2022-2023學(xué)年蘇教版高一數(shù)學(xué)新教材同步講義8

8.1二分法與求方程近似解

【題型歸納目錄】

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)

題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)

題型三：零點(diǎn)存在性定理的應(yīng)用

題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

題型五：根據(jù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍

題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍

題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍

題型八：指對基函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍

題型九：函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用

題型十：用二分法求近似解的條件

題型十一：用二分法求方程近似解的過程

題型十二：用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的過程

【知識點(diǎn)梳理】

知識點(diǎn)一：函數(shù)的零點(diǎn)

1、函數(shù)的零點(diǎn)

(1)一般地，如果函數(shù)y=/(x)在實(shí)數(shù)a處的值等于零，即f(c)=O,則a叫做這個(gè)函數(shù)的零點(diǎn).

知識點(diǎn)詮釋：

①函數(shù)的零點(diǎn)是一個(gè)實(shí)數(shù)，當(dāng)函數(shù)的自變量取這個(gè)實(shí)數(shù)時(shí)，其函數(shù)值等于零；

②函數(shù)的零點(diǎn)也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)：

③函數(shù)y=f(x)的零點(diǎn)就是方程/(x)=0的實(shí)數(shù)根.

歸納：方程〃x)=0有實(shí)數(shù)根o函數(shù)y=/(x)的圖象與x軸有交點(diǎn)o函數(shù)y=/(x)有零點(diǎn).

(2)二次函數(shù)的零點(diǎn)

二次函數(shù)>=江+bx+c的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，方程/+bx+c=O的實(shí)根個(gè)數(shù)見下表.

判別式方程的根函數(shù)的零點(diǎn)

A>0兩個(gè)不相等的實(shí)根兩個(gè)零點(diǎn)

A=0兩個(gè)相等的實(shí)根一個(gè)二重零點(diǎn)

A<0無實(shí)根無零點(diǎn)

(3)二次函數(shù)零點(diǎn)的性質(zhì)

①二次函數(shù)的圖象是連續(xù)的，當(dāng)它通過零點(diǎn)時(shí)(不是二重零點(diǎn))，函數(shù)值變號.

②相鄰兩個(gè)零點(diǎn)之間的所有的函數(shù)值保持同號.

引伸：對任意函數(shù)，只要它的圖象是連續(xù)不間斷的，上述性質(zhì)同樣成立.

2、函數(shù)零點(diǎn)的判定

(1)利用函數(shù)零點(diǎn)存在性的判定定理

如果函數(shù)y=/(x)在一個(gè)區(qū)間［a,句上的圖象不間斷，并且在它的兩個(gè)端點(diǎn)處的函數(shù)值異號，即

■e)<0,則這個(gè)函數(shù)在這個(gè)區(qū)間上，至少有一個(gè)零點(diǎn)，即存在一點(diǎn)b),使〃毛)=0,這個(gè)毛

也就是方程/(x)=0的根.

知識點(diǎn)詮釋：

①滿足上述條件，我們只能判定區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)，但不能確定有幾個(gè).若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)，則只有一

個(gè)；若不單調(diào)，則個(gè)數(shù)不確定.

②若函數(shù)/⑶在區(qū)間［a,句上有/(力/(加>0,/(x)在(a,3內(nèi)也可能有零點(diǎn)，例如/(x)=d在［-1,1］上,

/(X)=X2-2X-3在區(qū)間［-2,4］上就是這樣的.故/(X)在(a,b)內(nèi)有零點(diǎn)，不一定有/(?)■/(/;)<0.

③若函數(shù)f(x)在區(qū)間［a,可上的圖象不是連續(xù)不斷的曲線，/(?在(a,6)內(nèi)也可能是有零點(diǎn)，例如函數(shù)

/(x)=1+1在［-2,2］上就是這樣的.

(2)利用方程求解法

求函數(shù)的零點(diǎn)時(shí)，先考慮解方程/(x)=0,方程/(x)=0無實(shí)根則函數(shù)無零點(diǎn)，方程/(x)=0有實(shí)根則

函數(shù)有零點(diǎn).

(3)利用數(shù)形結(jié)合法

函數(shù)F(x)=f(x)-g(x)的零點(diǎn)就是方程f(x)=g(x)的實(shí)數(shù)根，也就是函數(shù)y=f(x)的圖象與y=g(x)的

圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo).

知識點(diǎn)二：二分法

1、二分法

對于區(qū)間句上圖象連續(xù)不斷且/(a)./(6)<0的函數(shù)/(x),通過不斷把它的零點(diǎn)所在區(qū)間一分為二，

使所得區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)逐漸逼近零點(diǎn)，進(jìn)而得到近似值的方法.

2、用二分法求函數(shù)零點(diǎn)的一般步驟：

已知函數(shù)y=〃x)定義在區(qū)間。上，求它在O上的一個(gè)零點(diǎn)xo的近似值x，使它滿足給定的精確度.

第一步：在。內(nèi)取一個(gè)閉區(qū)間項(xiàng)使/(/)與/(4)異號，即〃/)?〃區(qū))<(),零點(diǎn)位于區(qū)

間向也］中.

第二步：取區(qū)間［4,4］的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為

%(d-%)=g(4+4)-

計(jì)算和f(g)，并判斷：

①如果f(x0)=O,則/就是f(x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；

②如果<0,則零點(diǎn)位于區(qū)間［/，/］中，令4=%,伉=x()；

③如果則零點(diǎn)位于區(qū)間［%也］中，令4=%，4=4

第三步：取區(qū)間［q/J的中點(diǎn)，則此中點(diǎn)對應(yīng)的坐標(biāo)為

士=q+-(/?,-?,)=-(?!+/>!).

計(jì)算/(再)和f(q)，并判斷:

①如果)=0,則占就是〃x)的零點(diǎn)，計(jì)算終止；

②如果,則零點(diǎn)位于區(qū)間中，令%=4也=不；

③如果/(aj/a)〉。，則零點(diǎn)位于區(qū)間［士,4］中，令%=X］,2=4；

繼續(xù)實(shí)施上述步驟，直到區(qū)間“也;函數(shù)的零點(diǎn)總位于區(qū)間［4也］上，當(dāng)凡和6“按照給定的精確度

所取的近似值相同時(shí)，這個(gè)相同的近似值就是函數(shù)y=/(x)的近似零點(diǎn)，計(jì)算終止.這時(shí)函數(shù)y=〃x)的

近似零點(diǎn)滿足給定的精確度.

知識點(diǎn)詮釋：

(1)第一步中要使：①區(qū)間長度盡量??；②/(“)、/(b)的值比較容易計(jì)算且/(。)?/出<0.

(2)根據(jù)函數(shù)的零點(diǎn)與相應(yīng)方程的根的關(guān)系，求函數(shù)的零點(diǎn)和求相應(yīng)方程的根式等價(jià)的.對于求方程

f(x)=g(x)的根，可以構(gòu)造函數(shù)F(x)=((x)-g(x),函數(shù)F(x)的零點(diǎn)即為方程f(x)=g(x)的根.

3、關(guān)于精確度

(1)“精確度'’與“精確到”不是一回事，

這里的“精確度”是指區(qū)間的長度達(dá)到某個(gè)確定的數(shù)值￡,即;“精確到”是指某謳歌數(shù)的數(shù)位達(dá)

到某個(gè)規(guī)定的數(shù)位.

(2)精確度￡表示當(dāng)區(qū)間的長度小于￡時(shí)停止二分；此時(shí)除可用區(qū)間的端點(diǎn)代替近似值外，還可選用

該區(qū)間內(nèi)的任意一個(gè)數(shù)值作零點(diǎn)近似值.

【方法技巧與總結(jié)】

1、函數(shù)“X)在區(qū)間［。,刃上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，且/(X)具有單調(diào)性，則

函數(shù)/(X)在區(qū)間(血)內(nèi)只有一個(gè)零點(diǎn).

2、函數(shù)“X)在區(qū)間句上的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線，函數(shù)/(X)在區(qū)間(4期內(nèi)有零點(diǎn)，且函數(shù)

“X)具有單調(diào)性，則f(a)?"“<()

3、零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷方法

(1)直接法：直接求零點(diǎn)，令/(x)=0,如果能求出解，則有幾個(gè)不同的解就有幾個(gè)零點(diǎn).

(2)定理法：利用零點(diǎn)存在定理，函數(shù)的圖象在區(qū)間［a,句上是連續(xù)不斷的曲線，且/(a)"伍)<0,

結(jié)合函數(shù)的圖象與性質(zhì)(如單調(diào)性、奇偶性)才能確定函數(shù)有多少個(gè)零點(diǎn).

(3)數(shù)形結(jié)合法：

①單個(gè)函數(shù)圖象：利用圖象交點(diǎn)的個(gè)數(shù)，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)八力的圖象與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)就

是函數(shù)/(X)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；

②兩個(gè)函數(shù)圖象：將函數(shù)〃x)拆成兩個(gè)函數(shù)/i(x)和g(x)的差,根據(jù)〃x)=0=Mx)=g(x),則函數(shù)

的零點(diǎn)個(gè)數(shù)就是函數(shù))，=/?(力和y=g(x)的圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù).

4、判斷函數(shù)零點(diǎn)所在區(qū)間

(1)將區(qū)間端點(diǎn)代入函數(shù)求函數(shù)的值；

(2)將所得函數(shù)值相乘，并進(jìn)行符號判斷；

(3)若符號為正且在該區(qū)間內(nèi)是遞增或遞減，則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)無零點(diǎn)；若符號為負(fù)且函數(shù)圖象連續(xù)，

則函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)至少一個(gè)零點(diǎn)。

5、已知函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)，求參數(shù)取值范圍的方法

（1）直接法：利用零點(diǎn)存在的判定定理建立不等式；

（2）數(shù)形結(jié)合法：轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問題，再結(jié)合圖象求參數(shù)的取值范圍;

（3）分離參數(shù)法：分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的值域問題.

【典型例題】

題型一：求函數(shù)的零點(diǎn)

例1.（2022?江蘇?海門市第一中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=*-2的零點(diǎn)是.

【答案】2

【解析】令，=0,則x-2=0,解得x=2,所以函數(shù)的零點(diǎn)是2.

故答案為：2.

例2.（2022?江蘇?揚(yáng)州中學(xué)高一階段練習(xí)）函數(shù)y=/-4x+3的零點(diǎn)為.

【答案】1和3

【解析】由題意，X2-4X+3=0,（X-1）（X-3）=0,解得尸1或3,故函數(shù)的零點(diǎn)為1和3.

故答案為：1和3.

例3.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）函數(shù)丫=加+201+3,（亦0）的一個(gè)零點(diǎn)為1,則其另一個(gè)零點(diǎn)為.

【答案】-3

【解析】解法一：因?yàn)楹瘮?shù)+的一個(gè)零點(diǎn)為1,

將（L0）代入得a+2?+3=0,解得a=-1.

所以y=*-2x+3.

令一X2—2X+3=0,解得玉=1,x2=-3,

所以函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)為-3.

解法二：由函數(shù)y=ax2+2or+3,（"0）的一個(gè)零點(diǎn)為1,可得方程底+2or+3=0,（"0）的一個(gè)根為1,根

據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得%+%=-叁=-2,所以另一個(gè)根為-3.故函數(shù)的另一個(gè)零點(diǎn)為-3.

a

故答案為：-3.

變式1.（2022.上海師大附中高一期末）已知函數(shù)〃司=犬+^-1的兩個(gè)零點(diǎn)分別為不與，則+中?2=

【答案】1

【解析】依題意令〃x）=0,即/+》-1=0,

所以方程V+x-l=O有兩個(gè)不相等實(shí)數(shù)根A、X-

所以王+%2=-1,Xf-X2=-\,

所以X；X,+不為？=X]X,(為+X,)=-1X(-1)=1；

故答案為：1

變式2.(2022?廣西欽州?高一期末)已知指數(shù)函數(shù)的解析式為/(x)=4',則函數(shù)y=/(x)-2向的零點(diǎn)為

【答案】1

【解析】由解x)-20=4，-2旬=0得2'(2*-2)=0,x=l.

故答案為：I.

【方法技巧與總結(jié)】

求函數(shù)的零點(diǎn)就是求相應(yīng)方程的實(shí)數(shù)根，一般可以借助求根公式或因式分解等方法，求出方程的根，從

而得到函數(shù)的零點(diǎn).

題型二：根據(jù)零點(diǎn)求函數(shù)解析式的參數(shù)

例4.(2022.全國?高一專題練習(xí))若為滿足3*=2-x，々滿足log；,x+x-2=0,則西+與=.

【答案】2

[解析1設(shè)“X)=3',g(x)=log3x,r(x)=2-x,

因?yàn)檠轁M足3*=2-x，々滿足l°g3X+x-2=0,

所以4時(shí)函數(shù)〃x)=3,與f(x)=2-x的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，巧時(shí)函數(shù)8(力=1暇%與，耳=2-％的交點(diǎn)橫坐標(biāo)，

由于函數(shù)〃x)=3，與g(x)=log3X互為反函數(shù)，其圖象關(guān)于直線丫=》對稱，

所以兩圖象與直線t(x)=2-x的交點(diǎn)(司,乂),(々,必)也關(guān)于y=x對稱，如圖所示，

又由解得x=l,所以空歪=1,可得%+馬=2.

故答案為：2.

例5.(2022?安徽?高一階段練習(xí))若正實(shí)數(shù)與是方程e*+l=aln(or-l)的根，則*—%=.

【答案】-1

【解析】由題可得：xex+x=axln(ax-l),即xe*+x=ln(ox-l)e”"f+ln(or-l),

令/.(x)=xe'+x,則/(x)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

?.?正實(shí)數(shù)%是方程/+l=aln(G：—l)的根，

二.=CIX^—1,即C與—CIXQ=—1.

例6.(2022?全國?高一單元測試)已知實(shí)數(shù)滿足a”>c,函數(shù)“x)=」一+—1+」一有兩個(gè)零點(diǎn)

x-ax-bx-c

x],x2(xi<x2),則關(guān)于函數(shù)/(x)的零點(diǎn)4七的下列關(guān)系式一定正確的是()

A.x]<c<b<x2<aB.c<x]<b<a<x2

C.c<xx<x2<b<aD.c<xx<b<x2<a

【答案】D

[解析】方程一^―+-^7+-^—=0即為(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-/?)=O,

x-ax-bx-c

令g(x)=(x-b)(x-c)+(x-a)(x-c)+(x-a)(x-b),

a>b>c,

二.g(a)=(a-h)(a-c)>0,g(b)=(b—a)(b-c)<0,g(c)=(c-a)(c-h)>0.

根據(jù)零點(diǎn)存在性定理得出在(c,b),3,a)上函數(shù)g(x)各有一個(gè)零點(diǎn)，所以C<X,<b<X2<〃.

故選：D.

變式3.(2022?北京市八一中學(xué)高一階段練習(xí))己知若為是函數(shù)〃x)=xlog“x—2021的一個(gè)零點(diǎn)，巧

是函數(shù)g(x)=M'-2021的一個(gè)零點(diǎn)，則占小的值為()

A.1B.2021C.20212D.4016

【答案】B

【解析】因?yàn)?是函數(shù)"x)=xlog“x-2021的一個(gè)零點(diǎn)，乙是函數(shù)g(x)=m、-2021的一個(gè)零點(diǎn),

,2021.2021

所以x/og“Xi-2021=0,xX2-2021=0,gplog?x,=—,aXi=—,

X\X2

設(shè)函數(shù)y="(a>l)與y=網(wǎng)的交點(diǎn)為A,則A5,〉2)，必=%，

X工2

/、2021-/、2021

設(shè)函數(shù)y=log“x(a>l)與y=的交點(diǎn)為B,則8(不必)，％=一，

XX

因?yàn)楹瘮?shù)y=log“x(a>l)與函數(shù)y=a*(n>1)互為反函數(shù)，

所以其圖象關(guān)于，=x對稱，

20212021

所以點(diǎn)AB關(guān)于y=x對稱，即凡=%，所以由必==得辦==，

即,巧=2021.

故選：B.

變式4.(2022?四川達(dá)州.高一期末)已知2是函數(shù)/(x)=x"-8("為常數(shù))的零點(diǎn)，且式加)=56,則m的

值為()

A.-3B.-4C.4D.3

【答案】C

【解析】因?yàn)?是函數(shù)/(x)=x"-8("為常數(shù))的零點(diǎn)，

所以2"=8,得〃=3,所以/。)=*3-8,

因?yàn)?(利)=56,所以機(jī)3_8=56,得力=4,

故選：C

變式5.(2022.湖北.高一階段練習(xí))若實(shí)數(shù)a,4滿足ae&=2,夕訪夕=2,則加=()

A.eB.1C.1D.2

【答案】D

22

【解析】由＜ze“=2可得e"=4,所以a是方程e*=上的解，

ax

2

即。是＞=@、與＞=一圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

x

由夕ln￡=2可得=所以夕是方程lnx=2的解，

PX

2

即夕是y=lnx與y=4圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，

x

2

在平面直角坐標(biāo)系中分別作出），=e\y=lnx,），=上的圖象如圖所示，

x

因?yàn)閥=e'與y=lnx互為反函數(shù)，圖象關(guān)于直線》二"對稱，

而〉二2女的圖象也關(guān)于直線丁=為對稱，

x

所以兩個(gè)交點(diǎn)民房）關(guān)于直線丁=%對稱，

.2

a=—

所以B,可得的=2,

2八

例7.（2022?北京市西城外國語學(xué)校高一期中）函數(shù)零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是（）

A.(-2,-1)B.(0,1)C.(1,2)D.(2,-Ko)

【答案】C

【解析】令/(x)=g-x2=0,解得：x=6；>0,只有一個(gè)零點(diǎn).

而/⑴=3一1=5>0，/(2)=^-4=-1<0,

由零點(diǎn)存在性定理知，函數(shù)7(X)=g-丁零M所在的一個(gè)區(qū)間是a,2).

X

故選：C.

例8.(2022?北京育才學(xué)校高一期中)函數(shù)f(x)=2x-l+W的零點(diǎn)所在區(qū)間是()

A.(0,；)B.(*)C.悖1)D.(1,2)

【答案】B

【解析】x>0,/(x)=2x-l+x=3x-l

所以在(0,+00)單調(diào)遞增，

因?yàn)樾?；1=_；<0

所以由零點(diǎn)存在性質(zhì)定理知，/(X)的零點(diǎn)在(U).

42

故選：B

例9.(2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中)函數(shù)〃x)=x3+e?-2的零點(diǎn)所在的區(qū)間為()

A.(0,1)B.(1,2)C.(2,3)D.(3,4)

【答案】A

【解析】函數(shù)7?*)=/+/-2是定義在口上的連續(xù)遞增函數(shù)，

/(0)=-1<0,/(l)=e-l>0,

由零點(diǎn)存在定理，函數(shù)/'(x)=/+e、-2零點(diǎn)所在的區(qū)間為(0,1).

故選：A

變式6.(2022?北京師大附中高一期中)函數(shù)/。)=丁+》-1的零點(diǎn)所在的一個(gè)區(qū)間是()

A.(-2,-1)B.(—1,0)C.(0,1)D.(1,2)

【答案】C

【解析】因?yàn)?*)=/+戈7在xeR上單調(diào)遞增，

/(-2)=-11<(),/(-1)=-3<0,

根據(jù)零點(diǎn)的唯一性定理知函數(shù)在(-2,-1)上無零點(diǎn)，故A錯(cuò)誤；

/(-1)=-3<0,/(0)=-1<0,

根據(jù)零點(diǎn)的唯一性定理知函數(shù)在(-1,0)上無零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；

/(0)-1<0,/(1)=1>0,

根據(jù)零點(diǎn)的唯一性定理知函數(shù)在(0,1)上有唯一零點(diǎn)，故C正確;

/⑴=1>0,/(2)=9>0,

根據(jù)零點(diǎn)的唯一性定理知函數(shù)在。，2)上無零點(diǎn)，故D錯(cuò)誤；

故選:C.

變式7.(2022.北京?北師大實(shí)驗(yàn)中學(xué)高一期中)已知函數(shù)y=/(x)的圖像是連續(xù)不斷的，有如下的對應(yīng)值表:

X123456

y123.5621.45-7.8211.45-53.76-128.88

則函數(shù)y=〃x)在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有()

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

【答案】B

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)y=.f(x)的圖像是連續(xù)不斷的,

ja/(2)>0,/(3)<0,由零點(diǎn)存在性定理得：(2,3)內(nèi)存在至少I個(gè)零點(diǎn),

因?yàn)椤?)<0"(4)>0,故由零點(diǎn)存在性定理得:(3,4)內(nèi)存在至少1個(gè)零點(diǎn),

因?yàn)椤?)>0,/(5)<0,故山零點(diǎn)存在性定理得：(4,5)內(nèi)存在至少1個(gè)零點(diǎn),

綜上：函數(shù)y=/(x)在區(qū)間［1,6］上的零點(diǎn)至少有3個(gè).

故選：B

【方法技巧與總結(jié)】

解答這類判斷函數(shù)零點(diǎn)的大致區(qū)間的選擇題，只需用函數(shù)零點(diǎn)的存在性定理依次檢驗(yàn)所提供的區(qū)間，

即可得到答案.

題型四：根據(jù)零點(diǎn)所在區(qū)間求參數(shù)范圍

例10.(2022?內(nèi)蒙古包頭?高一期末)已知F(x)=eR)為基函數(shù)，g(x)=a*(a>0,且a#1)的圖

象過點(diǎn)(T，2).F(x)=/(x)-4g(x),若尸(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為(〃,〃+l)(〃eN),那么"=()

A.3B.2C.1D.0

【答案】C

【解析】/(x)=ntd+2Q%wR)為幕函數(shù)，.機(jī)=1,/(x)=X3,

g(x)=a'3>0,awl)的圖象過點(diǎn)(-1,2),

671=2,，。=萬，8。)=優(yōu)=(-)',

故尸(x)=/(X)-4g(x)=V-4?(夕=V-227在(0,+8)上單調(diào)遞增，

由于尸(1)=-1,F(2)=7,故尸(x)在區(qū)間(1,2)上存在唯一零點(diǎn)，

尸(x)的零點(diǎn)所在區(qū)間為5,"+l)(”eN),那么〃=1,

故選：C.

例11.(2022?海南?高一期末)若函數(shù)/(x)=2*+3x+a在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(-oo,-5)B.(-5,-1)

C.(0,5)D.(1,物)

【答案】B

【解析】函數(shù)f(x)=2，+3x+a在區(qū)間(0,1)內(nèi)存在零點(diǎn)，且函數(shù)在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

由零點(diǎn)存在性定理知/(0>f⑴<0，gp(l+a)(5+a)<0,解得-5<a<-l

所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是(-5,-1)

故選：B

例12.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)/。)=/+加+法+。有三個(gè)零點(diǎn)0,1,%,且x,e(l,2),貝Ua

的取值范圍是()

A.(-2,0)B.(1,2)C.(2,3)D.(-3,-2)

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)〃幻=/+62+公+(7有三個(gè)零點(diǎn)0,1,馬，所以=°八C，

[c=0

解得人J

\a^b=-\

所以/(x)=d+ax2+(—l—a)x=x(x—l)(x+a+l),所以無又與￡(1,2),所以1<一1一"2,解得

—3<a<-2,

故選：D.

變式8.（2022?全國?高一課時(shí)練習(xí)）若函數(shù)〃%）=41。82%+叱4'+3在區(qū)間G,1）上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)“的取值

范圍是（）

A.STB.（一|,司。.卜3,同口.1|,」）

【答案】C

【解析】函數(shù)yu）定義域是（0,十8），

因函數(shù)y=log?x,y=4'在（0,+8）上都是單調(diào)遞增的，而〃x）=a（log2X+4'）+3,

當(dāng)。>0時(shí)，f（x）在（0,田）上單調(diào)遞增，當(dāng)"0時(shí)，f（x）在（0,e）上單調(diào)遞減，當(dāng)〃=0時(shí)，〃x）=3無零

點(diǎn)，

于是得當(dāng)a*0時(shí)，函數(shù)/（力=41幅工+。4+3在（0,行）上連續(xù)且單調(diào)，

因函數(shù)/（》）在區(qū)間（；/）上有零點(diǎn)，則由零點(diǎn)存在定理有：即（-。+2a+3）（4a+3）<0,解

3

得一3<ci<—,

4

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是13,-1]

故選：C

變式9.（2022?全國?高一專題練習(xí)）已知函數(shù)"力=愴％+2%-5的零點(diǎn)在區(qū)間化4+1）（丘2）上,則％=（）

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】由題意，尸吆%?=2X-5都在（0,+8）為增函數(shù)

故函數(shù)〃x）=lgx+2x-5在（0,+功為增函數(shù)，

X/（2）=lg2+2x2-5=lg2-l<0,〃3）=lg3+2+3-5=lg3+l>0,

Q|J/（2）/（3）<0,

則函數(shù)〃x）=lgx+2x-5的零點(diǎn)在區(qū)間（2,3）上，

即欠=2

故選：B

變式10.（2022.江蘇.高一單元測試）若函數(shù)〃％）=》+3”€町在區(qū)間（1,2）中恰好有一個(gè)零點(diǎn)，則。的值

可能是()

A.-2B.0C.1D.3

【答案】A

【解析】當(dāng)。=一2時(shí)，函數(shù)f(x)=x-：在(1,2)上單調(diào)遞增，又"1)=1—2<0,"2)=2—1=1>0,故〃x)

在區(qū)間(1，2)上恰有一個(gè)零點(diǎn)，滿足題意，故A正確；

當(dāng)。=0時(shí)，函數(shù)”力=了在(1,2)上單調(diào)遞增，又/(1)=1>0,故f(x)在區(qū)間(1,2)上沒有零點(diǎn)，故B不正

確；

當(dāng)。=1時(shí)，函數(shù)/(x)=x+/在(1,2)上單調(diào)遞增，又/(1)=1+1=2>0,故f(x)在區(qū)間(1,2)上沒有零點(diǎn)，故

C不正確；

當(dāng)0=3時(shí)，函數(shù)f(x)=x+;，所以/(x)在(1,石)上單調(diào)遞減，在便,2)上單調(diào)遞增，又f(@=2G>0,

故/(x)在區(qū)間。，2)上沒有零點(diǎn)，不滿足題意，故D正確；

故選：A.

0

變式11.(2022?全國?高一單元測試)已知函數(shù)f(x)=Ca『2若°,b,°互不相等，且

I入I9,X-3,X>Z

〃a)="(c),則加c的取值范圍是()

A.[2,3]B.(2,3)C.[2,3)D.(2,3]

【答案】B

【解析】根據(jù)己知畫出函數(shù)圖象：

不妨設(shè)

f(a)=f(b)=f(c),

2

A-log,a=log2/?=-c+4c-3,

/.log2(aZ>)=0,

解得ab=\<2<c<3,

2<abc<3.

故選：B

例13.(2022?上海市建平中學(xué)高一期中)設(shè)實(shí)數(shù)a>0,且awl,beR.函數(shù)〃力=優(yōu)+力(犬>0),若〃x)

的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，則().

叫或《0<a<10<a<l

A.B

-l<Z?<0b<-l^b>0

0<a<10<a<\

a>1a>\

或，D.［八-2或'

-2<6<-l-1</?<-—--<b<0

2I2

【答案】B

【解析】(1)當(dāng)。>1時(shí),/(%)=相+6(x>0)單調(diào)遞增,

為使_/(x)的圖象與X軸沒有交點(diǎn)，必須且只需：

f(0)=a°+b>0=>b>-l.

(2)當(dāng)0<a<l時(shí)，〃x)=a*+/?(x>0)單調(diào)遞減,

為使7U)的圖象與x軸沒有交點(diǎn)，必須且只需：

?f(O)=ao+b<O^b<-l；

②f(x)>0恒成立，即"+b>0=6>—a、恒成立，

又因?yàn)閤>0,所以0<優(yōu)<1,BP-1<-ax<0,

故匕20.

故選：B.

例14.(2022?浙江嘉興?高一期中)函數(shù)/W滿足在定義域內(nèi)存在非零實(shí)數(shù)x,使得〃-x)=/(x),則稱函

x-l,x>0,

數(shù)〃力為“有偶函數(shù)”.若函數(shù)f(x)=21八是在R上的“有偶函數(shù)”，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()

ax'——x,x<0

2

A-a<l6B.0<<—C.0<。K—D.a<—

161616

【答案】D

【解析】因?yàn)?(x)為R上的“有偶函數(shù)”，故存在非零實(shí)數(shù)x,使得/(-x)=/(x),

若x<0,則一x>0,故方程一x-1=40?有解,

故a=-----T在(—8,0)上有解，而'=!77=-f—+-5->1+—,

2A-V'2xjcu4j16

而L<0,故y的值域?yàn)镴,』，故

x2xxI16J16

若x>0,則-x<0,故方程丫-1=加+!》有解，

2

故4=7；----］在(0,+8)上有解，而y=J---y=—f--->1+—,

2xx2v2xx2U4j16

而L>0,故y=^---^的值域?yàn)?-8,故”4」.

x2xxI16J16

故選：D.

例15.(2022.浙江省普陀中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/(x)=x-1,(戶1),關(guān)于x的方程r(x)+/(x)+c=0有

J,(x=l)

5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)c的取值范圍是()

A.(0,1)51,+°°)B.(-(?,-2)u(-2,-1)C.(-<?,-2)(0,1)D.(-2,-1)(1,+<?)

【答案】A

【解析】設(shè)f=/(x),則原方程即產(chǎn)+"+c=0,

函數(shù)f(x)關(guān)于x的方程/(x)+"(x)+c=0有5個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,

則方程產(chǎn)+初+c=0必有兩根為％,t2.t\-t2=c,

且其中一個(gè)根為1,不妨設(shè)6=1,

即/*)=1與圖象有3個(gè)交點(diǎn)，方程G=f(x)有2個(gè)根，

由圖知，(0,1)5L+8),即f2=ce(0,D51,E).

故選：A.

變式12.(2022?陜西?咸陽市高新一中高一期中)已知函數(shù),f(x)=]：-2x，x'a，(a>o),若函數(shù)

[S-x,x>a

g(x)=/(x)-3|^有三個(gè)零點(diǎn)，則〃的取值范圍是()

A.(0,2)o[5,+oo)B.[5,+8)

C.(0,1)D.(0,1)55，+8)

【答案】A

[解析】因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=/(x)一3國有三個(gè)零點(diǎn)，

所以y=/(?的圖象與、=3兇的圖象有三個(gè)交點(diǎn).

因?yàn)椤?gt;0,所以當(dāng)x40時(shí)，由f一2n二一3%得，％=-1或x=0,

所以當(dāng)xvo時(shí)，y=/W的圖象與y=3兇的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，

則當(dāng)x>0時(shí)y=/(九)的圖象與y=3國的圖象有1個(gè)交點(diǎn).

令3x=8—x,得x=2,所以0<。<2符合題意；

令3X=Y-2X,得％=5或x=0(舍去)，所以符合題意.

綜上，。的取值范圍是(()，2)55,+8),

故選:A.

變式13.(2022?上海市大同中學(xué)高一期中)已知函數(shù)/")=尸+3小xwR.若方程/(x)-dx-l|=O恰有4

個(gè)互異的實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)“的取值范圍為()

A.(0,1)B.(9,+oo)C.(0,1)7(9,物)D.(1,9)

【答案】C

【解析】由y=/+3x開口向上且對稱軸為x=—而y=a(x-l)恒過點(diǎn)(1,0),

所以/。)=|/+3》|的圖象只需將y=/+3x函數(shù)值為負(fù)的部分翻折到*軸上方，

對應(yīng)y=a|x-l|關(guān)于x=l對稱，當(dāng)。>0時(shí)圖象在X軸上方，當(dāng)。=0時(shí)圖象為x軸，當(dāng)。<0時(shí)圖象在x軸下

方，

所以要使/(X)與)，=。卜-1|有4個(gè)交點(diǎn)，則”>0.

綜上,/。)=|/+3*|與y="|x-l|的示意圖象如下圖:

當(dāng)y=a|x-l|左側(cè)與/(X)在xe(-3,0)上相交有4個(gè)交點(diǎn)，或丫=。1*-1|在x=l兩側(cè)與/⑶各有2個(gè)交點(diǎn),

由圖知：只需保證y=/+3x與y=〃(x-l)(a>0)相交即可，

令j?+3x=a(x-1),則X。+(3-a)x+a=0,A=(3-a)2-4a=(a-9)(a—l)>0,

所以0<a<l或a>9.

故選：C

變式14.(2022?吉林?東北師大附中高一期中)已知函數(shù)“X)是定義域?yàn)镽的偶函數(shù)，當(dāng)xNO時(shí),

—x~+2x+1,04xK2

，如果關(guān)于x的方程對f(x)了+叭x)+l=0恰有7個(gè)不同的實(shí)數(shù)根,那么皿-"

?。﹉4x-5「

-----,x>2

X4-1

的值等于()

A.2B.-2C.1D.

【答案】A

4x-5_4（x+l）-9=4-普

【解析】當(dāng)%>2時(shí),x=

f（）x+1x+1

4x-5

且當(dāng)3時(shí)，R=l，

又f(x)為R上的偶函數(shù)，則函數(shù)圖象如下所示:

當(dāng)f>2時(shí),/(x)=r有2個(gè)解,

當(dāng)t=2時(shí),/(力=，有4個(gè)解，

當(dāng)衣(1,2)時(shí),〃x)=f有6個(gè)解，

當(dāng)f=l時(shí),〃力=『有3個(gè)解，

當(dāng)f<l時(shí)，〃x)=r無解，

要想關(guān)于X的方程機(jī)[/(X)]-+“f(x)+l=0恰有7個(gè)根，

則關(guān)于f的方程加/+而+1=0要有兩個(gè)不同的解，設(shè)出小L，

n1

貝|JA=2,右=1,由韋達(dá)定理得：1+2=---,1x2=一,

min

13

解得：ZH=-,H=--,

22

故加一”=；一(一張2.

故選：A

【方法技巧與總結(jié)】

體現(xiàn)了函數(shù)與方程的互相轉(zhuǎn)化，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，它對于解決有更多限制條件的問題提供

了一種新的途徑.

題型六：一次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍

例16.(2022?全國?高一專題練習(xí))函數(shù)/(x)=or+8的零點(diǎn)為4,則實(shí)數(shù)。的值為()

A.2B.—2C.；D.—

22

【答案】B

【解析】由題意得〃4)=4“+8=0,即a=—2.

故選：B.

例17.(2022?天津南開?高一期末)已知函數(shù)f(x)=ox-3(a>0,且存1),于(xo)=0,若(0,1),則

實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(0,1)

B.(1,2)

C.(2,3)

D.(3,+O))

【答案】D

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)f(x)=or-3(“>0,且存I)單調(diào)，

所以函數(shù)在區(qū)間(0,1)上至多有一個(gè)零點(diǎn)，

因?yàn)?(W)=0,且丸)6(0,1),

所以/'(())?F(l)=(1-3)?(a-3)<0,

解得a>3,

所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是(3,+00),

故選：D

例18.(2022?全國?高一專題練習(xí))已知函數(shù)f(x)=3ar-l-2a在區(qū)間上存在零點(diǎn)，則()

【答案】C

【解析】/(x)=3ar-1-2a在區(qū)間(-1,1)上單調(diào)且存在零點(diǎn)，

/(-l)-/(l)=(-3a-l-2a)-(3a-l-2a)=(-5a-l)-(a-l)<0,

.1

,?a>I或a<——?

故選：c

變式15.(2022?全國?高一課時(shí)練習(xí))若函數(shù)y=ax+l在(0,1)內(nèi)恰有一解，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.a>-1B.a<-\C.a>\D.a<\

【答案】B

【解析】當(dāng)。=0時(shí)不成立

取y=ar+l=0,x=--(?^0)

a

則0v—<1解得av—1

故答案選B

變式16.(2022?全國?高一?課時(shí)練習(xí))已知函數(shù)〃x)=3ar-l-2a在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值

范圍是

A.(-oo,-l)ol7，+0°I

B.-,+oo

D.-co,--

【答案】C

【解析】因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=3ar-l-2a為一次函數(shù)，

要使其在區(qū)間(-1,1)上存在零點(diǎn)，

要保證其兩端點(diǎn)分別在x軸的兩側(cè)，

所以〃力〃-1)<0

即f(1),f(—1)=(3a—1—2a)(—3a—1—2a)<0,

解得或a>l,

故選C項(xiàng).

變式17.(2022?全國?高一單元測試)已知/(x)=2ar-l+3aJ(0)</(l)且在(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)”的

取值范圍是()

A-B.(罟)C.品)D.(我)

【答案】C

【解析】因?yàn)?1(0)</(1),故一l+3a<2a—1+3a即a>0.

而/(x)=2ar-1+3a,/(0)</⑴且在(1,2)內(nèi)存在零點(diǎn),

/(1)<05a-l<0

7a-l>0,解得U,

故,/(2)>OHP-

?>075

a>0

故選：A.

題型七：二次函數(shù)零點(diǎn)分布求參數(shù)范圍

例19.(2022.貴州遵義.高一期中)若函數(shù)/。)=/+》+機(jī)的零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則機(jī)的取值范圍為()

A.[-6,-2]B.(-6,-2)

C.(-<?,-6]U[-2,-K?)D.(―℃,—6)(—2,+oo)

【答案】B

【解析】因?yàn)閒(x)在(1,2)上單調(diào)遞增，目.f(x)的圖象是連續(xù)不斷的,

所以;；〃rn-解得-6(加〈一2.

[/(2)=4+2+?7>0

故選：B.

例20.(2022?廣東?化州市第三中學(xué)高一期末)若方程+0r+4=0的兩實(shí)根中一個(gè)小于-1,另一個(gè)大于2,

則。的取值范圍是()

A.(0,3)B.[0,3]

C.(-3,0)D.(F,0)(3,+<?)

【答案】A

【解析】由-X?+ar+4=0可得x?-ar-4=0,

A=a2+16>0

-l<-<2,

令“力=丁-奴-4,由已知可得，2,解得0<a<3,

/(-l)=a-3<0

/(2)=-2a<0

故選：A.

例21.(2022.江蘇.南京市金陵中學(xué)河西分校高一階段練習(xí))己知關(guān)于x的不等式(4x-3)2*加的解集中

恰有三個(gè)整數(shù)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

91691-9169)

A.[-,3]B.(2,3]C.(2,D.

44瓦)

【答案】D

【解析】由題意可知，a>0,則不等式(4%-3)2%加可變形為(4x-3)2-W<0,

即[(4+2及口-3][(4-2向》-3卜0,

①當(dāng)〃=4時(shí)，不等式為-24x+9W0,解得應(yīng)]不符合題意；

O

②當(dāng)a*時(shí)，不等式為關(guān)于x的一元二次不等式，

333

若不忑=匚皿，即a=0時(shí)，不等式的解集為{[},不符合題意;

若?！葱摹葱摹础?lt;大時(shí)，不等式的解集為1高｝，又°<&，

所以如果恰有三個(gè)整數(shù)，只能是1,2,3,

3Q169

故解得/”寸

若號；<°<篇’即〃>4時(shí)，不等式的解集為｛'I、".或、>七｝'

不會(huì)恰好有三個(gè)整數(shù)解，不符合題意.

9991

綜上所述，實(shí)數(shù)。的取值范圍為4，-64J

故選：D.

變式18.(2022?四川成都.高一開學(xué)考試)若關(guān)于x的方程爐一比+1=0有兩個(gè)不相等的實(shí)根為、巧，且滿足

0<為<1<%<2,則實(shí)數(shù)f的取值范圍是()

A.(2,5)B.(2怖)

C.(^?,2)<J(5,+°o)D.(-8,2)u(g,+oc)

【答案】B

【解析】令/(x)=f—a+1,且“0)=1,

所以只需滿足〃1)<0且/(2)>0即可，

即1一/+1<0且4-2/+1>0,解得2Vt<|,

故選:B.

變式19.(2022?山東?招遠(yuǎn)市第二中學(xué)高一階段練習(xí))已知實(shí)數(shù)a<%,關(guān)于x的方程/-(a+6)x+H+l=0有

兩個(gè)實(shí)根占，9，且占<々，則實(shí)數(shù)小b,占，々的大小關(guān)系為()

A.a<xt<h<x2B.xt<a<x2<b

C.a<xt<x2<bD.xt<x2<a<b

【答案】C

［解析］由V-(a+6)x+ab+l=(x-a)(x-b)+1=0,

令f(x)=(x-a)(x-b)+1,g(x)=(x-a)(x-b),則g(x)=/(x)-l,

所以網(wǎng)，X?為/(x)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)，且占<%2，

將/(X)向下移動(dòng)1個(gè)單位得到g(x)，且g(x)與x軸交點(diǎn)橫坐標(biāo)a力且a<b,

所以。<q42〈氏

故選：C

變式20.(2022?廣東?深圳實(shí)驗(yàn)