2023年新高一數學暑假課程（人教A版2019）第十八講全稱量詞與存在量詞的否定

第十八講：全稱量詞與存在量詞的否定【教學目標】1.通過實例總結含有一個量詞的命題與它們的否定在形式上的變化規(guī)律.2.能正確地對含有一個量詞的命題進行否定．【基礎知識】（1）含量詞的命題的否定p結論全稱量詞命題?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)全稱量詞命題的否定是存在量詞命題存在量詞命題?x∈M，p(x)?x∈M，p(x)存在量詞命題的否定是全稱量詞命題命題的否定：=1\*GB3①改量詞，=2\*GB3②否結論.（2）命題的否定與原命題真假性相反.【題型目錄】考點一：全稱量詞命題的否定考點二：存在量詞命題的否定考點三：全稱量詞與存在量詞命題的否定（判斷真假）考點四：全稱量詞與存在量詞命題的否定應用【考點剖析】考點一：全稱量詞命題的否定例1．設命題，，則為（） A．， B．， C．， D．，或【答案】D【詳解】根據命題的否定得任意變存在，結論相反，故為，或，故選：D.變式訓練1．已知命題，則為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】因為，所以.故選：B.變式訓練2．已知命題p：某班所有的男生都愛踢足球，則命題p的否定是（） A．某班至多有一個男生愛踢足球 B．某班至少有一個男生不愛踢足球 C．某班所有的男生都不愛踢足球 D．某班所有的女生都愛踢足球【答案】B【詳解】全稱量詞命題的否定是存在量詞命題，故命題p的否定是某班至少有一個男生不愛踢足球．故選：B．變式訓練3．若命題：，，則命題的否定為（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】根據全稱量詞的否定規(guī)則，先改寫量詞，再否定結論，可得原命題的否定為“，”.故選:D考點二：存在量詞命題的否定例2．命題“，”的否定是（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】命題“，”為特稱量詞命題，其否定為：，.故選：D變式訓練1．命題“”的否定是（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】命題“”的否定是“”.故選：C變式訓練2．命題“有一個偶數是素數”的否定是（） A．任意一個奇數是素數 B．任意一個偶數都不是素數 C．存在一個奇數不是素數 D．存在一個偶數不是素數【答案】B【詳解】由于存在量詞命題，否定為.所以命題“有一個偶數是素數”的否定是“任意一個偶數都不是素數”.故選：B變式訓練3．設命題p：，使得，則為（） A．，使得 B．，使得 C．，都有 D．，都有【答案】C【詳解】為，都有.故選：C考點三：全稱量詞與存在量詞命題的否定（判斷真假）例3．寫出下列命題的否定，并判斷它們的真假:(1)有些實數是無限不循環(huán)小數;(2)三個連續(xù)整數的乘積能被6整除;(3)三角形不都是中心對稱圖形;(4)至少有一個整數是4的倍數.【答案】(1)所有實數都不是無限不循環(huán)小數，假命題(2)存在三個連續(xù)整數的乘積不能被6整除，假命題(3)任意一個三角形都是中心對稱圖形，假命題(4)任意整數不是4的倍數，真命題【詳解】（1）命題的否定為：“所有實數都不是無限不循環(huán)小數”，因為實數是無限不循環(huán)小數，所以其為假命題；（2）命題的否定為：“存在三個連續(xù)整數的乘積不能被6整除”，因為三個連續(xù)整數中必有一個能被2整除，一個能被3整除，則三個連續(xù)整數的乘積一定能被6整除，所以其為假命題；（3）命題的否定為：“任意一個三角形都是中心對稱圖形”，因為等邊三角形不是中心對稱圖形，所以其為假命題；（4）命題的否定為：“任意整數不是4的倍數”，當時，不是4的倍數；當時，不是4的倍數，所以其為真命題.變式訓練1．寫出下列命題的否定，并判斷真假．(1)正方形都是菱形；(2)，使；(3)，有.【答案】(1)答案見解析;(2)答案見解析;(3)答案見解析.【詳解】（1）命題的否定：正方形不都是菱形，是假命題．（2）命題的否定：，有．因為當時，，所以“，有”是假命題．（3）命題的否定：，使．因為當時，，所以“，使”是真命題．變式訓練2．寫出下列命題的否定，并判斷真假.(1)所有的矩形都是平行四邊形；(2)每一個素數都是奇數；(3)有些實數的絕對值是正數；(4)某些平行四邊形是菱形.【答案】(1)命題的否定：存在一個矩形不是平行四邊形，為假命題.(2)命題的否定：存在一個素數不是奇數，為真命題(3)命題的否定：所有實數的絕對值都不是正數，為假命題(4)命題的否定：每一個平行四邊形都不是菱形，為假命題.【詳解】（1）命題的否定：存在一個矩形不是平行四邊形，為假命題.（2）命題的否定：存在一個素數不是奇數，為真命題.（3）命題的否定：所有實數的絕對值都不是正數，為假命題.（4）命題的否定：每一個平行四邊形都不是菱形，為假命題.變式訓練3．判斷下列命題是全稱命題還是特稱命題，寫出這些命題的否定，并說出這些否定的真假，不必證明．(1)末尾數是偶數的數能被整除；(2)對任意實數，都有；(3)方程有一個根是奇數．【答案】(1)答案見解析；(2)答案見解析；(3)答案見解析【詳解】（1）該命題是全稱命題，該命題的否定是：存在末尾數是偶數的數，不能被整除；該命題的否定是真命題．（2）該命題是全稱命題，該命題的否定是：存在實數，使得；該命題的否定是真命題．（3）該命題是特稱命題，該命題的否定是：方程的兩個根都不是奇數；該命題的否定是假命題．考點四：全稱量詞與存在量詞命題的否定應用例1．已知命題，使，命題．(1)寫出“”；(2)若命題p、q有且只有一個命題為真，求實數m的取值范圍．【答案】(1)；(2)或．【詳解】（1）；（2）p是真命題，得，所以．若p為真命題，q為假命題，則得；若p為假命題，q為真命題，則，得；所以，m的取值范圍為或．變式訓練1．已知命題，都有，命題，使，若命題為真命題，命題q的否定為假命題，求實數m的取值范圍．【答案】【分析】根據為假命題，可判斷為真命題，再根據全稱量詞命題及存在量詞命題為真求出參數的取值范圍，最后取公共解即可；【詳解】因為為假命題，所以為真命題，命題，都有，為真命題，則，即命題，使，為真命題，則，即因為命題、同時為真命題，所以，解得，故實數m的取值范圍是．變式訓練2．已知命題，使得成立；若命題為假命題，求實數的取值范圍；【答案】.【詳解】因為命題r為假命題，所以命題r的否定：恒成立為真命題，則，解得，故實數a的取值范圍為變式訓練3．已知命題p：，，命題q：，．(1)若命題p為真命題，求a的取值范圍；(2)若命題p和命題q至少有一個為真命題，求a的取值范圍．【答案】(1)；(2)或.【詳解】（1）由題意命題p：，，當時，，不合題意；當時，命題p為真命題，則需滿足，即；（2）由（1）知命題p為真命題時，a的取值范圍為；命題q：，為真時，則，當命題p真而命題q假時，且，故；當命題p假而命題q真時，且，故；當命題p和命題q都真時，且，則，故命題p和命題q至少有一個為真命題，a的取值范圍為或.【課堂小結】1．知識清單：(1)全稱量詞命題、存在量詞命題的否定．(2)命題真假的判斷．(3)全稱量詞命題與存在量詞命題的綜合應用．2．方法歸納：轉化法．3．常見誤區(qū)：否定不唯一，命題與其否定的真假性相反．【課后作業(yè)】1、已知命題，，則的否定為（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【詳解】先變量詞，將“”改為“”，再改結論，將“”改為“”，則的否定為：，.故選：D.2、命題“對，都有”的否定是（） A． B．，都有 C． D．【答案】C【詳解】因為原命題為“對，都有”，所以其否定為“”，故選：C.3、已知命題，則（） A． B． C． D．【答案】C【詳解】因為，所以，故選：C.4、設命題，則的否定為（） A． B． C． D．【答案】B【詳解】命題，則的否定為：.故選：B5、命題“”的否定是（） A．“” B．“” C．“” D．“”【答案】A【詳解】命題“”的否定是“”故選：A.6、已知命題，，則是（） A．， B．， C．， D．，【答案】C【詳解】由特稱命題的否定可知為：，.故選：C.7、已知命題，，則命題的否定為（） A． B． C． D．【答案】D【詳解】命題，的否定是．故選：D．8、關于命題，下列判斷正確的是（） A．命題“每個正方形都是矩形”是存在量詞命題 B．命題“有一個素數不是奇數”是全稱量詞命題 C．命題“”的否定為“” D．命題“每個整數都是有理數”的否定為“每個整數都不是有理數”【答案】C【詳解】A選項，命題“每個正方形都是矩形”含有全稱量詞“每個”，是全稱量詞命題，故A錯；B選項，命題“有一個素數不是奇數”含有存在量詞“有一個”，是存在量詞命題，故B錯；C選項，命題“”的否定為“”故C正確；D選項，命題“每個整數都是有理數”的否定為“存在一個整數不是有理數”，故D錯；故選：C9、命題：，，則命題的否定以及的真假性正確的選項是（） A．：，使得，假 B．：，使得，真 C．：，使得，假 D．：，，真【答案】B【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，可得否定是“，使得”，令，則，所以命題“，使得”為真命題，故選：B.10、命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定是（） A．任意一個無理數，它的平方不是有理數 B．任意一個無理數，它的平方是有理數 C．存在一個無理數，它的平方是有理數 D．存在一個無理數，它的平方不是有理數【答案】A【詳解】解：命題“存在一個無理數，它的平方是有理數”的否定為“任意一個無理數，它的平方不是有理數”，故選：A11、已知命題，則為______________________．【答案】【詳解】由全稱命題的否定為特稱命題，已知，所以.故答案為：.12、命題“”的否定是___________.【答案】【詳解】命題“”的否定是“”故答案為：13、寫出下列命題的否定并判斷真假:（1）所有末位數字是0或5的整數都能被5整除；（2）某些梯形的對角線互相平分；（3）被8整除的數能被4整除.【答案】（1）命題的否定是:存在末位數字是0或5的整數不能被5整除，是假命題.（2）命題的否定:任意梯形的對角線都不互相平分，是真命題.（3）命題的否定:存在一個數能被8整除，但不能被4整除，是假命題.14、寫出下列命題的否定，并判斷其真假.（1）p：所有的方程都有實數解；（2）q：；（3）r：；（4）s：某些平行四邊形是菱形.【答案】（1）：存在一個方程沒有實數解，真命題.比如方程就沒有實數解.（2）：，假命題.由于恒成立，是真命題，所以?q是假命題.（3）：，真命題.（4）：每一個平行四邊形都不是菱形，假命題.15、已知：，，：，．（1）寫出命題的否定；命題的否定；（2）若和至少有一個為真命題，求實數的取值范圍．【答案】（1）：，；：，；（2）.【詳解】（1）：，；：，．（2）由題意知，真或真，當真時，，當真時