四邊形輔助線做法輔導(dǎo)講義

四邊形輔助線做法輔導(dǎo)講義教學(xué)目的：1、理解并掌握輔助線的作法2掌握平行四邊形，菱形，矩形，正方形及梯形的性質(zhì)與判定和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形.例5如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個動點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長.與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：〔1〕計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；〔2〕證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6如圖7，矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的長.例7如圖8，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=∠AEB.與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：〔1〕作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；〔2〕作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；〔3〕作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；〔4〕延長兩腰構(gòu)成三角形；〔5〕作兩腰的平行線等.例8，如圖9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點(diǎn)0.求證：CO=CD.例9如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的長.例9如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的長.和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.2023年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何證明題〔一〕1.〔1〕如圖1所示，在四邊形中，=，與相交于點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，分別交、于點(diǎn)，試判斷的形狀，并加以證明；〔2〕如圖2，在四邊形中，假設(shè)，分別是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FE并延長，分別與的延長線交于點(diǎn)，請?jiān)趫D2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，假設(shè)有，請直接寫出結(jié)論：；〔3〕如圖3，在中，，點(diǎn)在上，，分別是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長，與的延長線交于點(diǎn)，假設(shè)，判斷點(diǎn)與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系，并簡要說明理由．DCDCABGHFE圖1圖2圖3練習(xí)1、(2023湖北恩施)為了讓州城居民有更多休閑和娛樂的地方，政府又新建了幾處廣場，工人師傅在鋪設(shè)地面時，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚.現(xiàn)有下面幾種形狀的正多邊形地磚，其中不能進(jìn)行平面鑲嵌的是〔〕A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形2、(2023衡陽市)如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，那么AG的長為〔〕 A．1 B．C． D．23、〔2007臺州〕把正方形繞著點(diǎn)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點(diǎn)〔如圖〕．試問線段與線段相等嗎？請先觀察猜測，然后再證明你的猜測．四邊形輔助線做法輔導(dǎo)講義教學(xué)目的：1、理解并掌握輔助線的作法2掌握平行四邊形，菱形，矩形，正方形及梯形的性質(zhì)與判定和平行四邊形有關(guān)的輔助線作法1．利用一組對邊平行且相等構(gòu)造平行四邊形例1如圖1，點(diǎn)O是平行四邊形ABCD的對角線AC的中點(diǎn)，四邊形OCDE是平行四邊形.求證:OE與AD互相平分.2．利用兩組對邊平行構(gòu)造平行四邊形例2如圖2，在△ABC中，E、F為AB上兩點(diǎn)，AE=BF，ED//AC，F(xiàn)G//AC交BC分別為D，G.求證:ED+FG=AC.3．利用對角線互相平分構(gòu)造平行四邊形例3如圖3，AD是△ABC的中線，BE交AC于E，交AD于F，且AE=EF.求證BF=AC.二、和菱形有關(guān)的輔助線的作法和菱形有關(guān)的輔助線的作法主要是連接菱形的對角線，借助菱形的判定定理或性質(zhì)定定理解決問題.例4如圖5，在△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E是AB上一點(diǎn)，且AE=AC，EF//BC交AD于點(diǎn)F，求證：四邊形CDEF是菱形.例5如圖6，四邊形ABCD是菱形，E為邊AB上一個定點(diǎn)，F(xiàn)是AC上一個動點(diǎn)，求證EF+BF的最小值等于DE長.與矩形有輔助線作法和矩形有關(guān)的題型一般有兩種：〔1〕計(jì)算型題，一般通過作輔助線構(gòu)造直角三角形借助勾股定理解決問題；〔2〕證明或探索題，一般連結(jié)矩形的對角線借助對角線相等這一性質(zhì)解決問題和矩形有關(guān)的試題的輔助線的作法較少.例6如圖7，矩形ABCD內(nèi)一點(diǎn)，PA=3，PB=4，PC=5.求PD的長.例7如圖8，過正方形ABCD的頂點(diǎn)B作BE//AC，且AE=AC，又CF//AE.求證：∠BCF=∠AEB.與梯形有關(guān)的輔助線的作法和梯形有關(guān)的輔助線的作法是較多的.主要涉及以下幾種類型：〔1〕作一腰的平行線構(gòu)造平行四邊形和特殊三角形；〔2〕作梯形的高，構(gòu)造矩形和直角三角形；〔3〕作一對角線的平行線，構(gòu)造直角三角形和平行四邊形；〔4〕延長兩腰構(gòu)成三角形；〔5〕作兩腰的平行線等.例8，如圖9，在梯形ABCD中，AD//BC，AB=AC，∠BAC=90°，BD=BC，BD交AC于點(diǎn)0.求證：CO=CD.例9如圖10，在等腰梯形ABCD中，AD//BC，AC⊥BD，AD+BC=10，DE⊥BC于E.求DE的長.和中位線有關(guān)輔助線的作法例10如圖11，在四邊形ABCD中，AC于BD交于點(diǎn)0，AC=BD，E、F分別是AB、CD中點(diǎn)，EF分別交AC、BD于點(diǎn)H、G.求證：OG=OH.2023年中考數(shù)學(xué)經(jīng)典幾何證明題〔一〕1.〔1〕如圖1所示，在四邊形中，=，與相交于點(diǎn)，分別是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)，分別交、于點(diǎn)，試判斷的形狀，并加以證明；〔2〕如圖2，在四邊形中，假設(shè)，分別是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)FE并延長，分別與的延長線交于點(diǎn)，請?jiān)趫D2中畫圖并觀察，圖中是否有相等的角，假設(shè)有，請直接寫出結(jié)論：；圖1圖2圖3〔3〕如圖3，在中，，點(diǎn)在上，，分別是的中點(diǎn)，聯(lián)結(jié)并延長，與的延長線交于點(diǎn)，假設(shè)，判斷點(diǎn)與以AD為直徑的圓的位置關(guān)系，并簡要說明理由．圖1圖2圖3DDCABGHFE練習(xí)1、(2023湖北恩施)為了讓州城居民有更多休閑和娛樂的地方，政府又新建了幾處廣場，工人師傅在鋪設(shè)地面時，準(zhǔn)備選用同一種正多邊形地磚.現(xiàn)有下面幾種形狀的正多邊形地磚，其中不能進(jìn)行平面鑲嵌的是〔〕A.正三角形B.正方形C.正五邊形D.正六邊形2、(2023衡陽市)如圖，矩形紙片ABCD中，AB=4，AD=3，折疊紙片使AD邊與對角線BD重合，折痕為DG，那么AG的長為〔〕 A．1 B．C． D．23、〔2007臺州〕把正方形繞著點(diǎn)，按順時針方向旋轉(zhuǎn)得到正方形，邊與交于點(diǎn)〔如圖〕．試問線段與線段相等嗎？請先觀察猜測，然后再證明你的猜測．4、(2023淄博市)如圖，在矩形ABCD中，BC=20cm，P，Q，M，N分別從A，B，C，D出發(fā)沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的邊上同時運(yùn)動，當(dāng)有一個點(diǎn)先到達(dá)所在運(yùn)動邊的另一個端點(diǎn)時，運(yùn)動即停止．在相同時間內(nèi)，假設(shè)BQ=xcm()，那么AP=2xcm，CM=3xcm，DN=x2cm．〔1〕當(dāng)x為何值時，以PQ，MN為兩邊,以矩形的邊〔AD或BC〕的一局部為第三邊構(gòu)成一個三角形；〔2〕當(dāng)x為何值時，以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形；〔3〕以P，Q，M，N為頂點(diǎn)的四邊形能否為等腰梯形?如果能，求x的值；如果不能，請說明理由．AABDCPQMN題45．(2023威海市)如圖，在四邊形ABCD中，E是BC邊的中點(diǎn)，連結(jié)DE并延長，交AB的延長線于F點(diǎn)，．添加一個條件，使四邊形ABCD是平行四邊形．你認(rèn)為下面四個條件中可選擇的是〔〕A． B． C． D．6.．A．1.6B．2.5 C．37.(2023本溪市)如下圖，菱形中，對角線相交于點(diǎn)，為邊中點(diǎn)，菱形的周長為24，那么的長等于．8.〔2023東營市〕如下圖，把一個長方形紙片沿EF折疊后，點(diǎn)D，C分別落在D′，C′的位置．假設(shè)∠EFB＝65°，那么∠AED′等于第3題圖EBAFCD第1題圖第2題圖EDBC′第3題圖EBAFCD第1題圖第2題圖EDBC′FCD′A第4題圖添輔助線有二種情況：

〔1〕按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們相交后證交角為90°，

證線段倍半關(guān)系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍，

證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線

〔2〕按根本圖形添輔助線：

每個幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做根本圖形，添輔助線往往是具有根本圖形的性質(zhì)而根本圖形不完整時補(bǔ)完整根本圖形，因此“添線〞應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖〞！這樣可防止亂添線，添輔助線也有規(guī)律可循。

舉例如下：

平行線是個根本圖形：

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等第三條直線

等腰三角形是個簡單的根本圖形：

當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時往往要補(bǔ)完整等腰三角形。

出現(xiàn)角平分線與平行線組合時可延長平行線與角的二邊相交得等腰三角形。

等腰三角形中的重要線段是個重要的根本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；

出現(xiàn)角平分線與垂線組合時可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的根本圖形。

直角三角形斜邊上中線根本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線

出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且倍線段是直角三角形的斜邊那么要添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上中線根本圖形。

三角形中位線根本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個中點(diǎn)時往往添加三角形中位線根本圖形進(jìn)行證明當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時那么添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時那么需補(bǔ)完整三角形

當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個中點(diǎn)那么可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線根本圖形。

當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，那么可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半線段的平行線得三角形中位線根本圖形。

全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等

如果出現(xiàn)兩條相等線段或兩個檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。

當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時可添加中心對稱形全等三角形加以證明，添加方法是將四個端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行線

相似三角形：

相似三角形有平行線型〔帶平行線的相似三角形〕，相交線型，旋轉(zhuǎn)型

當(dāng)出現(xiàn)相比線段重疊在一直線上時〔中點(diǎn)可看成比為1〕可添加平行線得平行線型相似三角形。假設(shè)平行線過端點(diǎn)添那么可以分點(diǎn)或另一端點(diǎn)的線段為平行方向，這類題目中往往有多種淺線方法。

特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30，45，60，135，150度特殊角時可添加特殊角直角三角形，利用45角直角三角形三邊比為1：1：√2；30度角直角三角形三邊比為1：2：√3進(jìn)行證明

半圓上的圓周角

出現(xiàn)直徑與半圓上的點(diǎn)，添90度的圓周角

出現(xiàn)90度的圓周角那么添它所對弦---直徑

平面幾何中總共只有二十多個根本圖形就像房子不外有一砧，瓦，水泥，石灰，木等組成一樣

下面提供三角形中位線根本圖形的幾種添線圖形〔色線為輔助線〕

補(bǔ)充幾句：

我認(rèn)為添輔助線是有規(guī)律的！如西瓦定理結(jié)論很復(fù)雜，但出現(xiàn)了相比線段重疊在一直線上的特征，而這正是平行線形相似三角形的性質(zhì)！因此我們可根據(jù)平行線形相似三角形進(jìn)行補(bǔ)圖：添平行線得平行線型相似三角形進(jìn)行證明。又如幾何問題中出現(xiàn)多個中點(diǎn)時可添加面積等分線或補(bǔ)完整三角形中位線根本圖形進(jìn)行證明〔如證順次連結(jié)任意四邊形各邊中點(diǎn)的四邊形為平行四邊形〕；出現(xiàn)線段倍半關(guān)系除根據(jù)定義加倍取半外〔也是規(guī)律么〕還有下面幾種情形：假設(shè)倍線段是直角三角形斜邊那么必須添直角三角形斜邊上的中線得直角三角形斜邊上的中線的根本圖形；但假設(shè)與倍線段有公共端點(diǎn)的某線段帶一個中點(diǎn)或半線段的端點(diǎn)是另一線段的中點(diǎn)那么必添加三角形中位線根本圖形無疑！

參考文獻(xiàn)：9c全等三角形問題中常見的輔助線的作法

常見輔助線