D6-2-定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用

四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(補(bǔ)充)三、平行截面面積函數(shù)的立體體積其次節(jié)一、平面圖形的面積二、平面曲線的弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢定積分在幾何學(xué)上的應(yīng)用第六章一、平面圖形的面積1.直角坐標(biāo)情形設(shè)曲線與直及x軸所則機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢圍曲邊梯形面積為A,右以以下圖所示圖形面積為線例1.

計(jì)算兩條拋物線在第一象限所圍所圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例2.

計(jì)算拋物線與直線圍圖形的面積.解:由得交點(diǎn)所為簡(jiǎn)便計(jì)算,選取y作積分變量,則有機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例3.求橢圓解:

利用對(duì)稱性,所圍圖形的面積.有利用橢圓的參數(shù)方程應(yīng)用定積分換元法得當(dāng)a=b時(shí)得圓面積公式機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例4.求由擺線的一拱與x軸所圍平面圖形的面積.解:機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢2.極坐標(biāo)情形求由曲線及圍成的曲邊扇形的面積.在區(qū)間上任取小區(qū)間則對(duì)應(yīng)當(dāng)小區(qū)間上曲邊扇形面積的近似值為所求曲邊扇形的面積為機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢對(duì)應(yīng)例5.計(jì)算阿基米德螺線解:點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)頭或暫停機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢

從0變到2

所圍圖形面積.例6.計(jì)算心形線所圍圖形的面積.解:(利用對(duì)稱性)心形線名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢心形線(外擺線的一種)即

尖點(diǎn):

面積:

弧長(zhǎng):參數(shù)的幾何意義心形線名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例7.

計(jì)算心形線與圓所圍圖形的面積.解:

利用對(duì)稱性,所求面積機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例8.

求雙紐線所圍圖形面積.解:

利用對(duì)稱性,則所求面積為思考:用定積分表示該雙紐線與圓所圍公共局部的面積.機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢答案:二、平面曲線的弧長(zhǎng)定義:若在弧AB上任意作內(nèi)接折線,當(dāng)折線段的最大邊長(zhǎng)→0時(shí),折線的長(zhǎng)度趨向于一個(gè)確定的極限,此極限為曲線弧AB的弧長(zhǎng),即并稱此曲線弧為可求長(zhǎng)的.定理:任意光滑曲線弧都是可求長(zhǎng)的.(證明略)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢則稱(1)曲線弧由直角坐標(biāo)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)(P168)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢(2)曲線弧由參數(shù)方程給出:弧長(zhǎng)元素(弧微分):因此所求弧長(zhǎng)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢(3)曲線弧由極坐標(biāo)方程給出:因此所求弧長(zhǎng)則得弧長(zhǎng)元素(弧微分):(自己驗(yàn)證)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例9.兩根電線桿之間的電線,由于其本身的重量,成懸鏈線.求這一段弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢下垂懸鏈線方程為例10.

求連續(xù)曲線段解:的弧長(zhǎng).機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例11.

計(jì)算擺線一拱的弧長(zhǎng).解:機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例12.

求阿基米德螺線相應(yīng)于0≤

≤2

一段的弧長(zhǎng).解:(P349公式39)小結(jié)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢三、平行截面面積函數(shù)的立體體積設(shè)所給立體垂直于x軸的截面面積為A(x),則對(duì)應(yīng)于小區(qū)間的體積元素為因此所求立體體積為機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢上連續(xù),特殊,當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞x軸旋轉(zhuǎn)一四周成的立體體積時(shí),有當(dāng)考慮連續(xù)曲線段繞y軸旋轉(zhuǎn)一四周成的立體體積時(shí),有機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例13.

計(jì)算由橢圓所圍圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)而轉(zhuǎn)而成的橢球體的體積.解:方法1

利用直角坐標(biāo)方程則(利用對(duì)稱性)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢方法2

利用橢圓參數(shù)方程則特殊當(dāng)b=a時(shí),就得半徑為a的球體的體積機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例14.

計(jì)算擺線的一拱與y＝0所圍成的圖形分別繞x軸,y軸旋轉(zhuǎn)而成的立體體積.解:

繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢繞

y軸旋轉(zhuǎn)而成的體積為留意上下限!注注名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢分部積分注(利用“偶倍奇零”)柱殼體積說(shuō)明:

柱面面積機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢偶函數(shù)奇函數(shù)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例15.設(shè)在x≥0時(shí)為連續(xù)的非負(fù)函數(shù),且形繞直線x＝t旋轉(zhuǎn)一周所成旋轉(zhuǎn)體體積,證明:證:利用柱殼法則機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢故例16.

一平面經(jīng)過(guò)半徑為R的圓柱體的底圓中心,并與底面交成

角,解:如以下圖取坐標(biāo)系,則圓的方程為垂直于x軸的截面是直角三角形,其面積為利用對(duì)稱性計(jì)算該平面截圓柱體所得立體的體積.機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢思考:可否選擇y作積分變量?此時(shí)截面面積函數(shù)是什么?如何用定積分表示體積?提示:機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢垂直x軸的截面是橢圓例17.

計(jì)算由曲面所圍立體(橢球體)解:它的面積為因此橢球體體積為特殊當(dāng)a=b=c時(shí)就是球體體積.機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢的體積.例18.

求曲線與x軸圍成的封閉圖形繞直線y＝3旋轉(zhuǎn)得的旋轉(zhuǎn)體體積.(94考研)解:

利用對(duì)稱性,故旋轉(zhuǎn)體體積為在第一象限機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢四、旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積

(補(bǔ)充)設(shè)平面光滑曲線積分后得旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積求它繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面的側(cè)面積.取側(cè)面積元素:機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢側(cè)面積元素的線性主部.假設(shè)光滑曲線由參數(shù)方程給出,則它繞

x

軸旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)體的不是薄片側(cè)面積△S的機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢留意:側(cè)面積為例19.計(jì)算圓x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的球臺(tái)的側(cè)面積S.解:對(duì)曲線弧應(yīng)用公式得當(dāng)球臺(tái)高h(yuǎn)＝2R時(shí),得球的外表積公式機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢例20.求由星形線軸旋轉(zhuǎn)一周所得的旋轉(zhuǎn)體的外表積S.解:利用對(duì)稱性繞x星形線名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢星形線星形線是內(nèi)擺線的一種.點(diǎn)擊圖片任意處播放開(kāi)頭或暫停大圓半徑R＝a小圓半徑參數(shù)的幾何意義(當(dāng)小圓在圓內(nèi)沿圓周滾動(dòng)時(shí),小圓上的定點(diǎn)的軌跡為是內(nèi)擺線)星形線名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢內(nèi)容小結(jié)1.平面圖形的面積邊界方程參數(shù)方程極坐標(biāo)方程2.平面曲線的弧長(zhǎng)曲線方程參數(shù)方程方程極坐標(biāo)方程弧微分:直角坐標(biāo)方程直角坐標(biāo)方程留意:求弧長(zhǎng)時(shí)積分上下限必需上大下小機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢3.平行截面面面積函數(shù)的立體體積旋轉(zhuǎn)體的體積繞x軸:4.旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積側(cè)面積元素為(留意在不同坐標(biāo)系下ds的表達(dá)式)繞y軸:(柱殼法)機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢思考與練習(xí)1.用定積分表示圖中陰影局部的面積A及邊界長(zhǎng)s.提示:交點(diǎn)為弧線段局部直線段局部機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢以x為積分變量,則要分兩段積分,故以y為積分變量.2.試用定積分求圓上半圓為下求體積:提示:方法1利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的環(huán)體體積V及外表積S.方法2用柱殼法說(shuō)明:上式可變形為機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢上半圓為下此式反映了環(huán)體微元的另一種取法(如以下圖).求側(cè)面積:利用對(duì)稱性機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢上式也可寫(xiě)成上半圓為下它也反映了環(huán)面微元的另一種取法.作業(yè)P2842(1),(3);4;5(2),(3);8(2);10;

27;30第三節(jié)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢面積及弧長(zhǎng)局部：體積及外表積局部：P28413;14;15(1),(4);17;18補(bǔ)充題:設(shè)有曲線過(guò)原點(diǎn)作其切線,求由此曲線、切線及x軸圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)體的外表積.備用題解：1.求曲線所圍圖形的面積.明顯面積為同理其它.機(jī)動(dòng)名目上頁(yè)下頁(yè)返回完畢又故在區(qū)域分析曲線特點(diǎn)2.

解:與x軸所圍面積由圖形的對(duì)稱性,也合于所求.

為何值才能使與x軸圍成的面