第03講 二次函數(shù)y=ax²+c的圖像和性質（知識解讀+真題演練+課后鞏固）（原卷版）

第03講二次函數(shù)的圖像和性質會用描點法畫出二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）的圖像，并結合圖像理解拋物線、對稱軸、頂點坐標及開口方向等概念；掌握二次函數(shù)y=ax2+c（a≠0）性質，掌握y=ax2（a≠0）與y=ax2+c（a≠0）之間聯(lián)系。知識點1y=ax2+c的圖像性質：【問題1】畫出函數(shù)y＝x2﹣1的圖象．【解答】解：∵次函數(shù)y＝x2﹣1的頂點坐標為：（0，﹣1），當y＝0時x＝1或x＝﹣1，∴此圖象與x軸的交點坐標為（1，0），（﹣1，0），∴其圖象如圖所示：二次函數(shù)y＝x2﹣1的性質：（1）y=x2﹣1圖像是一條拋物線（2）關于y軸對稱（3）開口向上（4）頂點（0，-1）（5）當x＜0時，y隨x的增大而減少，當x＞0時，y隨x的增大而增大；（6）有最低點.【問題2】畫出函數(shù)y＝﹣x2+1的圖象．【解答】解：列表如下：x…﹣3﹣2﹣10123…y…﹣8﹣3010﹣3﹣8…描點、連線如圖．二次函數(shù)y＝-x2+1的性質：（1）y=-x2+1圖像是一條拋物線（2）關于y軸對稱（3）開口向下（4）頂點（0，1）（5）當x＜0時，y隨x的增大而增大，當x＞0時，y隨x的增大而減少；（6）有最高點.總結：y=ax2+c的圖像的性質知識點2：y=ax2（a≠0）與y=ax2+c（a≠0）之間的關系【題型1二次函數(shù)y=ax2+c頂點與對稱軸問題】【典例1】（2023?南海區(qū)模擬）拋物線y＝﹣x2+1的對稱軸是（）A．直線x＝﹣1 B．直線x＝0 C．直線x＝1 D．直線【變式1-1】（2020九上·路南期末）拋物線y=-x2+2A．x軸 B．y軸 C．x=2 D．y=2【變式1-2】（2021九上·陽東期中）二次函數(shù)y=-12x2-2【典例2】（2022秋?豐南區(qū)校級期末）二次函數(shù)y＝x2+2的圖象的頂點坐標是（）A．（0，2） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（﹣2，0）【變式2】（2021九上·長春月考）拋物線y＝2x2﹣3的頂點坐標是（）A．（3，0） B．（﹣3，0） C．（0，3）D．（0，﹣3）【題型2二次函數(shù)y=ax2+c圖像性質】【典例3】（2022秋?九龍坡區(qū)期末）關于拋物線y＝﹣x2+2，下列說法正確的是（）A．開口向上 B．對稱軸是y軸 C．有最小值 D．當x＜0時，函數(shù)y隨x的增大而減小【變式3-1】（2022九上·徐匯期中）下列關于二次函數(shù)y=-xA．它的對稱軸是直線x=0B．它的圖像有最高點C．它的頂點坐標是(0D．在對稱軸的左側，y隨著x的增大而減小【變式3-2】（2021九上·亳州期末）拋物線y=4x2拋物線A．頂點相同 B．對稱軸相同C．開口方向相同 D．頂點都在x軸上【變式3-3】（2021九上·奉賢期中）關于二次函數(shù)y=-2x2+1A．對稱軸為直線x=1B．頂點坐標為（-2，1）C．可以由二次函數(shù)y=-2x2的圖象向左平移D．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降．【題型3二次函數(shù)y=ax2+c中y值大小比較】【典例4】（2023?虹口區(qū)一模）如果點A（﹣2，y1）與點B（﹣3，y2）都在拋物線y＝x2+k上，那么y1和y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．不能確定【變式4-1】（2022九上·陽春期末）已知點(x1，y1A．若x1=-x2，則y1=-C．若x1<x2<0，則y1【變式4-2】（2021九上·海珠期末）函數(shù)y＝x2﹣5的最小值是．【題型4二次函數(shù)y=ax2平移規(guī)律】【典例5】（2023?賓陽縣一模）拋物線y＝x2向上平移2個單位，所得拋物線的解析式是（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2 C．y＝（x+2）2 D．y＝（x﹣2）2【變式5-1】（2023九上·東陽期末）若把拋物線y＝3x2﹣1向右平移2個單位，則所得拋物線的表達式為（）A．y＝3x2﹣3 B．y＝3x2+1C．y＝3（x+2）2+1 D．y＝3（x﹣2）2﹣1【變式5-2】（2022秋?銅梁區(qū)校級期末）將二次函數(shù)y＝﹣x2的圖象向下平移3個單位長度，所得拋物線的解析式是（）A．y＝﹣x2+3 B．y＝﹣x2﹣3C．y＝﹣（x+3）2D．y＝﹣（x﹣3）2【題型5二次函數(shù)y=ax2與一次函數(shù)綜合問題】【典例6】（2022秋?賽罕區(qū)校級期末）在同一坐標系中，一次函數(shù)y＝﹣mx+n2與二次函數(shù)y＝x2+m的圖象可能是（）A． B． C． D．【變式6-1】（2023九上·孝南期末）在同一平面直角坐標系中，一次函數(shù)y=ax+c和二次函數(shù)y=axA． B．C． D．【變式6-2】（2022九上·新?lián)嵩驴迹┖瘮?shù)y＝ax－a和y=ax2+2（aA． B．C． D．【題型6y=ax2（a≠0）與y=ax2+c（a≠0）之間的關系】【典例7】（2020九上·梅河口期末）已知，直線y=-2x+3與拋物線y=ax2相交于A、B兩點，且A的坐標是（1）求a，m的值；（2）拋物線的表達式及其對稱軸和頂點坐標．【變式7-1】（九上·西城月考）拋物線y=3x2，A．都關于y軸對稱 B．開口方向相同C．都經(jīng)過原點 D．互相可以通過平移得到【變式7-2】（2020九上·南昌月考）已知點（3，13）在函數(shù)y＝ax2+b的圖象上，當x＝﹣2時，y＝8．（1）求a，b的值；（2）如果點（6，m），（n，20）也在這個函數(shù)的圖象上，求m與n的值．1．（2023?廬陽區(qū)一模）拋物線y＝3x2﹣5的頂點坐標是（）A．（0，﹣5） B．（0，0） C．（0，5） D．（3，﹣5）2．（2023?小店區(qū)校級模擬）對于二次函數(shù)y＝﹣x2+2，當x為x1和x2時，對應的函數(shù)值分別為y1和y2．若x1＞x2＞0，則y1與y2的大小關系是（）A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y(tǒng)2 D．無法比較3．（2023?廬陽區(qū)校級一模）二次函數(shù)y＝x2﹣2的圖象經(jīng)過點（a，b），則代數(shù)式b2+6a2的最小值是（）A．2 B．3 C．4 D．54．（2023?寧波模擬）下列圖象中，函數(shù)y＝ax2﹣a（a≠0）與y＝ax+a的圖象大致是（）A． B． C． D．5．（2023?青浦區(qū)一模）拋物線y＝3x2﹣1在y軸右側的部分是．（填“上升”或“下降”）6．（2021.深圳）拋物線y=3x2，A．都關于y軸對稱 B．開口方向相同C．都經(jīng)過原點 D．互相可以通過平移得到7．（2021.佛山）如圖，在平面直角坐標系中，拋物線y=ax2+3與y軸交于點A，過點A與x軸平行的直線交拋物線y=13x2于B，C兩點，則BC的長為。8.（2021.百色）如圖，兩條拋物線y1=-12x2+1,y2=-12x2-1與分別過點（-2A．10 B．8 C．6 D．49．（2021.長沙）已知y=(m+2)xm2+m-4+1（1）滿足條件的m的值；（2）m為何值時，拋物線有最低點？求出這個最低點，這時當x為何值時，y隨x的增大而增大？（3）m為何值時，函數(shù)有最大值？最大值是多少？這時當x為何值時，y隨x的增大而減??？1．（2022秋?曲阜市期末）二次函數(shù)y＝x2﹣2的頂點坐標是（）A．（﹣2，0） B．（0，﹣2） C．（2，0） D．（0，2）2．（2022秋?郊區(qū)期末）拋物線y＝﹣4x2+3的開口方向和頂點坐標分別是（）A．向上，（﹣4，3） B．向下，（﹣4，3） C．向下，（0，3） D．向上，（0，3）3．（2021.河池）下列各點在拋物線y=x2+1A．(0,1) B．(-1,0) C．(0,0) D．(1,1)4．（2021.云南）關于二次函數(shù)y=-2x2+1A．對稱軸為直線x=1B．頂點坐標為（-2，1）C．可以由二次函數(shù)y=-2x2的圖象向左平移D．在y軸的左側，圖象上升，在y軸的右側，圖象下降．5．（2021.浙江）二次函數(shù)y=2x2-3A．拋物線開口向下 B．拋物線與x軸有兩個交點C．拋物線的對稱軸是直線x=1 D．拋物線經(jīng)過點（2,3）6．（2021.柳州）二次函數(shù)y＝x2的圖象向下平移2個單位后得到函數(shù)解析式為（）A．y＝x2+2 B．y＝x2﹣2C．y＝（x﹣2）2 D．y＝（x+2）27．（2021.貴陽）拋物線y=2x2-1的圖像經(jīng)過點A(-3,y1)，B(1,y2)，C(4,y3)，則A．y1<y2<y3B．y18．（2022秋?利川市期末）設點（﹣1，y1），，（2，y3）是拋物線y＝﹣2x2+1上的三點，則y1，y2，y3的大小關系為（）A．y3＞y2＞y1 B．y2＞y1＞y3 C．y1＞y2＞y3 D．y2＞y3＞y19．（2022秋?寬城區(qū)校級期末）當a＜0，c＞0時，二次函數(shù)y＝ax2+c的圖象大致是（）A． B． C． D．10．（2022秋?越秀區(qū)校級期末）在同一坐標系中，一次函數(shù)y＝ax+k與二次函數(shù)y＝kx2