浙江省衢溫51聯(lián)盟2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試題

2023學(xué)年第一學(xué)期“衢溫5+1”聯(lián)盟期中聯(lián)考高一年級數(shù)學(xué)學(xué)科試題考生須知：1．本卷共4頁滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫班級、姓名、考場號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字.3．所有答案必須寫在答題紙上，寫在試卷上無效.4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、單項(xiàng)選擇題（本大題共8小題，共40分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)符合題目要求．）1.設(shè)，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用交集定義即可求得.【詳解】，則.故選：B2.命題“”的否定是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意，由特稱命題的否定是全稱命題，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)槊}“”，則其否定為.故選：C3.函數(shù)的定義域是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】先列出關(guān)于x的不等式組，解之即可求得函數(shù)的定義域.【詳解】由，可得，故且則函數(shù)的定義域是故選：D4.已知命題，則是的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】D【解析】【分析】根據(jù)題意，分別驗(yàn)證充分性以及必要性，即可得到結(jié)果.【詳解】由推不出，比如，故充分性不滿足；由推不出，比如，故必要性不滿足；所以是的既不充分也不必要條件.故選：D5.已知函數(shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則實(shí)數(shù)（）A.3 B. C.1 D.3或【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由冪函數(shù)的定義以及性質(zhì)列出方程，不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是冪函數(shù)，且在上遞增，則有，解得故選：A6.中文“函數(shù)（function）”一詞，最早是由近代數(shù)學(xué)家李善蘭翻譯出來的，之所以這么翻譯，他給出的原因是“凡此變數(shù)中函彼變數(shù)者，則此為彼之函數(shù)”．已知集，給出下列四個(gè)對應(yīng)法則，請由函數(shù)定義判斷，其中能構(gòu)成從到的函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】ABD選項(xiàng)，均有對應(yīng)的函數(shù)值不在中，C選項(xiàng)中元素對應(yīng)的函數(shù)值均在中.【詳解】A選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而，故A錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而，故B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，故滿足要求，C正確；D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，而，D錯(cuò)誤.故選：C7.設(shè)，若不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】由一元二次不等式解集得到參數(shù)關(guān)系，進(jìn)而有，再比較各函數(shù)值的大小.【詳解】由題設(shè)，則，故，所以，，，且，所以.故選：D8.已知函數(shù)，用表示中的較大者，記為，若的最小值為1，則實(shí)數(shù)的值為（）A.0 B. C. D.【答案】B【解析】【分析】畫出的圖象，分，和三種情況，畫出的圖象，數(shù)形結(jié)合得到取得最小值的點(diǎn)，進(jìn)而求出該點(diǎn)坐標(biāo)，得到答案.【詳解】令，定義域?yàn)?，令，得，且在上單調(diào)遞增，畫出函數(shù)圖象如下：則的圖象如下：若，則，畫出的圖象如下，顯然最小值為2，不合題意，若，則畫出的圖象如下：顯然函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，令，解得，正值舍去，令，解得，若，則畫出的圖象如下：顯然函數(shù)在點(diǎn)取得最小值，令，解得，負(fù)值舍去，令，解得，綜上，.故選：B二、多項(xiàng)選擇題（本大題共4小題，共20分，在每個(gè)小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多個(gè)選項(xiàng)符合題目要求，全部選對得5分，部分選對的得2分，有選錯(cuò)的得0分．）9.下列函數(shù)是奇函數(shù)且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義即可排除CD，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性即可求解AB.【詳解】由于函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且故為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故A正確，由于函數(shù)的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且故為奇函數(shù)，且在區(qū)間上是單調(diào)遞減函數(shù)，故B確，的定義域?yàn)?定義域不關(guān)于原點(diǎn)對稱，故為非奇非偶函數(shù)，C錯(cuò)誤，的定義域?yàn)?，關(guān)于原點(diǎn)對稱，且故為偶函數(shù)，不符合要求，D錯(cuò)誤，故選：AB10.下列說法正確的是（）A.若，則 B.若，則C.若，則 D.若，則【答案】ACD【解析】【詳解】選項(xiàng)A：由，可得.判斷正確；選項(xiàng)B：令，滿足，但是則不成立.判斷錯(cuò)誤；選項(xiàng)C：由，可得，則不等式兩邊均除以可得.判斷正確；選項(xiàng)D：又，則，則，則.判斷正確.故選：ACD11.下列四個(gè)命題是真命題的是（）A.若函數(shù)的定義域?yàn)?，則函數(shù)的定義域?yàn)锽.函數(shù)的值域?yàn)镃.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍是D.已知在上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是【答案】AD【解析】【分析】A選項(xiàng)，由題意得到不等式，求出抽象函數(shù)定義域；B選項(xiàng)，換元法求解函數(shù)值域；C選項(xiàng)，根據(jù)題意能取得任何非負(fù)數(shù)，分和，根據(jù)根判別式得到不等式，求出答案；D選項(xiàng)，根據(jù)分段函數(shù)單調(diào)遞增，需滿足在每一段上均單調(diào)遞增，且左端點(diǎn)函數(shù)值小于等于右端點(diǎn)函數(shù)值，得到不等式，求出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】A選項(xiàng)，令，解得，故函數(shù)的定義域?yàn)?，A正確；B選項(xiàng)，令，則，故，故函數(shù)的值域?yàn)?，B錯(cuò)誤；C選項(xiàng)，若函數(shù)的值域?yàn)椋瑒t能取得任何非負(fù)數(shù)，若，則，能夠取到任意非負(fù)數(shù)，滿足要求，若，則要，解得，綜上，的取值范圍是，C錯(cuò)誤；D選項(xiàng)，已知在上是增函數(shù)，要滿足，解得，則實(shí)數(shù)的取值范圍是，D正確.故選：AD12.已知函數(shù)，則以下結(jié)論正確的是（）．A.函數(shù)為增函數(shù)B.C.若在上恒成立，則的最小值為8D.若關(guān)于的方程有三個(gè)不同的實(shí)根，則【答案】BCD【解析】【分析】根據(jù)解析式可整理得到當(dāng)，時(shí)，；根據(jù)可知A錯(cuò)誤；根據(jù)且可知B正確；由恒成立可確定C正確；由方程根的個(gè)數(shù)可確定與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)，根據(jù)在每一段上的值域可分析得到不等關(guān)系，解不等式可知D正確.【詳解】當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；依次類推，當(dāng)，時(shí)，；對于A，，，不符合增函數(shù)定義，A錯(cuò)誤；對于B，，，對于，不等式恒成立，B正確；對于C，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，因?yàn)?，則，在上恒成立，的最小值為，C正確；對于D，由得：，當(dāng)時(shí)，則，方程無解，不合題意；當(dāng)時(shí)，則或；與有且僅有三個(gè)不同交點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；，解得：；D正確.故選：BCD.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查函數(shù)中的類周期問題的求解，解題基本思路是根據(jù)解析式的變化規(guī)律確定函數(shù)解析式的形式及每一段解析式對應(yīng)的值域，根據(jù)每個(gè)選項(xiàng)中的考點(diǎn)：單調(diào)性、最值、恒成立及方程根的個(gè)數(shù)問題，結(jié)合解析式和值域確定結(jié)果.非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，每題5分，共20分．）13.計(jì)算：______．【答案】12【解析】【分析】根據(jù)題意，由指數(shù)冪的運(yùn)算，即可得到結(jié)果.【詳解】原式.故答案為：14.已知函數(shù)，則__．【答案】4【解析】【分析】利用分段函數(shù)解析式即可求得的值.【詳解】由，可得，則故答案為：415.已知，若，則的最小值為______．【答案】【解析】【分析】得到，利用基本不等式“1”的妙用求出最小值.【詳解】，，故，故，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立.故答案為：16.定義在實(shí)數(shù)集R上的偶函數(shù)滿足，則___．【答案】【解析】【分析】構(gòu)造新函數(shù)，求得的周期為4，依據(jù)題給條件求得的值，進(jìn)而求得的值.【詳解】由，可得，則，即令，則，即，則則的周期為4，則，由為偶函數(shù)，可得為偶函數(shù)，又由，可得，則，則，又的周期為4，則，則則，解之得，，又，則故.故答案為：【點(diǎn)睛】思維點(diǎn)睛：抽象函數(shù)的函數(shù)值的計(jì)算，往往借助于函數(shù)的奇偶性、周期性等來簡化計(jì)算，而后者的探究需對原有計(jì)算關(guān)系變形化簡.四、解答題（本大題共6小題，共70分，解答應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟．）17.已知集合．（1）當(dāng)時(shí)，求；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）或；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，由集合的運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，分與討論，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】，又，或，或.【小問2詳解】當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，．綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍為．18.已知函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)．（1）求函數(shù)的解析式；（2）判斷函數(shù)在上的單調(diào)性并用定義證明；【答案】（1）；（2）函數(shù)在上為減函數(shù)，證明見解析【解析】【分析】（1）代入兩點(diǎn)坐標(biāo)，得到方程組，求出，得到解析式；（2）利用定義法證明函數(shù)單調(diào)性步驟為取值，作差，判號(hào)，下結(jié)論.【小問1詳解】∵函數(shù)過點(diǎn)，∴，解得，.【小問2詳解】函數(shù)在上為減函數(shù)，理由如下：設(shè)任意，且，則．，，，即，函數(shù)在上為減函數(shù)．19.已知函數(shù)（1）若的解集為，求的值；（2）若，求不等式的解集．【答案】（1）或；（2）答案見解析.【解析】【分析】（1）由一元二次不等式的解集，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求參數(shù)值即可；（2）由題設(shè)得，討論、、求對應(yīng)解集.【小問1詳解】的解集為．方程的兩根為和，且，，解得或.【小問2詳解】且不等式，即，即，①當(dāng)時(shí)，，解得，解集為；②當(dāng)時(shí)，，解得，解集；③當(dāng)時(shí)，原不等式即，解得，解集為．綜上，當(dāng)時(shí)，解集為；當(dāng)時(shí)，，解集為；當(dāng)時(shí)，解集為.20.已知定義在上的函數(shù)是奇函數(shù)．（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對任意的，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)定義在上的奇函數(shù)函數(shù)，則有即可解題；（2）由（1）知，易知在上單調(diào)遞減，根據(jù)奇偶性和單調(diào)性，可將條件轉(zhuǎn)化為在上恒成立，再求的取值范圍即可.【小問1詳解】因?yàn)槭嵌x在上的奇函數(shù)，所以，即，經(jīng)檢驗(yàn)滿足題意，所以.【小問2詳解】由（1）知，易知在上單調(diào)遞減，由，可得，因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，所以原不等式等價(jià)于，又在上單調(diào)遞減，所以，所以在上恒成立，當(dāng)時(shí)，恒成立，符合題意；當(dāng)時(shí)，有，解得，綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.21.為宣傳2023年杭州亞運(yùn)會(huì)，某公益廣告公司擬在一張矩形海報(bào)紙（記為矩形，如圖）上設(shè)計(jì)三個(gè)等高的宣傳欄（欄面分別為一個(gè)等腰梯形和兩個(gè)全等的直角三角形且），宣傳欄（圖中陰影部分）的面積之和為．為了美觀，要求海報(bào)上所有水平方向和豎直方向的留空寬度均為（宣傳欄中相鄰的三角形和梯形間在水平方向上的留空寬度也都是10，設(shè)．（1）當(dāng)時(shí)，求海報(bào)紙（矩形）的周長；（2）為節(jié)約成本，應(yīng)如何選擇海報(bào)紙的尺寸，可使用紙量最少（即矩形的面積最?。?？【答案】（1）；（2）選擇矩形的長寬分別為的海報(bào)紙，可使用紙量最少【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，列出面積公式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果；（2）根據(jù)題意，列出面積公式，結(jié)合基本不等式，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.【小問1詳解】設(shè)陰影部分直角三角形的高為，陰影部分的面積，又，由圖可知：，海報(bào)紙的周長為.【小問2詳解】由（1）知，，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)，故選擇矩形的長寬分別為的海報(bào)紙，可使用紙量最少.22.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時(shí)，求的單調(diào)區(qū)間；（2）若對任意的，且，都有成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為（2）【解析】【分析】（1）先化簡的解析式，依據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性即可求得的單調(diào)區(qū)間；（2）構(gòu)造新函數(shù)，將題給條件轉(zhuǎn)化為在上單調(diào)遞增，按a分類討論即可求得實(shí)數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】當(dāng)時(shí)，則又圖像開口向上，對稱軸，單調(diào)遞增，的單調(diào)遞增區(qū)間為和，單調(diào)遞減區(qū)間為【小