專題07 弧長(zhǎng)、扇形面積和圓錐側(cè)面積（原卷版）

專題7弧長(zhǎng)、扇形面積和圓錐側(cè)面積知識(shí)梳理：1、弧長(zhǎng)公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)(圓的周長(zhǎng))公式：n°的圓心角所對(duì)的圓的弧長(zhǎng)公式：(弧是圓的一部分)2、扇形面積公式半徑為R的圓中360°的圓心角所對(duì)的扇形面積(圓面積)公式：n°的圓心角所對(duì)的扇形面積公式：3、圓錐的側(cè)面積和全面積連接圓錐頂點(diǎn)和底面圓上任意一點(diǎn)的線段叫做圓錐的母線.圓錐的母線長(zhǎng)為，底面半徑為r，側(cè)面展開圖中的扇形圓心角為n°，則圓錐的側(cè)面積，圓錐的全面積.扇形的半徑就是圓錐的母線，扇形的弧長(zhǎng)就是圓錐底面圓的周長(zhǎng).因此，要求圓錐的側(cè)面積就是求展開圖扇形面積，全面積是由側(cè)面積和底面圓的面積組成的.題型一：求弧長(zhǎng)【例1】如圖，邊長(zhǎng)為4的正方形ABCD內(nèi)接于⊙O，則的長(zhǎng)是（結(jié)果保留π）．【例2】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，以AB為直徑的⊙O交邊BC，AC于D，E兩點(diǎn)，AC＝2，則的長(zhǎng)是．【例3】如圖，AB是圓O的直徑，CD是弦，CD∥AB，∠BCD＝30°，AB＝6，則弧BD的長(zhǎng)為（）A．π B．4π C．2π D．45π【例4】如圖，⊙O的半徑為6，圓周角∠BAC＝40°，則的長(zhǎng)為（）A． B． C． D．，【例5】已知一個(gè)扇形的圓心角為120°，半徑是6cm，則這個(gè)扇形的弧長(zhǎng)是（）A．8π B．6π C．4π D．2π【例6】如圖，在扇形OAB中，∠AOB=110°，半徑OA=18，將扇形OAB沿過(guò)點(diǎn)B的直線折疊，點(diǎn)O恰好落在上的點(diǎn)D處，折痕交OA于點(diǎn)C，則的長(zhǎng)為______．題型二：求扇形面積【例1】如圖，從一塊直徑為4dm的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積為（）dm2．A．4π B．16π C．4π D．8π【例2】如圖，一只羊被4米長(zhǎng)的繩子拴在長(zhǎng)為3米，寬為2米的長(zhǎng)方形封閉圍墻的一個(gè)頂點(diǎn)上，則這頭羊活動(dòng)范圍的最大面積是米2．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠C＝30°，AC＝4，以AB為直徑的⊙O交BC于點(diǎn)D，則圖中陰影部分的面積為（）A． B． C． D．2π【例4】如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝，作∠ABC的平分線BD交AC于點(diǎn)D，以點(diǎn)A為圓心，AD長(zhǎng)為半徑作弧，交AB于點(diǎn)E，則陰影部分的面積為（）A． B． C． D．題型三：求圓心角和半徑【例1】已知扇形的面積為16π，半徑為6，則此扇形的圓心角為．．【例2】在同一個(gè)圓中，扇形A，B，C面積之比為1：3：5，則最小扇形的圓心角度數(shù)（）A．40° B．100° C．120° D．150°【例3】如圖，AB是⊙O的直徑，CD垂直O(jiān)B交⊙O于C，D兩點(diǎn)，∠ABC＝60°，圖中陰影部分的面積，則⊙O的半徑為（）A．1 B．2 C．3 D．4題型四：求圓錐的側(cè)面積或全面積【例1】某盞路燈照射的空間可以看成如圖所示的圓錐，它的高AO=8米，母線AB與底面半徑OB的夾角為α，OA：OB=4:3，則圓錐的側(cè)面積是______平方米（結(jié)果保留π）．【例2】若一個(gè)圓錐的側(cè)面展開圖是半徑為4cm的半圓，則該圓錐的全面積是cm2．【例3】已知圓錐的底面半徑是2，母線長(zhǎng)是3，則圓錐的側(cè)面積為．【例4】若圓錐的底面半徑為2cm，圓錐的母線長(zhǎng)為7cm，則它的側(cè)面展開圖的面積為cm2．【例5】一個(gè)圓柱的高為3cm，側(cè)面積為12πcm2，則它的全面積是（）A．s＝30πcm2 B．s＝20πcm2 C．s＝24πcm2 D．s＝16πcm2【例6】如圖所示，圓錐的底面半徑為1，高為，則圓錐的表面積為（）A．π B．2π C．3π D．4π【例7】如圖是一個(gè)幾何體的三視圖，則該幾何體的側(cè)面積是______．題型五：求圓錐底面圓半徑【例1】把半徑為12且圓心角為150°的扇形圍成一個(gè)圓錐，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑為．【例2】用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是cm．【例3】一圓錐的母線長(zhǎng)為6cm，它的側(cè)面展開圖扇形的面積為12π，則這個(gè)圓錐的底面半徑r為cm．【例4】用半徑為6cm，圓心角為120°的扇形紙片圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，則這個(gè)圓錐的底面圓的半徑是cm．【例5】如圖，從一塊半徑為1m的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓周角為120°的扇形ABC，如果剪下來(lái)的扇形圍成一個(gè)圓錐，則該圓錐的底面圓的周長(zhǎng)為m．題型六：求圓錐的高、母線【例1】如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形．若扇形的半徑R＝6cm，扇形的圓心角θ＝120°，該圓錐的高為cm．【例2】一個(gè)圓柱的底面半徑為4，側(cè)面積為64π，則該圓柱的母線長(zhǎng)為（）A．8 B．16 C．8π D．16π【例3】已知圓柱的底面半徑為3cm，軸截面面積為24cm2，則圓柱的母線長(zhǎng)為．【例4】如果把一個(gè)圓柱體橡皮泥的一半捏成與圓柱底面積相等的圓錐，則這個(gè)圓錐的高與圓柱的高的比為．【例5】如圖，正六邊形ABCDEF的邊長(zhǎng)為6，連接AC，以點(diǎn)A為圓心，AC為半徑畫弧CE，得扇形ACE，將扇形ACE圍成一個(gè)圓錐，則圓錐的高為（）A．3 B．6 C．3 D．【例6】如圖，將半徑為15cm的圓形紙片剪去圓心角為144°的一個(gè)扇形，用剩下的扇形圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面（接縫忽略不計(jì)），這個(gè)圓錐的高是（）A．8cm B．12cm C．20cm D．18cm【例7】．用一個(gè)半圓圍成一個(gè)圓錐的側(cè)面，圓錐的底面圓的半徑為3．則該圓錐的母線長(zhǎng)為（）A．3 B．6 C．9 D．12【例8】如圖，用圓心角為120°，半徑為6cm的扇形紙片卷成一個(gè)圓錐形無(wú)底紙帽，則這個(gè)紙帽的高是cm．題型七：求圓錐側(cè)面展開圖圓心角【例1】將一個(gè)半徑為4cm，母線長(zhǎng)為10cm的圓錐形紙筒沿一條母線剪開并展平，所得到展開圖的圓心角是度．【例2】某中學(xué)開展勞動(dòng)實(shí)習(xí)，學(xué)生到教具加工廠制作圓錐．他們制作的圓錐，母線長(zhǎng)為30cm，底面圓的半徑為10cm，這種圓錐的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)是．【例3】已知圓錐的底面直徑為4，母線長(zhǎng)為6，則此圓錐側(cè)面展開圖的圓心角是（）A．240° B．150° C．120° D．90°【例4】如圖是一個(gè)圓錐形冰淇淋外殼，已知其母線長(zhǎng)為10cm，底面半徑為3cm，則這個(gè)冰淇淋外殼的側(cè)面展開圖的圓心角度數(shù)為（）A．108° B．120° C．144° D．150°題型八：求陰影部分面積【例1】如圖，將半徑為2，圓心角為120°的扇形OAB繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°，點(diǎn)O，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為O′，B′，連接BB′，則圖中陰影部分的面積是______．．【例2】如圖，兩個(gè)半徑相等的直角扇形的圓心C、E分別在對(duì)方的圓弧上，其中點(diǎn)C是的中點(diǎn)，半徑AE、CF交于點(diǎn)G，半徑BE、CD交于點(diǎn)H，若直角扇形的半徑為2cm，則圖中陰影部分的面積等于______cm2．【例3】如圖，在△ABC中，AB＝AC，以AB為直徑的⊙O分別與BC，AC交于點(diǎn)D，E，過(guò)點(diǎn)D作⊙O的切線DF，交AC于點(diǎn)F．（1）求證：DF⊥AC；（2）若⊙O的半徑為4，∠CDF＝22.5°，求陰影部分的面積．題型九：運(yùn)動(dòng)路線問(wèn)題【例1】矩形ABCD的邊AB＝4，AD＝3，現(xiàn)將矩形ABCD放在直線l上且沿著l向右作無(wú)滑動(dòng)地翻滾，當(dāng)它翻滾至類似開始的位置A1B1C1D1時(shí)（如圖所示），則頂點(diǎn)A所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是______．【例2】已知一個(gè)半圓形工件，未搬動(dòng)前如圖所示，直徑平行于地面放置，搬動(dòng)時(shí)為了保護(hù)圓弧部分不受損傷，先將半圓作如圖所示的無(wú)滑動(dòng)翻轉(zhuǎn)，使它的直徑緊貼地面，再將它沿地面平移50米，半圓的直徑為4米，則圓心O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)是_____．米【例3】如圖，圓錐的底面半徑為5，母線長(zhǎng)為20，一只蜘蛛從底面圓周上一點(diǎn)A出發(fā)沿圓錐的側(cè)面爬行一周后回到點(diǎn)A的最短路程是______．【例4】如圖有一圓錐形糧堆，其主視圖是邊長(zhǎng)為6m的正△ABC．（1）求該圓錐形糧堆的側(cè)面積；（2）母線AC的中點(diǎn)P處有一老鼠正在偷吃糧食，小貓從B處沿圓錐表面去偷襲老鼠，小貓經(jīng)過(guò)的最短路程．（結(jié)果不取近似值）【例5】如圖，邊長(zhǎng)為的正方形ABCD的頂點(diǎn)A、B在一個(gè)半徑為的圓上，頂點(diǎn)C、D在圓內(nèi)，將正方形ABCD沿圓的內(nèi)壁逆時(shí)針?lè)较蜃鳠o(wú)滑動(dòng)的滾動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)C第一次落在圓上時(shí)，點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為______．【例6】如圖，在扇形紙片中，在桌面內(nèi)的直線l上．現(xiàn)將此扇形在直線l上按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（旋轉(zhuǎn)過(guò)程中無(wú)滑動(dòng)），當(dāng)落在l上時(shí)，停止旋轉(zhuǎn)．則點(diǎn)O所經(jīng)過(guò)的路線長(zhǎng)為（）A． B． C． D．題型十：綜合性簡(jiǎn)答題【例1】如圖，在中，，以為直徑的分別交線段、于點(diǎn)、，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，線段、的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)．（1）求證：是的切線；（2）若，，求圖中陰影部分的面積．【例2】如圖，△ABC中，∠ACB＝90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)O，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作圓．（1）求證：AB是⊙O的切線；（2）若∠B＝30°，BC＝12，求陰影部分面積．．【例3】古希臘數(shù)學(xué)家畢達(dá)哥拉斯認(rèn)為：“一切平面圖形中最美的是圓”．波波決定研究一下圓．如圖，、是的兩條半徑，，C是半徑上一動(dòng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于D，過(guò)點(diǎn)D作圓的切線交的延長(zhǎng)線于E，已知．（1）求證：；（2）若，求長(zhǎng)；（3）當(dāng)從增大到的過(guò)程中，求弦在圓內(nèi)掃過(guò)的面積．課后作業(yè)：1．如圖，A、B是⊙O上的兩點(diǎn)，∠AOB＝120°，OA＝3，則劣弧AB的長(zhǎng)是（）A．π B．2π C．3π D．4π2．若扇形的弧長(zhǎng)是5π，半徑是18，則該扇形的圓心角是（）A．50° B．60° C．100° D．120°3．一個(gè)扇形半徑30cm，圓心角120°，用它作一個(gè)圓錐的側(cè)面，則圓錐底面半徑為（）A．5cm B．10cm C．20cm D．30cm4．已知圓錐的底面半徑為2，母線長(zhǎng)為4，則其側(cè)面積為（）A．4π B．6π C．8π D．16π．5．圓錐的截面是一個(gè)等邊三角形，則它的側(cè)面展開圖圓心角度數(shù)是（）A．60° B．90° C．120° D．180°6．如圖，沿一條母線將圓錐側(cè)面剪開并展平，得到一個(gè)扇形，若圓錐的底面圓的半徑r＝3cm，扇形的圓心角θ＝120°，則該圓錐的母線長(zhǎng)l為cm．7.如圖，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5cm，BC=12cm，以BC邊所在的直線為軸，將△ABC旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓錐，求這個(gè)圓錐的側(cè)面積.8．（2022·江蘇泰州·九年級(jí)期末）一圓錐高為4cm，底面半徑為3cm，則該圓錐的側(cè)面積為（

）A． B． C． D．9．（2022·江蘇連云港·九年級(jí)期末）如圖，在紙上剪下一個(gè)圓形和一個(gè)扇形的紙片，使之恰好能圍成一個(gè)圓錐模型．若圓的半徑為r，扇形的半徑為R，扇形的圓心角等于90°，則r與R之間的關(guān)系是（

）A．R＝2r； B．； C．R＝3r； D．R＝4r．10．如圖，⊙O的直徑AB＝16，半徑OC⊥AB，D為上一動(dòng)點(diǎn)（不包括B，