專題3.8 抽象函數(shù)問(wèn)題（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁(yè)專題3.8抽象函數(shù)問(wèn)題題型一抽象函數(shù)的定義域題型二抽象函數(shù)的值域題型三求抽象函數(shù)的解析式題型四抽象函數(shù)的奇偶性題型五抽象函數(shù)的周期性題型六抽象函數(shù)求解不等式題型一 抽象函數(shù)的定義域例1．（2022秋·河北保定·高一河北省唐縣第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】D【分析】若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t復(fù)合函數(shù)有意義要滿足.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，則有意義要滿足，解得，故選：D例2．（2022秋·山東德州·高三校考階段練習(xí)）若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得出關(guān)于的不等式組，由此可解得函數(shù)的定義域.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋瑢?duì)于函數(shù)，則，解得，即函數(shù)的定義域?yàn)?故選：C練習(xí)1．（2023秋·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋ǎ〢． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)的真數(shù)大于零，分式的分母不為零，以及可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，所以要使有意義，則，解得且，所以原函數(shù)的定義域?yàn)?，故選：C．練習(xí)2．（2023秋·遼寧沈陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)定義域之間的關(guān)系進(jìn)行求解即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，即，可得，∴函?shù)的定義域?yàn)椋?，解得，故函?shù)的定義域?yàn)?故選：B.練習(xí)3．（2023秋·江蘇揚(yáng)州·高三期末）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，設(shè)函數(shù)，則函數(shù)的定義域是______.【答案】【分析】由的定義域得出，進(jìn)而由得出所求.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)椋?，即，解得故函?shù)，則函數(shù)的定義域是故答案為：練習(xí)4．（2023春·江西宜春·高二?？奸_(kāi)學(xué)考試）若函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)開(kāi)___________.【答案】【分析】利用抽象函數(shù)定義域的求法及指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】對(duì)于，因?yàn)椋杂傻膯握{(diào)性得，即，所以對(duì)于，有，即，由的單調(diào)性得，解得，所以的定義域?yàn)?故答案為：.練習(xí)5．（2022秋·河南信陽(yáng)·高三?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，則的定義域?yàn)椋?/p>

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由已知條件求得的定義域，再由的定義域求出的定義域即可.【詳解】∵函數(shù)的定義域?yàn)?，即，∴，又∵，解得，∴的定義域?yàn)?故選：.題型二 抽象函數(shù)的值域例3．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)對(duì)任意，都有，當(dāng)，時(shí)，，則函數(shù)在，上的值域?yàn)椋?/p>

）A．， B．， C．， D．，【答案】D【分析】當(dāng)，時(shí)，，利用，將區(qū)間的自變量利用加減轉(zhuǎn)化到區(qū)間上，從而進(jìn)行值域的求解【詳解】當(dāng)，時(shí)，，，則當(dāng)，時(shí)，即，，所以；當(dāng)，時(shí)，即，，由，得，從而，；當(dāng)，時(shí)，即，，則，．綜上得函數(shù)在，上的值域?yàn)?，．故選：D．例4．（2021·全國(guó)·高一專題練習(xí)）函數(shù)的定義域?yàn)?，且?duì)任意，都有，且，當(dāng)時(shí)，有.（1）求，的值；（2）判斷的單調(diào)性并加以證明；（3）求在，上的值域.【答案】（1）f(1)=1，f(4)=3；（2）在上為增函數(shù)，證明見(jiàn)解析；（3）.【分析】（1）可令解得，再令，可得f（4）；（2）函數(shù)在上為增函數(shù)，可令，運(yùn)用條件和單調(diào)性的定義，即可得證；（3）運(yùn)用函數(shù)的單調(diào)性和賦值法，即可得到所求值域.【詳解】（1）可令時(shí)，=-；令，可得f（2）=f（4）-f（2），即f（4）；（2）函數(shù)在上為增函數(shù).證明：當(dāng)時(shí)，有，可令，即有，則，可得，則在上遞增；（3）由在上為增函數(shù)，可得在遞增，可得為最小值，為最大值，由f（4）=f（16）-f（4）+1，可得，則的值域?yàn)?練習(xí)6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)，若函數(shù)的值域?yàn)?，則的值域?yàn)開(kāi)____________．【答案】【分析】利用函數(shù)奇偶性的定義結(jié)合的值域即可求出的值域.【詳解】解：由是上的奇函數(shù)，是上的偶函數(shù)得到，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)榧此杂郑盟缘闹涤驗(yàn)椋?故答案為：.練習(xí)7．（2022秋·浙江杭州·高三杭州四中?？计谥校┮阎瘮?shù)的定義域是，值域?yàn)?，則值域也為的函數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)的值域?yàn)椋?，即可求出，，，以及的范圍，從而可求解．【詳解】的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)?，即；?duì)于A,，即的值域?yàn)?，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B,，即的值域?yàn)?故B錯(cuò)誤；對(duì)于C,，即的值域?yàn)?，故C正確；對(duì)于D,，即的值域?yàn)?，故D錯(cuò)誤．故選：C．練習(xí)8．（2022·高一課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋涤驗(yàn)镽，則（

）A．函數(shù)的定義域?yàn)镽B．函數(shù)的值域?yàn)镽C．函數(shù)的定義域和值域都是RD．函數(shù)的定義域和值域都是R【答案】B【分析】對(duì)于A選項(xiàng)：根據(jù)抽象函數(shù)的定義域令，推出的定義域判斷正誤；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽，所以的值域?yàn)镽，進(jìn)而推導(dǎo)出的值域，判斷正誤；對(duì)于C選項(xiàng)：令，求出函數(shù)的定義域，即可判斷正誤；對(duì)于D選項(xiàng)：若函數(shù)的值域?yàn)镽，則，即可判斷正誤；【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)：令，可得，所以函數(shù)的定義域?yàn)椋蔄選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于B選項(xiàng)：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)镽，，所以的值域?yàn)镽，可得函數(shù)的值域?yàn)镽，故B選項(xiàng)正確；對(duì)于C選項(xiàng)：令，得，所以函數(shù)的定義域?yàn)?，故C選項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D選項(xiàng)：若函數(shù)的值域?yàn)镽，則，此時(shí)無(wú)法判斷其定義域是否為R，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：B練習(xí)9．（2022秋·河北保定·高三河北省曲陽(yáng)縣第一高級(jí)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域是，值域?yàn)?，則下列四個(gè)函數(shù)①；②；③；④，其中值域也為的函數(shù)個(gè)數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出①②③④中各函數(shù)的值域，即可得出合適的選項(xiàng).【詳解】對(duì)于①，因?yàn)椋瑒t，①不滿足條件；對(duì)于②，對(duì)于函數(shù)，，則函數(shù)的值域?yàn)椋跐M足條件；對(duì)于③，因?yàn)椋瑒t，③滿足條件；對(duì)于④，因?yàn)?，，則，④滿足條件.故選：B.練習(xí)10．（2022秋·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市一中校考階段練習(xí)）若函數(shù)的值域是，則函數(shù)的值域是________.【答案】【分析】由給定條件求出的值域，換元借助對(duì)勾函數(shù)性質(zhì)即可得解.【詳解】因函數(shù)的值域是，從而得函數(shù)值域?yàn)椋瘮?shù)變?yōu)?，，由?duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上遞減，在上遞增，時(shí)，，而時(shí)，，時(shí)，，即，所以原函數(shù)值域是.故答案為：題型三 求抽象函數(shù)的解析式例5．（2023·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考階段練習(xí)）寫出一個(gè)滿足：的函數(shù)解析式為_(kāi)_____.【答案】【分析】賦值法得到，，求出函數(shù)解析式.【詳解】中，令，解得，令得，故，不妨設(shè)，滿足要求.故答案為：例6．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋?，時(shí)，，，則（

）A．B．函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增C．函數(shù)是奇函數(shù)D．函數(shù)的一個(gè)解析式為【答案】ABD【分析】賦值法求值判斷A選項(xiàng)，定義法判斷單調(diào)性判斷B選項(xiàng)，特殊值法判斷C選項(xiàng)，根據(jù)題干要求判斷解析式符合題意判斷D選項(xiàng).【詳解】A項(xiàng)：因?yàn)椋?dāng)時(shí)，，令，則，解得，A正確；B項(xiàng)：任?。?，則，因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，，所以，即，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，B正確；C項(xiàng)：令，則，解得或，當(dāng)，且時(shí)，令，則，若為奇函數(shù)，則，即，解得，與題意矛盾；當(dāng)時(shí)不為奇函數(shù)．綜上所述，函數(shù)不是奇函數(shù)，C錯(cuò)誤；D項(xiàng)：當(dāng)，則，，所以，易得在上單調(diào)遞增，所以時(shí)，，，故函數(shù)的一個(gè)解析式為，D正確．故選:ABD練習(xí)11．（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知函數(shù)，對(duì)于任意，，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】通過(guò)賦值法，取具體函數(shù)，基本不等式等結(jié)合已知條件分選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】令，故A正確；由已知，①令滿足題干要求，則，故B錯(cuò)誤；由①可知，令，則，又因?yàn)椋瑒t，所以，故C正確；因?yàn)椋?，又由①，令，則，所以，故D正確.故選：ACD.練習(xí)12．（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知函數(shù)滿足以下條件：①在區(qū)間上單調(diào)遞增；②對(duì)任意，，均有，則的一個(gè)解析式為_(kāi)_____．【答案】（答案不唯一）【分析】根據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及對(duì)數(shù)函數(shù)性質(zhì)寫出一個(gè)函數(shù)解析式即可.【詳解】如：，則，，又，則，此時(shí)在區(qū)間上單調(diào)遞增，滿足題設(shè).故答案為：（答案不唯一）練習(xí)13．（2019秋·山西運(yùn)城·高一校考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足：①對(duì)任意的，都有；②當(dāng)時(shí)，.（1）求證：；（2）求證：對(duì)任意的，都有；【答案】（1）證明見(jiàn)詳解；（2）證明見(jiàn)詳解【分析】（1）令，即可求得；（2）令，由以及即可證得結(jié)論；【詳解】（1）令，則，（2）令，則，.【點(diǎn)睛】本題主要考查抽象函數(shù)的函數(shù)值，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題干賦恰當(dāng)?shù)臄?shù)值，屬于基礎(chǔ)題練習(xí)14．（2022·全國(guó)·高一專題練習(xí)）若函數(shù)f（x）滿足，則f（x）可以是___．（舉出一個(gè)即可）【答案】【分析】由題意猜想，驗(yàn)證滿足條件.【詳解】若，滿足.若，滿足.故答案為：，答案不唯一.練習(xí)15．（2022秋·江蘇南京·高一南京市第十三中學(xué)校考階段練習(xí)）寫出同時(shí)滿足條件“①函數(shù)為增函數(shù)，②”的一個(gè)函數(shù)_____．【答案】(答案不唯一)【分析】由指數(shù)函數(shù)及冪運(yùn)算性質(zhì)即可判斷.【詳解】由題意，指數(shù)函數(shù)均滿足①②.故答案為：(答案不唯一)題型四 抽象函數(shù)的奇偶性例7．（2022秋·廣西玉林·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知是定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，是定義域?yàn)榈呐己瘮?shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由條件得到函數(shù)的對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性求值，即可求解.【詳解】因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，且因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈呐己瘮?shù)，所以，所以函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱，所以，即.故選：A例8．（2023·湖南長(zhǎng)沙·雅禮中學(xué)校考一模）（多選）已知不恒為0的函數(shù)，滿足，都有．則（

）A． B．C．為奇函數(shù) D．為偶函數(shù)【答案】BD【分析】令和，即可判斷選項(xiàng)AB；令，即可判斷選項(xiàng)CD.【詳解】令，則，∴或1．令，則，若，則，與不恒為0矛盾，∴，∴選項(xiàng)B正確選項(xiàng)A錯(cuò)誤；令，則，∴，∴為偶函數(shù)，∴選項(xiàng)D正確選項(xiàng)C錯(cuò)誤.故選：BD．練習(xí)16．（2023秋·遼寧錦州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足，且，則（

）A．是偶函數(shù) B．是奇函數(shù)C． D．【答案】AC【分析】令可得，從而可判斷B；令可判斷A；令，可得，令可判斷C；由AC的解析可得函數(shù)的周期為2，從而可判斷D.【詳解】在中，令，可得，即，解得，故B錯(cuò)誤；令可得,即，故函數(shù)是偶函數(shù)，即是偶函數(shù),故A正確；令，則，故，令，可得,故，故C正確；因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以，故,即，所以,所以，故函數(shù)的周期為2，因?yàn)椋?，所以?所以，故D錯(cuò)誤.故選：AC.練習(xí)17．（2023春·河南·高三信陽(yáng)高中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知定義在上的函數(shù)滿足，，，且當(dāng)時(shí)，，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．是奇函數(shù)但不是偶函數(shù) B．是偶函數(shù)但不是奇函數(shù)C．既是奇函數(shù)又是偶函數(shù) D．既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)【答案】B【分析】對(duì)a、b進(jìn)行賦值即可根據(jù)奇偶性的定義進(jìn)行函數(shù)奇偶性的判斷.【詳解】的定義域關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，因?yàn)?，，，故令時(shí)，，令時(shí)，，令，時(shí)，，，即，∴是偶函數(shù)，又當(dāng)時(shí)，，即不恒為零，故只能為偶函數(shù)，不能為奇函數(shù).故選：B.練習(xí)18．（2023秋·浙江衢州·高三統(tǒng)考期末）（多選）已知定義在上的非常數(shù)函數(shù)滿足，則（

）A． B．為奇函數(shù) C．是增函數(shù) D．是周期函數(shù)【答案】AB【分析】對(duì)于A項(xiàng)、B項(xiàng)，令，令代入計(jì)算即可；對(duì)于C項(xiàng)、D項(xiàng)，舉反練習(xí)判斷即可.【詳解】對(duì)于A項(xiàng)，令得：，解得：，故A項(xiàng)正確；對(duì)于B項(xiàng)，令得：，由A項(xiàng)知，，所以，所以為奇函數(shù)，故B項(xiàng)正確；對(duì)于C項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但是減函數(shù).故C項(xiàng)錯(cuò)誤；對(duì)于D項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，，滿足，但不是周期函數(shù).故D項(xiàng)錯(cuò)誤.故選：AB.練習(xí)19．（2022秋·高三單元測(cè)試）若定義在R上的函數(shù)滿足：對(duì)任意，有，則下列說(shuō)法中：①為奇函數(shù)；②為偶函數(shù)；③為奇函數(shù)；④為偶函數(shù).一定正確的是_________________.【答案】③【分析】令，得，令，得到，根據(jù)奇偶性定義即可得答案.【詳解】對(duì)任意，有，令，得，令，，得，整理得，故為奇函數(shù)，無(wú)法判斷的奇偶性.故答案為：③.練習(xí)20.（2023春·廣東廣州·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）（多選）若定義在上的函數(shù)滿足：，且，則下列結(jié)論中正確的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【分析】根據(jù)所給抽象函數(shù)的性質(zhì)，利用賦值法求解即可判斷各選項(xiàng).【詳解】由已知可得函數(shù)的定義域?yàn)椋瑵M足①，且，對(duì)于選項(xiàng)A，可令，代入①式，得，得，所以A選項(xiàng)是正確的；對(duì)于選項(xiàng)B，可令，代入①式，得，得，所以B選項(xiàng)是正確的；令，代入①式，得，而得，可令代入①式，得，整理得，所以C選項(xiàng)是錯(cuò)誤的，D選項(xiàng)是正確的.故選：ABD.題型五 抽象函數(shù)的周期性例9．（2023春·廣西柳州·高二柳州市第三中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若定義上的函數(shù)滿足：對(duì)任意有若的最大值和最小值分別為，則的值為（

）A．2022 B．2018 C．4036 D．4044【答案】D【分析】由賦值法可得，構(gòu)造，說(shuō)明為奇函數(shù)，由可得結(jié)果.【詳解】對(duì)任意有，則令，令，令，則，故為上的奇函數(shù)，故.故選：D.例10．（2023·山西太原·太原五中?？家荒＃ǘ噙x）已知定義域?yàn)榈暮瘮?shù)對(duì)任意實(shí)數(shù)都有，且，則以下結(jié)論一定正確的有（

）A． B．是偶函數(shù)C．關(guān)于中心對(duì)稱 D．【答案】BC【分析】根據(jù)賦值法，可判斷或，進(jìn)而判斷A，根據(jù)賦值法結(jié)合奇偶性的定義可判斷C，根據(jù)偶函數(shù)即可判斷對(duì)稱性，根據(jù)對(duì)稱性以及奇偶性可得函數(shù)的周期性，進(jìn)而可判斷CD.【詳解】令，則或，故A錯(cuò)誤，若時(shí)，令，則，此時(shí)是偶函數(shù)，若時(shí)，令，則，此時(shí)既是偶函數(shù)又是奇函數(shù)；因此B正確，令，則，所以關(guān)于中心對(duì)稱，故C正確，由關(guān)于中心對(duì)稱可得，結(jié)合是偶函數(shù)，所以，所以的周期為2，令，則，故，進(jìn)而，而，由A選項(xiàng)知或，所以或，故D錯(cuò)誤.故選：BC練習(xí)16．（2023·河南開(kāi)封·統(tǒng)考三模）已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑸槠婧瘮?shù)，為偶函數(shù)，且，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)函數(shù)的對(duì)稱性得到函數(shù)的周期為，得到，根據(jù)條件，解出.【詳解】解：因?yàn)楹瘮?shù)的定義域?yàn)?，為奇函?shù)，所以，又因?yàn)闉榕己瘮?shù)，所以的對(duì)稱軸為，則為周期函數(shù)，周期為.則有，設(shè)，根據(jù)對(duì)稱性，且，所以，所以，即，因?yàn)?，所以，?故選：.練習(xí)17．（2023·安徽合肥·二模）若定義域?yàn)榈钠婧瘮?shù)滿足，且，則________．【答案】2【分析】利用賦值法及奇函數(shù)的定義，結(jié)合函數(shù)的周期性即可求解.【詳解】由，得，所以，即，于是有，所以，即.所以函數(shù)的周期為.因?yàn)槭嵌x域?yàn)榈钠婧瘮?shù)，所以，即.令，則，解得，所以.故答案為：.練習(xí)18．（2023·河南洛陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知是定義在上的奇函數(shù)，若為偶函數(shù)且，則（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根據(jù)給定的奇偶性，推理計(jì)算得，再結(jié)合已知值及周期性求解作答.【詳解】因?yàn)槭嵌x在R上的奇函數(shù)，則，且，又為偶函數(shù)，則，即，于是，則，即是以為周期的周期函數(shù)，由，得，，，，所以.故選：D練習(xí)19．（2023春·四川涼山·高二寧南中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)滿足，且函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】由函數(shù)是偶函數(shù)，可得函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，從而有，再結(jié)合可得函數(shù)的周期為4，然后利用周期和將化到上即可求解.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是偶函數(shù)，所以，所以，因?yàn)?，所以，所以，所以，所以函?shù)的周期為4，所以，因?yàn)椋?故選：C.練習(xí)20．（2023·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考二模）已知，都是定義在上的函數(shù)，對(duì)任意x，y滿足，且，則下列說(shuō)法正確的是（

）A． B．函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C． D．若，則【答案】D【分析】利用賦值法結(jié)合題目給定的條件可判斷AC，取可判斷B，對(duì)于D，通過(guò)觀察選項(xiàng)可以推斷很可能是周期函數(shù)，結(jié)合的特殊性及一些已經(jīng)證明的結(jié)論，想到令和時(shí)可構(gòu)建出兩個(gè)式子，兩式相加即可得出，進(jìn)一步得出是周期函數(shù)，從而可求的值.【詳解】解：對(duì)于A，令，代入已知等式得，得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，取，滿足及，因?yàn)?，所以的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，所以函數(shù)的圖象不關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，令，，代入已知等式得，可得，結(jié)合得，，再令，代入已知等式得，將，代入上式，得，所以函數(shù)為奇函數(shù).令，，代入已知等式，得，因?yàn)?，所以，又因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，分別令和，代入已知等式，得以下兩個(gè)等式：，，兩式相加易得，所以有，即：，有：，即：，所以為周期函數(shù)，且周期為3，因?yàn)?，所以，所以，，所以，所以，故D正確.故選：D.題型六 抽象函數(shù)求解不等式例11．（2022·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）已知定義在上的函數(shù)不恒等于零，同時(shí)滿足，且當(dāng)時(shí)，，那么當(dāng)時(shí)，下列結(jié)論不正確的為（

）A． B．C． D．【答案】ABC【分析】令可得，令可得．當(dāng)時(shí),,根據(jù)已知條件得,即，所以.【詳解】對(duì)任意,恒有，令可得，因?yàn)楫?dāng)時(shí),故，所以，令可得，所以，當(dāng)時(shí),,根據(jù)已知條件得,即，所以.故選：ABC.例12．（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知是定義在上的減函數(shù)，且對(duì)，，若，則的取值范圍為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用已知條件賦值求出，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性解不等式.【詳解】因?yàn)椋?，令，易得．因?yàn)槭嵌x在上的減函數(shù)，且，所以，解得．故選：A．練習(xí)21．（2022秋·重慶沙坪壩·高三重慶市鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┮阎瘮?shù)的圖象如圖所示，則不等式的解集為_(kāi)_____．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)圖象以及不等式的等價(jià)關(guān)系即可．【詳解】解：不等式等價(jià)為或，則，或，故不等式的解集是．故答案為．【點(diǎn)睛】本題主要考查不等式的求解，根據(jù)不等式的等價(jià)性結(jié)合圖象之間的關(guān)系是解決本題的關(guān)鍵．練習(xí)22．（2022秋·高三課時(shí)練習(xí)）已知函數(shù)的定義域?yàn)?，函?shù)的定義域?yàn)椋舨坏仁降慕饧癁椋瑒t不等式的解集為_(kāi)______