山東省棗莊市滕州市2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期11月期中質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)試題【含答案解析】

2023～2024學(xué)年度第一學(xué)期期中質(zhì)量檢測(cè)高二數(shù)學(xué)2023.11注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、考生號(hào)等填寫(xiě)在答題卡和試卷指定位置上.2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào).回答非選擇題時(shí)，將答案寫(xiě)在答題卡上.寫(xiě)在本試卷上無(wú)效.3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.一、單項(xiàng)選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.直線的傾斜角為（）A. B. C. D.不存在【答案】C【解析】【分析】根據(jù)直線的特征結(jié)合傾斜角的定義分析求解.【詳解】因?yàn)橹本€與x軸垂直，所以直線的傾斜角為.故選：C.2.在棱柱中，（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)向量的加法運(yùn)算法則直接計(jì)算.【詳解】，故選：B.3.已知是空間的一個(gè)基底，則可以與向量，構(gòu)成空間另一個(gè)基底的向量是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量基底的定義依次判斷各選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，不存在使得成立，故能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；對(duì)于B選項(xiàng)，，故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；對(duì)于C選項(xiàng)，，故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底；對(duì)于D選項(xiàng)，，故不能構(gòu)成空間的另一個(gè)基底.故選：A.4.若，，三點(diǎn)共線，則（）A.4 B. C.1 D.0【答案】A【解析】【分析】根據(jù)空間向量平行坐標(biāo)關(guān)系計(jì)算求解即可.【詳解】因?yàn)椋?，所以，解得．故．故選：A.5.已知直線與直線平行，則它們之間的距離為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】將直線化為，然后根據(jù)兩條平行直線之間的距離公式，計(jì)算即可得出答案.【詳解】將直線化為，所以，這兩條平行直線之間的距離.故選：C.6.已知圓C：，直線l的橫縱截距相等且與圓C相切﹐則滿(mǎn)足條件的直線l有（）條.A.1 B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)圓的方程確定圓心和半徑，討論直線是否為0，結(jié)合相切關(guān)系及點(diǎn)線距離公式分別求出對(duì)應(yīng)切線方程即可.詳解】由圓，則圓心，半徑，若截距為0，設(shè)，則，此時(shí)；若截距不為0，設(shè)，則，此時(shí)；綜上，共有3條件滿(mǎn)足條件的直線l.故選：C7.圓上到直線距離為的點(diǎn)共有A.個(gè) B.個(gè) C.個(gè) D.個(gè)【答案】C【解析】【分析】求出圓的圓心和半徑，比較圓心到直線的距離和圓的半徑的關(guān)系即可得解.【詳解】圓可變?yōu)椋瑘A心為，半徑為，圓心到直線的距離，圓上到直線的距離為的點(diǎn)共有個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查了圓與直線的位置關(guān)系，考查了學(xué)生合理轉(zhuǎn)化的能力，屬于基礎(chǔ)題.8.在棱長(zhǎng)為2的正方體中，點(diǎn)平面，點(diǎn)F是線段的中點(diǎn)，若，則面積的最小值為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】首先建立平面直角坐標(biāo)系，利用，找到點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，利用垂直關(guān)系，表示面積，再求最值.【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，，，，，，，，，得，平面，，，當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查空間向量坐標(biāo)的應(yīng)用，本題的關(guān)鍵是找到點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系，再利用，表示的面積.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.下列命題中，正確的是（）A.若非零向量，，滿(mǎn)足，，則有B.任意向量，，滿(mǎn)足C.若，，是空間的一組基底，且，則四點(diǎn)共面D.對(duì)于任意向量，必有【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)空間向量的平行和垂直關(guān)系判斷A；根據(jù)空間向量的數(shù)量積運(yùn)算判斷B；根據(jù)空間向量基本定理，及四點(diǎn)共面問(wèn)題判斷C；向量的三解不等式判斷D．【詳解】對(duì)于A：若非零向量，，滿(mǎn)足，，則，不一定平行，如在長(zhǎng)方體中，令，，，滿(mǎn)足，，顯然，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B：∵，不一定共線，則不一定成立，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：若、、是空間的一組基底，且，則，即，則四點(diǎn)共面，故C正確；對(duì)于D：對(duì)于任意向量，，必有，當(dāng)且僅當(dāng)與同向時(shí)取等號(hào)，故D正確；故選：CD10.下列說(shuō)法正確的是（）A.截距相等的直線都可以用方程表示B.方程能表示平行軸的直線C.經(jīng)過(guò)點(diǎn)，傾斜角為直線方程為D.經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)的直線方程【答案】BD【解析】【分析】對(duì)于A，根據(jù)截距式方程的適用條件，可得答案；對(duì)于B，平行于軸的直線，斜率不存在，令，可得答案；對(duì)于C，根據(jù)傾斜角與斜率的關(guān)系以及點(diǎn)斜式方程的使用條件，可得答案；對(duì)于D，根據(jù)兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)是否相等進(jìn)行討論，可得答案.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)直線的截距不為零時(shí)，可用方程，當(dāng)截距都是零時(shí)，不可用，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，方程為，此時(shí)所表示的直線與軸平行，故B正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，不存在，此時(shí)直線方程為，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，由斜率公式，可得，可整理為；當(dāng)時(shí)，方程可整理為；故D正確.故選：BD.11.已知點(diǎn)在圓上，點(diǎn)，，則（）A.點(diǎn)到直線的距離最大值為B.滿(mǎn)足的點(diǎn)有3個(gè)C.過(guò)點(diǎn)作圓的兩切線，切點(diǎn)分別為?，則直線的方程為D.的最小值是【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)A，求出直線AB的方程，算出圓心到該直線的距離，進(jìn)而通過(guò)圓的性質(zhì)判斷答案；對(duì)B，設(shè)點(diǎn)，根據(jù)得到點(diǎn)P的軌跡方程，進(jìn)而判斷該軌跡與圓的交點(diǎn)個(gè)數(shù)即可；對(duì)C，設(shè)，進(jìn)而得到切線方程MB，NB，再根據(jù)點(diǎn)B在兩條切線上求得答案；對(duì)D，設(shè)，設(shè)存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)在圓上任意移動(dòng)時(shí)均有，進(jìn)而求出點(diǎn)P的軌跡方程，然后結(jié)合點(diǎn)P在圓O上求得答案．【詳解】對(duì)A，，則圓心到直線的距離，所以點(diǎn)P到該直線距離的最大值為．A正確；對(duì)B，設(shè)點(diǎn)，則，且，由題意，兩圓的圓心距為，半徑和與半徑差分別為，于是，即兩圓相交，滿(mǎn)足這樣條件的點(diǎn)P有2個(gè)．B錯(cuò)誤；對(duì)C，設(shè)，則直線MB，NB分別為，因?yàn)辄c(diǎn)B在兩條直線上，所以，于是都滿(mǎn)足直線方程，即直線MN的方程為．C正確；對(duì)D，即求的最小值，設(shè)存在定點(diǎn)，使得點(diǎn)在圓上任意移動(dòng)時(shí)均有，設(shè)，則有，化簡(jiǎn)得，∵，則有，即，∴，則，所以，所以D正確．故選：ACD．12.在正方體中，動(dòng)點(diǎn)滿(mǎn)足，其中，，且，則（

）A.對(duì)于任意的，且，都有平面平面B.當(dāng)時(shí)，三棱錐的體積為定值C.當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)，使得D.當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得平面【答案】ABD【解析】【分析】設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、所在直線分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法可判斷各選項(xiàng)的正誤．【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為，以點(diǎn)A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB、AD、所在直線分別為x、y、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)平面的法向量為，，取，可得1)，，因?yàn)椋O(shè)平面ACP的法向量為則，取，可得，因?yàn)?，所以，所以，?duì)于任意的且，都有平面ACP⊥平面，故A對(duì)；對(duì)于B選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，設(shè)平面的法向量為，，，則，取，可得，且所以，點(diǎn)P到平面的距離為，又因?yàn)榈拿娣e為定值，故三棱的體積為定值，故B對(duì)；對(duì)于C選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，則，，所以，當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)，使得，故C錯(cuò)；對(duì)于D選項(xiàng)，當(dāng)時(shí)，，假設(shè)存在點(diǎn)P，使得AP⊥平面PCD，因?yàn)镈C平面PCD，則AP⊥DC，則，可得，與題設(shè)條件不符，假設(shè)不成立，故當(dāng)時(shí)，不存在點(diǎn)P，使得AP⊥平面PCD，故D對(duì).故選：ABD．三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知，則點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算法則即可求出點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，又，則,即，解得；即故答案為：14.已知，則向量在上的投影向量的坐標(biāo)是______．【答案】【解析】【分析】由已知得出的坐標(biāo)，然后求出投影向量即可得出答案.【詳解】因?yàn)?，，所以，向量在上的投影向量是，其坐?biāo)為.故答案為：.15.直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)為_(kāi)_______.【答案】【解析】【分析】求出直線過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，從而求出最短弦長(zhǎng).【詳解】直線，即，令，解得，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，又圓的圓心為，半徑，因?yàn)?，?dāng)時(shí)直線被圓截得的最短弦長(zhǎng)，最短弦長(zhǎng)為.故答案為：16.已知，是圓：上的兩個(gè)不同的點(diǎn)，若，則的取值范圍為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】為和到直線距離之和的倍，是的中點(diǎn)到直線距離的倍，利用點(diǎn)軌跡，求取值范圍.【詳解】由題知，圓的圓心坐標(biāo)，半徑為2，因?yàn)椋裕O(shè)為的中點(diǎn)，所以，所以點(diǎn)的軌跡方程為．點(diǎn)的軌跡是以為圓心半徑為的圓.設(shè)點(diǎn)，，到直線的距離分別為，，，所以，，，所以．因?yàn)辄c(diǎn)到直線的距離為，所以，即，所以．所以的取值范圍為．故答案為：【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：利用的幾何意義，問(wèn)題轉(zhuǎn)化為為和到直線距離之和，再轉(zhuǎn)化為的中點(diǎn)到直線距離，由點(diǎn)軌跡是圓，可求取值范圍.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟.17.已知空間三點(diǎn)、、，設(shè)，．（1）設(shè)，//，求．（2）若與互相垂直，求．【答案】（1）或（2）或．【解析】【分析】（1）利用向量共線定理，結(jié)合即可得出；（2）利用向量坐標(biāo)運(yùn)算、向量垂直與數(shù)量積的關(guān)系即可得出.【小問(wèn)1詳解】由于，，則，由于//，設(shè)，由，則，即有，則或．【小問(wèn)2詳解】與互相垂直，則，則，由（1），，即有，解得或．18.已知圓與圓（1）求經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線方程：（2）求圓與圓的公共弦長(zhǎng)．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）判斷兩圓相交，將兩圓的方程相減，即可得答案；（2）確定圓的圓心和半徑，求得圓心到兩圓公共弦所在直線的距離，根據(jù)弦長(zhǎng)的幾何求法即可求得答案.【小問(wèn)1詳解】圓的圓心為，半徑為，圓即，圓心為，半徑為，則，故圓與圓相交；將圓與圓的方程相減，得，即經(jīng)過(guò)圓與圓交點(diǎn)的直線方程為；【小問(wèn)2詳解】圓的圓心為，半徑為1，到直線的距離為，故圓與圓的公共弦長(zhǎng)為.19.如圖所示，三棱柱中，，，，，，，是中點(diǎn)．（1）用，，表示向量；（2）在線段上是否存在點(diǎn)，使？若存在，求出的位置，若不存在，說(shuō)明理由．【答案】（1）（2）當(dāng)時(shí)，【解析】【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運(yùn)算的幾何意義進(jìn)行求解即可；（2）設(shè)，，用，，表示向量，依題意可得，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律求出，即可得解．【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)槭侵悬c(diǎn)，所以，所以；【小問(wèn)2詳解】解：假設(shè)存在點(diǎn)，使，設(shè)，，顯然，，因?yàn)?，所以，即，，，，即，解得，所以?dāng)時(shí)，.20.已知的頂點(diǎn)，邊上的高線所在的方程為，角的角平分線交邊于點(diǎn)，所在的直線方程為.（1）求點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）求直線的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)點(diǎn)，由，所在的直線方程建立方程求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)求關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，即可求直線方程.【小問(wèn)1詳解】設(shè)，則由題意可知①，又，所以②，聯(lián)立①②方程解得，即；【小問(wèn)2詳解】設(shè)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則有的中點(diǎn)在直線上，即，解之得，顯然直線為的角平分線，即直線與重合，則，所以直線的方程為.21.如圖，己知在四棱錐中，平面，點(diǎn)在棱上，且，底面為直角梯形，，分別是的中點(diǎn)．（1）求證：平面；（2）求直線與平面所成角的正弦值.【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）建立空間坐標(biāo)系，計(jì)算各點(diǎn)坐標(biāo)，計(jì)算平面的法向量，由，即可證明；（2）求出直線的方向向量與平面的法向量，由線面角的公式代入即可得出答案.【小問(wèn)1詳解】以為原點(diǎn)，以分別為建立空間直角坐標(biāo)系，由，分別是的中點(diǎn)，可得：，∴，設(shè)平面的的法向量為，則有：，令，則，∴，又平面，∴平面.【小問(wèn)2詳解】設(shè)平面的的法向量為，又則有：，令，則，所以又，設(shè)直線與平面所成角為，∴，∴求直線與平面所成的角的正弦值為.22.已知圓經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)，，且圓心在直線上.（1）求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）設(shè)直線與圓相交于，兩點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求的值.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）利用幾何法求出圓心坐標(biāo)，圓心到點(diǎn)的距離求出半徑，最后寫(xiě)出圓的半徑；（2）聯(lián)立直線方程和圓的方程，根據(jù)求出直線的