專題6.4 平面向量復(fù)數(shù)綜合練（解析版）備戰(zhàn)2024年新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)題型突破精練（新高考專用）

第第頁專題6.4平面向量，復(fù)數(shù)綜合練題號一二三四總分得分練習(xí)建議用時(shí)：120分鐘滿分：150分一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每個(gè)小題紿岀的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1．（2023·四川成都·成都七中?？寄M預(yù)測）若復(fù)數(shù)（，為虛數(shù)單位）是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．6 C．4 D．【答案】D【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則化簡，再根據(jù)復(fù)數(shù)的定義得到方程（不等式）組，解得即可.【詳解】因?yàn)椋驗(yàn)閺?fù)數(shù)為純虛數(shù)，所以，解得.故選：D2．（2023春·浙江·高三校聯(lián)考期中）已知向量，向量在方向上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)投影向量的定義即可求解.【詳解】由題意知，的單位向量為，所以向量在方向上的投影向量為，故選：D.3．（2023·湖北武漢·華中師大一附中?？寄M預(yù)測）如圖，在中，點(diǎn)在的延長線上，，如果，那么（

）

A． B．C． D．【答案】B【分析】用向量的線性運(yùn)算把向量分解成形式即可得答案.【詳解】∵，∴，故選：B．4．（2023·河南鄭州·?？寄M預(yù)測）已知復(fù)數(shù)滿足，則（

）A．1 B． C． D．【答案】D【分析】先利用題意算出，然后利用復(fù)數(shù)模的公式即可求解【詳解】由可得，所以故選：D5．（2023春·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在等腰直角中，斜邊，為線段BC上的動點(diǎn)，且，則的最小值為（

）A． B． C．4 D．6【答案】B【分析】設(shè)，然后可得，然后根據(jù)二次函數(shù)的知識可得答案.【詳解】因?yàn)樵诘妊苯侵?，斜邊，所以，因?yàn)?、，所以，設(shè)，則，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，故選：B6．（2023春·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱三中?？茧A段練習(xí)）一條河兩岸平行，河的寬度為，一艘船從河岸邊的地出發(fā)，向河對岸航行．已知船的速度的大小為，水流速度的大小為，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】分析可知，船的實(shí)際速度與水流速度垂直，作出圖形，求出的值，即可求得船所需的時(shí)間.【詳解】若使得船的航程最短，則船的實(shí)際速度與水流速度垂直，作，，以、為鄰邊作平行四邊形，如下圖所示：由題意可知，，且，，由勾股定理可得，因此，若船的航程最短，則行駛完全程需要的時(shí)間，則.故選：B.7．（2023·江蘇南京·?？级＃┮阎冗叺倪呴L為，為的中點(diǎn)，為線段上一點(diǎn)，，垂足為，當(dāng)時(shí)，（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，先分別表示出，，再由向量的數(shù)量積運(yùn)算得到，從而得到為的重心，即可得到結(jié)果.【詳解】設(shè)，則，，，，或（舍去），為的重心，，為的中點(diǎn)，，故選：B．8．（2023春·北京海淀·高三北大附中?？计谥校┰O(shè)，是平面向量，則“是“”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】根據(jù)向量數(shù)量積的定義及共線的性質(zhì)，結(jié)合充分必要性定義判斷條件間的推出關(guān)系，即得答案.【詳解】由，即，故，所以不一定成立；由（非零向量）時(shí)，若反向共線，則，若同向共線，則，所以也不一定成立；綜上，“是“”的既不充分也不必要條件.故選：D二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分9．（2023春·山西太原·高三統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)、，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．若，則C．若，則、中至少有個(gè)是D．若且，則【答案】ACD【分析】利用復(fù)數(shù)的模長公式可判斷A選項(xiàng)；利用虛數(shù)不能比較大小可判斷B選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的三角形式的代數(shù)運(yùn)算結(jié)合反證法可判斷C選項(xiàng)；利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合C選項(xiàng)可判斷D選項(xiàng).【詳解】設(shè)，，對于A選項(xiàng)，，所以，，因?yàn)?，則，所以，，A對；對于B選項(xiàng)，若、中至少有一個(gè)為虛數(shù)，則、不能比較大小，B錯(cuò)；對于C選項(xiàng)，若，假設(shè)、均不為零，則，，則存在、，使得，，則，因?yàn)?，則、不可能同時(shí)為零，所以，，故假設(shè)不成立，所以，、中至少有一個(gè)為零，C對；對于D選項(xiàng)，，則，因?yàn)椋瑒t，由C選項(xiàng)可知，，即，D對.故選：ACD.10．（2023春·山東棗莊·高三統(tǒng)考期中）石墨的二維層狀結(jié)構(gòu)存在如圖所示的環(huán)狀正六邊形，正六邊形為其中的一個(gè)六元環(huán)，設(shè)，P為正六邊形內(nèi)一點(diǎn)（包括邊界），則下列說法正確的是（

）A． B．C．在上的投影向量為 D．的取值范圍為【答案】BCD【分析】建系，利用向量坐標(biāo)的運(yùn)算判斷A、B、C，對于D：結(jié)合向量的投影分析運(yùn)算.【詳解】如圖，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，則，可得.對于A：因?yàn)?，則，故A錯(cuò)誤；對于B：，故B正確；對于C：因?yàn)?，則，所以在上的投影向量為，故C正確；對于D：分別過、作直線的垂線，垂足分別為、，則，可得在上的投影的取值范圍為，且，所以的取值范圍為，故D正確；故選：BCD.11．（2023春·河南信陽·高三校聯(lián)考期中）下列說法正確的有（

）A．若，，則B．已知向量，，則C．若且，則和在上的投影向量相等D．若復(fù)數(shù)，（），其中是虛數(shù)單位，則的最大值為【答案】CD【分析】取可判斷A；根據(jù)平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算直接計(jì)算可判斷B；根據(jù)投影向量公式直接求解可判斷C；利用復(fù)數(shù)的幾何意義可判斷D.【詳解】選項(xiàng)A，若，滿足，，但與不一定共線，故A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B，因?yàn)橄蛄?，，所以，故B錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，因?yàn)榍?，在上的投影向量為，在上的投影向量，所以．故C正確；選項(xiàng)D，由題意可得，對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓上，對應(yīng)的點(diǎn)為，如圖所示，則，故D正確．故選：CD．

12．（2023春·安徽六安·高三六安二中?？计谥校┮阎獜?fù)數(shù)滿足，，x，，，所對應(yīng)的向量分別為，，其中O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則（

）A．的共輒復(fù)數(shù)為 B．當(dāng)時(shí)，為純虛數(shù)C．若，則 D．若，則【答案】CD【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算化簡復(fù)數(shù)，進(jìn)而根據(jù)共軛復(fù)數(shù)以及虛部的定義可判斷A，B,根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義以及向量的垂直平行坐標(biāo)滿足的關(guān)系，即可判斷C，結(jié)合復(fù)數(shù)模長公式即可判斷D.【詳解】A選項(xiàng)：由于，所以的共軛復(fù)數(shù)為，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，,B選項(xiàng)：當(dāng)當(dāng)時(shí)，，若，則為為實(shí)數(shù)，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)：易知，，又，則，即，故選項(xiàng)C正確;D選項(xiàng)：由于，則，，，故，選項(xiàng)D正確．故選：CD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共計(jì)20分.13．（2023·遼寧沈陽·統(tǒng)考三模）已知，，若與的夾角是銳角，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是______．【答案】【分析】由，求得，再設(shè)，求得，進(jìn)而得到的取值范圍.【詳解】因?yàn)橄蛄?，，由，可得，解得，設(shè)，可得，即，解得，此時(shí)向量與共線，所以當(dāng)與的夾角是銳角時(shí)，則滿足或，所以的取值范圍是.故答案為：.14．（2023春·陜西咸陽·高三統(tǒng)考期中）已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則_________.【答案】【分析】根據(jù)實(shí)系數(shù)方程虛根成對原理可得復(fù)數(shù)也是方程的一個(gè)根，利用韋達(dá)定理及復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運(yùn)算法則求出、，即可求出其模.【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以復(fù)數(shù)也是關(guān)于的方程的一個(gè)根，所以，所以、，所以.故答案為：15．（2023春·安徽六安·高三六安市裕安區(qū)新安中學(xué)校考期中）已知O是平面上一定點(diǎn)，A、B、C是平面上不共線的三個(gè)點(diǎn)，動點(diǎn)P滿足，，則P的軌跡一定經(jīng)過的___________．(從“重心”，“外心”，“內(nèi)心”，“垂心”中選擇一個(gè)填寫）【答案】外心【分析】為中點(diǎn)，連接，計(jì)算，，得到，得到答案.【詳解】如圖所示：為中點(diǎn)，連接，，，故，即，故的軌跡一定經(jīng)過的外心.故答案為：外心16．（2022春·天津和平·高三耀華中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知，，，則點(diǎn)A、B、C、D中一定共線的三點(diǎn)是______.【答案】A、B、D【分析】根據(jù)已知向量，結(jié)合向量加法法則、共線基本定理判斷向量是否共線，即可判斷點(diǎn)共線.【詳解】由不存在實(shí)數(shù)使成立，故A，C，D三點(diǎn)不共線，同理A、B、C以及B、C、D均不共線，又，故與共線，故三點(diǎn)A、B、D共線.故答案為：A、B、D四、解答題：本題共6小題，共計(jì)70分．解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17．（2023·高三單元測試）如圖，已知正方形ABCD的邊長為2，過中心O的直線l與兩邊AB，CD分別交于點(diǎn)M，N．(1)若Q是BC的中點(diǎn)，求的取值范圍；(2)若P是平面上一點(diǎn)，且滿足，求的最小值．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）由向量的加法和數(shù)量積運(yùn)算將轉(zhuǎn)化為，再由的值和的范圍可求得結(jié)果.（2）令可得點(diǎn)T在BC上，再將轉(zhuǎn)化為，由、的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1）因?yàn)橹本€l過中心O且與兩邊AB、CD分別交于點(diǎn)M、N．所以O(shè)為MN的中點(diǎn)，所以，所以．因?yàn)镼是BC的中點(diǎn)，所以，，所以，即的取值范圍為；（2）令，則，∴，即：∴∴點(diǎn)T在BC上，又因?yàn)镺為MN的中點(diǎn)，所以，從而，，因?yàn)?，所以，即的最小值為?8．（2023春·吉林·高三東北師大附中?？计谥校┤鐖D，向量，為單位向量，，點(diǎn)在內(nèi)部，，，.(1)當(dāng)時(shí)，求，的值；(2)求的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）以為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，其中，根據(jù)，得到，再由，得到，聯(lián)立方程組求得，結(jié)合，列出方程，即可求解；（2）根據(jù)題意得到，其中，結(jié)合，求得，得到，利用三角函數(shù)的性質(zhì)，即可求解.【詳解】（1）解：以為原點(diǎn)，以所在的直線為軸，以過點(diǎn)垂直軸的直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，因?yàn)橄蛄?，為單位向量且，可得，設(shè)，其中，可得，又因?yàn)?，可得，即，由，可得，?lián)立方程組，解得，又由，可得，可得.（2）解：因?yàn)榍?，可得，所以，其中，又因?yàn)?，可得，可得，解得，所以，因?yàn)?，可得，?dāng)時(shí)，即，此時(shí)，可得取得最大值，又由，所以的取值范圍為.19．（2023春·貴州·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）若定義一種運(yùn)算：.已知為復(fù)數(shù)，且.(1)求復(fù)數(shù)；(2)設(shè)為實(shí)數(shù)，若為純虛數(shù)，將表示為的函數(shù)并求該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間.【答案】(1)；(2)，.【分析】（1）根據(jù)新定義運(yùn)算可得，設(shè)，根據(jù)共軛復(fù)數(shù)的概念及復(fù)數(shù)相等即可求解；（2）根據(jù)新定義運(yùn)算可得及純虛數(shù)的概念可得，再根據(jù)正弦型的圖象與性質(zhì)即可求解.【詳解】（1），∴，設(shè)，則，，，.（2），若為純虛數(shù)，則，，令，解得，故函數(shù)的增區(qū)間為.20．（2023春·湖南·高三桃江縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）已知復(fù)數(shù)，其中為實(shí)數(shù)且．(1)若，求；(2)若為純虛數(shù)，且，求的取值范圍．【答案】(1)或(2)【分析】（1）根據(jù)共軛復(fù)數(shù)定義、復(fù)數(shù)運(yùn)算法則和復(fù)數(shù)相等的條件可構(gòu)造方程組求得結(jié)果；（2）根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算法則化簡得到，由純虛數(shù)定義可構(gòu)造方程求得，由復(fù)數(shù)模長的范圍可求得結(jié)果.【詳解】（1），，，，解得：或，或.（2）為純虛數(shù)，，又，，則，即，，，解得：，即的取值范圍為.21．已知平面向量滿足，．(1)若不共線，且與共線，求的值；(2)若的最小值為，求向量的夾角大?。敬鸢浮?1)(2)或【分析】（1）由共線向量定理即可求解；（2）由向量的模、夾角、數(shù)量積之間的關(guān)系即可求解.【詳解】（1）因?yàn)椴还簿€，且與共線，所以存在實(shí)數(shù)，使得，即，因此，解