大學(xué)《微積分》課件6 廣義積分與G函數(shù)z

一、廣義積分二、

函數(shù)§6.8廣義積分與

函數(shù)破壞這兩個(gè)條件中的一條，就稱為廣義積分.引入定積分概念時(shí)，有兩個(gè)基本要求：1、積分區(qū)間[a,b]是有限的；

2、被積函數(shù)f(x)在[a,b]上是有界的.這種通常意義下的積分稱為常義積分.對(duì)應(yīng)上面的兩個(gè)條件，若[a,b]變?yōu)闊o限區(qū)間，則稱為無窮限的廣義積分；

若

f(x)為無界函數(shù)，則稱為無界函數(shù)的廣義積分.一、廣義積分（一）問題的提出解：由定積分的幾何意義0xyy=11+x2A求由曲線與坐標(biāo)軸所“圍成”的開口曲邊梯形的面積.bB1、引例在(0,+∞)內(nèi)任取一點(diǎn)b，過b作x軸的垂線x=b，則曲邊梯形A0bB的面積當(dāng)b→+∞時(shí)，

即（二）無窮限的廣義積分0xyy=11+x2A定義6

2(無窮限廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,

)上連續(xù)

存在

則稱此極限值為f(x)在[a,

)上的廣義積分

記作2、概念如果極限定義6

2(無窮限廣義積分)2、概念

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,b]上連續(xù)

如果極限存在

則稱此極限值為f(x)在(

,b]上的廣義積分

記作定義6

2(無窮限廣義積分)2、概念

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間(

,

)上連續(xù)

則f(x)在(

,

)上的廣義積分定義為

解

按定義(2)約定記號(hào):若

，則(1)計(jì)算步驟:先求定積分,再取極限.3、計(jì)算

解

例2.

思考：=

0？結(jié)論：廣義積分收斂的時(shí)候滿足定積分“偶倍奇零”的結(jié)論.練習(xí)：判別下列廣義積分的斂散性.當(dāng)時(shí)，例4.討論

的斂散性.故

在

時(shí)收斂；在時(shí)發(fā)散.解:當(dāng)

時(shí)，

練習(xí)：下列積分收斂的是（）C（三）無界函數(shù)的廣義積分瑕積分注：一個(gè)積分是不是瑕積分，就是看在積分區(qū)間上有沒有無界的點(diǎn).C例5.下列積分屬于瑕積分的是_____注：被積函數(shù)若不滿足可積條件,則不能使用牛頓-萊布尼茲公式.如果

f(x)在區(qū)間[a,b]上某點(diǎn)無界，則稱該點(diǎn)為f(x)的瑕點(diǎn)，并稱積分

為瑕積分.定義6

3(無界函數(shù)的廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在(a,b]上連續(xù)

當(dāng)x

a

時(shí)

f(x)

但在任何存在

則稱此極限為無界函數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分

記作

如果上述極限不存在

就說廣義積分不存在或發(fā)散

閉區(qū)間[u,b](a,b]上有界且可積.如果極限定義6

3(無界函數(shù)的廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在[a,b)上連續(xù)

當(dāng)x

b

時(shí)

f(x)

但對(duì)任何存在

則稱此極限為無界函數(shù)f(x)在[a,b]上的廣義積分

記作

如果上述極限不存在

就說廣義積分不存在或發(fā)散

閉區(qū)間[a,u][a,b)上有界且可積.如果極限定義6

3(無界函數(shù)的廣義積分)

設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上除點(diǎn)c(a

c

b)外連續(xù)

而當(dāng)x

c時(shí)

f(x)

則f(x)在[a,b]上的廣義積分定義為(2)約定記號(hào):若

，則(1)計(jì)算步驟:先求定積分,再取極限.瑕積分的計(jì)算

解

顯然x=0為瑕點(diǎn)提示

例6.

解

顯然x=0為瑕點(diǎn)例7.綜上：當(dāng)p<1時(shí)，原積分收斂；當(dāng)

時(shí)，原積分發(fā)散.二、

函數(shù)

解：此題分部積分兩次，若被積函數(shù)中x的指數(shù)為3,4,5…，則分別積分3次，4次，5次…，得到相對(duì)應(yīng)的值.定義6

4(

函數(shù))遞推公式

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n為正整數(shù))

積分是參變量r的函數(shù)

稱為

函數(shù)

遞推公式

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n為正整數(shù))

又因?yàn)?/p>

(n+1)=n

(n)

n

(n

1)

(n

1)

n!

(1)

所以

(n

1)

n!

(r

1)

r

(r)(r

0)

(n

1)

n!(n為正整數(shù))

例9

2

4

1

4

0

4

(0

4)

(3

4)

(2

4

1)

2

4

(2

4)

2

4

(1

4

1)

2

4

1

4

(1

4)

2

4

1

4

(0

4

1)例10.