔放心下載**一、選擇題1．下列說法中，錯誤的是( )A．“度”與“弧度”是度量角的兩種不同的度量單位1 1B．1°的角是周角的360，1rad的角是周角的2π謝謝閱讀C．1rad的角比1°的角要大D．用角度制和弧度制度量角，都與圓的半徑有關(guān)考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制定義、應(yīng)用答案 D解析 根據(jù)1度，1弧度的定義可知只有D是錯誤的，故選D.感謝閱讀2．下列說法中，錯誤的是( )A．半圓所對的圓心角是πradB．周角的大小等于2πC．1弧度的圓心角所對的弧長等于該圓的半徑D．長度等于半徑的弦所對的圓心角的大小是1弧度考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制定義**答案 D解析 根據(jù)弧度的定義及角度與弧度的換算知A，B，C均正確，D錯誤．精品文檔放心下載3．－240°化為弧度是( )4 5A．－3π B．－3π7 7C．－4π D．－6π考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制角度制互化答案 A4解析－240°＝－240×180＝－3π.4．設(shè)角α＝－2弧度，則α終邊所在的象限為( )A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制應(yīng)用答案 Cπ解析 ∵－π<－2<－2，π∴2π－π<2π－2<2π－2，3即π<2π－2<2π，∴2π－2為第三象限角，∴α為第三象限角．π π5．若角α與角x＋4有相同的終邊，角β與角x－4有相同的終邊，那么α與β間的關(guān)系為( )感謝閱讀A．α＋β＝0 B．α－β＝0**πC．α＋β＝2kπ(k∈Z) D．α－β＝2kπ＋2(k∈Z)感謝閱讀考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制應(yīng)用答案 D116．把－4π表示成θ＋2kπ(k∈Z)的形式，使|θ|最小的θ值是( )精品文檔放心下載3A．－4πB．－2πC．πD．－π考點(diǎn)弧度制的應(yīng)用題點(diǎn)弧度制的應(yīng)用答案A113解析∵－π＝－2π＋－π443＝2×(－1)π＋－π， 43∴θ＝－4π.7．若一扇形的圓心角為72°，半徑為20cm，則扇形的面積為( )謝謝閱讀A．40πcm2 B．80πcm2C．40cm2 D．80cm2考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 扇形面積公式答案 B2π解析 ∵72°＝5，**1 12π∴S扇形＝2αr2＝2×5×202＝80π(cm2)．感謝閱讀8．若扇形的半徑變?yōu)樵瓉淼?倍，弧長增加到原來的2倍，則( )精品文檔放心下載A．扇形的面積不變B．扇形的圓心角不變C．扇形的面積增加到原來的2倍D．扇形的圓心角增加到原來的2倍考點(diǎn) 弧度制、扇形面積與弧長公式題點(diǎn) 扇形面積公式答案 B解析 設(shè)原來的扇形的半徑為r，弧長為l，圓心角為α，則變化后的扇形的半徑為2r，弧長精品文檔放心下載為2l，圓心角為β，l＝αr,2l＝2rβ，所以α＝β.謝謝閱讀二、填空題8π θ9．若角θ的終邊與5角的終邊相同，則在[0,2π]內(nèi)終邊與角4的終邊相同的角是謝謝閱讀

．考點(diǎn) 弧度制題點(diǎn) 弧度制應(yīng)用2π9π7π19π答案5，10，5，108πθ2πkπ解析 ∵θ＝5＋2kπ，k∈Z，∴4＝5＋2，k∈Z.謝謝閱讀θ 2π 9π 7π 19π θ當(dāng)k＝0,1,2,3時(shí)，4＝5，10，5，10且4∈[0,2π]．精品文檔放心下載10．圓的一段弧長等于該圓外切正三角形的邊長，則這段弧所對圓心角的弧度數(shù)是感謝閱讀考點(diǎn) 扇形弧長與面積公式題點(diǎn) 扇形弧長公式答案 2 3

．**解析 設(shè)圓的半徑為r，其外切正三角形的邊長為a，精品文檔放心下載1 3 3則r＝3×2×a＝6a，又弧長為a，a a 6所以圓心角為α＝r＝ 3＝3＝23.a2π11．如果圓心角為3的扇形所對的弦長為2 3，則扇形的面積為 ．精品文檔放心下載考點(diǎn) 扇形弧長與面積公式、弧度制應(yīng)用題點(diǎn) 扇形弧長公式、面積公式4π答案32π解析 如圖，作BF⊥AC.已知AC＝2 3，∠ABC＝3，精品文檔放心下載πAF＝3，∠ABF＝3.AF∴AB＝sin∠ABF＝2，即R＝2.4π 1 4π∴弧長l＝|α|R＝3，∴S＝2lR＝3.精品文檔放心下載**π 7π12．已知α＝15°，β＝10，γ＝1，θ＝105°，φ＝12，則α，β，γ，θ，φ的大小關(guān)系為 ．謝謝閱讀考點(diǎn)題點(diǎn)

弧度制角度、弧度互化答案解析

α<β<γ<θ＝φ方法一 (化為弧度)：π π π 7πα＝15°＝15×180＝12，θ＝105°＝105×180＝12.感謝閱讀π π 7π顯然12<10<1<12，故α<β<γ<θ＝φ.方法二 (化為角度)：ππ1807π180βγφ×°＝105°.1010π12π顯然15°<18°<57.30°<105°，故α<β<γ<θ＝φ.感謝閱讀三、解答題3π π13．已知α1＝－570°，α2＝750°，β1＝5，β2＝－3.精品文檔放心下載(1)將α1，α2用弧度制表示出來，并指出它們各自的終邊所在的象限；感謝閱讀(2)將β1，β2用角度制表示出來，并在－720°～－180°范圍內(nèi)找出與它們終邊相同的所有角．精品文檔放心下載570π 19π 5π(1)α1＝－570°＝－180＝－6＝－2×2π＋6，感謝閱讀750π25ππα2＝750°＝180＝6＝2×2π＋.619π25π故α1＝－6，α2＝6，α1的終邊在第二象限，α2的終邊在第一象限．3π3π1(2)β1＝5＝×180°＝108°，β2＝－＝－×180°＝－60°.533**設(shè)θ1＝108°＋k1·360°(k1∈Z)，θ2＝－60°＋k2·360°(k2∈Z)，感謝閱讀則由－720°≤θ1<－180°(k∈Z)，－720°≤θ2<－180°(k∈Z)，即－720°≤108°＋k1·360°<－180°(k1