專題20 拋物線中向量問題(解析版)2024年新高考數(shù)學(xué)之圓錐曲線專項重難點突破練（新高考專用）

第第頁專題20拋物線中向量問題限時：120分鐘滿分：150分一、單選題：本大題共8小題，每個小題5分，共40分.在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求的.1．已知的頂點都在拋物線上，且的重心為拋物線的焦點F，則（

）A．3 B．6 C．9 D．12【解析】由題意得,，設(shè)，，，點是的重心，，，根據(jù)拋物線的定義可得.故選：B.2．拋物線的焦點為，過點的直線交拋物線于兩點，點為平面上任意一點，為坐標(biāo)原點，則（

）A． B． C．3 D．5【解析】由題意易知直線的斜率存在，設(shè)，，因為拋物線的焦點為，所以不妨設(shè)直線的方程為，聯(lián)立，消去，得，則，故，，則，所以.故選：B.3．已知直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點，在軸的同側(cè)，則（

）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】由已知拋物線的焦點的坐標(biāo)為，直線的方程為，聯(lián)立，消得，設(shè)，則，所以，圓的圓心坐標(biāo)為，半徑為1，由已知可得，所以

故選：A.4．已知拋物線的焦點為F，C的準(zhǔn)線與對稱軸交于D，過D的直線l與C交于A，B兩點，且，若FB為的平分線，則等于（

）A． B．8 C．10 D．【解析】，，所以．過A，B分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為，，則．因為FB為的平分線．則，又，∴，又，∴．∴．故選：D．5．已知拋物線的焦點為，動點在上，圓的半徑為1，過點的直線與圓相切于點，則的最小值為（

）A．2 B．3 C．4 D．5【解析】因為拋物線，所以焦點坐標(biāo)為，如下圖所示：

連接，過作垂直準(zhǔn)線于，則在直角中，，所以由拋物線的定義得：，則由圖可得的最小值即拋物線頂點到準(zhǔn)線的距離，即，所以.故選：B6．在平面直角坐標(biāo)系中，若拋物線的準(zhǔn)線與圓相切于點，直線與拋物線切于點，點在圓上，則的取值范圍為（

）A． B．C． D．【解析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，

圓的圓心為，半徑為，直線與圓相切，則，因為，解得，所以，拋物線的方程為，故拋物線的準(zhǔn)線與圓相切于點，若直線與軸重合，則直線與拋物線不相切，不合乎題意，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立可得，則，解得，不妨設(shè)點在第一象限，則，則有，解得，此時，即點，所以，，因為點在圓上，設(shè)點，則，所以，.故選：C.7．已知過拋物線的焦點F的直線l交拋物線于A，B兩點，若D為線段AB的中點，連接OD并延長交拋物線C于點M，若，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【解析】由題意知點，且直線的斜率存在且不為，設(shè)直線的方程為：，設(shè)點的坐標(biāo)分別為，聯(lián)立，則，聯(lián)立，則直線的方程為：，即，聯(lián)立，則，，，由三角形相似可知，，,.故選：D8．已知拋物線，直線交拋物線于兩點，是的中點，過作軸的垂線交拋物線于點，且，若，則k為（

）A． B． C． D．2【解析】設(shè)，則，，由，，，，①即，由得，當(dāng)，即時，，代入①得：，即，解得或（舍去），故選：B二、多選題：本大題共4小題，每個小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，只有一項或者多項是符合題目要求的.9．設(shè)F為拋物線C：的焦點，過F且傾斜角為30°的直線交C于A，B兩點，則（

）A． B．C． D．【解析】拋物線C的焦點為，所以直線AB的方程為，將代入，整理得，設(shè)，由根與系數(shù)的關(guān)系得，故D錯誤；，故C錯誤；，故B正確；由拋物線的定義可得，故A正確.故選：AB．10．已知拋物線C的方程為，過C焦點F的直線與C交于M，N兩點，直線MO與C的準(zhǔn)線交于Q點（其中O為坐標(biāo)原點），P為C準(zhǔn)線上的一個動點，下列選項正確的是（

）A．當(dāng)直線MN垂直x軸時，弦MN的長度最短B．為定值C．當(dāng)PM與C的準(zhǔn)線垂直時，必有D．至少存在兩個點P，使得【解析】如圖所示，由拋物線，可得焦點，準(zhǔn)線方程為，設(shè)，直線的方程為，聯(lián)立方程組，整理得，可得，，對于A中，由，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，此時垂直于軸，所以A正確；對于B中，由，所以B正確；對于C中，直線的方程為，令，可得，所以，所以，所以C錯誤；對于D中，由拋物線的定義知，直角梯形的中位線，即以為直徑的圓與拋物線的準(zhǔn)線相切于點，所以滿足的點恰好有一個，所以D錯誤.故選：AB.

11．已知點A是拋物線上的動點，為坐標(biāo)原點，為焦點，，且三點順時針排列，則（

）A．當(dāng)點在軸上時，B．當(dāng)點在軸上時，點A的坐標(biāo)為C．當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，D．若，則點A與點關(guān)于軸對稱【解析】因為，所以為等邊三角形，對于A，當(dāng)點在軸上時，又三點順時針排列，所以大致圖像如圖，

此時所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故A正確；對于B，當(dāng)點在軸上時，又三點順時針排列，所以此時A點在軸下方，且所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，當(dāng)時，，即A點坐標(biāo)為，故B正確；對于C，當(dāng)點A與點關(guān)于軸對稱時，又三點順時針排列，所以此時A點在軸上方，且所在直線方程為，與聯(lián)立，消去得，解得或，所以，故C正確；對于D，當(dāng)時，得A點橫坐標(biāo)為，此時A點可能在軸上方，也可能在軸下方.因為三點順時針排列，所以當(dāng)A點在軸上方時，可得點A與點關(guān)于軸對稱；當(dāng)A點在軸下方時，可得此時點在軸上，點A與點不關(guān)于軸對稱；故D錯誤；故選：ABC.12．拋物線的弦與過弦的端點的兩條切線所圍成的三角形稱為阿基米德三角形.設(shè)拋物線，弦過焦點為其阿基米德三角形，則下列結(jié)論一定成立的是（

）A．存在點，使得B．C．對于任意的點，必有向量與向量共線D．面積的最小值為【解析】

設(shè)，，設(shè)直線，聯(lián)立，化為，而，所以.設(shè)過點的切線為，聯(lián)立，整理可得，由，可得.同理可得過點的切線斜率為.對于A，，，，故A錯；對于B，可得點A，B處的切線方程分別為：，可得,，又因為直線AB的斜率為，，又由A選項可知，所以，所以，，故B正確；對于C，設(shè)AB的中點為，則由軸，而向量，向量與向量共線，故C正確；對于D，如圖，設(shè)準(zhǔn)線與軸的交點為，面積的，可知當(dāng)最短時（最短為），也最短，最短為，所以面積的最小值為，故D正確.故選：BCD.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在答題卡中的橫線上.13．已知拋物線的焦點為F，過F的直線與拋物線交于A，B兩點，且，O為坐標(biāo)原點，則的面積為.【解析】由已知得，設(shè)直線的方程為，代入整理得，設(shè)，，故①，②，又，故③，由①②③解得，此時，，點O到直線的距離為，故的面積為.14．已知F是拋物線的焦點，M是C上一點，F(xiàn)M的延長線交y軸于點N，若，則【解析】易知焦點F的坐標(biāo)為，準(zhǔn)線方程為，如圖，作于，于，，可知線段BM平行于AF和DN，因為，，，所以，又由定義知，所以.

15．已知拋物線C：的焦點為F，準(zhǔn)線為，經(jīng)過點F的直線與拋物線C相交A，B兩點，與x軸相交于點M，若，，則.【解析】

由題意易知，可設(shè)，由，可得Q為AM中點，則，又由可得:，即，由題意可知直線AB、BM的斜率存在，故，聯(lián)立拋物線與直線AB可得所以有由拋物線定義得，故答案為：416．已知拋物線與圓，過拋物線的焦點作斜率為的直線與拋物線交于兩點，與圓交于兩點（在軸的同一側(cè)），若，則的值是．【解析】拋物線的焦點，準(zhǔn)線方程為，于是直線：，顯然，由消去y得：，設(shè)，則，又圓的圓心為，半徑為1，由，得，即，于是，整理得，又，解得，則，解得，所以的值是8.四、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．17．已知是拋物線上一點，且M到C的焦點的距離為5.

(1)求拋物線C的方程及點M的坐標(biāo)；(2)如圖所示，過點的直線l與C交于A，B兩點，與y軸交于點Q，設(shè)，，求證：是定值.【解析】（1）由拋物線的定義，得，解得p＝2.所以拋物線C的方程為，M的坐標(biāo)為或.（2）由題意知直線l的斜率存在且不為0，設(shè)l的方程為x＝ty＋1（t≠0），則.將x＝ty＋1代入得.設(shè)，，則，.由，得；由，得.所以，故是定值1.18．已知，為橢圓C的左右焦點，且拋物線的焦點為，M為橢圓的上頂點，的面積為.(1)求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)過點的直線l與橢圓C交于A，B兩點，О為坐標(biāo)原點，且，若橢圓C上存在一點E，使得四邊形OAED為平行四邊形，求的取值范圍.【解析】（1）拋物線的焦點為，設(shè)橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，則，解得，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（2）

顯然直線的斜率存在，設(shè)直線，設(shè),，,，則,，四邊形為平行四邊形，，,，點，，均在橢圓上，，，，，，．，由，消去得，，顯然，，，，，,．19．已知橢圓：的離心率為，且其中一個焦點與拋物線的焦點重合．(1)求橢圓的方程；(2)若直線：與橢圓交于不同的A，B兩點，且滿足（為坐標(biāo)原點），求弦長的值．【解析】（1）由得焦點，則橢圓的焦點為，因為橢圓離心率為，所以，解得，則，所以橢圓的方程為．（2）設(shè)，由得，，易得，則，，，因為，所以，解得，所以．

20．已知拋物線，點在拋物線上，直線交于，兩點，是線段的中點，過作軸的垂線交于點．(1)求點到拋物線焦點的距離；(2)是否存在實數(shù)使，若存在，求的值；若不存在，說明理由．【解析】（1）將點代入拋物線方程，則，拋物線焦點，則點到拋物線焦點的距離等于點到拋物線準(zhǔn)線的距離．（2）存在，證明如下：如圖，設(shè)，．

把代入得，，由根與系數(shù)的關(guān)系得，．，點的坐標(biāo)為．假設(shè)存在實數(shù)，使，則．又是的中點，．由（1）知，．軸，，又．，兩邊同時平方得：，解得，即存在，使．21．已知拋物線的焦點為為上一動點，為圓上一動點，的最小值為.(1)求的方程；(2)直線交于兩點，交軸的正半軸于點，點與關(guān)于原點對稱，且，求證為定值.【解析】（1）由題得，當(dāng)點，四點共線且點在中間時，取得最小值，

最小值為，又，解得，所以的方程為.（2）當(dāng)直線的斜率為0時，顯然不適合題意；當(dāng)直線的斜率不為0時，設(shè)直線的方程為，聯(lián)立得，